a.s.e. architettura dei sistemi elettronici lezione n° 7 algebra delle commutazionialgebra delle...
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A.S.E.
ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI
LEZIONE N° 7• Algebra delle commutazioni• Funzione AND, OR, NOT• Tabella di Verità• Forme canoche “SP” e “PS”• Passaggi da forma SP a PS e viceversa• insieme funzionalmente completo• Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR
7.1
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A.S.E.
Richiami
• Algebra Booleana• Insieme di Elementi• Insieme di Operatori• Insieme di Postulati• Teoremi
7.2
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Algebra delle commutazioni• Elementi (2)
• 0 (logico) 1 (logico)• Falso Vero• Livello logico Basso Livello logico Alto• 0 V 5 V
• Costanti Possono assumere due valori
• Variabili Possono assumere due valori
0110
01
10
xsex
xsex
A.S.E. 7.3
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Definizione di “OR”
• Operazione– OR o SOMMA LOGICA
• definizione– l’operazione OR è definita dalla tabella
x+y y0 1
x0 0 1
1 1 1
yx
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A.S.E. 7.4
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Osservazioni
1. x +y è uguale a “0” se e solo se x e y sono uguali a “0”, altrimenti x +y è uguale a “1”
2. Si può estendere a “n” variabili:x1+x2 + . . +xn è uguale “0” se e solo se x1, x2, ..xn sono uguali a “0”
• La funzione OR corrisponde al concetto:perché un evento si verifica è sufficiente che una sola condizioni sia verificata
A.S.E. 7.5
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Definizione di “AND”
• Operazione– AND o PRODOTTO LOGICO
• Definizione– l’operazione AND è definita dalla tabella
xyyx
x y xy0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
xy y0 1
x0 0 0
1 0 1
A.S.E. 7.6
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Osservazioni
1. x ·y è uguale a “1” se e solo se x e y sono uguali a “1”, altrimenti x ·y è uguale a “0”
2. Si può estendere a “n” variabili:x1·x2· . . . ·xn è uguale “1” se e solo se x1, x2, ..xn sono uguali a “1”
• La funzione AND corrisponde al concetto:un evento si verifica se e solo se tutte le condizioni sono verificate
A.S.E. 7.7
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“NOT”
• Operazione– NOT o Complemento Logico , o Negazione, o
Inversione
• Osservazione– In base alla definizione iniziale si ha
x
x `x
0 1
1 0
A.S.E. 7.8
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A.S.E. 7.9
Riassunto• POSTULATI
0 5b 1 5a
4b 4a
3b 3a
1 2b 0 2a
)( logico Prodotto 1b )( logica Somma 1adistinti elementi due Almeno
xxxx
zxyxzyxzxyxzyx
xyyxxyyx
xxxx
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Verifica P1
• Le funzioni AND e OR sono chiuse OK– Per qualunque valore degli ingressi le
funzioni sono definite– I valori delle uscite appartengono a “B”
xy y0 1
x0 0 0
1 0 1
x+y y0 1
x0 0 1
1 1 1
A.S.E. 7.10
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Verifica P2
• “0” elemento identità della funzione OR e “1” elemento identità della funzione AND
• OK – Nella OR per x = 0 (y = 0) le uscite coincidono con y (x) – Nella AND per x = 1 (y = 1) le uscite coincidono con y (x)
xy y0 1
x0 0 0
1 0 1
x+y y0 1
x0 0 1
1 1 1
yyxxyyxx 1,1;0,0
A.S.E. 7.11
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Verifica P3
• Le funzioni OR e AND sono commutative• OK
– Le tabelle sono simmetriche rispetto alla diagonale principale
xy y0 1
x0 0 0
1 0 1
x+y y0 1
x0 0 1
1 1 1
A.S.E. 7.12
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Verifica P4• Le funzioni OR e AND sono distributive• OK • Metodo dell’induzione perfetta
)()()(),()()( zxyxzyxzxyxzyx
x y z yz
x+yz
x+y
x+z
(x+y)(x+z)
y+z
x(y+z)
xy
xz
xy+xz
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A.S.E. 7.13
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Verifica P5
• Il complemento di x deve soddisfare le condizioni
• • OK• Metodo dell’induzione perfetta
0,1 xxxx
x x x + x
x x
0 1 1 0
1 0 1 0
A.S.E. 7.14
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Funzione logica (o Boleana)
• Una funzione Boleana (completa)
è una legge che fa corrispondere un valore logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori x1,…..,xn.
• La funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentali
nxxfu ,......,1
321321 xxxxxxu
A.S.E. 7.15
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Osservazioni
• Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche note
• Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OR
• La gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logiche
A.S.E. 7.16
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Tabella di Verità 1
• Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di:TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE)
• Osservazione• Una funzione di “n” variabili ammette 2n
possibili configurazioni • Una funzione di “n” variabili è
completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzione A.S.E. 7.17
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Tabella di verità 2
• Funzione di tre variabili
zyxfu ,,x y z u
0 0 0 f (0,0,0)
0 0 1 f (0,0,1)
0 1 0 f (0,1,0)
0 1 1 f (0,1,1)
1 0 0 f (1,0,0)
1 0 1 f (1,0,1)
1 1 0 f (1,1,0)
1 1 1 f (1,1,1)
A.S.E. 7.18
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Esempio
yzzxyxzyxfu ,,
x y z x y x + y
x + z
(x + y )(x + z )
yz u
0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
110110111001110101,1,0 f
A.S.E. 7.19
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Passo 1
yzzxyxzyxfu ,,
x y z x y x + y
x + z
(x + y )(x + z )
yz u
0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
A.S.E. 7.20
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Passo 2
yzzxyxzyxfu ,,
x y z x y x + y
x + z
(x + y )(x + z )
yz u
0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
A.S.E. 7.21
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Passo 3
yzzxyxzyxfu ,,
x y z x y x + y
x + z
(x + y )(x + z )
yz u
0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
A.S.E. 7.22
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Passo 4
yzzxyxzyxfu ,,
x y z x y x + y
x + z
(x + y )(x + z )
yz u
0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
A.S.E. 7.23
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Passo 5
yzzxyxzyxfu ,,
x y z x y x + y
x + z
(x + y )(x + z )
yz u
0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
A.S.E. 7.24
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Passo 6
yzzxyxzyxfu ,,
x y z x y x + y
x + z
(x + y )(x + z )
yz u
0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
A.S.E. 7.25
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Fine
yzzxyxzyxfu ,,
x y z x y x + y
x + z
(x + y )(x + z )
yz u
0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
A.S.E. 7.26
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Osservazione
• La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili
• Tale proprietà è stata utilizzata nel • Metodo dell’INDUZIONE PERFETTE
A.S.E. 7.27
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Teorema 9(dimostrazione
• 9a 9b
yxyx yxyx
x y x+
y
( x+
y)
x y x •
y
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0
x y x •
y
( x
•y)
x y x +
y
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
A.S.E. 7.28
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Tabella dei Prodotti e delle Sommen = 3
n x y z p s
0 0 0 0 `x •`y •`z
p0 1 x + y + z
s0
0
1 0 0 1 `x •`y • z
p1 1 x + y +`z s1
0
2 0 1 0 `x • y •`z
p2 1 x +`y + z s2
0
3 0 1 1 `x • y • z
p3 1 x +`y +`z s3
0
4 1 0 0 x •`y •`z p4 1 `x + y + z
s4
0
5 1 0 1 x •`y • z p5 1 `x + y +`z
s5
0
6 1 1 0 x • y •`z p6 1 `x +`y + z
s6
0
7 1 1 1 x • y • z p7 1 `x +`y +`z
s7
0
A.S.E. 7.29
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Definizioni 1
• LETTERALE– Variabile complementata o non complementata
presente nella formula• FORMA NORMALE DISGIUNTIVA
– Somma di prodotti
• FORMA NORMALE CONGIUNTIVA– Prodotto di somme
zywywxzwyxf ,,,
))((,,, yxwyxzzwyxf
A.S.E. 7.30
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Definizione 2
• MINTERMINE “pi ” è una funzione (prodotto) che vale “1” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili
• MAXTERMINE “si ” è una funzione (somma) che vale “0” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili
A.S.E. 7.31
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Forma Canonica “Somma di Prodotti”
“SP” x y z u
0 0 0 1 p0
0 0 1 1 p1
0 1 0 0
0 1 1 1 p3
1 0 0 0
1 0 1 1 p5
1 1 0 0
1 1 1 1 p7
xyzzyxyzxzyxzyxpppppu 75310
A.S.E. 7.32
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Forma Canonica “Prodotto di Somme”
“PS” x y z u
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0 s2
0 1 1 1
1 0 0 0 s4
1 0 1 1
1 1 0 0 s6
1 1 1 1
zyxzyxzyxsssu 642
A.S.E. 7.33
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Osservazioni
• La legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOT
• Una stessa funzione logica può essere scritta in molta forme
• La manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremi
A.S.E. 7.34
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Osservazioni
• Se l’espressione in esame e funzione di tre variabili
• L’espressione di partenza è nella forma canonica PS
• L’espressione di arrivo non è nella forma canonica SP, perché i termini di prodotto non sono costituiti da tre letterali
A.S.E. 7.35
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Trasformazione SP – PS e PS - SP• Dalla tabella dei prodotti e delle somme
n x y z p s
0 0 0 0 `x •`y •`z
p0 1 x + y + z
s0 0
1 0 0 1 `x •`y • z
p1 1 x + y +`z
s1 0
2 0 1 0 `x • y •`z
p2 1 x +`y + z
s2 0
3 0 1 1 `x • y • z
p3 1 x +`y +`z
s3 0
4 1 0 0 x •`y •`z p4 1 `x + y + z
s4 0
5 1 0 1 x •`y • z p5 1 `x + y +`z
s5 0
6 1 1 0 x • y •`z p6 1 `x +`y + z
s6 0
7 1 1 1 x • y • z p7 1 `x +`y +`z
s7 0
A.S.E. 7.36
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Osservazione• Data un’espressine nella forma SP
• Si può scrivere come SP complementata dei 2n-k prodotti non impiegati nell’espressione precedente
• Applicando il teorema di De Morgan
• Applicando De Morgan si ottiene la forma PS
kba PPP
knPPP
221
kk nn PPPPPP
221221
2 4 5 0 1 3 6 7P P P P P P P P
A.S.E. 7.37
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Esempio• Data l’espressione
• Si ha zyxzyxzyx
zxyxyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyx
S(6) S(1)
S(0)
S(2) S(7)S(4) S(5)S(3)
A.S.E. 7.38
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Osservazioni
• Si ha quindi la seguente regola• Passaggio da SP a PS
– Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun mintermine assente nella forma SP
– Formare il prodotto dei maxtermini ottenuti• Passaggio da PS a SP
– Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun maxtermine assente nella forma PS
– Formare la somma dei mintermini ottenuti
A.S.E. 7.39
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Premessa 1
• Osservazioni– le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un
insieme funzionalmente completo di operatori logici
– In base al teorema di De Morgan si ha:
– ovvero la funzione OR si può realizzare con le funzioni AND e NOT quindi:
– le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici
yxyx
A.S.E. 7.40
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Premessa 2
• Osservazioni– Sempre in base al teorema di De Morgan si
ha:
– ovvero la funzione AND si può realizzare con le funzioni OR e NOT quindi
– le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici
– le funzioni OR e AND non costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici perché non è possibile realizzare la funzione NOT
yxyx
A.S.E. 7.41
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Definizione
• Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di verità
x y u
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
x y u
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
yxu NAND yxu NOR
A.S.E. 7.42
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Osservazioni
• NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-OR
• la funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici
• la funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici
xxx yxyx
xxx yxyx
A.S.E. 7.43
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Funzioni “complesse” 1
• L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è:
• Definizioneyx
x y u
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
yxyxyxyxyxyxyx
A.S.E. 7.44
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Funzioni “complesse” 2
• L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è:
• Definizioneyx
x y u
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
yxyxyxyxyx A.S.E. 7.45
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Proprietà dello XOR / XNOR
i
ii 0 1
iii 0 1
iv
v
vi
vii
viii
ix se e solo se 0
x se , allora o
a b
X Y XY XY X Y X Y X Y XY XY X Y X Y
X X X X
X X X X
X Y X Y X Y X Y X Y
X Y Y X
X Y Z X Y Z X Y Z
X Y Z XY XZ
X Y X Y XY
X Y X Y XY
X Y Z X Z X X Z Y
A.S.E. 7.46
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Generatore di disparità 1
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
x y z w D D
xyzw
xyzw
xyzw
D xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzwxyzw
xyzw
xyzw
xyzw
xyzw
A.S.E. 7.47
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Generatore di disparità 2
D xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw
xy zw zw zw xy xy zw xy xy x y zw zw
xy xy zw zw xy xy zw zw
x y z w x y z w
x y z w x y z w
A.S.E. 7.48
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Conclusioni
• Algebra delle commutazioni• Funzione AND, OR, NOT• Tabella di Verità• Forme canoche “SP” e “PS”• Passaggi da forma SP a PS e viceversa• insieme funzionalmente completo• Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR
A.S.E. 7.49
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Quesiti 1
• Costruire la tabella di verità per le seguenti funzioni.
32143214321
31321321
,,,
,,
,,
xxxxxxxxxxxfc
yzxyxzyxfb
xxxxxxxxfa
32143214321
31321321
,,,
,,
,,
xxxxxxxxxxxfc
yzxyxzyxfb
xxxxxxxxfa
A.S.E. 7.50
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Quesiti 2• Scrivere le forme canoniche PS e SP per
le due tabelle di verità seguenti:
x y z f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
x y z f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
A.S.E. 7.51
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Quesiti 3
• Verificare le seguenti identità
313221313221
4241421431431
21313121
xxxxxxxxxxxxc
xxxxxxxxxxxxxb
xxxxxxxxa
A.S.E. 7.52