árvores balanceadas - avl

Árvores BalanceadasAVL

Prof: Sergio Souza Costa

Sobre mim

Sérgio Souza CostaProfessor - UFMADoutor em Computação Aplicada (INPE)

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Introdução

● As árvores binárias de busca permitem a organização da informação com o objetivo a otimizar as buscas.

Introdução

● As árvores binárias de busca permitem a organização da informação com o objetivo a otimizar as buscas.

● Ela permite o acesso mais rapido aos elementos dado que os elementos estão organizados na árvore, obedecendo uma certa propriedade.

■ Esquerda são os menores que a raiz■ Direita são os maiores que a raiz

Introdução

● As Árvores binárias de busca (ABB) estudadas têm uma séria desvantagem que pode afetar o tempo necessário para recuperar um item armazenado.

Introdução

Insiram os seguintes valores em uma árvore binária de busca (ABB):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4, 6, 2, 5, 1, 7, 3

O que vocês concluem com isso ?

IntroduçãoA desvantagem é que o desempenho da ABB depende da ordem em que os elementos são inseridos.


Idealmente, deseja-se que a árvore esteja balanceada, para qualquer nó p da árvore.



Como saber se a árvore está balanceada ?



Como saber se a árvore está balanceada ?

A altura dos nós é um importante dado.

AVL

● O nome AVL vem de seus criadores Adelson Velsky e Landis (1962).

● Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se:

○ Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade.

20

3010

40

35

20

3010

4035

Qual é AVL ? Que nó esta desbalanceado ?

a) b)

AVL

● Como saber se a árvore está desbalanceada?

AVL

● Como saber se a árvore está desbalanceada?○ Verificando se existe algum nodo “desregulado”.

AVL

● Como saber se a árvore está desbalanceada?○ Verificando se existe algum nodo “desbalanceado”.

● Como saber se um nodo está desbalanceado ?

AVL

● Como saber se a árvore está desbalanceada?○ Verificando se existe algum nodo “desbalanceado”.

● Como saber se um nodo está desbalanceado ?○ Subtraindo-se as alturas das suas sub-árvores.

Fator de balanceamento

● O fator de balanceamento é dado por:○ altura (SAE) – altura(SAD)

● Ou,○ altura (SAD) – altura(SAE)

Fator de balanceamento

● O fator de balanceamento é dado por:○ altura (SAE) – altura(SAD)

● Ou,○ altura (SAD) – altura(SAE)

● O fator de balanceamento de um nodo é dado pelo seu peso em relação a sua sub-árvore.

○ Um nodo pode ter um fator balanceado de 1, 0, ou -1.○ Um nodo com fator de balanceamento -2 ou 2 (diferença de

2 elementos) é considerado desbalanceado e requer um balanceamento.

AVL - Calculando o fator

20

3010

40

35

Coloque as alturas de cada nó


20

3010

40

35

0

1


2

3

0

-1 -1

-1 -1

-1

-1


20

3010

40

35

0

1


Calcule o fator de balanceamento

altura (SAE) - altura (SAD)

2

3

0

-1 -1

-1 -1

-1

-1


20

3010

40

35

0

1


2

3

0

-1 -1

-1 -1

-1

-1

0 - 2 = -2


20

3010

40

35

0

1


2

3 (-2)

0

-1 -1

-1 -1

-1

-1

0 - 2 = -2


20

3010

40

35

0

1


2

3 (-2)

0

-1 -1

-1 -1

-1

-1

-1 - 1 = -2


20

3010

40

35

0

1


2 (-2)

3 (-2)

0

-1 -1

-1 -1

-1

-1

-1 - 1 = -2


20

3010

40

35

0 (0)

1 (1)


2 (-2)

3 (-2)

0 (0)

-1 -1

-1 -1

-1

-1


20

3010

40

35

0 (0)

1 (1)


2 (-2)

3 (-2)

0 (0)

-1 -1

-1 -1

-1

-1

Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se:

○ Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade.

Atividades

Insira os seguintes valores em uma árvore binária, coloque os fatores de balanceamento e diga se é ou não uma AVL e qual nó esta desbalanceado:

a) [30,15, 50, 5,10, 20]b) [ 80, 40, 100, 120, 90, 30]c) [10, 50, 4, 90, 20, 8]

Como balancear ?

Como balancear ?

Através de operações de rotações!!!!

Rotações

Existem quatro operações de rotações:

Rotação simples à EsquerdaRotação simples à DireitaRotação Dupla à EsquerdaRotação Dupla à Direita

Rotações

Existem quatro operações de rotações:

Rotação simples à EsquerdaRotação simples à DireitaRotação Dupla à EsquerdaRotação Dupla à Direita

As duplas são derivadas das simples

Rotações

● Quando usar as Rotações ?○ Na inserção de um elemento○ e na remoção de um elemento

● É provado que no máximo uma rotação é suficiente para realizar o balanceamento de uma árvore quando é inserido ou removido um elemento

Rotações e balanceamento

Vamos ver primeiro as operações de rotação e depois usa-las para balanceamento.

Rotações

Rotação a direitaRotação a direita

Rotação a esquerda

Rotação a direita

Rotação a direita

30

20

10

Imagine a seguinte árvore....

Rotação a direita

30

20

10

30

20

10

Imagine a seguinte árvore....

Rotação a direita

AtividadesInsiram os seguintes valores e depois rotacione para a direita a partir da raiz:

a) [40,30, 20]b) [40, 30, 20, 35]c) [40, 50, 30, 20, 35]


AtividadesInsiram os seguintes valores e depois rotacione para a esquerda a partir da raiz:

a)[40, 50, 60]b) [40, 50, 10, 60]c) [40, 20, 10, 50, 60, 70]

Rotação dupla a esquerda

Rotação dupla a esquerda

AtividadesInsiram os seguintes valores e depois rotacione dupla a esquerda a partir da raiz:

a)[20, 40, 30]b) [20, 40, 30, 50]c) [20, 10, 40, 30, 50, 12]

Rotação dupla a direita

Rotação dupla a direita

AtividadesInsiram os seguintes valores e depois rotacione dupla a direita a partir da raiz:

a) [40, 20, 30]b) [40, 20, 30, 50]c) [40, 20, 30, 10,50, 80]

Como usar as rotações para manter uma árvore balanceada, ou seja, uma AVL ?

Balanceamento

Ao inserir um novo elemento em uma árvore, pode ser que um dos seus nós ascendentes se torne desbalanceado, avô, bisavô ...

Balanceamento

Algoritmo:

A cada inserção, checa-se os nós ascedentes.

Balanceamento

Algoritmo:

● Aplica-se, o mesmo algoritmo de inserção da árvore binária de busca.

● A cada inserção, checa-se os nós ascedentes.

● Caso o nó esteja desbalanceado, existem quatro diferentes configurações, como veremos a seguir.○ Para cada configração, existe uma rotação indicada.

Exemplo

10


[10, 20, 30]

Exemplo

10

20

FB: -1 - 0 = -1 OK


[10, 20, 30]

Exemplo

10

20


[10, 20, 30]

30

Exemplo

10

20


[10, 20, 30]

30

FB: -1 - 0 = -1 OK

Exemplo

10

20


[10, 20, 30]

30

FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado

Exemplo

10

20


[10, 20, 30]

30


Qual a rotação indicada neste caso ?

Exemplo

10

20


[10, 20, 30]

30



Rotação simples a esquerda.

Exemplo

10

20


[10, 20, 30]

30

Exemplo

10

20


[10, 20, 30, 40]

30

40

Exemplo

10

20


[10, 20, 30, 40, 35]

30

40

35

Exemplo

10

20


[10, 20, 30, 40, 35]

30

40

35



Rotação dupla a esquerda.

Exemplo

10

20


[10, 20, 30, 40, 35]

30

40

35

rotação direita

Exemplo

10

20


[10, 20, 30, 40, 35]

30

35

40

Exemplo

10

20


[10, 20, 30, 40, 35]

30

35

40

rotação esquerda

Exemplo

10

20


[10, 20, 30, 40, 35]

35

3040

FB: 0 - 1 = -1 OK

continua a checagem com o no ascendente.

Atividades

A partir de uma árvore AVL, insiram os seguintes valores:

a) [10, 20,15,45,67,81,91,10]b) [1, 5,80,20,67,91,8,10]c) [10,20,30, 50, 5, 15, 30]

Codificação

Transformando uma árvore binária de busca em AVL ...

Codificação

Transformando uma árvore binária de busca em AVL ...

baixem o seguinte código:

https://sites.google.com/site/skosta/teaching/2011-2/sif-120/arquivos/arvore_binaria.c?attredirects=0&d=1




Rotações

Os algoritmos de rotação serão os primeiros a serem codificados:

● rotação a esquerda● rotação a diretia

BTNode* leftRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getRight(r);setRight(r, getLeft(aux));setLeft(aux, r);return aux;

}



}


r

10

20

30

5

40

15


}


r

10

20

30

5

40

15

aux

BTNode* rightRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getLeft(r);setLeft(r, getRight(aux));setRight(aux, r);return aux;

}


Rotações duplas

// rotação dupla a direitaBTNode* rightDoubleRotation (BTNode* r) {

setLeft(r, leftRotation(getLeft(r)));return rightRotation (r);

}

// rotação dupla a esquerdaBTNode* leftDoubleRotation (BTNode* r) {

setRight(r, rightRotation(getRight(r)));

return leftRotation (r);}

BTNode* balance (BTNode* r) {int fb;if (r == NULL) return NULL;fb = height (getLeft(r)) - height (getRight(r));

if (fb < -1) { if (height( getRight (getRight(r))) > height( getLeft (getRight(r))))

return leftRotation (r);else

return leftDoubleRotation (r);}else if (fb > 1) {

if (height( getLeft (getLeft(r))) > height( getRight (getLeft(r))))return rightRotation (r);

elsereturn rightDoubleRotation (r); }

return r;}

Como usar o algoritmo de balanceamento ?

Nas operações de inserção e remoção

// inserçãoBTNode *BSTinsert (BTNode *r, int x) { if (r == NULL) r = Node (x, NULL, NULL); else if (x < getElement(r) ) setLeft( r, BSTinsert(getLeft(r), x ) ); else setRight( r, BSTinsert(getRight(r), x ) ); return balance(r);}

Qual o problema SÉRIO com este nosso algoritmo ?

Qual o problema SÉRIO com este nosso algoritmo ?

A operação que calcula a altura da árvore não está eficiente.

Sua complexidade é linear, como torná-la constante ?

Uma verdadeira AVL

A codificação de uma AVL necessita que o cálculo da altura seja constante, caso contrário ela será eficiente na busca porém MUITO ineficiente nas inserções e remoções.

AVLtypedef struct AVL {

int e;int height;struct AVL *l;struct AVL *r;

} AVL;

int height (AVL* r) {if ( r == NULL ) return -1;else return r->height;

}

adiciona mais uma variavel a estrutura

a função altura agora tem complexidade constante

AVL

Contudo, teremos atualizar a altura para cada:

● inserção● remoção● rotações

Atividades

Acessem

https://docs.google.com/document/d/1uU0QZvSDCxcuFH63yjLjIM3pj1K96pVO01aUA4PSKFA/edit

https://docs.google.com/document/d/1uU0QZvSDCxcuFH63yjLjIM3pj1K96pVO01aUA4PSKFA/edit

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