EUREKABASIC

ASPETTI MATEMATICI DELLA FISICA TEORICA

Direttore

Sergio Luigi CUniversità degli Studi dell’Insubria, Como, Italia

Comitato scientifico

Francesco Domenico BPolitecnico di Milano, Milano, Italia

Alexander Yu. KAlma Mater Studiorum – Università di Bologna, Bologna, Italia

Simone NUniversità degli Studi di Milano, Milano, Italia

Stefano PUniversità degli Studi dell’Insubria, Como, Italia

EUREKABASIC

ASPETTI MATEMATICI DELLA FISICA TEORICA

Everything should be made as simple as possible, but not simpler.

Albert E

Il XX secolo ha conosciuto uno straordinario sviluppo della Fisica teo-rica e della Matematica, tale da non avere precedenti. Le due disciplinesi sono mutuamente influenzate come mai era accaduto prima e l’unasi è fatta volano per i progressi dell’altra. Se da un lato la relativitàgenerale e la meccanica quantistica hanno indotto i fisici teorici aconfrontarsi con un alto livello di sofisticazione matematica, dall’altrole domande poste dalle moderne teorie quantistiche di campo e dallateoria delle stringhe hanno aperto nuove entusiasmanti direzioni nellaricerca matematica.

Eureka pubblica monografie e saggi che trattano la Fisica matematicae gli aspetti matematici della Fisica teorica con l’obiettivo di gettareun solido ponte tra le discipline. La serie “Basics” affronta temati-che più elementari, privilegiando però prospettive nuove e inusitateche offrano uno sguardo differente rispetto alle tradizioni didattichepiù consolidate. La serie “Advanced” invece è riservata a monografiespecialistiche su temi al centro della ricerca contemporanea e inten-de caratterizzarsi per la cura del dettaglio matematico, la profonditàconcettuale e la chiarezza espositiva.

Massimo BertiniSergio Luigi Cacciatori

Manuel Falchi Perna

Introduzione alla Fisica matematica

Aracne editrice

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Copyright © MMXVIIGioacchino Onorati editore S.r.l. – unipersonale

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via Vittorio Veneto, Canterano (RM)

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I edizione: agosto

Dedicato ai nostri genitori,che ci hanno reso gli uomini che siamo oggi.

La filosofia naturale è scritta in questo grandissimolibro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi,io dico l’universo, ma non si può intendere se primanon s’impara a intender la lingua e conoscer i caratterinei quali è scritto.Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sontriangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza iquali mezzi è impossibile a intenderne umanamenteparola; senza questi è un aggirarsi vanamente per unoscuro labirinto.

G. G, Il Saggiatore.

Indice

Prefazionedi M. Bertini, S.L. Cacciatori, M. Falchi Perna

Parte IStrumenti Matematici

Capitolo ILa nozione di funzione

.. La funzione come macchina, – .. La funzione come corrispon-denza tra insiemi, – .. Il grafico di una funzione, – .. Morfismi:nozioni elementari, .

Capitolo IISpazi vettoriali

.. I vettori come segmenti orientati — Lo spazio euclideo E2, –.. Proprietà del modulo dei vettori — Definizione della distanza tradue vettori, – .. Combinazione lineare di vettori — La nozionedi base — Le coordinate di un vettore, – .. I vettori come coppiedi coordinate — Lo spazio vettoriale R2, – .. Appendice. Spazivettoriali astratti, .

Capitolo IIISpazi duali

.. Funzioni lineari, – .. Funzionali lineari sullo spazioE2. Lo spazioduale E2∗, – .. Appendice. Isomorfismo naturale tra E2 e E2∗∗, .

Capitolo IVLe rotazioni

.. Basi ortonormali — I coseni direttori, – .. Le rotazioni nelpiano, .

Indice

Capitolo VIl prodotto scalare euclideo

.. Definizione e proprietà del prodotto scalare, – .. Prodotto sca-lare euclideo e rotazioni nel piano, – .. Definizione assiomatica diprodotto scalare — Geometrizzazione di uno spazio di vettori, – .. Iltensore metrico e le rotazioni, – .. Appendice. Ortodiagonalizzazio-ne di Gram–Schmidt, – .. Appendice. Isomorfismo naturale tra E2

e il suo duale E2∗, .

Capitolo VII numeri complessi

.. Definizione del campo C, – .. Il sottocampoR, – .. Rap-presentazione algebrica del campo C, – .. La coniugazione, –.. Il prodotto scalare di C, – .. Il cerchio unitario e la formuladi Eulero, – .. Il teorema fondamentale dell’algebra o teorema diGauss, – .. Appendice. Le equazioni algebriche di primo, secon-do, terzo e quarto grado, – ... Risoluzione dell’equazione di primogrado, – ... Risoluzione dell’equazione di secondo grado: il metodo delcompletamento del quadrato, – ... Risoluzione dell’equazione di terzogrado: il metodo di Tartaglia, – ... Risoluzione dell’equazione di quartogrado: il metodo di Eulero, .

Capitolo VIIApplicazioni lineari nel piano euclideo

.. Definizione di applicazione lineare. Una proprietà delle applicazionilineari, – .. La matrice rappresentativa di una applicazione lineare, – .. Autovalori e autovettori di una applicazione lineare, – .. L’e-quazione caratteristica, – .. Soluzioni dell’equazione caratteristicae rappresentazione canonica di una applicazione lineare nel piano, – .. Applicazioni lineari simmetriche, – .. Le proiezioni, –.. Appendice. L’applicazione trasposta — L’applicazione aggiunta —Applicazioni autoaggiunte, – ... Intermezzo: le tabelle, il prodotto“riga per colonna” e l’operazione di trasposizione, – ... L’applicazio-ne trasposta, – ... L’applicazione aggiunta, – ... Applicazioniautoaggiunte. Il teorema spettrale, .

Capitolo VIIIIl prodotto vettoriale e l’orientamento

.. Terne orientate, – .. Definizione di prodotto vettoriale, –.. Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale di due vettori

Indice

nello spazio, – .. Proprietà algebriche del prodotto vettore, –.. Prodotto vettore in componenti: il simbolo di Levi–Civita, –.. Appendice. Proprietà algebriche di Rn, – ... I numeri reali el’algebra di divisioneR, – ... I numeri complessi e l’algebra di divisioneR2, – ... I numeri quaternionici e l’algebra di divisione R4, –... I numeri ottonionici e l’algebra di divisioneR8, .

Capitolo IXSpazi affini

.. Lo spazio affineA2, – .. Sistemi di riferimento affini inA2 —Lo spazio affine S2, – .. Spazio tangente, – .. Lo spazio affineA2 con prodotto scalare euclideo, – .. Gli spazi affiniA1,A2,A3

con prodotto scalare, – .. Appendice. Lo spazio affine standardSn, .

Capitolo XLa nozione di limite

.. Il limite di una successione numerica, – .. Il limite di unafunzione reale di variabile reale, – .. Appendice. La condizionedi Cauchy, – .. Appendice. Il teorema delle contrazioni, –.. Appendice. Spazi metrici e spazi topologici, – .. Appendice.Nozioni elementari di topologia, – .. Appendice. Spazi vettorialinormati — Spazi vettoriali con prodotto scalare, .

Capitolo XIFunzioni continue

.. Definizione di funzione reale di variabile reale continua e prin-cipali proprietà delle funzioni reali di variabile reale continue, –.. Appendice. Lo spazio C0 ([a, b]), .

Capitolo XIILa derivata di una funzione reale di variabile reale

.. Definizione di derivata di una funzione reale di variabile reale, –.. Alcuni teoremi che riguardano la derivazione, – .. Calcolodella derivata di alcune funzioni elementari, – .. Appendice. Tavoladella derivata delle funzioni elementari, – .. Appendice. Punti distazionarietà di una funzione — Massimi e minimi di una funzione, –.. Appendice. Lo sviluppo in serie di Taylor, – .. Appendice. Ilmetodo delle tangenti di Newton, .

Indice

Capitolo XIIIL’integrale definito di una funzione reale di variabile reale

.. Definizione di integrale proprio, – .. Interpretazione geo-metrica dell’integrale proprio, – .. Appendice. L’integrale di Rie-mann, – ... Definizione dell’integrale di Riemann di una funzionelimitata, – ... Alcuni teoremi fondamentali che riguardano l’integrale diRiemann, – ... Un esempio di funzione che non è Riemann integrabile:la funzione di Dirichlet, .

Capitolo XIVFunzioni di più variabili

.. Lo spazio R2 come spazio metrico, – .. L’equazione delpiano, – .. La continuità, – .. La differenziabilità, –.. Le derivate parziali, – .. La derivata direzionale, – .. Ilgradiente, .

Capitolo XVLa teoria delle equazioni differenziali

.. Il problema inverso delle tangenti, – .. Il problema di Cauchye il metodo delle spezzate di Eulero, – .. Il problema di Cauchy e leapprossimanti di Picard — Esistenza e unicità della soluzione del proble-ma di Cauchy, – .. L’equazione differenziale lineare a coefficienticostanti, – ... Equazione differenziale lineare a coefficienti costantidel prim’ordine, – ... L’equazione differenziale lineare a coefficienticostanti di ordine n, .

Capitolo XVIIl calcolo delle variazioni

.. L’azione, – .. Appendice. La retta nel piano come curva piùbreve congiungente due punti, .

Parte IILa Meccanica Classica

Capitolo ICinematica del moto rettilineo

.. Esigenza di un sistema di riferimento spazio-temporale — Lo spa-zio–tempo, – .. Definizione di moto, – .. La velocità media equella istantanea, – .. Il moto rettilineo uniforme, – .. Il grafico

Indice

del moto rettilineo uniforme, – .. Il problema di Zenone — Il mo-vimento come essere nello spazio–tempo, – .. L’accelerazione, – .. Il moto uniformemente accelerato, .

Capitolo IICinematica del moto nel piano

.. Definizione di moto, – .. Definizione di velocità e accele-razione, – .. Il moto del proiettile, – .. Il moto circolareuniforme, – .. Il moto armonico, .

Capitolo IIILa dinamica

.. I tre principi di Newton, – .. Il primo principio della dinamica oprincipio d’inerzia, i sistemi inerziali e la rappresentazione matematicadella realtà, – .. Il secondo principio della dinamica e la mela diNewton, – .. Il terzo principio della dinamica o principio di azione-reazione, – .. L’equazione di Newton in alcuni casi semplici, – ... Caso : la forza costante, – ... Caso : l’oscillatore armoni-co, – ... Caso : il repulsore armonico, – ... Caso : l’oscillatorearmonico smorzato, – .. Le leggi di Keplero e la forza di attrazionegravitazionale, .

Capitolo IVIl principio di conservazione della quantità di moto

.. Definizione di quantità di moto, – .. La quantità di moto eil teorema di conservazione della quantità di moto per sistemi isola-ti, – .. Il centro di massa di un sistema meccanico — La primaequazione cardinale, – .. Sistemi a massa variabile — L’equazionedi Mescerskij, – .. L’impulso, .

Capitolo VIl principio di conservazione del momento angolare

.. Definizione di momento angolare e sua interpretazione geome-trica, – .. Il teorema di conservazione del momento angolareper sistemi isolati. La seconda equazione cardinale, – .. Appendi-ce. ll moto Kepleriano, – ... Le coniche in coordinate polari, –... Soluzione dell’equazione di Newton per il problema a due corpi con forzagravitazionale, .

Indice

Capitolo VIIl teorema dell’energia cinetica e il principio di conservazionedell’energia

.. Il teorema dell’energia cinetica per un sistema monodimensionalesoggetto a una forza costante, – .. Il teorema dell’energia cineticaper un sistema monodimensionale soggetto a una forza variabile, – .. Il lavoro di un campo di forze, – .. Campi conservativi —L’energia potenziale, – .. Il teorema di conservazione dell’energiameccanica per un sistema a un corpo nello spazio tridimensionale, –.. Estensione del teorema di conservazione dell’energia meccanica aun sistema di più punti materiali, .

Capitolo VIIUrti elastici e anelastici

.. Urti elastici e anelastici sulla retta, .

Capitolo VIIIL’equazione di Newton nei sistemi non inerziali

.. Sistemi di riferimento affini non inerziali, – .. L’equazione diNewton in un sistema non inerziale — Le forze d’inerzia, .

Capitolo IXIl corpo rigido

.. Definizione di corpo rigido, – .. Cinematica del corpo rigidocon punto fisso — Il tensore d’inerzia, – .. Dinamica del corporigido. Le equazioni di Eulero per il corpo rigido in assenza di azioniesterne, – .. Il teorema di Poinsot, – .. Appendice. Momentodi inerzia di un corpo rigido rispetto a un asse fisso, .

Capitolo XLa teoria della relatività di Galileo–Poincaré–Einstein

.. I sistemi di riferimento nella fisica, – .. Il principio di relativi-tà, – .. Il principio di relatività e le trasformazioni tra sistemi di rife-rimento inerziali: introduzione, – .. Le trasformazioni di Galileo:deduzione cinematica, – .. Invarianza dell’equazione di Newtonrispetto alle trasformazioni di Galileo, – .. Il principio della costan-za della velocità della luce, – .. La relatività della simultaneità deglieventi, – .. Le trasformazioni di Lorentz, – .. La contrazio-ne delle lunghezze e la dilatazione del tempo, – .. La legge dalla

Indice

composizione delle velocità, – .. Lo spazio–tempo di Minkowski— Il cono di luce — Curve nello spazio tempo e loro parametrizzazio-ne naturale, – .. I quadrivettori: tetraposizione, tetravelocità etetraccelerazione, – .. Le equazioni della meccanica relativisti-ca e l’equivalenza tra massa ed energia, – .. Sistemi a massavariabile — L’equazione Tsiolkovsky relativistica, – .. Il moto uni-formemente accelerato e il viaggio interstellare, – .. Il principiod’inerzia e il campo gravitazionale, – .. Appendice. Deduzionedelle trasformazioni di Lorentz per via geometrica, – .. Ap-pendice. Trasformazioni inerziali — Il teorema di Berzi–Gorini, –.. Appendice. Simultaneità, contrazione delle lunghezze e dilatazionedei tempi, – .. Appendice. Deduzione euristica del fenomenodella dilatazione del tempo, – .. Appendice. Deduzione euri-stica dell’equazione E = mc2, – .. Appendice. Il paradosso deigemelli, .

Capitolo XIL’analogia tra l’ottica geometrica e la meccanica

.. La luce come onda — La luce come insieme di raggi, – .. L’in-dice di rifrazione — L’ellissoide degli indici, – .. Il principio diFermat, – .. Il principio di Huygens, – .. L’equazione dell’ico-nale, – .. Meccanica lagrangiana: il punto materiale in coordinategeneralizzate, – .. Formulazione variazionale della meccanica —Il principio di Hamilton — L’equazione di Hamilton-Jacobi, .

Bibliografia

Indice analitico

Prefazione

M. B, S.L. C, M. F P

Dopo la grandissima spinta che Galileo Galilei diede alla fisica, o comesi diceva un tempo alla filosofia naturale, la matematica è diventata peril fisico uno strumento semplicemente indispensabile. Attraverso leteorie matematiche, che sono andate sviluppandosi nel tempo anchein concomitanza con le teorie fisiche, è stato possibile comprenderesvariati fenomeni, da quelli che riguardano il movimento dei corpi aquelli che riguardano la luce e il suono, piuttosto che quelli che riguar-dano la natura corpuscolare della materia, oltre che naturalmente lachimica delle stelle. Non è un caso quindi che queste lezioni di fisicasiano anticipate da alcune stringatissime note di matematica elemen-tare, il cui scopo è quello di fornire l’abc minimo indispensabile perpoter capire qualcosa di un argomento così complesso e articolatocome la meccanica.

Gli autori non intendono sostituire, con queste brevi note, dei buo-ni libri di analisi matematica, di algebra e di geometria, ma intendonosolo fornire alcune idee di matematica a un livello puramente euri-stico, per quel che basta affinché lo studente possa seguire la parteimportante del testo, che è appunto quella dedicata alla meccanica.Una chiara formalizzazione del concetto di sistema di riferimento,di movimento, di velocità e accelerazione, sono necessari se si vuoleparlare dei fenomeni meccanici in modo non ambiguo. Per questo sisuggerisce di dedicare una cospicua quantità di tempo e di energie acomprendere quelle idee di funzione, di limite, di derivata e di inte-grale che hanno permesso di scrivere le equazioni della meccanica deicorpi rigidi e dei fluidi e in qualche caso anche di risolverle, fornen-do in questo modo tanti strumenti anche alle scienze applicate qualil’ingegneria, la geologia ecc.

Molte idee contenute in questa prima parte potranno essere utiliz-zate anche in campi molto lontani dalla meccanica, quali la biomate-

Prefazione

matica piuttosto che l’economia. Per tale ragione lo sforzo necessarioper comprendere i pochi concetti che verranno esposti può essereconsiderato dallo studente un interessante investimento per il futuro.

P I

STRUMENTI MATEMATICI

Capitolo I

La nozione di funzione

Quello di funzione è un concetto matematico fondamentale che hasubito, nella storia del pensiero scientifico, una grande evoluzione cheè tuttora in corso. Non è raro incontrare grandezze che dipendonol’una dall’altra. Ad esempio, l’altezza di un uomo dipende dalla sua età,il volume di un solido dipende dalla sua temperatura, la temperaturadell’aria dipende dalla quota alla quale viene misurata. Ogni volta cheuna grandezza A dipende da una seconda grandezza B, diciamo che laprima è funzione della seconda. In linea con questa definizione, noiintrodurremo inizialmente la nozione di funzione facendo una analo-gia con quelle macchine che trasformano determinate materie primein un certo prodotto finito. Successivamente daremo una definizionepiù astratta di funzione intesa come corrispondenza tra insiemi. Infineconsidereremo un tipo particolare di funzioni, i cosiddetti morfismi.

.. La funzione come macchina

Si consideri una qualche macchina che trasforma determinate materieprime in un prodotto finito. Esemplificando supponiamo che le materieprime da cui si parte siano tre e il prodotto finito uno solo. Possiamoschematizzare questa macchina nel modo rappresentato in Fig. ..

Il rettangolo indica la macchina, il cui nome, in questo caso s, vienescritto al suo interno. A sinistra, con dei segmenti, indichiamo tutti gliingressi di s, che in questo caso sono tre: i1, i2, i3; a destra indichiamole uscite di s, in questo caso solamente una, u. Per indicare che ilprodotto finito, cioè u, è stato prodotto dalla macchina s partendo dallematerie prime i1, i2, i3, scriviamo:

u = s (i1, i2, i3) .