AS EXPERIÊNCIAS

1.          Medidas simples

2.          Gráficos

3.          Movimento retilíneo uniformemente variado

4.          Movimento de projéteis

5.          Translação e rotação

6.          Colisões em duas dimensões - Parte I

7.          Colisões em duas dimensões - Parte II

8.          Mola - Conservação de energia

9.          Rotação de um corpo rígido

Atenção, confiram o cronograma já distribuido pelo professor. É imprescindível consultar a apostila . Todo este material é de uso obrigatório para todas as turmas de F129.

1. MEDIDAS SIMPLES A finalidade desta experiência é familiarizar o aluno com algumas técnicas de medidas, cuidados experimentais no laboratório, algarismos significativos , desvios avaliados e propagação de erros , utilizando instrumentos de medida muito simples (paquímetro, balança e micrômetro).

     a.  material utilizado

Esferas de aço e de isopor, cilindros, paralelepípedos. Balança, paquímetro e micrômetro.

   i.  paquímetro

Fig. 1

A figura acima mostra um paquímetro, com escalas em centímetros. Há vários tipos de paquímetro, mas as características gerais são semelhantes. Ele é utilizado para medidas de comprimento até aproximadamente 15 cm, com precisão de centésimos de centímetro (em geral). O objeto a ser medido é colocado entre as chamadas esperas

. Como se vê, há dois tipos de esperas, para diâmetros internos e externos.

A haste deslizante, que corre no meio da régua onde a cursor está acoplado, é usada para medidas de profundidade. Há duas escalas: uma na régua (corpo) do paquímetro (que dará os centímetros e os décimos de centímetros ) e outra no cursor (sob a escala da régua), que dará os centésimos de centímetros . Na escala do cursor há 10 divisões para cada 9 mm. Para se efetuar uma medida, o objeto deve ser colocado entre as esperas, a trava que segura o cursor deve ser solta e o cursor deve ser movido de encontro ao objeto até tocá-lo, mas sem apertá-lo .

Fig. 2

Deve-se ler o valor da medida na escala existente no paquímetro, utilizando-se o 0 da escala do cursor. No exemplo da Fig. 2, vê-se que o zero (0) da escala do cursor se encontra entre 1,2 cm e 1,3 cm da escala do paquímetro, indicando que o comprimento medido é maior do que 1,2 cm e menor do que 1,3 cm. Procura-se agora qual é a divisão da escala do cursor que coincide com alguma divisão da escala principal do paquímetro. No exemplo, se vê que a 7 a coincide

com uma divisão da escala do paquímetro. A medida final será então: 1,2 7 cm.

O princípio de funcionamento da escala do cursor se baseia no nônio ou vernier , cujo funcionamento vamos em detalhe agora. O mesmo principio é utilizado em uma série de outros instrumentos de medidas.

Nônio ou vernier (inventado pelo francês Pierre Vernier, que viveu entre 1580-1637) é uma escala secundária que acoplada a uma escala principal permite obter medidas lineares ou angulares menores do que a menor divisão da escala principal (que passaremos a chamar simplesmente de escala). Na parte a da figura, a menor divisão da escala é p = 1 mm, a do nônio (por construção) é n = 0,9 mm. Consequentemente, quando os zeros das duas escalas coincidem, a distância entre

o 1 da escala principal e o 1 do nônio é de 0,1 mm, entre o 2 da escala principal e o 2 do nônio é de 0,2 mm e assim por diante até p9 - n9 = 0,9 mm. Isso permite que se avalie até 0,1 mm, pois a diferença entre a escala e o nônio é de 0,1p.

Observe-se agora a parte b da figura. A medida l que se está fazendo corresponde à

distância entre o 0 da escala e o 0 do nônio. Para se obter l deve-se tomar o número de

divisões da escala até antes do 0 do nônio: 2p divisões, que valem 2 mm. Portanto, l = 2p + (fração de p), que é a distância entre a marca 2 da escala e o traço 0 do nônio. Vê-se que a 7a marca do nônio coincide com uma marca da escala: a medida corresponde portanto a 2 divisões da escala (2 p) mais 7/10 do nônio. No caso do exemplo da figura,

tem-se, portanto: l = 2,7 mm. A figura ilustra porque a fração de p tem esse valor.Mas qual a resolução de um nônio?Considere-se agora o nônio ilustrado na parte c da figura. Em geral, tem-se que N divisões da escala correspondem a m+1 divisões do nônio. Utilizando a notação anterior, tem-se: mp = Nn, onde p = a menor divisão da escala e n = a menor divisão do nônio. Como N = m + 1, pode-se escrever:mp = (m + 1)n   ou   n = (mp)/(m + 1)A resolução do nônio é dada pela diferença entre as extensões das menores subdivisões da escala e do nônio: R = p - n ,  que combinada com a relação anterior dá:  R = p - (mp)/(m + 1) = (1 - m/(m + 1))xpou:  R = p/N, onde p é o valor da menor subdivisão da escala e N é o número de subdivisões do nônio. Como no caso da parte c da figura a escala tem a sua unidade subdividida em 1 mm, e N = 20, a resolução será 1/20 mm = 0,05 mm.

   ii. micrômetro

O micrômetro se destina a medidas de até alguns centímetros e precisão de 0,01 mm. Os cuidados são os mesmos que devem ser tomados para se operar o paquímetro: destravar o aparelho antes (girando a rosca na extremidade do cabo ) e não

Fig. 3

apertar demais o objeto a ser medido.

Fig. 4

No exemplo da figura, percebe-se que a cabeça (parte fixada na frente do tambor) ultrapassou 4,5 mm mas está antes de 5,0 mm. No tambor há uma escala com 50 divisões e pode-se verificar que são necessárias duas voltas do tambor para que as esperas do micrômetro se desloquem de 1mm. Olhando a escala no tambor, se vê que a divisão do tambor que concide com a linha onde está a escala retilínea é 32. A escala retilínea indica que é maior do que 4,5 mm, portanto, o tambor já deu uma volta (isto é, já percorreu 0,50mm) e está no valor 32 da segunda volta, ou seja: [0,50 + 0,32] mm. A medida final é: 4,82 mm.

     b.  procedimento -faça 10 medidas do diâmetro de 1 esfera de aço e de 1 esfera de isopor, -meça 10 vezes a altura e o diâmetro de um cilindro, -determine as massas dos objetos medidos, -anote todos os valores no caderno. Cada membro do grupo deve realizar o seu próprio conjunto de medidas.

     c.   relatório 1. na introdução, faça um resumo claro e detalhado da teoria de erros que está na Apostila . 2. organize seus dados em tabelas, 3. calcule os volumes das duas esferas com os respectivos desvios , 4. calcule o volume do cilindro com o desvio, 5. calcule a densidade das duas esferas, usando propagação de erros , 6. calcule a densidade do cilindro, com propagação de erros, 7. justifique porque alguns erros são maiores que outros. Justifique com clareza e objetividade, evitando lugares comuns e afirmações superficiais, 8. demonstre porque a leitura do valor da medida com o paquímetro se faz da maneira mostrada na Fig. 2. Este relatório deverá englobar também os resultados da experiência da aula seguinte.

2. USO DE GRÁFICOS A finalidade é introduzir o uso de gráficos na análise de relações entre grandezas medidas.     a.  procedimento A Tabela I contém os períodos orbitais de planetas do sistema solar, o erro nesse período e o raio médio da órbita. O raio médio está em U nidades A strônomicas (UA), 1 UA = 1,496 x 10 8 , que é o raio médio da órbita da terra.

Propriedade Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno Plutão

Período (anos)

0,24 0,62 1,00 1,88 11,8 29,5 84,0 164 247

Erro no período (anos)

0,05 0,07 0,01 0,08 0,08 0,8 0,9 1 8

Raio médio da órbita (UA)

0,39 0,72 1,00 1,52 5,20 9,52 19,2 30,00 40,00

     b.  relatório 1. faça um gráfico em papel milimetrado do período (P) em função do raio médio da órbita (R), com os desvios 2. faça um gráfico em papel dilog (log-log) de P em função de R 3. relacione P e R a partir do gráfico 4. deduza a lei física que prevê essa relação (consulte o Halliday, o Tipler ou qualquer outro livro de física básica). Essas respostas devem ser apresentadas junto com o relatório da experiência anterior.

3. MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO A finalidade desta experiência é estudar o movimento retilíneo uniformemente variado e obter experimentalmente as equações de movimento de um corpo a ele submetido. Serão utilizados gráficos, propagação de erro e desvios avaliados para se chegar ao resultado esperado. Existem na natureza vários exemplos de movimento nos quais a velocidade aumenta a uma taxa constante. Isso significa que em um instante qualquer a velocidade é proporcional ao tempo, ou seja, é uma função do tempo . Podemos concluir então que a distância percorrida (o espaço) não deve ser proporcional a t mas sim a t 2 . Nesta experiência, pretende-se reproduzir em laboratório um movimento que varia uniformemente com o tempo e verificar se suas propriedades concordam com a previsão do modelo. Esse tipo de movimento deve ocorrer quando a força resultante que atua sobre o corpo é constante. Trata-se pois de conseguir um equipamento no qual um corpo se mova sob a ação de uma força constante e que permita simultaneamente a observação de seu deslocamento em função do tempo. O mais simples é usar a própria força de atração gravitacional e tentar registrar o tempo e o deslocamento do corpo. Por isso, estudar-se-á o movimento de um corpo em um plano inclinado e tentar-se-á concluir que tipo de movimento é. As medidas feitas permitirão comprovar que seu deslocamento é proporcional a t 2 , sua velocidade é proporcional a t e que a razão entre v e t não muda com o tempo. A partir daí obtêm-se as equações do movimento e pode-se concluir que o movimento estudado era MRUV. Isso nos permite fechar a verificação do modelo.

    a.  material utilizado O equipamento utilizado é o chamado Trilho de Ar, mostrado na Fig. 5.

Fig. 5

Esse tipo de equipamento é projetado para minimizar as forças de atrito, fazendo com que o corpo se desloque sobre um jato de ar comprimido e não entre em contato direto com a

superfície do trilho. O corpo que desliza sobre o colchão de ar é chamado aqui de carrinho . Ao longo das duas faces do trilho onde se apoia o carrinho, existem orifícios com diâmetros da ordem de décimos de milímetro por onde sai o ar comprimido proveniente de um compressor externo. O Trilho de Ar é colocado inclinado em relação à horizontal, de modo que o carrinho possa descer por ele sob a ação de sua força peso.

Para medir como varia com o tempo a distância percorrida em um intervalo de tempo fixo (por exemplo, (1/60) de segundos), basta marcar em que lugar do trilho o carrinho

se encontra a cada (1/60)s. Para isso, ligam-se ao carrinho e ao trilho os terminais de um impulsador elétrico que a intervalos de tempo fixos (em geral (1/60)s ou 0,1s) fornece um pulso de tensão de alguns milhares de volts. Ocorre então uma faisca do carrinho para a lateral do trilho, onde se coloca uma fita de papel térmico (papel parafinado, semelhantes aos utilizados em aparelhos de fax). O calor da faísca deixa uma marca no papel. Examinando-se a fita, se vê uma série de marcas indicando as posições do carrinho nos sucessivos intervalos de tempo fixos, isso é, no primeiro (1/60)s,  no segundo (1/60)s,  no terceiro (1/60)s etc.

     b.  procedimento É necessário prestar muita atenção no manuseio do equipamento, pois há alta tensão entre o trilho e o carrinho e existe o risco de choques elétricos. Por razões de segurança, o impulsador só funciona enquanto o interruptor de segurança for mantido apertado . -solte o carrinho várias vezes sem o papel e sem ligar o impulsador, para se familiarizar com o que vai acontecer, -observe cuidadosamente o movimento do carrinho e todos os detalhes do equipamento: eventuais irregularidades nas superfícies, funcionamento dos furinhos , atrito com os arames etc, -treine o acionamento do impulsador (ainda sem a fita de papel) para garantir o sincronismo com a largada do carrinho. Atenção para soltar o interruptor de segurança antes de o carrinho chegar ao fim de sua trajetória, para evitar que apareçam marcas no papel causadas pela volta do carrinho. Selecione a frequência do impulsador: 60 Hz ou 10 Hz. Com 60 Hz a precisão é maior, pois se usa a frequência da rede, mas o número de pontos será muito grande. Neste caso, é aconselhável fazer a média de 6 marcas sucessivas (6x1/60 = 1/10). Anote no caderno qual a frequência escolhida. -coloque a fita e faça as medidas, -faça as medidas necessárias para poder calcular depois a inclinação do trilho em relação à superfície da mesa.

     c.  relatório Antes de mais nada, verifique cuidadosamente a fita de papel para ver se todos os pontos estão em ordem, ou se falta algum, ou se não estão alinhados da maneira prevista etc, explicando tudo isso claramente no relatório. Se houver algum problema mais sério com a fita, repita as medidas. Cada membro do grupo fará a sua medida, devendo cada relatório ser baseado nas medidas obtidas pelo próprio aluno. A fita deve ser devolvida junto com o caderno de relatório. 1. faça uma tabela s , t. Ou seja, das distâncias percorridas, seus desvios e dos respectivos tempos, despreze o erro no tempo, 2. faça um gráfico s pelo tempo em papel milimetrado e dilog. A curva obtida no papel milimetrado parece ser do mesmo tipo tanto para tempos pequenos como grandes? Porque? 3. ache a velocidade instantânea do carrinho em um instante qualquer utilizando o(s) gráfico(s) acima. Indique no gráfico qual o instante escolhido, 4. faça uma tabela de v inst e dos respectivos tempos e depois um gráfico com essas medidas, 5. faça uma tabela de v med e dos respectivos tempos e depois um gráfico com essas medidas. Considere a velocidade média em cada intervalo de tempo marcado na fita, 6. explique as semelhanças ou diferenças entre os gráficos dos itens 4. e 5., 7. v o é diferente de zero? Demonstre claramente porque deveria ser zero ou diferente, 8. obtenha a aceleração do carrinho e o valor da aceleração da gravidade,

9. qual foi o efeito da força de atrito? 10. determine uma distância L sobre o trilho (ou a fita de papel diretamente), meça (ou calcule) o desnível entre o início e o fim do segmento L. Faça uma análise quantitativa da conservação da energia nesse trecho, 11. nas conclusões e discussões, discuta se os resultados obtidos nesta experiência concordam com o esperado e quais as causas dos problemas observados (pontos não alinhados, falta de pontos, pontos borrados , força de atrito, distâncias entre os ponto maiores (ou menores) do que o esperado etc). 12. Vamos analisar a metodologia utilizada nesta experiência. Queríamos estudar o movimento de um corpo em um plano inclinado. Os únicos dados que obtivemos foram pontinhos pretos em uma fita de papel. A partir daí, chegamos até às equações do movimento de um modo empírico , sem teoria. O ponto essencial foi: o que realmente é importante medir quando se quer analisar um determinado movimento? Certamente, medir como a posição do corpo está variando com o tempo. Depois que chegamos às equações do movimento, devemos tentar generalizá-las , identificando todos os casos nos quais elas se aplicam. Para isso, é fundamental identificar no fenômeno estudado em laboratório as contaminações que podem mascarar a sua verdadeira natureza, a sua essência.

4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS Quando dois corpos são soltos de uma altura pequena (situação na qual a resistência do ar pode ser desprezada) eles chegam ao solo ao mesmo tempo, independentemente de sua massa. A figura de animação ao lado ilustra esse caso. Isso ocorre porque a força gravitacional que a terra exerce sobre eles é: GM T m c / R T

2 = m c a ou seja: GM T / R T

2 = a Como GM T / R T

2 é uma constante (G é a chamada constante da gravitação universal e M T é a massa da terra), isso significa que a aceleração também é constante, independentemente das massas (ou pesos) dos corpos.

O objetivo da aula de hoje é estudar o movimento de um corpo que se move em um plano (duas dimensões), nas proximidades da terra, sob a ação da gravidade: o chamado movimento de projétil. Para isso, será medida a trajetória de um corpo lançado a uma certa altura do solo com uma velocidade horizontal diferente de zero, velocidade vertical igual a zero e sujeito apenas à força da gravidade. Esse é um caso particular do movimento de projéteis.

O modelo, que se pretende verificar, tenta explicar este movimento como a superposição de 2 movimentos. No eixo x há um movimento retilíneo uniforme e no eixo y um movimento retilíneo uniformemente variado. O modelo foi construído assim porque na direção x não há nenhuma força resultante e no eixo y existe apenas a força de atração gravitacional. Ou seja, a componente vertical do movimento do projétil é um movimento de queda livre. A figura de animação ao lado ilustra essa situação. Vê-se que a esfera que saiu da superfície horizontal com velocidade nessa direção chega ao solo ao mesmo tempo que a outra que foi solta na vertical. No laboratório, portanto, deve-se reproduzir um movimento de projétil e tentar decompor o movimento em dois: no eixo x e no eixo y. Uma possibilidade seria soltar a esfera na canaleta da Fig. 6 e fazer uma série de fotografias superpostas e a intervalos de tempos iguais (fotografia estroboscópica, como na figura de animação acima) quando a esfera abandonar a canaleta e iniciar o movimento de projétil. Como não se pode fazer isso no laboratório, tentar-se-á medir as coordenadas x i e y i da esfera em vários pontos ao longo de sua trajetória. A Fig. 6 ilustra como será feito isso. Solta-se uma esfera de uma altura fixa, para se conseguir no

fim da canaleta sempre a mesma velocidade.

Fig. 6

Como a velocidade com que a esfera sai da canaleta é sempre a mesma em todos os lançamentos, os pares x i , y i medidos em diversos lançamentos correspondem de fato àqueles que seriam medidos em uma fotografia estroboscópica de um único lançamento. A figura ao lado mostra o que acontece com a velocidade quando a esfera sai da rampa. Na direção x não há nenhuma força aplicada, portanto, não há como a esfera mudar sua velocidade nessa

direção. Em y, há a força da gravidade, portanto, ela terá nessa direção uma aceleração = g . A cada marca y i no anteparo, corresponde uma sua posição na mesa (x i ) e a figura permite ver quais seriam v x e v y nessas posições.

Esse é o modelo que construiu, agora é necessário descobrir como através das marcas no anteparo se consegue recuperar as velocidades e testar o modelo. Mais detalhes sobre o movimento de projéteis podem ser encontrados aqui .

     a.  material utilizado O equipamento utilizado é uma rampa de lançamento e um anteparo, mostrados na Fig. 6. A finalidade da rampa é fornecer ao corpo (uma esfera de aço) uma velocidade horizontal; o anteparo serve para registrar as coordenadas y, x . O resto do material consiste em uma esfera de aço, cartolina e papel carbono.

     b.  procedimento Determinando a trajetória da esfera ao sair da canaleta, vai-se obter as equações do movimento, através das medidas de x, y . Cuidados: assegurar-se de que a velocidade da esfera ao sair da canaleta é apenas horizontal e determinar claramente a origem, ou seja, y o e x o . O x é medido ao longo do eixo horizontal e o correspondente y na vertical. A posição do anteparo em relação à mesa nos dá a medida de x e a marca que a esfera faz no anteparo ao se chocar com ele nos dará o y correspondente àquele x . São selecionados 10 valores de x e são feitos 10 lançamentos para cada x i . Antes de iniciar os lançamentos, deve-se estimar de que altura h se deve soltar a esfera de modo a se ter 10 valores de x razoáveis , ou seja, nem muito próximos e nem muito distantes ( x~10 cm). Após determinar a melhor altura h , comece as medidas, marcando na folha que está no anteparo qual o valor de x correspondente a cada conjunto de marcas y i .

     c.  relatório 1. como procedeu para garantir que a velocidade da esfera ao sair da canaleta era apenas na direção horizontal? 2. qual a origem y o e x o adotada? 3. organize seus dados na forma de uma tabela x x   e  y y, onde o erro em y é o desvio padrão da média e o erro em x é o desvio avaliado. Anote os valores de h e de Y . 4. faça um gráfico de x , y no papel milimetrado. Que tipo de curva se obtém? Para facilitar a sua identificação, passe o gráfico para o papel dilog e determine os seus parâmetros. 5. verifique se o movimento é uniforme no eixo dos x e uniformemente acelerado no eixo dos y , 6. faça uma tabela x i , t i e depois o gráfico x x t, 7. obtenha com esse gráfico a velocidade na direção x e verifique se é constante ou não, 8. determine a velocidade com que a esfera abandonou a rampa, 9. faça o estudo da conservação de energia nos trechos entre A e B, detalhadamente e justificando cada parte, 10. faça um estudo da conservação de energia entre B e C, levando em conta que em C ela tem velocidade também na direção y, 11. demonstre como o atrito influencia a trajetória do projétil,

12. como o tamanho da esfera influi nos resultados? 13. a esfera desliza na rampa? Porque? Nota A próxima experiência será dedicada a construir um modelo para estudar o movimento da esfera na canaleta, tentando obter de maneira mais completa a sua velocidade horizontal ao iniciar o movimento de projétil. Por isso, seria conveniente, na medida do possível, que cada grupo marcasse o equipamento (canaleta e esferas de aço) que utilizou nesta aula para usar o mesmo na aula seguinte.

5. TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO O objetivo é estudar mais em detalhe o movimento da esfera de aço sobre a canaleta da rampa utilizada na experiência anterior. A análise desse movimento tornou-se necessária por causa dos resultados que obtivemos ao estudar a conservação da energia nos trechos entre o ponto de soltura da esfera e o fim da canaleta e entre o fim da canaleta e o choque com a mesa (relatório anterior). Mas o que acontece na canaleta? Com base no que observamos até agora, vamos tentar construir um modelo e depois testá-lo no laboratório para ver se funciona O trecho marcado como L na Fig. 7 corresponde à parte reta da canaleta e a altura h é o seu desnível. É razoável supor que o movimento de translação da esfera neste trecho seja uniformemente acelerado, cujas propriedades já determinamos na experiência do carrinho no plano inclinado. Por outro lado, podemos supor também que uma parte da energia potencial gravitacional da esfera no início de L será transformada em (1/2)mv 2

e o resto (vamos supor, uma fração f ) será gasto para a energia cinética de rotação e perdas por atrito. Esse modelo simples prevê, portanto: E pg   =  (1/2)mv 2   +  fE pg

mgh(1 - f)=  (1/2)mv 2    v 2   =  2gh (1 - f) que difere do que havíamos obtido antes quando não consideráramos a rotação e eventuais perdas por atrito: v 2   =  2gh Construido o nosso modelo, vamos descobrir um modo de verificá-lo na prática. Como supusemos que o movimento da esfera ao longo de L é MRUV, vamos usar as suas equações de movimento, juntamente com a expressão acima, para obter: (2L 2 /t 2 )  =  gh(1 - f) ou: h  =  [(2L 2 )/g] . (1 - f) -1 . t -2

isso é:  h  =  Ct -2

onde C é uma constante que vale [(2L 2 )/g] . (1 - f) -1 . É isso então que o nosso modelo prevê. Para testar se o modelo funciona ou não, basta usarmos o equipamento mostrado na Fig. 7, selecionarmos vários h i e medir os tempos gastos pela esfera para percorrer L e comparar com o previsto acima. É importante reler o que foi visto em teoria sobre movimento de rotação e translação de um corpo rígido e momento de inércia. Em princípio não sabemos se a esfera rola sobre a canaleta, sem escorregar, ou se rola e ao mesmo tempo desliza . Quando se diz rolar está-se querendo dizer que a cada volta da esfera sobre seu eixo de rotação ela se desloca 2 r. Quando se diz rolar e deslizar, está-se querendo dizer que a cada volta ela se desloca de uma distância maior do que 2 r.

     a.  material utilizado Será utilizada a mesma rampa da experiência anterior, mas montando-a de forma a fazer com que a sua parte reta fique pouco inclinada em relação à horizontal (trecho L na Fig. 7).

Isso porque vamos medir o tempo que a esfera gasta para percorrer a distância L para diferentes valores de h ; se a inclinação não for muito grande o tempo gasto é maior e a medida fica mais precisa. A altura h é medida entre o ponto de onde a esfera é solta e o ponto final do segmento L . Serão utilizados ainda um cronômetro, uma régua e uma esfera de aço (seria melhor se fosse a mesma da aula

Fig. 7

anterior.

     b.  procedimento Primeiramente, acerte com cuidado a inclinação da canaleta, marque sobre ela os pontos inicial e final do segmento L e treine algumas medidas de tempo para se familiarizar. -determine 7 valores de h de modo que se possa medir o tempo t com boa precisão. O tempo não pode ser muito curto (erro devido ao tempo de reação do medidor) e nem muito longo (porque?). Os valores de h e de t também não podem estar muito próximos, senão aumenta a dificuldade na análise da curva obtida. -para cada valor h i , faça 5 largadas da esfera e meça os tempos t 1-5 gastos pela esfera para percorrer a distância L . O erro em t i será o desvio padrão da média desses 5 valores. O erro em h será o desvio avaliado da régua usada (verifique quanto é).      c.  relatório Queremos saber que tipo de movimento a esfera tem sobre a canaleta. Como provavelmente existe força de atrito entre as bordas da canaleta e a esfera, é de se supor que a esfera tenha também um movimento de rotação. Será assumido que a força de atrito dará apenas o torque para que haja rotação, sendo desconsiderados os outros efeitos mencionados na introdução. Neste caso, a energia potencial gravitacional (mgh) da esfera será transformada toda em energia cinética de translação e de rotação: E pg   =  E ct   +E cr

1. utilizando a cinemática, demonstre a expressão usada na introdução: (2L 2 /t 2

)  =  gh(1 - f), 2. faça uma tabela de t e h, com os respectivos erros, 3. faça um gráfico em papel dilog de h pelo tempo t . 4. obtenha C e a velocidade v   a partir do gráfico, 5. verifique ( numericamente ) se este valor da velocidade coincide com o obtido na experiência de movimento de projéteis. Nela era possível obter o valor de v  através de Y e do alcance máximo e através da energia potencial gravitacional, podendo-se portanto estimar o fator f .

 6. COLISÕES EM DUAS DIMENSÕES - PARTE I -Análise no Referencial LaboratórioSerá estudado o choque não frontal (choque de raspão ) entre uma esfera em movimento e outra em repouso, em um plano horizontal. Na Parte I da experiência as medidas obtidas são analisadas no Referencial Laboratório. Na Parte II a análise é feita no Referencial Centro de Massa.Com esta experiência (a mais importante do curso) vamos estudar um fenômeno muito comum no nosso dia a dia: as colisões, os choques, as interações. Colisões ou, de uma maneira mais geral, interações são um dos fenômenos mais comuns no nosso dia a dia e são o mecanismo através do qual o ser humano se comunica com o mundo ao seu redor e se insere no seu meio ambiente. Nas inter-ações, como a própria etimologia da palavra indica, uma ação qualquer acontece entre dois ou mais corpos, uma informação qualquer é trocada entre eles. Qualquer tentativa de entender e de medir características do universo que nos cerca, tanto no microcosmo como no macrocosmo, também é uma interação. Qualquer medida que se faça é uma interação, na

qual ou o aparelho de medida, ou o observador, ou ambos, interagem com o objeto (fenômeno) a ser medido (analisado). É esse o fenômeno que estudaremos. Qual o modelo que construiremos para tentar explicá-lo? Vamos restringir o objeto de nosso estudo à interação, colisão, entre apenas dois corpos além de tudo vamos supor que não haja nenhuma ação de qualquer outro corpo influenciando essa inter-ação entre os dois corpos considerados. Como base no que já vimos até agora nesse nosso curso, podemos afirmar que o estado de movimento do conjunto dos dois corpos (corpo 1 e corpo 2) não irá se alterar, já que não nenhuma ação externa ao sistema (o conjunto dos dois corpos) sendo exercida sobre ele. Portanto, como não há nada agindo sobre eles a partir de fora, devemos esperar que o estado de movimento deles não se alterará. Ou seja, o quanto que eles têm de movimento não muda. Isso, em uma linguagem mais técnica, significa: a quantidade de movimento total se conserva. A energia total também se conserva sempre, mas não a energia cinética, que só se conserva em certo tipo de choque, chamado choque elástico. É difícil testar esse modelo em laboratório, pois sempre existem forças de atrito, que mascaram o resultado final. Como a força de atrito é uma força de contato, se fosse possível efetuar o choque no ar e analisar as trajetórias antes e depois do choque também no ar , os efeitos das forças de atrito seriam reduzidos praticamente a zero. Isso porque a única força dissipativa neste caso seria a resistência do ar, totalmente desprezível se as velocidades forem baixas e as trajetórias curtas. A figura a seguir mostra como se consegue efetuar o choque no ar e medir as velocidades. A esfera 1 desce a canaleta e no fim dela terá velocidade apenas horizontal. Essa velocidade antes do choque pode ser medida através do alcance da esfera 1, marcado quando ela bate na mesa sem colidir com a esfera 2 ( Movimento de projéteis ). Após o choque, as velocidades das duas esferas também serão medidas pelos seus alcances. Como antes do choque só havia quantidade de movimento horizontal (a esfera incidente sai da canaleta com velocidade apenas na horizontal), é a quantidade de movimento nessa direção que deve ser conservada e essa pode ser facilmente medida, utilizando uma técnica semelhante à utilizada na experiência de projéteis. Através dos resultados obtidos será possível verificar se foram conservadas a quantidade de movimento e a energia cinética e também calcular a elasticidade do choque. A precisão dos resultados dependerá criticamente dos cuidados tomados no manuseio do equipamento. Deve-se repetir as medidas se os resultados não forem satisfatórios.      a.  material utilizado Rampa de lançamento, 3 esferas de aço, duas delas com massas iguais, balança, cartolina, papel carbono, fio de prumo.

Fig. 8

A Fig. 8 mostra a parte final da rampa de lançamento com um suporte metálico onde se coloca a esfera alvo. O suporte é fixado na canaleta de modo a poder girar , possibilitando alterar o parâmetro de impacto do choque, como mostra a figura.      b.  procedimento A rampa é utilizada para garantir que a esfera incidente tenha sempre a mesma velocidade antes do choque, desde que solta sempre do mesmo lugar. Como já foi visto na aula de movimento de projéteis, o alcance máximo depende da velocidade horizontal do corpo, que é constante porque não há força resultante nessa direção. Portanto, se soltamos a esfera de um certo ponto da canaleta e deixamos ela

cair na mesa, a distância entre a projeção do fim da canaleta até o ponto de impacto é proporcional à velocidade.

Como a esfera incidente tem apenas velocidade na direção horizontal e o choque se dá em um plano horizontal (o plano que contém os centros das duas esferas), a esfera alvo também receberá dela apenas velocidade na direção horizontal, consequentemente, a distância entre o ponto onde ela caiu na mesa até a projeção do suporte onde ela estava é proporcional à sua velocidade após a colisão. E a distância entre o ponto onde a esfera incidente bate na mesa após o choque até a projeção do fim da canaleta é proporcional à sua velocidade após o choque. Portanto, marcando-se esses pontos e medindo-se as distâncias, pode-se testar o modelo físico do choque em duas dimensões, verificando as leis de conservação. As posições das esferas em um determinado instante serão marcadas utilizando-se o movimento vertical. O tempo de queda poderá ser determinado facilmente medindo-se h ± Δ h. Antes de iniciar as medidas, meça as massas das três esferas que você vai utilizar.

Comece fazendo alguns lançamentos com e sem choque para regular a melhor altura do fim da canaleta em relação à mesa, para evitar que alguma das esferas caia fora da cartolina utilizada para marcar os pontos. Convém que a altura da qual a esfera é solta (acima da parte horizontal da canaleta) não seja muito grande e também que a altura do fim da canaleta em relação à mesa não seja muito alta. Assim se minimizam os efeitos de eventuais irregularidades na canaleta e obtém-se uma melhor distribuição dos pontos experimentais na cartolina. Se esses efeitos fossem iguais para cada lançamento, eles não seriam importantes para o estudo que se quer fazer. Mas eles podem variar a cada lançamento e por isso convém reduzir o percurso da esfera sobre a canaleta. As medidas serão feitas com esferas de massas iguais e depois (com outra cartolina) com esferas de massas diferentes. Em ambos os casos serão selecionados 7 parâmetros de impacto diferentes (isso é, 7 posições diferentes da esfera alvo), dispostos razoavelmente espaçados e dos dois lados da canaleta. Procure alinhar cuidadosamente os centros de massa das duas esferas na mesma horizontal e sempre evitar que o centro de massa da esfera alvo esteja para trás do centro de massa da esfera incidente. Para cada parâmetro serão feitos 5 lançamentos. Em nossa convenção, "1" é a esfera incidente e "2" a esfera alvo. Marque as origens:   O1 é a origem para a esfera incidente (a projeção na mesa do fim da canaleta), O2 é a origem para a esfera alvo (a projeção na mesa do pino onde o alvo está apoiado, marque esse ponto cuidadosamente usando o fio de primo fixado no pino). O segmento  O1i    é proporcional à velocidade inicial (antes do choque) da esfera incidente,

Os segmentos  O1j ( j variando de 1 até 7)    são proporcionais às velocidades finais (depois do choque) da esfera incidente, para os parâmetros de impacto de 1 até 7 (cada j é a posição média de cada um dos 5 lançamentos, para cada parâmetro de impacto), Os segmentos  O2j ( j variando de 1 até 7)   são proporcionais às velocidades finais (depois do choque) da esfera alvo, para os parâmetros de impacto de 1 até 7 (as posições médias dos 5 lançamentos para cada parâmetro de impacto j ), Marque cuidadosamente na cartolina todos os pontos de impacto, seguindo a convenção acima. Só coloque o carbono após efetuar alguns lançamentos e ter uma idéia de onde as esferas cairão. Use pedaços pequenos de carbono, só nos pontos de impacto previamente estimados, para possibilitar uma melhor visão do conjunto.

     c.  relatório (sempre que for o caso, os itens devem ser respondidos para as medidas com esferas de massas iguais e diferentes)1. Demonstre claramente que os segmentos O1j e O2j são proporcionais às velocidades depois do choque e O1i à velocidade da esfera incidente antes do choque. Determine numericamente a(s) constante(s) de proporcionalidade, 2. justifique claramente as diferenças que você obteve nas medidas com esferas de mesma massa e com massas diferentes,3. determine as direções dos vetores velocidade de cada esfera e seus módulos antes e depois do choque, fazendo a média (vetorial) para cada parâmetro de impacto, 4. determine os vetores quantidades de movimento de cada esfera antes e depois do choque, 5. no caso de esferas de massas diferentes, qual a constante (ou quais as constantes) de proporcionalidade entre os alcances e as quantidades de movimento? Justifique claramente, 6. mostre que no Referencial Laboratório, a energia cinética é a soma da energia cinética de translação do CM mais a energia cinética no Referencial CM. Antes do choque temos: E C L   =  (1/2)Mv 2   +  E C CM ,   onde M = m 1 + m 2

7. determine graficamente, na cartolina ou em uma cópia dela, o vetor velocidade relativa de aproximação antes do choque ( v 1i - v 2i ) e o de afastamento ( v 2f - v 1f ) depois do choque, para três parâmetros de impacto diferentes,

8. a partir dos resultados do item 7., você pode concluir alguma coisa a respeito do tipo de choque?

9. os pontos de impacto das esferas na mesa formam uma circunferência ou duas. A partir dessa figura você pode chegar a alguma conclusão quanto ao tipo de choque? Demonstre detalhadamente o porque da resposta, 10. meça os raios das circunferências para cada um dos lançamentos e faça um histograma para o caso de esferas de mesma massa e para o caso de esferas de massas diferentes. Ajuste ao histograma uma gaussiana calculada, de igual área, valor médio e desvio padrão. Para medir os raios, considere cada um dos 5 lançamentos para cada um dos 7 parâmetros de impacto

diferentes. Será um total de 35 valores para cada uma das duas esferas, dando um total de 70 valores. Os raios serão as distâncias entre cada um desses 70 pontos e a extremidade do vetor que dá a velocidade do Centro de Massa no referencial Laboratório. 11. o sistema das duas esferas pode ser considerado um sistema isolado na análise do choque? E a força gravitacional, não é uma força externa? 12. faça um estudo detalhado da conservação da energia entre o fim da canaleta (logo antes do choque) e o instante em que as esferas tocam na mesa, quando ambas têm velocidades também na direção y ,

11. na Conclusão, faça uma análise detalhada do choque no Referencial Laboratório (conservação da Quantidade de Movimento, e, eventualmente, da Energia Cinética), verificando quantitativamente se seu modelo foi ou comprovado e dentro de que precisão.

13. ainda na Conclusão, discuta claramente qual o efeito da força de atrito nesta experiência.

Cada aluno deve apresentar uma cópia da cartolina de dados, com os cálculos que ele fez individualmente.

7. COLISÕES EM DUAS DIMENSÕES - PARTE II -Análise no Referencial Centro de MassaOs dados obtidos na aula anterior serão agora analisados no Referencial Centro de Massa, para massas iguais e para massas diferentes. Essa parte da experiência visa a familiarizar o aluno com o Referencial Centro de Massa (rever o conceito de Centro de Massa).

Análises de fenômenos físicos envolvendo muitos corpos (principalmente em Física das Partículas Elementares) podem ser muito simplificadas quando são feitas em um sistema de referência chamado Referencial Centro de Massa (CM). Freqüentemente não é intuitivo perceber o seu significado, mas ajuda muito pensar que ele é apenas mais um sistema de referência, com a única diferença que a sua origem está no Centro de Massa.

Considere na Rodovia dos Bandeirantes, dois carros que se movem no sentido Interior-São Paulo com velocidades constantes, o da frente com 100 km/h e o de trás com 120 km/h. Quando dizemos essas velocidades, mesmo que não o explicitemos, fica claro que são as velocidades em relação ao chão, que é o sistema de referência que chamamos Referencial Laboratório. Em relação ao carro da frente, isso é, em um sistema de referência no qual o carro da frente está parado (a origem desse sistema está no carro da frente), o carro de trás se aproxima dele a 20 km/h. Isso é bastante intuitivo. E em relação a um sistema de referência cuja origem esteja no Centro de Massa do conjunto dos dois carros? Para visualizarmos melhor como as coisas acontecem nesse referencial, vamos considerar os dois carros com mesma massa. Portanto, em qualquer momento, independentemente das velocidades dos dois carros, o

Centro de Massa estará a meia distância entre eles. Para entender melhor isso, vamos considerar uma situação em que a distância que separa os dois carros é 100km, com o CM a 50 km de cada carro. Após 30 minutos o carro de trás percorreu 60 km e o da frente percorreu 50 km e a distância entre eles cai para 90 km, porque o de trás rodou 10 km a mais que o outro. Se a distância entre eles agora é de 90 km, o CM está a 45 km de cada carro, ou seja, em 30 minutos o CM percorreu 55 km. Logo, sua velocidade é 110 km/h, que é igual a (120 + 100)/2. Isso significa que a velocidade do CM em relação ao chão (portanto, no Referencial Laboratório) é a média da velocidade dos dois carros em relação ao mesmo referencial.

Vamos deduzir essa velocidade rigorosamente. Para isso, considere uma situação em que o corpo de massa m1 se aproxima do corpo de massa m2, como no esquema abaixo (onde CM representa a posição do Centro de Massa) :

m1 CM m2 v1il vCMl

v2il

· · ·¾® ® v1CM v2CM

 Os índices i se aplicam à experiência de Colisões e se referem às

situações antes do choque, os índices f se referem a depois do choque, CM se refere ao sistema Centro de Massa, se refere ao Sistema Laboratório, o índice 1 se refere à esfera incidente (que se move no caso particular desta experiência), o índice 2 se refere à esfera alvo (que está parada no caso particular desta experiência), v representa velocidade, m as massas.

Pela definição de Centro de Massa, sua coordenada é (em uma dimensão):

(m1 + m2)XCM = m1 x1 + m2 x2 , derivando a expressão acima em relação ao tempo, nós obtemos as velocidades:

(m1 + m2) vCMl = m1v1il + m2 v2ilEssa é pois a velocidade do CM. É importante saber distinguir a velocidade   do    Centro de Massa e a velocidade    no   Centro de Massa. Velocidade do CM significa a velocidade do Centro de Massa no sistema de referência do laboratório (Referencial Laboratório), que é o sistema mais normal de referência, o sistema do dia a dia, associado a uma mesa, ao chão etc. Velocidade no CM significa a velocidade medida em relação a um sistema de referência onde o CM está parado , para isso é necessário efetuar uma mudança do sistema de coordenadas, pois no caso desta experiência, o CM está se movendo em relação ao Referencial Laboratório . Vamos obter as velocidades de cada corpo no Referencial Centro de Massa. A velocidade da esfera 1 em relação ao Centro de Massa é a velocidade com que ela se aproxima do CM menos a velocidade com que o CM foge dela. Ou seja, a

velocidade da esfera 1 em relação ao Referencial Laboratório (v1il) menos a

velocidade do CM em relação ao mesmo sistema (vCMl). Deve-ser notar que o CM se move em relação ao Sistema Laboratório.

A velocidade da esfera 2 em relação ao Centro de Massa é a velocidade com que o CM se aproxima dela menos a velocidade com que ela foge do CM. Ou

seja, a velocidade do CM em relação ao Referencial Laboratório (vCMl) menos

a velocidade da esfera 2 em relação ao mesmo Referencial (v2il). Como estamos orientando o eixo das velocidades de modo que a velocidade da esfera 1 em relação ao CM seja positiva, no caso da esfera 2 a velocidade em relação ao CM fica negativa. Resumindo: 

v1iCM = v1il - vCMl  

v2iCM = -( vCMl - v2il)

Onde a velocidade do CM é aquela que já foi deduzida acima. Os índices i se referem a antes do choque, mas a situação é a mesma antes e depois do choque.

Podemos ainda obter com que velocidade os dois corpos se aproximam um do outro (ou se afastam). Para isso, basta subtrair a primeira equação acima da

segunda. obtendo-se: v1iCM - v2iCM = v1il - v2ilO resultado acima mostra que a velocidade de aproximação (ou de afastamento) medida no Referencial Centro de Massa é igual à velocidade de aproximação no Referencial Laboratório. Isso é bastante óbvio, porque as velocidades com que os corpos se aproximam ou se afastam não podem depender do particular sistema de referência.

Através dos resultados obtidos na cartolina é muito fácil visualizar tudo o que foi dito acima. Os quesitos do item "c. relatório" vão guiar o aluno para verificar se também no Referencial Centro de Massa foi conservada a quantidade de movimento (como previa nosso modelo, no Referencial Laboratório) e também calcular a elasticidade do choque. A precisão dos resultados dependerá criticamente dos cuidados tomados para traçar os vetores na cartolina. Cada aluno deve apresentar uma cópia da cartolina de dados, com os cálculos que ele fez individualmente.

     a.  material utilizado As medidas são as obtidas na aula anterior, para massas iguais e diferentes.

     b.  procedimento Idem.

     c.  relatório (sempre que for o caso, os itens devem ser respondidos para as medidas com esferas de massa iguais e diferentes)

1. Represente na cartolina todos os vetores velocidades antes e depois do choque no Referencial Centro de Massa.

2. determine as coordenadas do Centro de Massa (CM) antes e depois da colisão; estabeleça a trajetória do CM, diretamente na cartolina original ou em sua cópia,

3. verifique experimentalmente (com os dados registrados na cartolina) se houve conservação de energia cinética (antes e depois do choque). Você pode chegar a alguma conclusão quanto ao tipo de choque? Explique claramente porque, 4. o referencial CM é chamado de referencial do momento nulo. Verifique isso utilizando as velocidades das duas esferas medidas na cartolina ou em uma cópia dela. Discuta em detalhes os resultados obtidos,

5. use a cartolina com os pontos de impacto para determinar as velocidades do CM antes e depois do choque e verifique se houve conservação da quantidade de movimento no Referencial CM. Verifique isso utilizando as velocidades das duas esferas medidas na cartolina ou em uma cópia dela. Discuta em detalhes os resultados obtidos, 6. determine graficamente, na cartolina ou em uma sua cópia, o vetor velocidade relativa de aproximação antes do choque (v1i - v 2i ) e o de afastamento ( v 2f - v 1f ) depois do choque, para três parâmetros de impacto diferentes, no Referencial Centro de Massa, 7. a partir dos resultados dos itens 6., você pode concluir alguma coisa a respeito do tipo de choque? 8. usando os resultados que você obteve, determine a energia cinética em relação ao Referencial CM, 9. Na Conclusão, faça uma análise detalhada do choque no Referencial CM (conservação da Quantidade de Movimento, e, eventualmente, da Energia Cinética), mostrando quantitativamente se seu modelo foi ou não comprovado e dentro de que precisão.Este Relatório deve ser feito nos moldes usuais: Título, Resumo, Introdução, Teoria, Procedimentos, Resultados, Conclusão e Bibliografia. No item "Teoria" reveja os conceitos de Centro de Massa e de Sistemas de Referência

  

9. FORÇA NÃO CONSTANTE (FORÇA ELÁSTICA) É introduzido pela primeira vez o conceito de força conservativa não constante, que depende da posição. A experiência possibilita o estudo detalhado de um sistema mola-partícula, analisando a dinâmica do sistema (como varia a força etc) e o seu balanço energético.

     a.  material utilizado Serão utilizadas 3 molas, corpos de massas variadas, réguas, balança e suportes para apoiar as molas. Serão estudadas também associações de molas: em paralelo e em série.

Para possibilitar a associação em paralelo, procure escolher duas molas que tenham o mesmo comprimento, com espiras de mesmo diâmetro e elasticidade diferentes.     b.  procedimento Empiricamente se percebe que a força exercida por uma mola (materiais elásticos em geral) é diretamente proporcional ao quanto que ela foi deslocada: quanto mais se estica ou se aperta uma mola, maior é a força que ela exerce para voltar à situação inicial: a força elástica é proporcional ao deslocamento da mola e tem o sentido contrário ao da força aplicada. Isso queremos verificar na aula de hoje. Vamos primeiro propor um modelo físico em que a força que a mola exerce seja proporcional ao deslocamento (e não à sua raiz quadrada, cúbica, ou ao seu logaritmo etc): F = -ky onde k é uma constante, que, como se

Fig. 9

percebe, indica se a mola é mais dura ou mais mole , uma vez que y é o deslocamento da mola e F é a força que ela exerce quando sofre esse deslocamento.

O sinal de    " - "   indica apenas o fato empírico de que a mola está sempre indo contra a força aplicada: se a comprimimos, ela quer se expandir; se a esticamos, ela quer voltar à posição inicial. A força que ela exerce tem sempre o sentido contrário à força que nela é exercida. Empiricamente, se percebe que a força é proporcional ao deslocamento, mas sem efetuar medidas mais precisas, não se sabe se ela é proporcional exatamente a y , ou a y 2 , ou a y 0,73 , ou a y etc. No laboratório hoje, será testado o modelo segundo o qual a razão entre F e y é uma constante, para quaisquer F e y , desde que não sejam tão grandes a ponto de deformar a mola, claro. Será também estudada a conservação da energia mecânica do sistema mola+partícula em várias situações. A experiência terá três partes: determinar a constante de proporcionalidade entre a força exercida pela mola e o deslocamento que ela sofreu; repetir o mesmo para uma associação de molas; estudar o balanço enérgetico de um sistema mola+partícula. Observe a Fig. 9. A situação A mostra o sistema em um plano horizontal, a mola não está nem comprimida e nem distendida. Na situação B a mola está apenas pendurada na vertical, o seu peso faz com que ela se distenda um pouco, mas vamos supor que esse deslocamento é muito pequeno comparado com o que nos interessa. Na situação C , foi pendurado um corpo na mola e o sistema está em equilíbrio (parado). Pendurando-se um corpo na mola quando ela está na situação B e largando-o de uma vez, o sistema passa a oscilar. A parte D da figura mostra o alcance máximo para baixo (elongação) dessa oscilação. Determinação da constante elástica da mola Pendurando-se corpos de massas diferentes na mola, se exercem nela forças diferentes (devido aos pesos dos corpos), consequentemente os deslocamentos serão diferentes também. Observe a Fig. 9 e escolha cuidadosamente o sistema de referência que você vai usar: a extremidade da mola, a base do corpo nela pendurado etc. -meça 10 valores de (m m), pendure um corpo de cada vez na mola e meça os correspondentes (y y), anotando os valores no caderno; -repita essa operação para as outras duas molas; -monte uma associação em paralelo de duas molas e repita as medidas do primeiro item (agora para cinco valores diferentes da massa); -monte uma associação em série de duas molas e repita as medidas do primeiro item (também para cinco valores diferentes de massa); Conservação de energia O sistema mola+partícula é considerado conservativo, portanto, a energia total deve se conservar. É o que se vai verificar agora. A energia total é sempre a soma da energia potencial elástica (E pe ), energia potencial gravitacional (E pg ) e da energia cinética (E c ): E pe + E pg + E c = C,  onde C é uma constante. No caso D , o ponto indicado na Fig. 9 é o

do alcance máximo, ou seja, o sistema não vai além desse ponto, o que significa que a velocidade aí é zero. Tem-se então: E pg = - E pe   (toda a variação da energia potencial gravitacional entre o ponto mais alto e o mais baixo se transformou em energia potencial elástica). Chamando de h a distância entre os pontos mais alto e mais baixo, temos: E pg = mgh Como a força da mola não é constante, - E pe será igual a

h k y dy = (1/2)kh 2 = mgh 0 ou seja:   mg = (1/2)kh,   o que nos dá um outro modo para obter a constante elástica da mola, o chamado método dinâmico. Escolha agora uma das três molas, selecione 10 valores de m, pendure cada uma na mola e solte o sistema de uma vez, a partir da posição de equilíbrio (parte B da figura). Meça e anote no caderno os h i correspondentes. Para se determinar os h i , convém utilizar uma placa de alumínio presa por um suporte metálico à haste onde está a mola. Abaixe ou levante esse suporte até que o corpo ao cair apenas toque na placa de alumínio. Procure fazer com que a mola oscile na vertical. Refaça esse ajuste algumas vezes para melhorar a precisão.

     c.  relatório 1. faça uma tabela de P i x y i para cada uma das três molas; 2. faça um gráfico P i x y i , para cada uma das três molas; 3. como pode provar, a partir de seus dados, que o modelo que construimos (F = -ky) foi de fato verificado? 4. deduza qual deve ser o k equivalente de uma associação em série de duas molas, com constantes k 1 e k 2 conhecidas; 5. com os valores de P e y que você mediu, obtenha o k equivalente experimental para a associação em série e explique as eventuais discrepâncias; 6. deduza qual deve ser o k equivalente de uma associação em paralelo de duas molas, com constantes k 1 e k 2 conhecidas; 7. com os valores de P e y medidos, obtenha o k equivalente experimental para a associação em paralelo e explique as eventuais discrepâncias; 8. com os valores de P e y medidos pelo método dinâmico , obtenha o valor de k para a mola escolhida, compare com o resultado obtido pelo método estático e justifique cuidadosamente os resultados; 9. considere a parte B da figura. O corpo foi preso à mola e é conduzido lentamente com a mão até à posição de equilíbrio (mostrada na parte C ).     -qual foi o deslocamento da mola?     -qual a variação da energia potencial gravitacional entre B e C ?     -qual a variação da energia potencial elástica do sistema entre B e C ?     -discuta os resultados obtidos para E pg e E pe

10. considere a parte B da figura. Em vez de acompanhar o corpo com a mão até à posição de equilíbrio, ele é solto de uma vez, atingindo o ponto mostrado na parte D da figura.     -qual o alcance máximo da mola?     -qual a variação da energia potencial gravitacional entre B e D ?     -qual a variação da energia potencial elástica do sistema?     -os resultados obtidos neste item estão de acordo com os do item 9.? 11. porque o sistema mola+partícula é considerado conservativo? A força gravitacional não é uma força externa?

10. ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO Nesta experiência se estuda a dinâmica de rotação de um corpo rígido. A montagem a ser utilizada é semelhante à que aparece em muitos problemas de física: uma polia, um fio inextensível com um corpo preso de cada lado, a chamada máquina de Atwood. Até agora supunha-se sempre a polia sem massa, hoje vamos analisar o caso mais de perto, descobrindo o que acontece quando se considera também o movimento da polia.

Fig. 10

     a.  material utilizado O material será uma montagem com uma polia, um fio preso nela, corpos de massas diferentes, cronômetro, régua e balança.      b.  procedimento Até agora, em sistemas como o ilustrado na figura ao lado, a polia era sempre "ideal", isso é, sem massa (porque será que em física, ideal se contrapõe sempre ao que é real?). Agora vamos estudar o efeito da rotação da polia no movimento do sistema, agora a polia é uma polia real . Seguindo o nosso método, vamos construir um modelo baseado no que foi visto em teoria (Dinâmica de Rotação) e testá-lo no laboratório. Suponhamos que m 2 > m 1 e que M e R sejam a massa e o raio da polia, respectivamente. O modelo mais simples explica que m 2 descerá (m 1 subirá e a polia girará) desde que, de algum modo, sua força peso seja suficiente para fazer a roldana girar e para fazer subir m 1 . As acelerações de m 2 e m 1 devem ser iguais e devem estar relacionadas com a aceleração da polia, uma vez que o fio é inextensível e não escorrega na polia.

Pode-se escrever então: m 2 g - T 2 = m 2 a T 1 - m 1 g = m 1 a onde T 2 e T 1 são as tensões no fio do lado de m 2 e m 1 , respectivamente. Somando-se as expressões acima: (m 2 - m 1 )g - (T 2 - T 1 ) = (m 2 + m 1 )a Se T 2 = T 2 , obtém-se o resultado usual quando se despreza a massa da polia. Mas, porque T 2 seria diferente de T 1 ? Porque, se a polia gira, uma parte da força que o fio está transmitindo para m 1 foi gasta para movimentar a polia. O movimento de rotação dela se dá em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa e é perpendicular à sua face. A força resultante (não se considera o atrito) que nela atua é T 2 - T 1 e o módulo de seu torque deve ser igual a I , ou: R x (T 2 - T 1 ) = I = Ia / R T 2 - T 1 = (I/R 2 )a substituindo na relação anterior:

(m 2 - m 1 )g - (I/R 2 )a = (m 2 + m 1 )a (m 2 - m 1 )g = (m 2 + m 1 + I/R 2 )a (m 2 - m 1 )g / (m 2 + m 1 + I/R 2 ) = a Para testar o modelo acima, pode-se imaginar uma experiência em que a soma (m 2 + m 1 + I/R 2 ) é mantida constante e fazendo-se variar (m 2 - m 1 ) = m, se medem as correspondentes acelerações a . Se a relação entre os vários m e os vários a for aquela deduzida acima, então o modelo terá sido provado. Para obter as acelerações, mede-se o tempo que o sistema demora para percorrer a distância h indicada na Fig. 10 em função do valor das diferenças entre as massas dos dois lados (supõe-se que a massa m 2 seja sempre maior do que m 1 ). O procedimento mais simples é: -manter constante m 2 + m 1 e selecionar alguns valores m = m 2 - m 1 (tipicamente 8), de modo que não sejam muito pequenos , isso é, de modo que a polia gire sem ficar enroscando . Para selecionar esses 8 valores, convém colocar marcas nas arruelas (ou nos objetos usados como massinhas ), -como mostrado na figura, a altura h pode ser escolhida deixando o corpo de massa menor (m 1 ) apoiado no chão. Deste modo tem-se mais garantia de que o movimento se iniciou sempre a partir da mesma origem e diminuirá a possibilidade de erro. -segurar no chão o copo que contém m 1 e depois soltá-lo, medindo o tempo t que m 2

emprega para bater no chão (após percorrer a distância h), -repetir 5 vezes a medida do tempo t, para cada um dos 8 valores de m, anotando os dados no caderno. -medir com todo o cuidado (repetindo as medidas pelo menos 5 vezes) qual o mínimo valor de m para que o sistema se mova, anotar o valor no caderno.

     c.  relatório 1. usando o que foi visto em teoria, deduza a equação do movimento deste sistema e obtenha uma expressão final do tipo m . t 2 = C (C é uma constante); 2. pela expressão obtida no item anterior, o que acontece quando a massa da polia é muito pequena? 3. o que significa o valor mínimo de m para que o sistema comece a se mover? 4. usando a massa e o raio da polia, calcule o seu momento de inércia. 5. determine experimentalmente o momento de inércia da polia através do gráfico     m x t   ( t é o tempo medido acima). Compare o valor teórico com o experimental e discuta o resultado, levando em conta os possíveis erros sistemáticos e justificando porque o experimental é maior ou menor do que o teórico, 6. qual a energia mecânica do sistema quando m 1 estiver no chão? Quando m 2 tiver descido metade da distância h que você escolheu? Logo antes de m 2 chegar ao solo? Respostas numéricas e justificadas (despreze a força de atrito entre a polia e o eixo).

Texto baseado principalmente em : -W.Guimarães, C.Hennies e J.A.Roversi, Problemas Experimentais, Ed. Unicamp, 1989 -C.H.Brito Cruz et al, F129 - Física Experimental I, Guia do Curso de Laboratório , Instituto de Física Gleb Wataghin, 1996 -René Brenzikofer e Carlos A. Ribeiro, F-129: Física Experimental I, Guia para as Disciplinas de Laboratório Básico, Instituto de Física, UNICAMP, 1998 -As gif animadas que aparecem no Capítulo 4 (Movimento de Projéteis) foram tiradas de Think Quest

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