Konsep kalkulus.

Tidak banyak orang yang mengetahui ataupun pernah mendengar kata tersebut.  Hal

sebaliknya apabila kita tanyakan kepada mahasiswa-mahasiswa universiti “apa itu kalkulus?”,

tentunya mereka mengenalnya sebagai pelajaran paling memeningkan sambil berkerut dahi. 

Dapat difahami memang, kerana kalkulus berorientasikan dengan rumus. persamaan yang

aneh yang belum pernah dilihat ketika di sekolah rendah. 

Kalau dilihat dari sejarahnya, kalkulus sudah muncul ribuan tahun lalu sejak sebelum

masihi sebagai konsep dasar, dimana banyak bangsa Yunani yang mengembangkannya

terutama golongan pemikir ternama waktu itu seperti Archimedes, Zeno, Phytagoras, dan

sebagainya. Kemudian, ilmu-ilmu itu dikembangkan lebih lanjut oleh para pemikir asal Eropah

dan Timur Tengah.  Selanjutnya hal-hal penting dalam konsep kalkulus akhirnya mulai

dibukukan pada zaman Newton dan Leibniz, namun pada masa tersebut terjadi perdebatan

siapa yang mengusulkan kalkulus pertama kalinya, apakah Newton atau Leibniz? Ini kerana,

buku-buku berkaitan kalkulus dibukukan pada waktu yang hampir sama. Salah satu bahagian

yang dikenalpasti disebut “kalkulus diferensial” dan bahagian lain disebut “Kalkulus integral”. 

Lalu apa perbezaan kedua pembahagian kalkulus tersebut. 

Kalkulus Integral berkaitan dengan luas dan isipadu. Bayangkan bagaimana anda

menentukan isipadu sebuah bola? Caranya dapat ditentukan begini ; kita mulai dari bentuk

yang paling sederhana yang mudah dikira, misalnya persegi panjang. Seperti kita tahu untuk

menghitung luas persegi panjang cukup panjang dikalikan dengan lebar. Lalu bagaimana untuk

bentuk benda yang tidak rata tidak tepat dan juga melengkung?.  Untuk menghitung benda

yang lebih rumit seperti ini cukup dengan memotong model tersebut dengan banyak persegi

panjang secara kecil-kecilan. Namun ketika melakukan ini, kita tidak akan dapat berhasil

sepenuhnya karena akan selalu ada potongan dengan sisi melengkung, umumnya. Tapi kunci

idea adalah bahawa jumlah bidang potongan empat persegi panjang akan menjadi sangat

dekat perkiraan luas sebenarnya.  Dengan kata lain semakin banyak potongan-potongan yang

kita perolehi, semakin dekat pula pendekatan kita untuk mendapat luas model yang dimaksud. 

Dengan kalkulus Integral akan terjawab pula dari mana angka 4/3 pada isipadu bola.

Kalkulus Diferensial berkaitan dengan perubahan sesaat.  Sama seperti di atas,

bayangkan anda menaiki kereta. Misalkan anda ingin mengetahui posisi anda setiap saat

selama perjalanan.   Pada akhir perjalanan, Anda menyedari bahawa setiap saat selama

1

perjalanan anda, meter halaju kenderaan anda  menunjukkan halaju kenderaan anda. Dari sini

muncul pertanyaan apakah saya selaku pemandu dapat merekod halaju menunjukkan setiap

saat? Jawabannya ya, Anda dapat, dan kalkulus diferensial menyediakan sebuah method untuk

melakukan hal ini.

Idea dasar dari kalkulus diferensial dari contoh di atas adalah kita ingin menghitung

halaju yang tercatat di meter halaju pada kenderaan yang sedang dibawa dengan laju yang

sama atas seluruh jarak. Kemudian, dengan mudah anda dapat menggunakan rumus: halaju

sama dengan jarak dibagi waktu. Ternyata bila dikaji kalkulus dekat sekali dengan kehidupan

sehari-hari, wajarlah kalkulus lahir dan berkembang mengikuti peradaban manusia yang

membangun dan manusia semakin banyak membangun kerananya.

Penggunaan kalkulus dalam kehidupan seharian.

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fizik, sains komputer, statistik, teknik,

ekonomi, perniagaan, kedoktoran, kependudukan, dan bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di

mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa

jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan jumlah tenaga dari sebuah

objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.

Dalam subdisiplin listrik dan magnetisma, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks

dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh sejarah lainnya adalah penggunaan kalkulus di

hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju

perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan hasil gaya yang bekerja pada

benda tersebut dengan arah yang sama.

Selain dari itu, rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,

menggunakan perumusan kalkulus diferensial kerana percepatan boleh dinyatakan sebagai

turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga

dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.

2

Terima kasih diucapkan kepada pensyarah pembimbing yang telah banyak

membeimbing saya dalam menyempurnakan tugasan ini tepat pada masanya. Sebagai pelajar

yang menuntut didalam pengajian matematik, wajar saya katanakan bahawa kalkulus asas ini

banyak membantu para ilmuwan matematik dan saintis kita melakukan kajian yang lebih

mendalam walaupun ada tajuk-tajuk yang sukar untuk saya fahami cara penyelesaiannya.

Sepanjang melakukan tugasan ini, saya mengalami pelbagai bentuk cabaran minda. Ini

kerana jujurnya bahawa tugasan ini saya tidak boleh aplikasikan kepada murid-murid saya yang

masih mentah ilmu pengetahuannya. Tugasan ini sesuai untuk saya faham dan tahu

kepentingan kalkulus asas dalam kehidupan seharian kita yang selama ini dilingkari dengan

teknologi maklumat, teknologi pembuatan dan teknologi makanan. Semuanya berkisarkan

kepada Matematik dan sains semata-mata.

Akhir sekali, saya mengucapkan berbanyak-banyak terima kasih kepada rakan-rakan

yang sudi berkongsi ilmu pengetahuan ketika menyiapkan tugasan ini, sokongan ahli keluarga

yang tidak berbelah bahagia disaat fikiran mula bercelaru dengan kiraan yang panjang, serta

sesiapa jua yang membantu secara langsung mahupun tidak.

SEKIAN, TERIMA KASIH,.

3

Soalan 1:

Diberi fungsi f:x →2x + 5 dan fg:x →13 – 2x. Carikan

a) Fungsi g(x)

fg(x) = f [ g (x) ]

13 – 2x = 2 [ g (x) ] + 5

13 – 2x - 5 = 2 [ g (x) ]

8 – 2x = 2 [ g (x) ]

8– 2 x2

= g (x)

2(4−x )2

= g (x)

4 – x = g (x)

Jadi, g (x) = 4 - x

b) Fungsi gf(x)

gf (x) = g [ f (x) ]

= 4 – f (x)

= 4 – ( 2x + 5 )

= 4 – 2x – 5

= -1 – 2x

Jadi, gf (x) = -1 – 2x

4

c) Nilai gf(2)

Jika nilai gf (2), maka

gf (x) = -1 – 2x

gf (2) = -1 – 2 (2)

= -1 – 4

= -5

Hasilnya adalah -5.

Soalan 2 :

Diberi fungsi f : x → x + 3. Jika fungsi gubahan gf ialah gf : x → x² + 6x + 4, carikan

a) Fungsi g (x)

gf (x) = g [ f (x) ]

x² + 6x + 4 = g [ x + 3 ]

y = x + 3 x = y – 3

g (y) = ( y – 3 )² + 6 ( y – 3 ) + 4

= (y² - 6y + 9 ) + 6y – 18 + 4

= y² - 6y + 6y + 9 – 18 + 4

= y² - 5

Jadi, g (x) = x² - 5

5

b) Nilai g² (0)

g² (x) = g g (x)

= g [ g (x) ]

= ( x – 5 )² - 5

= x² - 10x + 25 – 5

= x² - 10x + 20

g² (0) = 0² 10 (0) + 20

= 20

Jadi, nilainya adalah 20.

Soalan 3:

Diberi fungsi f : x → x + 4 , dan fungsi g : x → 2x

, Carikan

a) f−1 (x)

f−1 (x) = y

f (y) = x

y + 4 = x

y = x – 4

Jadi, f−1 (x) = x – 4 .

b) Nilai f−1 g (3)

6

f−1 g (x) = f−1 2

x1

= f−123

= ( 23) – 4

=−103

Nilainya adalah −103

.

Soalan 4 :

Diberi f : x → hx−kx+3 dan fungsi songsang f−1 : x →

3x+12−x carikan

a) Nilai h dan nilai k

f−1 (x) =3x+12−x

y =3x+12−x

y ( 2 – x ) = 3x + 1

2y – xy – 1 = 3x

2y – 1 = 3x + xy

2y – 1 = x ( 3 + y )

2 y−13+ y = x

f (x) =2x−1x+3

Jadi, nilai h = 2 dan nilai k = 1.

b) Nilai x dengan keadaan f (x) = 3

f (x) =2x−1x+3

7

2x−1x+3

= 3

2 x−1 = 3 ( x + 3 )

2 x−1 = 3x + 9

2 x−3 x = 9 + 1

−x = 10

x = -10

Jadi, nilai x = -10 .

Soalan 1 :

Bezakan setiap ungkapan berikut terhadap

a)4

√x

ddx4 (x )

−32

= −124 (x )

−32

= −2

x32

b) ( 3x – 4 )²

ddx

(3 x−4) ²

= 2 (3x – 4) (3)

= 6 (3x – 4)

= 18x – 24

c) 3x² (x+2)5

dydx

=u d vdx

+v dudx

8

u = 3x² v = (x+2)5

du = 6x dv = 5(x+2)4

dydx

=3 x ² [5 ( x+2 )4 ]+(x+2)5[6 x ]

= 15x² (x + 2)⁴ + 6x [ x+2]5

d)x2−14 x+1

u = x² - 1

du = 2x

v = 4x + 1

dv = 4

dydx =

vdudx

+u dvdx

v ²

=(4 x+1)2x+(x ²−1)(4)

(4 x+1 )²

= 8 x ²+2x+(4 x ²−4)

(4 x+1 )²

=12x ²+2 x−4

(4 x+1 ) ²

e) (3x² - 1) √ x+1

(3 x ²−1)(x+1)½

u=3x2−1 v = (x+1)½

9

du = 6x dv = (x+1)−½

2

dydx

= udvdx

+v dudx

= (3x² - 1) (x+1)−½

2 + (x+1)½ (6x)

f) cos2 x

ddxcos2 x

¿−2sin2 x

g) sin ² x

ddxsin ² x

¿2sin x ddx

¿¿

¿2sin xcos x

h) tan6 x

ddxtan6 x

¿6 tan5 x ddx

¿

¿6 tan5 x sec ² x

10

i) cos4(2 x)

ddxcos ⁴ (2x )

¿4 cos32 x ddx

¿

¿4 cos32 x¿

¿−8cos32 x sin 2 x

Soalan 2 :

Jika y = x² + 4x , tunjukkan bahawa x ²d2 yd x2

−2x dydx

+2 y=0

dydx

=2x+4 x ² (2 )−2 x (2 x+4 )+2(x2+4 x)

d2 yd x2

=2 ¿2 x2−4 x2−8 x+2 x2+8 x

¿ 4x² - 4x² - 8x + 8x

= 0

Soalan 3 :

Jika y=x+1x '

tunjukkan bahawa x ²d2 yd x2

+3 x dydx

+ y=4 x

11

Soalan 4 :

Carikan persamaan tangen dan garis normal kepada lengkung y = x² - 8x + 12 dititik (5, -3).

Soalan 1 :

∫3 x+2 x5dx

¿ 3x ²2

+2 x6

6+c

¿ 32x2+ 1

3x6+c

Soalan 2 :

∫ 5

x3dx

∫5 x−3dx

¿ 5x−2

−2+c

¿ 5

2x2+c

12

Soalan 3 :

∫ ( x+3 ) ( x−1 )dx

¿∫ (x2−x+3 x−3 )dx

¿∫ x2+2x−3dx

¿ x3

3+2 x

2

2−3x−c

¿ 13x3+ x2−3x+c

Soalan 4 :

∫ x−2x3

dx

∫ x

x3− 2

x3dx

∫ 1

x2− 2

x3dx

∫ x−2−2x−3dx

¿ x−1−2x−2

−2+c

¿ 1x+ 1x2

+c

Soalan 5 :

∫1

3

(3 x+2 )dx

13

¿ [ 3 x22 +2x ]¿ [3(3) ²2 +2(3)]−[ 3(1) ²2 +2(1)]¿ [ 272 +6]−[ 32+2]¿ 392

−72

¿16

Soalan 6 :

∫2

3

(x2− 1x ²

¿)dx¿

∫2

3

(x2−x−2)dx

¿ [ x33 −x−1]¿ [ 13 x3−1x ]¿ [ 13 (3 )3−1

3 ]−[ 13 (2 )3−12 ]

¿ 263

−136

¿ 132

14

Soalan 7 :

Carikan luasa rantau yang dibatasi oleh lengkung y=x ( x−2 )(x−3) dan paksi-x.

Apabila y = 0

x (x – 2)(x – 3) = 0

maka x = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = 0 atau x = 2 atau x = 3

jadi, lengkung y = x (x – 2)(x – 3) menyilang paksi-x pada x = 0, x = 2 dan x = 3.

y=x (x−2)(x−3)

Luas rantau A ¿∫0

2

x ( x−2 ) ( x−3 )dx

¿∫0

2

x2−2 x¿(x−3)dx ¿

¿∫0

2

x3−3 x2−2x2−6x

¿∫0

2

x3−5 x2+6 x

¿ [ x55 −5 x4

4+ 6 x

3

3 ]¿ [( 15−5

4 )+ 63 ]¿ [( 4−2520 )+ 63 ]

15

¿ 6120unit ²

Luas rantau B = ∫2

3

(x3−5x2+6 x )dx

¿ [ x55 −5 x4

4+ 6 x

3

3 ]¿ [ x8

8

−5 x7

7+ 6 x

6

6 ]¿ [ 18−57+ 66 ]¿ [(7−4056 )+1]¿ 2356unit ²

Soalan 8 :

Carikan luas rantau yang dibatasi oleh lengkung y=x (8−x ) dan garis lurus y=3 x.

Mencari titik-titik persilangan :

y = 3x ………………………………(1)

y = x (8 – x) ………………………..(2)

gantikan (1) dalam (2).

3x = x (8 – x)

16

= 8x - x²

x² - 5x = 0

x(x – 5)= 0

x = 0 atau x – 5 = 0

x = 5

Apabila x = 0, y = 0

Apabila x = 5, y = 3(5) = 15

Jadi, titik-titik persilangan ialah (0,0) dan (5,15).

Luas bentuk OABC

¿∫0

5

x (8−x )dx

¿∫0

5

(8 x−x2 )dx y=3 x

¿ [ 8 x22 − x3

3 ] -------------------

¿ [4 x2 x33 ] y=x (8−x )

¿(100−1253 )−0=1753 unit ²

luas segitigaOBC=∫0

5

3 xdx=[ 3x22 ]=752 −0=752unit ²

Jadi, luas rantau yang dikehendaki = luas rantau berlorek

= luas bentuk OABC – luas segitiga OBC

¿ 1753

−752

¿ 350−2256

17

¿ 1256

¿20 56unit ²

Soalan 9 :

Carikan isipadu bongkah perkisaran apabila luas yang dibatasi oleh lengkung ¿ x ²+3 ,

paksi−x ,garis x=1dan x=2 diputarkan melalui empat sudut tegak pada paksi-x.

y=x ²+3

X = 1 x = 2

¿⫪∫1

2

(x2+3 )2dx

¿⫪∫1

2

(x4+6 x2+9 )dx

¿⫪[ x55 +6 x3

3+9 x]

¿¿

¿⫪[ 15 (2 )5+2 (2 )3+9 (2 )]−[ 15 (1)5+2 (1)3+9 (1)]¿⫪[ 325 +16+18 ]−[ 15 +2+9]¿⫪[ 2025 −23

2 ]¿⫪[ 28910 ]¿ 28910

⫪unit3

Soalan 10 :

18

Carikan isipadu bongkah perkisaran apabila luas yang dibatasi oleh lengkung ¿2x

,

paksi− y , garis y=1dan y=3 diputarkan melalui empat sudut tegak pada paksi-y.

y = 2 y = 1 y = 3 y = 2x

xy=2

x= 2y

Isipadu janaan ¿∫1

3

⫪ x2dy

¿⫪∫1

3

( 2y )2

dy

¿⫪∫1

3

(2 y−1 )2dy

¿⫪∫1

3

2dydy

¿⫪[ 2 y22 ]¿⫪ [ y ² ]

¿⫪ [32−12 ]¿⫪ [9−1 ]

¿8⫪unit3

19

Soalan 11 :

Dengan menggunakan kaedah gentian, carikan ∫ x

√ x ²−1 dx

1 et u = x² - 1

du = 2x dx

du2

= x dx

∫ 1

√udx2

∫ 12 ¿¿

12∫ u

−12 du

12 [−12 u

12 ]+c

−14u12+c

¿−(x2−1 )

12

4+c

¿− 1

4√ x2−1+c

Soalan 12 :

Dengan menggunakan kaedah integration by parts, carikan ∫ xcosxdx.

∫ f ' ( x ) F ( x )dx=f ( x )F ( x )−∫ f ( x )F ' (x )dx

20

take f ' ( x )=cos x

F ( x )=x

∫ x cos x dx=x sin x−∫ sin x dx¿ x sin x−¿¿

¿ x sin x+cos x+c

Soalan 13 :

Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkung y=x ²+2 dan garis lurus y=x+4.

∫−1

2

x2+2dx

¿ [ x33 +2 x ]¿ [ 233 +2(2)]−[ (−1)33 +2(−1)]¿ 203

−[−73 ]¿9 squareunits

y=x+ y

y=x ²+2

21

Soalan 1:

Pecutan suatu zarah yang bergerak mengikut satu garis lurus adalah diberi oleh a=3 t ²+2. Diberi bahawa apabila t=0 , v=0 , s=0, carikan

(a) Halaju zarah itu apabila t = 3s(b) Sesaran zarah itu apabila t = 2s

22

Soalan 2:

Satu zarah bergerak mengikut satu garis lurus dan sesarannya, s meter, dari satu titik tetap o

diberi oleh s=3t 2+14, di mana t ialah masa dalam saat selepas melalui o. Hitungkan.

(a) Halaju zarah itu apabila t = 3s(b) Pecutan zarah itu apabila t = 4s(c) Sesaran zarah itu apabila zarah itu berhenti seketika.

23