1. Descripcin macroscpica del campo de radiacin. Nociones bsicas ....................................... 1.1. Intensidad Especfica .......................................................................................................... 1.2. Densidad de Energa Radiativa ........................................................................................... 1.3 Intensidad Media ................................................................................................................. 1.4. Flujo de Radiacin .............................................................................................................. 1.4.1. Flujos Entrante y Saliente .................................................................................... 1.5. Presin de Radiacin .......................................................................................................... 1.6. Algunos Casos Fsicos de Inters ....................................................................................... 1.7. Cuestiones y Ejercicios ....................................................................................................... 2. Transporte Radiativo ...................................................................................................................... 2.1. Introduccin ........................................................................................................................ 2.2. Opacidad ............................................................................................................................. 2.3. Profundidad ptica ............................................................................................................. 2.4. Emisividad .......................................................................................................................... 2.5. Contribucin del Scattering a la Emisin ........................................................................... 2.6. Ecuacin del Transporte Radiativo (Radiative Transfer) .................................................... 2.7. Funcin Fuente ................................................................................................................... 2.8. Casos Sencillos ................................................................................................................... 2.9. Interpretacin Sencilla de la Ecuacin de Transporte ........................................................ 2.10. Cuestiones y Ejercicios ..................................................................................................... 3. El Cuerpo Negro .............................................................................................................................. 3.1. Funcin de Planck ............................................................................................................... 3.1.1. Aproximacin de Rayleigh-Jeans ........................................................................ 3.1.2. Aproximacin de Wien ........................................................................................ 3.1.3. Ley del Desplazamiento de Wien ........................................................................ 3.1.4. Ley de Stefan-Boltzmann .................................................................................... 3.2. Ley de Kirchhoff para la Emisin Trmica ........................................................................ 3.3. Temperatura de Brillo (Brightness Temperature) ............................................................... 3.4. Temperatura de Color ......................................................................................................... 3.5. Temperatura Efectiva. Luminosidad. .................................................................................. 3.6. Comentarios: Otras Temperaturas ...................................................................................... 3.7. Cuestiones y Ejercicios ....................................................................................................... 4. Nociones Bsicas de Fsica Atmica. Leyes de Boltzmann y Saha. ............................................. 4.1. Generalidades Bsicas de Espectroscopa .......................................................................... 4.1.1. Acoplamiento de Russell-Saunders (L-S) ............................................................ 4.1.2. Estructura Fina ..................................................................................................... 4.1.3. Paridad ................................................................................................................. 4.1.4. Reglas de Seleccin ............................................................................................. 4.2. El tomo de Hidrgeno ...................................................................................................... 4.2.1. Transiciones Ligado-Ligado (b-b) ....................................................................... 4.2.2. Transiciones Ligado-Libre (b-f) ........................................................................... 4.2.3. Transiciones Libre-Libre (f-f) .............................................................................. 4.2.4. Estructura Fina ..................................................................................................... 4.2.5. Estructura Hiperfina .............................................................................................

4.2.6. Estados metaestables ............................................................................................ 4.3. Excitacin Trmica. Frmula de Boltzmann. ..................................................................... 4.4. Ionizacin. Ley de Saha. ..................................................................................................... 4.5. Cuestiones y ejercicios ....................................................................................................... 4.6. Apndice: Funcin de Particin. ......................................................................................... 4.7. Apndice: Coeficientes de Einstein. ................................................................................... 4.8. Apndice: Poblaciones Invertidas. Mseres. ...................................................................... 5. Medidas fotomtricas de las estrellas ............................................................................................ Escala de magnitudes. Brillo. Distancias Interestelares. Magnitud Absoluta. Magnitudes Monocromticas y Bolomtricas. Sistemas Fotomtricos. ndice de Color y Temperatura. Correccin Bolomtrica como funcin de la Temperatura Superficial. Magnitud Bolomtrica y Luminosidad. Extincin Interestelar. Enrojecimiento. 6. Propiedades Estelares ..................................................................................................................... Luminosidad y Temperatura. La Estrella como Cuerpo Negro. Temperatura de Color. Radios estelares. Tcnicas Interferomtricas. Tcnicas de Ocultacin por La Luna. Clasificaciones de Estrellas (Espectros). Tipos Espectrales y Temperatura Efectiva. Diagrama de Hertzsprung-Russell. 7. Masas Estelares ............................................................................................................................... Estrellas Binarias: Movimiento Orbital, Binarias Astromtricas y Espectroscpicas, Efecto Doppler, Curva de Velocidad Radial, Funcin de Masas, Binarias Eclipsantes. Relacin MasaLuminosidad. Densidades Estelares y Gravedad superficial. 8. Atmsferas estelares ........................................................................................................................ 8.1. Transporte Radiativo en una Atmsfera Estelar ................................................................. 8.2. Simetra Esfrica (No Dependencia Azimutal) .................................................................. 8.3. Atmsfera Plano-Paralela ................................................................................................... 8.3.1. Aproximacin de Eddington-Barbier ................................................................... 8.3.2. Flujo Estelar Emergente ....................................................................................... 8.4. Equilibrio Radiativo ............................................................................................................ 8.5. Caso Gris. Aproximacin de Eddington. ............................................................................ 8.6. Opacidad en Atmsferas Estelares ...................................................................................... 8.7. Absorcin b-f (Hidrgeno) ................................................................................................. 8.8. Absorcin f-f (Hidrgeno) .................................................................................................. 8.9. Absorcin b-b (Hidrgeno) ................................................................................................. 8.10. El In Negativo de Hidrgeno (H-) .................................................................................. 8.11. Otras Opacidades .............................................................................................................. 8.11.1. Helio ................................................................................................................... 8.11.2. Metales y Molculas .......................................................................................... 8.12. Scattering .......................................................................................................................... 8.13. Coeficiente de Extincin Total ......................................................................................... 8.14. Influencia de la Opacidad No Gris ................................................................................... 8.15. Influencia de la Opacidad No Gris en la Estratificacin de T .......................................... 8.15.1. Absorcin Media de Rosseland .......................................................................... 8.15.2. Cambios en T() en el Caso No Gris. Enfriamiento Superficial. Retrocalentamiento (Backwarming) .................................................................. 8.16. Equilibrio Hidrosttico .....................................................................................................

8.17. Equilibrio Hidrosttico: Presin del Gas .......................................................................... 8.17.1. Integracin de P .................................................................................................. 8.18. Presin Electrnica ........................................................................................................... 8.19. Presin de Radiacin ........................................................................................................ Ejercicios ................................................................................................................................... Apndices .................................................................................................................................. Formacin de Lneas ...................................................................................................... Anchura Equivalente de una Lnea ................................................................................ Ensanchamiento de lneas .............................................................................................. Ensanchamiento Natural ................................................................................................ Fuerza del Oscilador ...................................................................................................... Ensanchamiento Doppler Trmico ................................................................................. Perfil de Voigt ................................................................................................................ Ensanchamiento Rotacional ........................................................................................... Ensanchamiento Colisional ............................................................................................ Curva de Crecimiento .................................................................................................... W() para lneas delgadas .............................................................................................. lneas pticamente Gruesas ........................................................................................... Determinacin Curva de Crecimiento ........................................................................... Forma de la Curva de Crecimiento ................................................................................ 9. Estructura y Evolucin Estelar ...................................................................................................... 9.1. Equilibrio Hidrosttico y Teorema del Virial ...................................................................... 9.1.1. Problema del Virial .............................................................................................. 9.2. Ecuaciones de Estado ......................................................................................................... 9.3. Escalas de Tiempo para la generacin de Energa. Procesos Nucleares en Estrellas. ........ 9.4. Ecuacin de la Energa. Transporte Radiativo. Conveccin. .............................................. 9.5. Condiciones de Contorno. Formulacin del Problema. Modelos Estelares. ...................... 9.6. Opacidad Estelar ................................................................................................................. 10. Evolucin Estelar ........................................................................................................................... 10.1. Formacin Estelar y Primeras Fases Evolutivas ............................................................... 10.2. Evolucin de Estrellas Individuales. Fases Principales de la Evolucin Estelar. ............. 10.3. Estadios Avanzados de la Evolucin ................................................................................ 10.4. Residuos de la Evolucin estelar ...................................................................................... 10.5. Comparacin con las Observaciones. Aplicaciones de la Teora de la Evolucin Estelar.......................................................... Tabla de magnitudes absolutas y colores de las estrellas .................................................................

Cap tulo 1

Descripcin macroscpica del campo de o o radiacin. Nociones bsicas o a

1

1.1.

Intensidad espec ca

# Campo de radiacin: o - Fotones de distintas energ (,) propagndose as a en todas direcciones Suponemos dos elementos de supercie, dA y dA1, a lo largo de la direccin n. o Angulo slido trazado por dA en dA1: o d = dA1 = sen d d r2dA dA r d dA d = dA 1/ r 2 1 n

Figura 1.1: Campo de radiacin o

Energ que uye a travs de dA1 procedente de dA en dt y d a e dE = I dt d dA d cos dE = I dt d dA d cos # I , I: Intensidad espec ca (o monocromtica) a (1.1) (1.2)

2

I , I: distribucin en frecuencias (longitudes de onda) del campo de o radiacin o Funcin del punto, tiempo, direccin y frecuencia (longitud de o o onda). I en radioastronom se conoce como brightness (brillo) a Unidades: I = erg cm2 s1 ster1 Hz 1 I = erg cm2 s1 ster1 A1 Relacin entre I e I: o Id = I d : I = c I 2 (1.3)

I e I tienen distinta dependencia funcional. Si Para = cte. los correspondientes = cte.. Si y = cte. son cada vez ms pequeos (en la represena n tacin I). o Estos contienen menos energ que los =cte. para el caso de a I . En el caso del Sol: max 4500 (I) ; A max 8000 (I ) A

3

1.2.

Densidad de energ radiativa a

El haz I en dt recorre dl = c dt. Por tanto: dE = I d d cos dl dA c (1.4)

cos dl dA = volumen que atraviesa el haz en dt. I d d dV (1.5) c # Densidad de energ espec a ca (energ por unidad de volumen) intea grada en ngulo slido: a o dE = u d = es decir: u = dE 1 = dV c 1 c I d d

(1.6)

I d

(1.7)

u = densidad de energ por Hz en el haz I (). a Unidades: u = erg cm3 Hz 1

4

1.3.

Intensidad media

# Intensidad media: Valor medio de I sobre todos los ngulos slidos: a o 1 4

J =

I () d

(1.8)

Campo istropo: I = I (): o J = I u = J 4 c u = I 4 c (1.9) (1.10)

5

1.4.

Flujo de radiacin o

# Consideremos el campo de radiacin I y dA. o Flujo de energ procedente de todas las direcciones que atraviesa dA a en dt en el intervalo de frecuencia d es: F = dE

dA dt d

=

I cos d

(1.11)

El ujo procedente de d: dF = I cos d Unidades: erg cm2 sec1 Hz 1 1 Jansky = 1 Jy = 1026W m2 Hz 1 F = densidad de ujo (ux density) Campo istropo: o F = 0 entra y sale la misma radiacin de la supercie. o F es una medida de la anisotrop del campo. a (1.12)

6

1.4.1.

Flujos entrante y saliente

Suponemos una esfera y un punto en su supercie (d = sin d d):2

F =0

d0

I (, ) sin cos d

(1.13)

# Flujos entrante y saliente:2 2

2

F =0

d0

I sin cos d +0

d

2

I sin cos d (1.14) (1.15)

F = F+ F F+, F = ujo que sale y entra a la esfera respectivamente.+ F

F

Figura 1.2: Flujo entrante y saliente

7

Caso istropo: F = 0 o2

F+ = F = I0

d0

2

sin cos d = I

(1.16)

Esfera radiativa (estrella: F = 0) sin dependencia azimutal: F = 20 2

I sin cos d

(1.17)

Ecuacin bsica para computar el espectro emergente de una estrella. o a Si adems I = I () (I igual para cada hemisferio): a

F = I

(1.18)

Mismo resultado que caso istropo o

8

1.5.

Presin de radiacin o o

La radiacin electromagntica transporta un momento p=E/c en la o e direccin de propagacin del haz. o o Fotones con energ h tienen un momento: a p= h c

En nuestro caso consideramos que hay una transferencia de momento a la supercie dA.1111 0000 1111 0000 1111 0000n dV dl = c dt dA

# Presin de radiacin: componente normal del momento por unidad de o o tiempo y rea en el intervalo de frecuencias , + d a 1 dE cos c dA dt En trminos de la intensidad espec e ca: dP = dP = P d d = Integrado en ngulos slidos: a o P = Unidades: dinas cm2 Hz 1 I cos2 d c (1.21) I cos2 d d c (1.19)

(1.20)

9

# Integral K Se dene la integral K como: K = es decir: P = 1 4 I cos2 d

(1.22) (1.23)

4 K c

Caso istropo: o cos2 d =

4 3 P = u 3 (1.24)

1 K = I ; 3

P =

4 I ; 3c

10

1.6.

Algunos casos astrof sicos de inters e

# Las magnitudes que denen el campo de radiacin son utiles en difeo rentes situaciones en Astrof sica. Algunos ejemplos no excluyentes: Objetos extensos: Sol, estrellas cercanas resueltas por interferometr a, nebulosas, etc. se mide I (se resuelve la supercie, i.e. dA) Objetos puntuales F

Medio interestelar difuso J , u Interiores estelares, medio circunestelar P

11

1.7.

Cuestiones y ejercicios

1. Justicar: a) la intensidad espec ca de un haz de radiacin es independiente de la distancia y b) el ujo varia o con el inverso del cuadrado de la misma. a) Supongamos dos puntos cualesquiera en la direccin de propagacin separados una distancia R y dA1 y dA2 o o dos secciones normales al haz en esos puntos. La energ transportada que pasa a travs de los elementos de rea a e a se puede expresar como: dE1 = I (1)dA1 dtd1 d1 dE2 = I (2)dA2 dtd2 d2 d1 =dA2 R2 ,

d2 =

dA1 R2

0000000000000000000000 1111111111111111111111 111 000 111 000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 111 000 111 000 1111111111111111111111 0000000000000000000000dA 2 111 111 000 dA 1 000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 111 000 111 000 111 000 R 111 000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000Figura 1.3: La intensidad permanece constante

Cmo d1 = d2 y dE1 = dE2 (energ se conserva): o a I (1) = I (2) I = cte. b) Flujo: la energ por unidad de rea y tiempo. a a dE = F dAdt Consideramos dos supercies esfricas S1 y S de radios r1 y r alrededor de una fuente de radiacin. La energ e o a que atraviesa ambas supercies es la misma. Por tanto:2 F (r1 )4r1 = F (r)4r2

dI =0 ds

F (r) = Si consideramos S1 una supercie de referencia:

2 F (r1 )r1 2 r

F =

cte r2

12

2. Justicar (ualitativamente) que medimos: a) la intensidad cuando se resuelve la supercie radiante, b) el ujo c en caso contrario. a) Supongamos una fuente extensa a una distancia r que se focaliza a travs de un sistema ptico (es decir, e o nuestro telescopio). Sea Ad el elemento de resolucin espacial de nuestro detector (p.e. pixel de un CCD, grano de una emulsin o o fotogrca, fotomultiplicador con ese rea de fotoctodo, etc.). Ad corresponde a la imagen del rea As de nuestra a a a a fuente. - El ngulo slido que veAd es: a o As /r2 Claramente estamos midiendo I ya que el detector detecta radiacin procedente de un ngulo slido (de un o a o elemente de supercie de la fuente). b) Si r aumenta, la fuente disminuye su tama o pero Ad sigue estando completamente iluminada. n Al aumentar r llega un instante en que la supercie de toda la fuente subtiende un ngulo slido que se enfoca a o en un rea igual o menor que Ad . Cuando esto ocurre la fuente no se resuelve espacialmente y pasamos a medir a ujo.

Figura 1.4:

13

3. Una cmara consiste de una peque a apertura de dimetro d a una distancia L del plano de la pel a n a cula (ver gura). Mostrar que el ujo F en el plano de la pel cula depende de la intensidad I (, ) de la forma: F cos4 I (, ) 4f 2

Figura 1.5:

El ujo en el plano es: F = ( es muy peque o). n Por otra parte: = A = (d/2)2 y r = L/ cos . Llamando f = L/d, se deduce el resultado pedido. A cos A cos d2 cos3 = 2 = 2 r2 L / cos2 2 L2 I cos d I cos

14

Cap tulo 2

Transporte radiativo2.1.

Introduccin o

I (0)

I

Figura 2.1: Interaccin materia-radiacin o o

Radiacin se propaga a travs de un medio material I = cte. o e Interaccin materiaradiacin aade o sustrae energ de I () (carcter o o n a a estad stico) Absorcin: toma fotones de I (). Se calienta el medio. o Dispersin (scattering): toma fotones del ngulo slido y los transo a o porta a . Nota: scattering toma tambin fotones de y los lleva a (aade e n energ I ). a Emisin: Aade fotones a I () (p. e., movimiento de una part o n cula cargada; estados excitados atmicos o moleculares). o1

2.2.

Opacidad

Suponemos haz de radiacin propagndose en un medio. La variacin de o a o I se puede expresar como:ds

I dI

I

Figura 2.2: Variacin de I a lo largo de un medio de espesor ds o

dI = I ds

(2.1)

(cm1 ) = coeciente de extincin (tambin opacidad o coef. de abo e sorcin). o Alternativamente: dI = I ds (cm2 g 1) = coef. msico de absorcin u opacidad espec a o ca. = densidad del material (g cm3 ) = (2.3) (2.2)

2

Opacidad en trminos microscpicos e o Suponemos un medio con: n = part culas/cm3, = seccin ecaz (rea o a efectiva).

....... . . . .. .. . . .. . ... ... . .. .ds

dA

Figura 2.3: Elemento de volumen en un medio

Seccin ecaz total en el rea dA a lo largo de ds: o a n dA ds por unidad de rea: a n ds (2.5) (2.4)

(2.5) = nmero de fotones absorbidos o dispersados en el espesor ds. Por u tanto: = = n , y = f (), pero no son una distribucin del tipo de I . o (2.6)

3

Camino libre medio da una ideade lo que se desplaza un fotn en un medio sin ser o absorbido o dispersado. El inverso: l = 1 ; (cm)

representa.el camino libre medio del fotn (distancia entre encuentros o con part culas). Opacidad incluye absorcin y scattering, siendo cada proceso indepeno diente:a s = +

l se puede denir para absorcin o para scattering o

4

2.3.

Profundidad ptica o

dI = I ds = I ds Radiacin vela combinacin de y ds simultneamente. o o a Profundidad ptica: o d = ds = ds (2.7)

= razn entre la distancia recorrida y el camino libre medio del fotn. o o dI = I d dI = ds = d I Integrando en el espesor del medio:s

(2.8) (2.9)

I (s) = I (0) exp(0

ds ) = I (0) e

(2.10)

(2.10) es la ley de extincin en su forma ms simple. o a Si en un medio vamos de 0 a s:s

=0

(s) ds

(2.11)

5

Medios pticamente gruesos y delgados os

=0

ds s

0 0

I

.. . . .. ... . . . . . ...... . . .

Figura 2.4: Medio de espesor s y profundidad ptica o

La transparencia relativa del medio depende de 1: los fotones han viajado lo suciente para ser absorbidos o dispersados. 1: El fotn es absorbido muchas veces antes de recorrer la distancia o 0 S. Medio pticamente grueso o 1: no hay absorcin o dispersin en 0 S. Medio pticamente o o o delgado

6

2.4.

Emisividad

Un medio medio emite fotones por: Conversin de energ trmica en radiacin o a e o Atomos excitados previamente Coeciente de emisin j : Energ emitida por unidad de volumen, de o a tiempo, de ngulo slido e intervalo espectral: a o dE = j dV d dt d Unidades: j = erg cm3 ster1 Hz 1 s1. Cantidad de energ emitida por un medio de espesor ds y coeciente de a emisin j : o dI () = j () ds (2.13) (2.12)

7

j incluye: Emisin espontnea: tendencia natural de todo sistema cuntico a alo a a canzar su estado de ms baja energ Este emisin no es funcin del a a. o o campo de radiacin. o Emisin inducida: relacionada con el nmero de fotones (I ) en la vecino u dad de un tomo o molcula excitados y capaces de emitir otro fotn. a e o El coeciente de emisin se puede expresar como: o j = ; ( = emisividad) (2.14)

=densidad del medio (g cm3) Unidades de : erg s1 Hz 1 ster1 g 1) erg s1 Hz 1 g 1 , (integrada en ngulo solido). a

Caso istropo o Energ emitida: a dE = 1 dV dt d d 4 (2.15)

8

2.5.

Contribucin del scattering a la emisin o o

Dispersin de fotones contribuye a la emisin: o o la energ del fotn retorna al campo de radiacin en otra direccin. a o o o Casos sencillos: Scattering coherente: del fotn dispersado igual a la del fotn o o incidente Scattering istropo: direccin del fotn dispersado no guarda relacin o o o o con la direccin del fotn incidente o o dI en estos casos:: dI = s I ()

d ds 4

(2.16)

s dI = J ds

(2.17)

J = intensidad media

9

2.6.

Ecuacin de transporte radiativo (radiative o transfer)

Radiacin I a travs sufre una variacin al atravesar un medio ( o e o Expresin formal de la ecuacin de transporte radiativo: o o dI = I + j ds Para cada caso concreto: opacidad y emisividad De forma expl cita: dI a s = ( + )I + ds Solucin en dos casos sencillos: o Slo emisin ( = 0): o o I = Slo absorcin (j = 0): o o I =0 I exp( s 0 I s s I

(2.18)

d + j 4

(2.19)

+0

j (s ) ds

(s) ds )0

10

2.7.

Funcin fuente o

Dividimos la ecuacin de transporte por (y d = ds): o dI j = I + = I + S d Funcin fuente: S = j / o Solucin formal de la eq. de transporte: o Integrando (multiplicamos por e primero): e dI + I d = d (e I ) = e S d

(2.20)

I ( ) = I (0) e

+0

S e

( )

d

(2.21)

Da la intensidad en el punto con .

11

Interpretacin: I tiene dos trminos: o e

I ( ) = I (0) e0

+0

S e

( )

d

I (0) 0

S

I ( )

L

1. I (0) disminuida por el factor de extincin e . o , 2. Integral de S sobre todas las disminuida por la absorcin e o o donde ( ) es la diferencia de profundidad ptica entre el punto de emisin y el de observacin. o o( )

12

2.8.

Casos Sencillos

S = constante

I ( ) = I (0) e

+0

S e

( )

d

I ( ) = I (0) e + S (1 e ) 1. S Si I (0) < S 2. >> 1 e 0 ; (1 e ) 1 atenuacin (absorcin) o o emisin sobre I o

I = S13

Scattering istropo puro o # Energ emitida: fotones dispersados en la direccin que se considere. a oS Istropo: = f () o

El coeciente de emisin es: o j =

I I

d 4

j =

d 4

S = J

14

2.9.

Interpretacin simple de la eq. de transporte o

dI = I + S d Si I > S dI d

0

I tiende a crecer

S es la cantidad a la que I tiende a aproximarse. De hecho, alcanza ese valor cuando es lo sucientemente grande.

15

2.10.

Cuestiones y ejercicios

1. La principal contribucin a la opacidad en el ncleo solar es scattering por electrones, 0,6 1024 cm2 . Suponiendo o u una densidad en el ncleo de = 100 g cm3 , estimar la distancia recorrida por un fotn entre encuentros. u o Solucin: Para estimar el coeciente de extincin total estimamos el nmero de electrones en el ncleo. Suponemos que o o u u el Sol est compuesto exclusivamente de H y que ste se encuentra ionizado en el ncleo. La densidad de protones es: a e u Np = siendo mp = 1,67 1024 g la masa del protn o de aqu resulta: Np = 1,2 1026 cm3 La opacidad es = N 72 cm1 y el camino recorrido l = 1 0,01 cm mp

2. Supongamos un fotn de un campo de radiacin I viajando en un medio homogeneo con densidad = 2,5 107 g cm3 o o y una opacidad = 0,264 cm2 g 1 (valor aproximado para una = 5000 ). Calcular la distancia media caracter A stica recorrida por el fotn para que la intensidad decaiga en un factor e1 .(Nota: los valores dados se aproximan a zonas de o la fotosfera solar). Solucin: Ecuacin que da la intensidad: o o I() = I0 () e Por tanto: I() = e1 = e s I0 () Operando s = 1,52 107 cm 3. Una nube de gas de radio R situada a una distancia d produce fotones de rayos X a un tasa (fotones por unidad de volumen y unidad de tiempo). Suponemos que el medio es pticamente delgado y los fotones no son absorbidos. Un o detector en la Tierra tiene un haz de tamao angular de radio d y un rea efectiva A. a) cul es la intensidad n a a observada (fotones por unidad de tiempo, rea y estereoradin) hacia el centro de la nube, si la fuente est resuelta a a a completamente? b) cul es el ujo observado cuando la fuente no se resuelve? a Respuesta: a) Suponemos que la nube emite isotrpamente. La ecuacin de transporte es (no hay absorcin): o o o dI =j= ds 4 con I denida en funcin del nmero de fotones (fotones cm2 s1 ster1 ). o u Por tanto, integrando a lo largo de una l nea a travs del centro: e I = j 2R = R 2Rs0 ds

= I0 () e s

b) En este caso, el tamao angular de la fuente s = R/d es menor que el haz del detector d . n El ujo es: F = y la luminosidad (energ por segundo) de la fuente: a L= 4 3 R 3 L 4d2

16

por tanto: R3 3d2 4. Mostrar que la condicin para que una nube pticamente delgada de material pueda ser barrida por la presin de radiacin o o o o de una estrella cercana es que la razn M/L de la estrella sea menor que /(4Gc), siendo G la constante de gravitacin, o o c la velocidad de la luz y el coeciente de absorcin msico del material de la nube (lo suponemos independiente de la o a frecuencia). Respuesta: El ujo a una distancia r de la estrella es F = L/(4r 2 ), arrastrando la radiacin un momento por unidad de tiempo o (tasa del momento) L/c. La fuerza de la radiacin por unidad de masa que se ejerce sobre la nube es la tasa del momento o por unidad de supercie absorbido por el material: F = L F = c 4r 2 c Por otra parte, la fuerza gravitacional debida a la estrella por unidad de masa es frad = fgrav = GM r2

La condicin para que el material sea barrido es fgrav < frad . Por tanto: o M < L 4Gc L mite de Eddington La expresin anterior es vlida en toda conguracin esfrica. o a o e Si en la relacin anterior, consideramos la situacin es de equilibrio: o o 4cGM La luminosidad cr tica depende de . Si consideramos scattering Thompson por electrones libres -da el valor m nimo de la opacidad de un gas de H ionizado -(ver problema 1) y el coeciente msico por atomo de H es T /mH , el valor resultante a es el conocido por el l mite de Eddington: L= L= 4cGM mH T

5. Se llama fotoionizacin a un proceso en el que un tomo o molcula absorbe un fotn y se libera un electrn. La energ o a e o o a requerida es al menos igual al potencial de ionizacin, h0 . Mostrar que el nmero de fotoionizaciones por unidad de o u tiempo y volumen viene dado por: 4na siendo: na = densidad del nmero de tomos u a = seccin ecaz de fotoionizacin o o Z 0

J d = cna h

Z

0

u d h

Respuesta: Supongamos un elemento de volumen dV de seccin dA y espesor dl normal a la propagacin del haz de radiacin. La o o o variacin de la intensidad del haz ser: o a dI = I dl con la opacidad del medio. La energ absorbida en dV , dt, d y d es: a dI dAdtdd o I dV dtdd

17

. La energ total (en todas las direcciones) absorbida por unidad de tiempo, volumen y unidad de intervalo espectral es: a Z I d = 4 J

Siendo J la intensidad media. Cada fotoionizacin requiere una energ h con > 0 . Por otra parte, la opacidad es: o a = na Por tanto, el nmero de fotoionizaciones por unidad de volumen y tiempo es (teniendo en cuenta que J = u resultado del enunciado.u c ) 4

el

18

Cap tulo 3 El cuerpo negro. Cuerpo negro: Distribucin de fotones en un recinto en equio librio termodinmico (T = cte.) a

Figura 3.1: Cuerpo negro

- Cavidad cerrada excepto por un agujero muy pequeo. n Radiacin que entra: probabilidad muy pequea de escapar. o n Radiacin se absorbe por las paredes de la cavidad o por el o gas del interior. Si la cmara se calienta: paredes emiten fotones. a Cada foton se reabsorbe; los que escapan son despreciables. Si T =cte: equilibrio termodinmico dentro de la cmara. a a Pequea fraccin de fotones que escapan permite que se mida n o el espectro del interior (slo depende de la temperatura) o

1

Fotosfera estelar: Se comporta bsicamente se comporta coa mo un cuerpo negro: i) Escapa una fraccin despreciable de radiacin: o o en lo ms profundo, sucientemente grande para a impedir que se escape la mayor parte de los fotones emitidos. ii) Fotones se reabsorben muy cerca de donde se emiten. iii) Son tantos los que se dirigen hacia afuera como hacia adentro. iv) Material cercano al equilibrio termodinmico: radiacin BB a o Las capas ms elevadas se desvian de BB: el agujerose a vuelve ms y ms importante. a a Hay una transicin de equilibrio termodinmico local o a casi perfecto (LTE) a un situacin de no-LTE en las capas ms o a altas.

2

3.1.

Funcin de Planck o

Campo de radiacin emitido por un cuerpo negro. La inteno sidad es: 2h 3 1 2hc2 1 B (T ) = 2 h/kT ; B(T ) = 5 hc/kT (3.1) c e e 1 1 h = cte. de Planck = 6,626 1027 erg s k = cte. de Boltzmann = 1,38 1016 erg grad1

Figura 3.2: Curvas de cuerpo negro

3

3.1.1.

Aproximacin de Rayleigh-Jeans o kT : 2 2 B (T ) = 2 kT c (3.2)

h

L nea recta en un diagrama (log B , log ). Util en radio. 3.1.2. Aproximacin de Wien o h kT :

2h 3 h B (T ) = 2 e kT c

(3.3)

B (T ) muy rpidamente con . a

4

3.1.3.

Ley del desplazamiento de Wien

Frecuencia para la cual B (T ) es mximo. aB [ = ] = 0:max

max = 5,88 1010 Hz grad1 T max se desplaza linealmente con la temperatura. Con la representacin en de la funcin de Planck: o o maxT = 0,290 cm grado

(3.4)

(3.5)

! Mximos de B y B no ocurren simultneamente en y ! a a max max = c Muy util para caracterizar el rango de frecuencias vlido para a las aproximaciones anteriores: RJ : W : max max h kT h ( kT ( 1) 1)

5

3.1.4.

Ley de Stefan-Boltzmann

Flujo de radiacin: o F =

I cos d

Para un BB: radiacin escapa (F ) y es istropa: o o F = I Flujo total de la radiacin de un BB (integrando en ): o

F =0

2h F d = 2 c

0

3 eh kt

2 5k 4 4 d = T = T 4 15h3c2 1 (3.6) (3.7)

F = T 4

= cte. de Stefan-Boltzmann = 5,67105 erg s1 grad4 cm2

6

3.2.

Ley de Kircho para la emisin trmica o e

Funcin fuente, S , de un BB es B (T ). La emisividad del o material es: j = B (T ) Ley de Kircho para emisin trmica. o e En este caso, la ecuacin de transporte: o dI = I + B (T ) ds dI = I + B (T ) d N ota: Radiacin de cuerpo negro: I = B o Radiacin trmica de un material: S = B o e (3.9) (3.10) (3.8)

7

3.3.

Temperatura de brillo (brightness temperature)

Para un campo de radiacin I , se dene la temperatura de o brillo, Tb(), a la frecuencia como: I = B (Tb) Util en radio (medio interestelar): R-J aplicable (h (3.11) kT ):

2 2 c2 I = 2 kTb Tb = 2 I (3.12) c 2 k Ecuacin de transporte se puede poner en funcin de Tb: o o dTb = Tb + T (3.13) d Tb = Tb(0) e + T (1 e ) T = temperatura del medio. Si > 1 : Tb T (3.14)

Unicidad de Tb se basa en la condicin montona de la ley o o de Planck. En la aproximacin de Wien Tb no es util: no se puede foro mular una ecuacin de transporte lineal en Tb. o

8

3.4.

Temperatura de color

Temperatura de BB a partir de los ujos relativos en dos distintas: hc 2 5 kT ( 1 1 ) S(1) =( ) e 2 1 (3.15) S(2) 1 Util para determinar la l.d.o.mxima del espectro de raa diacin. o Se utiliza la aproximacin de Wien o En la prctica, hay que tener en cuenta para cada a

9

3.5.

Temperatura efectiva. Luminosidad

Se determina a partir del ujo total emitido: F =

I cos dd = Te4

(3.16)

Suponemos un BB de radio R y temperatura T (por ejemplo, una estrella). Energ total emitida por segundo: a L = 4R2T 4 (3.17)

L = Luminosidad de una estrella de radio R y temperatura efectiva T

10

3.6.

Comentarios. Otras temperaturas

Te, Tb: dependen del valor de la intensidad de la fuente. Tc: depende de la forma del espectro. Temperatura cintica: relacionada con la velocidad media de e las part culas del gas: 1 2 3 mv = kTk 2 2 (gas ideal)

Tk (corona solar) 106K( ve 6800km s1) Tk (ionosfera) 2 103K( ve 300km s1) Temperatura de excitacin, ionizacin o o En equilibrio termodinmico: todas las T s iguales. a

11

Figura 3.3: Distribucin energtica de una estrella : No es un cuerpo negro exacto o e

12

3.7.

Cuestiones y ejercicios

1. Un remanente de supernova tiene un dimetro angular = 4.3 arcmin y un ujo a 100 M Hz de F100 = a 1,6 1019 erg cm2 s1 Hz1, siendo la radiacin trmica. a) Estimar la temperatura de brillo? b) Si La regin o e o emisora es en realidad ms compacta que la indicada por el tamao angular observado, indicar el efecto sobre el a n valor de Tb Respuesta: a) La intensidad espec ca (brightness) es I = F /, donde = ()2 . En nuestro caso = /2 = 2,15arcmin = 6,25 104 radian. Por tanto: I = 1,3 1013 erg cm2 s1 Hz 1 ster1 y: Tb = c2 I = 4,2 107 K 2 2 k

(aproximacin de Rayleigh-Jeans es apropiada). o b) Tb I ()2 . Si el verdadero es menor, Tb ser mayor que el dado arriba. a 2. Una nube interestelar de radio R situada a una distancia d de la Tierra tiene una temperatura T y emite trmicamente a una razn P () (energ por unidad de tiempo, volumen y rango de frecuencia). a) Suponiendo e o a que la nube es pticamente delgada, cul es la intensidad de la nube medida en la Tierra? (dar la respuesta en o a funcin de la distancia b de un punto de la nube a su centro y suponer que la nube se observa a lo largo de rayos o paralelos) b) Cul es la temperatura efectiva de la nube? a Respuesta: Ntemos que la emisividad de la nube es: o j = P ()/4 y que podemos suponer que la opacidad es cero. Utilizando la ecuacin de transporte obtenemos: o I (b) = . La potencia total emitida por la nube es: 4 3 R P 3 4 P ()d. Por denicin L = 4R2 Te y por tanto: o L= Te = ( P R 1/4 ) 3 jn u(z)dz = P () 2 (R b2 )1/2 2

con P =

3. La corona interna del Sol emite ondas de radio con un ujo sobre la supercie terrestre de 5 1022 W m2 HZ1 a una frecuencia de 200 MHz. Estimar la temperatura de la corona si suponemos que emite como un cuerpo negro. h kT

= 102 /T 0 n= n=4 0.85 eV n=3 1,51 eV 8

10.20Lyman

n=2 3.40 eV

0.00

n=1 13.60eV

Figura 4.2: Esquema simple de los niveles de energ de H. Se muestra el nmero cuntico n, la energ de ligadura a u a a (derecha) y el potencial de excitacin (izquierda), ambos en eV . para los cuatro primeros valores de n o

Cuadro 4.1: L mites de ionizacin de las primeras series de H o n 1 2 3 4 5 (A) 912 3647 8208 14588 22790 Nombre Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund

12

Fotoionizacin: absorcin ligado - libre (produce opacidad continua): o o Captura: emisin libre - ligado (produce emisin continua de fotones): o o ** Ejemplo, serie de Balmer: n = 2, = 3647 , energ de ionizacin A a o X2 = 3,4 eV Fotoionizacin: opacidad continua para fotones con < 3647. o A Captura: transicin del continuo a n = 2 emisin continua de fotones o o con < 3647. A Ambos procesos dan lugar al continuo y a la discontinuidad de Balmer, muy importantes en el espectro de muchas estrellas.

Figura 4.3: L neas y discontinuidad de Balmer en espectros estelares

13

4.2.3.

Transiciones libre-libre (b-f )

Transiciones entre estados del continuo. Estados libres no cuantizados Originan la radiacin bremsstrahlung (opacidad libre-libre). o Escenarios astrofsicos relevantes: Interiores estelares: H completamente ionizado; f f principal fuente de opacidad. Regiones HII y nebulosas planetarios (PN): bremsstrahlung muy notable en l.d.o. de radio en estas regiones. Nota: Eion(H) =13.6 eV = 912 T 30000 K A Estrellas que producen fotoionizacin: B3, T 30000 K, M M , o L 2 103L

Figura 4.4: La regin HII S106 en el infrarrojo cercano (izquierda) y en 6 cm (derecha) o

14

4.2.4.

Estructura na

Estructura na: interaccin spin-orbita (l s): o spin del electrn interacciona con el momento angular orbital del tomo. o a n: l = 0, 1, 2, ..., n 1(S, P, D) j = l 1 . 2 Estados, nomenclatura y peso estad stico: S(l = 0) P (l = 1) j= 1 2

1 3 j= , 2 2 3 5 D(l = 2) j = 2 2 2s+1 n lj gn = 2n2

Diferencia de energ entre estados debido a la interaccin spin-orbita: a o En,j 2RZ 4 3 1 ( = ) n3 4n j + 1 2 (4.3)

h = cte. de estructura na = e2/( 2 c) 1371.

15

Ejemplo: Nivel 2p # n = 2 l = 1, j = 1/2 ; # n = 2 l = 1, j = 3/2 ; E = 5,66 105 eV E = 1,1 105 eV

Nivel 2p se desdobla en 2 con E 4,5 105 eV # L nea H( = 6563 ): E2 E3 = 1,3 ev A Estructura na: 105 H 0,06 A # Resolucin de un espectrgrafo: R = / o o En el caso de H: R 100,000( v = 2,7km/s) # Espectrgrafos de alta resolucin (!! ensanchamiento de l o o neas !!) # L neas del doblete de NaI: = 6 A

Figura 4.5: Niveles de energ del tomo de hidrgeno. Arriba a la derecha se muestra la estructura na para el nivel a a o n=2. El desplazamiento Lamb entre los estados 22 S1/2 y 22 P1/2 corresponde a E = 4.4 106 eV. Abajo se muestra la estructura hiperna del estado n=1; la diferencia de energ entre ambos estados es E = 5.8 106 eV. El fotn a o emitido en una transicin entre ambos estados corresponde a = 21.11 cm o

16

4.2.5.

Estructura hiperna

Estructura hiperna: interaccin spin spin: o spin del electrn y del protn interaccionan. o o # Nivel 12s 1 deH se desdobla en 2 niveles con separacin: o2

E 5,9 106 eV .

21 cm

Transicin entre ambos niveles es altamente prohibida: electrn cambia o o spin. Probabilidad muy pequea: vida media del nivel 107 aos. n n Escenario astrofsicos: H en el medio interestelar (baja densidad) de la Galaxia (y en otras galaxias externas) muy abundante = 21 cm( = 1420 M Hz) facilmente observable. Traza la distribucin o de H en la Galaxia).

Figura 4.6: Emisin de 21 cm (HI) en el plano galctico o a

17

4.2.6.

Estados metaestables

F sica del medio interestelar: muy inuenciada por transiciones que no siguen las reglas de seleccin. o Por ejemplo, transiciones en las que los e cambian la orientacin del o spin: transiciones prohibidas: muy baja probabilidad. # Ejemplo: HI 22s 1 12s 12 22P 3/2 2S 1/2 2P 1/2

n=2

n=1

2S

1/2

No cambia l, l = 0 Fotn emitido se lleva una unidad de momento angular. o e tiene que cambiar (ip) su spin para que el momento angular orbital se conserve. Transicin de muy baja probabilidad: razn 10 s1 (transiciones pero o mitidas 108 s1). H permanece durante un tiempo muy largo en el estado 22s 1 antes de 2 caer espontneamente al estado fundamental a

18

Escenarios astrofsicos: # estelares muy altas: H(22s 1 ) colisiona muchas veces antes de caer al nivel fundamental.2

La energ de excitacin se puede transferir a la part a o cula colisionante produciendo una des-excitacin colisional (inverso: excitacin colisional). o o # En el medio interestelar las colisiones son poco frecuentes y puede ocurrir la transicin (proceso ms probable es emisin de dos fotones) o a o Estados metaestables: Niveles energticos con probabilidades de transicin e o muy bajas Importantes en medios de baja densidad.

Nomenclatura de tomos e iones en Astrofsica a Atomo neutro: I (ejemplo HI, CaI) Una vez ionizado: II (ejemplo HII, CaII) Dos veces ionizados: III (ejemplo OIII) .......

19

4.3.

Excitacin trmica. Formula de Boltzmann o e

# Intensidad de una l nea depende de (al menosen sentido cualitativo): Nmero de tomos en el estado de ionizacin correspondiente u a o Nmero de tomos en el estado de excitacin que da lugar a la u a o transicin. o Ley de Boltzmann: distribucin (en equilibrio termodinmico) de la o a poblacin de tomos entre los distintos estados energticos (niveles de exo a e citacin) para un estado de ionizacin. o o Ni,m gi,m ( i,m ) = e kT Ni,1 gi,1 (4.1)

Ni,m = nmero de tomos por unidad de volumen en el grado de ionu a izacin i que se encuentran en el nivel de excitacin m o o Ni,1 = nivel fundamental g = peso estad stico i,m = energ de excitacin E1 Em a o i = E1 E = energ de ionizacin del in a o o k = cte. de Boltzmann = 1,38 1016 erg/K = 8,6174 105 eV /K

20

# Si consideramos el nmero total de tomos en ese estado de ionizacin: u a o Ni,m gi,m ( i,m ) = e kT Ni ui(T ) ui(T ) = gi,mei,m ( kT )

(4.2)

= funcin de particin (suma de estados). o o

# Tomando logaritmos (decimales) en la ley de Boltzmann: log =5040 T ,

Ni,m gi,m = log i,m Ni,1 gi,1

(4.3)

i,m (eV )

Figura 4.1: Fraccin de atomos en funcin de la temperatura de excitacin o o o

21

Ejemplo: NaI en la atmsfera del Sol (T = 6000 K) o # L nea NaI D2, = 5890 (32P3/2 32S1/2) A E =2.10 eV g(J = 3/2) = 2J + 1 = 4 g(J = 1/2) = 2 Boltzmann:N (P3/2 ) N (S1/2 )

0,034

22

4.4.

Ionizacin. Ley de Saha o

# Describe el equilibrio de la reaccin: o Atomo Ion + e . La diferencia de energ entre el estado fundamental y un estado en el a continuo es: 1 (Ec = mv 2) 2 Saha: relacin entre las poblaciones de los estados fundamentales de un o a tomo una vez ionizado y el tomo neutro: a 0 + Ec ; N1,1 g1,1 (2me)3/2(kT )5/2 0/kT Pe = 2 e N0,1 g0,1 h3 donde Pe = NekT es la presin electrnica (dinas cm2). o o - Alternativamente, en funcin de la densidad electrnica: o o N1,1Ne g1,1 (2mekT )3/2 0/kT =2 e N0,1 g0,1 h3 (4.5) (4.4)

23

# Para todos los estados de excitacin y para cualquier grado de ionizacin: o o Ni+1 ui+1 (2me)3/2(kT )5/2 i/kT Pe = 2 e Ni ui h3 (i = grado de ionizacin nmero de veces ionizado) o u En funcin de Ne: o Ni+1Ne ui+1 (2mekT )3/2 i/kT =2 e Ni ui h3 # Tomando logaritmos se llega a la expresin: o log Ni+1 ui+1 5 = log 2 + log + log T i log Pe 0,48 Ni ui 2 (4.8) (4.7) (4.6)

24

Ejemplo: Atomo de Na (0 = 5,14 eV, 1 = 47,29 eV ) en condiciones solares (T = 6000 K, Pe = 10 dinas/cm2). u0,1 g0,1 = 2, u1 g1,1 = 1 u2 = g2,1 = 4. Saha: N1 4 103 N0 N2 4 1031 N1 N a predominantemente una vez ionizado en la atmsfera de estrellas o tipo solar. Comparacin de N a e H en condiciones solares: o T = 6000 K ; [N a/H] 106 N (N a+) e5,14/kT ; N (H +) e13,6/kT

N (N a+) 107 +) N (H . Ionizacin de los tomos de N a con respecto al H compensa aproxio a madamente la deciencia en la abundancia. e libres en la atmsfera solar provienen prcticamente de los tomos o a a de baja ionizacin en la atmsfera solar. o o Estos e libres (procedentes de metales) determinan la ionizacin de H o en la ecuacin de Saha a travs de Pe (Ne). o e

25

Figura 4.2: Ionizacin y excitacin trmica en funcin de la temperatura para distintos iones. (Pe = 100 dinas/cm2 ) o o e o

26

27

4.5.

Cuestiones y ejercicios

1. Podr escribir los valores de l, j y m que caracterizan los subniveles del nivel n = 2 en el tomo de hidrgeno? as a o Respuesta:3 n = 2 : l = 1j = 2 m = 3 , 1 , 1 , 2 2 2 1 n = 2 : l = 1j = 2 m = 1 , 1 2 2 1 n = 2 : l = 0j = 2 m = 1 , 1 2 2 3 2

2. Sabr estimar el orden de magnitud de la fraccin de tomos de HI que se encuentran en el nivel n = 2 con as o a relacin al estado fundamental a una temperatura de 10000 K? o Respuesta: La poblacin relativa de dos niveles viene dada por la ley de Boltzmann: o Nn gn En Em kT = e Nm gm Para n = 2, En Em = 10,2 eV y gn = 2n2 = 8. Por tanto: N2 5,8 106 3. Sabr estimar la poblacin del nivel 32 P3/2 de NaI en relacin al estado fundamental 31 S1/2 para una temas o o peratura de 6000 K? Respuesta: La diferencia de energ entre ambos niveles de N aI da lugar a la l a nea D2 ( = 5890), que A 2 corresponde a 2,10 eV . El peso estad stico (g = 2J + 1) del nivel 3 P3/2 es g = 4(J = 3/2); para el nivel 31 S1/2 es g = 2(J = 1/2). Para T = 6000 K, se obtiene (aplicando Boltzmann): N (P3/2 ) 0,035 N (S1/2 ) 4. Cal es el orden de magnitud de la razn de electrones procedentes de LiI e HI para una temperatura de 5000 u o K? Cantos electrones, en orden de magnitud, proceden de HeII? u Respuesta: Segn Saha el factor exponencial para Li, H y He+ es: u N (Li+ ) e5,392 kT

N (H + ) e kT N (He++ ) e Con T = 5 103 K y k = 8,62 105 eV deg 1 , se obtiene:

13,6

54,416 kT

N (Li+ ) 3,7 106 N (Li) N (H + ) 2 104 N (H) N (He++ ) 1,5 1055 N (He+ ) 5. Una estrella de tipo G5V tienen una temperatura de 5520 K y una presin electrnica de 20 dinas/cm2 . Estimar o o la Pe de una estrella gigante del mismo tipo espectral y temperatura T = 4650 K si la ionizacin del F e es la o misma en ambas estrellas. Qu puede decirse de la ionizacin del Sr?. e o Datos: F e = 7,87 eV, log 2u1 /u0 = 0,40; Sr = 5,70 eV, 28 log 2u1 /u0 = 0,32

Con Saha se halla la ionizacin del F e en la estrella enana: o log(N1 /N0 )F e = 5040 7,87 + 2,5 log 5520 0,48 + 0,40 log20 = 0,79 5520

- Para la gigante la ionizacin tiene el mismo valor. Por Saha: o Pe = 0,59 dinas/cm2 En el caso del Sr, aplicamos Saha en ambas estrellas: # Enana: (N1 /N0 ) = 489 # Gigante: (N1 /N0 ) = 1382 6. El doblete de M gII a = 4481 proviene de la transicin del trmino: A o e 32 D3/2,5/2 42 F3/2 Suponiendo Pe = 100 dinas cm2 y T = 7200 K, calcular la fraccin de tomos de M g capaces de absorber o a fotones con = 4481 , sabiendo que el potencial de excitacin del trmino ms bajo de la transicin es A o e a o (32 D) = 8,83 eV y que el nivel fundamental del M gII es un trmino 32 S1/2 . e Datos: Primer potencial de ionizacin de M g: 1 = 7,65 eV o Segundo potencial de ionizacin M g: 2 = 15,03 eV o log2u1 u0

= 0,43 ; log

2u2 u1

=0

# Se aplica Boltzmann para estimar la fraccin de tomos de M gII en el nivel 32 D respecto del nivel 32 S o a g(32 D) = (2J1 + 1) + (2J2 + 1) = (2L + 1)(2S + 1) = 10 ; g(32 S) = 2

log N (32 D)N (32 S) = (5040/7200) 8,83 + log(10/2) = 5,48 N (32 D) = 105,48 N (32 S) Aplicamos Saha para ver la fraccin de M gII y operando: o log N1 5040 = 7,65 + 2,5 log 7200 0,48 log 100 + 0,43 N0 7200 N1 = 173 n0 N1 = 173/174 = 0,994 N1 + N0

log

N1 = 2,24 N0

Para la segunda ionizacin: o log se puede despreciar. Nmero de tomos capaces de absorber fotones con = 4481 u a N (32 D) 105,48 N (32 S) = = 0,994 105,48 = 3,4 106 Ntotal Ntotal 29 N2 = 3,36 N1

7. Suponer gas hidrgeno puro con una presin gaseosa Pg = 103 dinas cm2 y una temperatura T = 10080 K. o o Calcular la razn H /H y la presin electrnica Pe = ne kT . o o o Nota: n = ne + H + + H ; Pg = nkT Datos: ion = 13,6 eV ; k = 1,36 1016 erg grados1 Ley de Saha: log u+ = 1; u = 2 Operando: Por otra parte: Pg = nkT = (ne + N + + N )kT = 2Pe + N kT ; (ne = N + ) logN+ N

N+ u+ 5 5040 = log + log 2 + log T ion log Pe 0,48 N u 2 T

= 2,73 log Pe

log Operando:

Pg PH N+ = 2,73 log = 3,03 log(Pg PH ) N 2

N+ (Pg N kT ) = 1,07 103 N N+ (103 N 1,37 1012 ) = 1,07 103 N Podemos despreciar el segundo trmino del parntesis. Operando con nmeros: e e u N + /N = 1,07 e = N + N Pg 3Pe Pe 330 dinas cm2

30

4.6.

Apndice: Funcin de particin e o o

Sea N 0 el nmero total de tomos neutros (incluye todos los estados de excitacin) u a o 0 N 0 = N1 + n=2 0 0 Nn = N1 + 0 N1 g1

gn en /kTn=2

donde se ha aplicado la ley de Boltzmann. Reagrupando. N0 =0 N1 g1

g1 +n=2

gn en /kT

=

0 N1 u0 (T ) g1

u0 (T ) = funcin de particin. = suma pesada de las formas en las que se pueden localizar los electrones. o o Ejemplo: En el caso del Sol practicamente todo el H se encuentra en el nivel fundamental. Por tanto u0 2. Analogamente para los iones: + u+ (T ) = g1 n=2 + gn en /kT+

Para H + , u+ = 1, ya que no quedan electrones.

4.7.

Apndice: Coecientes de Einstein e

La ley de Kirchho, j = B , relaciona los procesos de emisin y absorcin para un emisor trmico. Einstein o o e estableci esta relacin de forma sencilla entre ambos procesos, analizando la interaccin de radiacin con un sistema o o o o atmico de dos niveles discretos de energ con su correspondiente peso estad o a stico. Einstein identic tres procesos: o 1. 2. 3. Emisin espontnea: El electrn experimenta espontneamente una transicin hacia el nivel de energ ms o a o a o a a bajo con la emisin de un fotn. o o Absorcin estimulada: Un fotn es absorbido producindose la correspondiente transicin. o o e o Emisin estimulada: Cuando un electrn experimenta una transicin hacia abajo emite un fotn. Si ello o o o o ocurre en la presencia de un fotn del mismo tipo como el emitido en la transicin, la probabilidad del evento se o o incrementa de forma notable (resonancia).

Supongamos un tomo con dos niveles energticos n y m, siendo m el de ms baja energ Los procesos anteriores a e a a. los podemos describir en trminos de su probabilidad: e El nmero de tomos que pasa del nivel n al nivel m por emisin espontnea lo podemos expresar como: u a o a Nnm = Anm Nn dt El nmero de tomos que absorbe un fotn y experimenta un transicin hacia arriba: u a o o Nmn = Bmn Nm I dt El nmero de tomos que experimenta una emisin inducida debido a la presencia del campo de radiacin I : u a o o Nnm = Bnm Nn I dt en estas expresiones: 31

Anm = Coeciente de Einstein de emisin espontnea o a Bmn = Coeciente de Einstein de absorcin (estimulada) o Bnm = Coeciente de Einstein de emisin estimulada o Los tres coecientes no son independientes y dependen del tomo en cuestin. En equilibrio trmico el campo de a o e radiacin est dado por la funcin de Planck y la ley de Boltzmann da la distribucin de tomos entre los distintos o a o o a estados excitados. Se debe cumple: Nm Bmn B (T ) = Nn [Anm + Bnm B (T )] Teniendo en cuenta las expresiones de las leyes de Boltzmann y Planck se llega a: gn Bnm = gm Bmn Anm = - gm y gn son los pesos estad sticos. 2h 3 Bnm c2

4.8.

Apndice: Poblaciones invertidas: mseres e a

Para un sistema en equilibrio trmico: e n2 g1 h = exp( ) g1 g2 Incluso cuando el material no est en equilibrio trmico, esta relacin se suele satisfacer. a e o Cuando se invierte la relacin anterior hay tomos sucientes en el nivel superior n2 para causar una inversin en la o a o poblacin de las niveles: o n2 n1 < g1 g2 n1 n2 < g1 g2 En este caso, el coeciente de absorcin es negativo: 0. En lugar de decrecer, la intensidad se incrementa a lo o largo del camino. Tal sistema se llama maser (laser) -microwave amplication by stimulated emission of radiation. La amplicacin puede ser muy grande. Una profundidad ptica negativa de -100, lleva a un factor de amplicacin de o o o 1043 . Mseres astrof a sicos se observan de molculas tales como OH, H2 O, N H3 , SiO, etc. e

32

TEMA 5MEDIDAS FOTOMTRICAS DE LAS ESTRELLAS

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1

Magnitudes estelaresHiparco de Rodas (190-125 AC) clasific las estrellas de acuerdo a su brillo en el cielo en seis intervalos a los que llam magnitudes. A las estrellas ms brillantes les asign magnitud 1 y a las estrellas en el lmite de visibilidad les asign la magnitud 6.

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2

1

Escala de magnitudesDado que la respuesta del ojo humano es logartmica, el brillo de estrellas de magnitud 1 y magnitud 6 difiere en un factor 100. En la actualidad, la escala de magnitudes viene definida por la relacin:

m1 m2 = 2.5 log

B1 B2

B1 = 10 0.4 ( m1 m2 ) B2

Ley de Pogson

La magnitud es una cantidad adimensional. La escala de magnitudes es una escala relativa. El cero de la escala viene dado por la magnitud de la estrella Vega:Mag(Vega) = 0.0 mag

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3

Brillo y LuminosidadLuminosidad = L enega emitida por la fuente en la unidad de tiempo.

L d B

[L] = erg s-1 = w

Brillo = B = energa emitida por la fuente en la unidad de tiempo y recibida en la Tierra.[B] = erg s-1 cm-2 = w m-2

El brillo y la luminosidad de una fuente estn relacionados a travs del cuadrado de la distancia de la fuente a la Tierra

B=Curso 2009-10 Astrofsica estelar

L 4d 2

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4

2

Brillo de distintos objetosObjeto Magnitud-26.5 -12.5 -4.0 -3.0 -1.4 2.0 6.0 15.0 30.0

Sol Luna llena Venus Jpiter Sirio Estrella Polar Lmite del ojo Plutn Lmite del telescopio

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5

Distancias estelaresParalaje trigonomtrica,

: ngulo bajo el cual seve el radio de la rbita de la Tierra, desde una estrella a una distancia dada. Se expresa en segundos de arco ().

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6

3

Parsec: unidad de distancia estelarParsec: es la distancia a la cual se encuentra una estrella cuya paralaje es 1. Distancia estelar : la inversa de la paralaje trigonomtrica expresada en . d pc = 1/ La estrella ms cercana a la Tierra, Prxima Centauri, tiene una paralaje de 0.765, correspondiente a 1.31 pc.

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7

Las 20 estrellas ms brillantesNombre Magnitud Distancia aparente (parsec) -1.50 -0.73 +0.10 +0.04 0.00 +0.05 +0.08 +0.34 +0.41 +0.47 +0.61 +0.77 +1.58 +0.86 +1.12 +0.90 +1.15 +1.18 +1.26 +1.24 2.6 30.1 1.3 8.0 11.0 13.8 184.0 3.5 184.0 19.9 92.0 5.1 19.6 16.0 84.0 128.8 11.3 6.9 429.4 153.4 ngeles Daz Beltrn 8

Sirius Canopus Alpha Centauri Vega Arcturus Capella Rigel Procyon Betelgeuse Achernar Beta Centauri Altair Alpha Crucis Aldebaran Spica Antares Pollux Fomalhaut Deneb Beta Crucis Curso 2009-10 Astrofsica estelar

4

Magnitud absolutaM m 10pc Se define la Magnitud absoluta de una fuente como su magnitud aparente a la distancia de 10 pc La diferencia entre la magnitud aparente y la absoluta de una fuente se llama mdulo de distancia y depende de la distancia de sta al observador L / 4d 2 10 m M = = 2.5 log = 5 log = 5 + 5 log d 2 L / 410 dCurso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 9

Magnitudes monocromticas y bolomtricasLa energa emitida por una estrella es funcin de la longitud de onda. Las magnitudes estelares L, B, m, M se pueden definir para una longitud de onda determinada: magnitudes monocromticas: L , B , m , M Las magnitudes estelares integradas a todo el espectro electromagntico se denominan bolomtricasF

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5

Magnitudes monocromticas y bolomtricasm1 m 2 B1 L1 / 4d12 = 2.5 log = 2.5 log 2 B 2 L 2 / 4d 2

Los brillos y las luminosidades monocromticas se expresan por unidad de longitud de onda o frecuencia: erg s-1 cm-2 -1 ( Hz-1), erg s-1 -1 ( Hz-1)

Lbol = L d0

mbol ,1 mbol ,2

L d 2 Bbol ,1 1 d 2 = 2.5 log = 2.5 log 0 L d d12 Bbol ,2 0 2 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 11

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Sistemas fotomtricosDesde el punto de vista operacional, los flujos medidos no son monocromticos sino que se integran sobre una determinada banda pasante, definida por un filtro. Los sistemas fotomtricos proporcionan medidas en diferentes intervalos espectrales o bandas fotomtricas. La longitud de onda efectiva de cada banda se define como:

0 =

S ( )d S ( )dngeles Daz Beltrn 12

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6

Ventanas de observacin

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13

Sistemas fotomtricosLa magnitud correspondiente a un filtro determinado, x, se define a travs de la funcin de transmisin del mismo:

fTx ( )d mx = 2.5 log f ,VegaTx ( )d Existen distintos sistemas fotomtricos: sistema de Johnson (UBV), sistema de Strngren (uvbyH), sistema de SDSS (u, g, r, i, z), etc cada uno definido por sus propias caractersticasCurso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 14

7

Sistema fotomtrico de JohnsonSistema de Johnson: U B V R I (J H K L M N)U UV cercano ; B Azul; V Visual; R Rojo; I IR cercano J H K L M N Infrarrojo

U B

V

R

I

Funciones de transmisin para los filtros del sistema de Johnson Curso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 15

Caractersticas de los filtros del Sistema de Johnson

Flujos absolutos para una estrella de magnitud U=B=V=R=I=J=K=L=M=N=0.0 para las longitudes de onda efectivas del Sistema de Johnson

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16

8

ndice de colorLa diferencia en las magnitudes de una misma fuente, medida en dos longitudes de onda diferentes se denomina ndice de color.

m1 m2 = 2.5 log

S1 S2

Los ndices de color para la estrella de referencia, cuyas magnitudes en todas las bandas es 0.0,es tambin 0.0.

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17

ndice de color y temperaturaDado que la distribucin espectral de energa de una estrella se aproxima a la de un cuerpo negro de una determinada temperatura, el ndice de color es, en primera aproximacin, una medida de la temperatura superficial de una estrella.

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18

9

Relacin entre magnitudes monocromticas y bolomtricaLa diferencia entre una magnitud monocromtica y la magnitud bolomtrica se denomina correccin bolomtrica. La correccin bolomtrica es siempre negativa. En general se define con respecto a la magnitud visual:

B.C . = mbol VLa correccin bolomtrica es ~ 0 para estrellas cuyo mximo de emisin se encuentra en el visible, entre ellas el Sol.

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19

Coreccin bolomtrica como funcin de la temperatura superficial

Flower, P.J. 1996: ApJ, 469, 355

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20

10

Valores de referencia para el Sol:V = -26.77 mbol, = -26.85 MV, = 4.79 Mbol, = 4.72 = -31.56 U.A. = 1.496 x 1013 cm S = 1.36 x 106 erg s-1cm-2 L = 3.86 x1033 erg s-1 (U-B) = +0.13 (B-V) = +0.65 B.C. = -0.07

(V-R) = +0.52

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21

Magnitud bolomtrica y luminosidadLa magnitud absoluta es una medida de la luminosidad. Ambas cantidades se pueden relacionar fcilmente si las luminosisdades se expresan en unidades solares.

M bol , M bol , = 2.5 log L 0.4 ( M bol , M bol , ) = 10 LCurso 2009-10 Astrofsica estelar

L L

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11

Absorcin debida a la materia entre la estrella y el observadorEn su camino hasta el observador, la radiacin procendente de una estrella es absorbida por el material interestelar de acuerdo a la expresin I = I0 e donde es el espesor ptico a la l.d.o. Expresado en magnitudes

A = m m ,0 = 2.5 log

I e I = 2.5 log ,0 = 2.5 log e I ,0 I ,0

Es decir:

A = 1.086

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Correccion de absorcin y extincinEl flujo de un objeto medido en la Tierra est afectado por (a) la absorcin en la atmsfera terrestre y (b) extincin y absorcin por el medio interestelar. Correccin de absorcin atmosfrica

m = m ,0 + k sec zH z H/cos z k coeficiente de absorcin

Suposicin de atmsfera plano paralela

Los valores tpicos de k en el ptico van de 0.3 a ~ 400nm a 0.1 a ~ 800nmngeles Daz Beltrn 24

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12

Extincin interestelarEst producida por gas y granos de polvo en el medio interestelar entre el objeto y el observador. Es proporcional a la densidad de columna del gas interestelar en la lnea de visin. Un buen indicador de la extincin es la emisin trmica del polvo en el disco galctico (galactic infrarred cirrus). La extincin es mxima en el plano de la Galaxia y mnima en la direccin perpendicular al mismo. La extincin es dependiente de la longitud de onda y es mayor a longitudes de onda menores, por lo que produce un enrojecimiento de la radiacin estelar.Curso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 25

Clculo de la extincinEn funcin de las propiedades de las partculas = L = ng a 2Qext L absorbentes dondea radio de los granos de polvo ng densidad numrica de los granos L camino recorrido por la radiacin Qext coeficiente de extincin, funcin de las propiedades pticas de los granos . Qext = 2, para un gran nmero de partculas.2 En general: A = 1.086 L a Qext ( a )ng ( a )da Observacionalmente, AV 2 mag/kpc

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13

Extincin y enrojecimientoLa extincin depende inversamente de la longitud de onda ``curva de enrojecimiento El valor de la extincin, para el filtro V, viene dado por AV El enrojecimiento de la radiacin estelar (reddening) viene dado por el exceso de color: E(B-V) La relacin entre la extincin y el exceso de color para una curva de enrojecimiento estndar es:AV = 3.1 EB-V

A 1

mV ,obs = mV ,0 + AV EB V = ( B V )obs ( B V )0

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Enrojecimiento y sus efectosEl valor de la extincin afecta a la magnitud aparente de una fuente y por tanto a su mdulo de distancia.

m M = 5 + 5 log d + ALas distancias derivadas sin tener en cuenta el valor de la extincin son menores.Curso 2009-10 Astrofsica estelar

Curva de enrojecimiento (Savage & Mathis 1979: ARAA, 17, 73)

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14

Ley de extincin

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15

TEMA 6PROPIEDADES ESTELARES

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1

Propiedades estelaresUna estrella es una configuracin gaseosa, autogravitante y autoluminosa. Los parmetros que se usan para caracterizar una estrellas son: Luminosidad (L), Masa (M), Temperatura (Te) y Radio (R). El rango de valores observados para estos parmetros es:10-6 L L 106 L 1.25 x 10 -3 R R 1.5 x 10 3 R 0.05 M M 120 M 2 x 10 3 K Te 1 x 10 5 KCurso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 2

1

Medida de la luminosidad estelarSe puede determinar la luminosidad de una estrella L a partir de la medida de su magnitud aparente, corregida de extincin, conociendo la distancia de la estrella al observador.L = 4 d 2 10 0.4 [( m K ) A ]

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3

Luminosidad y temperaturaPodemos considerar que las estrellas estn formadas por capas gaseosas concntricas en equilibrio trmico. La intensidad de la emisin resultante de un medio como ste es la funcin de Planck la cual es independiente de las propiedades del medio, slo depende de su temperatura.I ( ) = B ( ,T ) = 2 hc 2 1 (ehc / kT

5

1)

Si integramos la intensidad a todas las frecuencias obtenemos la energa emitida por unidad de rea y de tiempo: = cte. de Stefan.Boltzmann F = T 4Curso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 4

2

Luminosidad y temperaturaEsto permite escribir L luminosidad estelar como2 L = 4R T 4

Esta definicin de luminosidad estelar permite definir la temperatura efectiva de la estrella Te como la temperatura del cuerpo negro esfrico de igual radio que la estrella y que reproduce el valor de su luminosidad.2 L = 4R Te 4

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5

Las estrellas como cuerpos negrosSin embargo, no lo son y, por tanto, su espectro es diferente. En realidad la radiacin que recibimos es la suma de emisiones de diferentes capas superficiales a diferentes temperaturas pero el efecto total es equivalente al de una capa de temperatura Te .

Si las estrellas fueran cuerpos negros su espectro vendra dado por la ley de Planck.

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6

3

Temperatura de colorLa observacin de la intensidad de la radiacin emitida por las estrellas en funcin de la frecuencia concuerda muy bien con la curva de Planck. Ajustando las curvas de emisin estelares a las de Planck podemos estimar las temperaturas de las superficies que generan esa emisin observada. Se denomina temperatura de color de una estrella a la temperatura del cuerpo negro cuyo espectro se ajusta mejor en una determinada banda de frecuencia.

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7

Temperatura de color y sistema de Johnson

Calibracin de Te en funcin del color (B-V)

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8

4

Radios estelaresLa estrellas, incluso las ms cercana, subtienden dimetros angulares que son demasiado pequeos para poderse medir desde la Tierra. Hay diferentes mtodos para la medida de radios estelares, pero slo son aplicables a unas pocas estrellas. La estimacin de los radios estelares se suele hacer a partir de la medida de su luminosidad y de su temperatura de color.

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9

Medida de radios estelares a partir de imgenesEn este tipo de imagen el radio de la zona ms interna es:

(' ' ) = 2.52 10 5

D

donde es la longitud de onda de la luz observada y D es el dimetro del telescopio. Para = 5000 y D= 5 m, = 0.025 Se ve dificultado por el fenmeno de la difraccin, que hace que no todos los rayos procedentes de la misma estrella confluyan en el mismo punto focal.Curso 2009-10 Astrofsica estelar

Este ngulo es mayor que los tamaos caractersticos de los radios estelares excepto para el caso de las estrellas supergigantes.ngeles Daz Beltrn 10

5

Imagen de Betelgeuse obtenida con HST

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Tcnicas interferomtricasLas medidas directas mediante tcnicas interferomtricas pueden alcanzar resoluciones de alrededor de 0.01.El dimetro angular de Betelgeuse se observ por primera vez en 1921, obtenindose 0.051 . R Doradus (en la constelacin Dorado en el hemisferio Sur) es la estrella con el mayor dimetro medido: 0.057 .0.057 = 1.6 10 -5 grados

Si se conocen el tamao angular y la distancia a una estrella dada, se puede derivar su tamao lineal.Tamao lineal = tamao angular [radian] distancia

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6

Radios estelares obtenidos a partir de medidas interferomtricasEstrella Boo Tau Sco Ori Peg Her Cet CMa LyrCurso 2009-10

T.E. K2 IIIp K5 III M1-2 Iab-Ib M2 Iab M2 II-III M5 Ib-II M6e III AI V A0 VAstrofsica estelar

2 0".022 0.020 0.040 0.047 0.034 0.021 0.30 0.047 0.0068 0.0037

(trig) 0".090 0.048 0.0058 0.005 0.015 (0.0047) 0.013 0.377 0.123

R/R 26 45 740 1000 730 150 680 390 2.05 3.913

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Tcnicas de ocultacin por la LunaDebido a la difraccin de la luz en el limbo lunar, la ocultacin de una estrella por la luna produce una curva de luz en forma de una onda sinusoidal amortiguada. Aplicndose este mtodo de ocultacin se logr establecer, por primera vez, el dimetro de las estrellas Antares, = 0.041 0.001, y Gem, = 0.0223.

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7

Clasificacin espectral de las estrellasA finales del siglo XIX se clasificaron en el Harvard College Observatory varios centenares de miles de estrellas a partir de espectros azules de resolucin moderada, que constituyeron la base de la clasificacin espectral de las estrellas http://www.astrogea.org/surveys/dones_harvard.htm

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Clasificacin de HarvardDependiendo de la temperatura de una estrella, aparecen distintas lneas de absorcin en su espectro. Las estrellas se clasifican de acuerdo a dichas lneas. Inicialmente, las estrellas se clasificaron en 7 clases espectrales que responden a una secuencia de temperatura decreciente.

OBAFGKM OBAFGKMTemperatura decreciente Los tipos espectrales son independientes de la distancia. Pueden identificar estrellas con propiedades similares.Curso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 16

8

Caractersticas de los tipos espectrales

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Espectros de estrellas de distintos tipos de Harvard

9

Estrellas de tipos espectrales tempranos

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19

Estrellas de tipos espectrales tardos

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20

10

Tipos espectrales y temperatura efectiva

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22

11

Colores en el sistema de Johnson-Cousins de estrellas de distinto tipo espectral

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Diagrama de Hertzsprung-RussellEn 1905, los astrnomos Ejnar Hertzsprung y Henry Norris Russell, de forma independiente, notaron que la luminosidad de la mayor parte de las estrellas decreca siguiendo la secuencia espectral O M. Desarrollaron la tcnica de representar la magnitud absoluta de una estrella frente a su tipo espectral para buscar familias de estrellas similares. Estos diagramas se llaman Diagramas H R y representan la luminosidad estelar en el eje Y, aumentando hacia arriba, y temperatura efectiva en el eje X, aumentando hacia la izquierda.Curso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 24

12

Diagrama H-R de estrellas en la Vecindad SolarEn el diagrama H R, luminosidad y temperatura se representan en forma logartmica. Las estrellas ms calientes se encuentran a la izquierda y las estrellas ms fras se encuentran a la derecha. Las ms luminosas estn arriba y las menos luminosas estn abajo. El Sol se encuentra en una posicin intermedia.

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Diagrama H-RLa mayor parte de las estrellas en la vecindad solar se encuentran a lo largo de una lnea diagonal en el diagrama. Es lo que llamamos la Secuencia Principal. Hay algunas estrellas muy luminosas y fras, que llamamos supergigantes, y unas cuantas muy dbiles y calientes, que llamamos enanas blancasCurso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 26

13

Clases de luminosidadAdems de los tipos espectrales O M, tambin, en base a su posicin en el diagrama H R, se distinguen las Clases de Luminosidad. La clase de luminosidad est relacionada con la densidad de electrones en la fotosfera de la estrella, ms baja para gigantes que para enanas, lo que afecta a las intensidades y perfiles de las lneas espectrales. II Alta luminosidad baja Ne SupergigantesCurso 2009-10 Astrofsica estelar

II II

III III Gigantes

IV IV

V V

Baja luminosidad alta Ne Secuencia Principalngeles Daz Beltrn 27

Clasificacin bidimensional: MKLas lneas correspondientes a los diferentes tipos espectrales estn desplazadas entre s por 0.3 dex para su mejor visualizacin

Flower, 1996:ApJ 469, 355 Curso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 28

14

Diagrama H-R y parmetros estelaresLas lneas diagonales en el diagrama H-R corresponden a lneas de igual radio L = 4R2 Te4 (L/L )= (R/R )2 (T/T )4 El Diagrama H R es una herramienta clave para el estudio de la estructura y evolucin de las estrellas y cualquier teora sobre ello tiene que ser capaz de explicar la posicin de las distintas estrellas en este diagrama.Curso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 29

Diagrama H-R construido a partir de datos del satlite Hipparchos

16631 estrellas dentro de un radio de 400 pc alrededor del Sol

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TEMA 7MASAS ESTELARES

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1

Estrellas binariasLa estrella Mizar es un sistema binario en el que las dos componentes Mizar A y Mizar B se resuelven espacialmente. Cada una de esas componentes es, a su vez, un sistema binario que slo se puede detectar espectroscpicamente.

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2

1

Estrellas binariasAproximadamente el 70 % de las estrellas en la vecindad solar son binarias (casi el 100 % en el caso de las estrellas masivas). Hay varios tipos de estrellas binarias:Binarias visuales Binarias espectroscpicas Binarias eclipsantes

M1

M2 d2Astrofsica estelar

d1Curso 2009-10

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3

Estrellas binarias visualesSus componentes se pueden resolver con el telescopio. A veces se puede detectar el movimiento del centro de masas del sistema. La mayor parte de las veces, slo se puede observar el movimiento relativo de las dos estrellas. Un caso particular son las binarias astromtricas, en que solamente una de las estrellas es visible. La deteccin de las binarias visuales requieren distancias pequeas al observador y rbitas y perodos muy grandes para las estrellas del sistema http://www.dibonsmith.com/orbits.htm

Sistema doble Albireo

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4

2

Mvimiento orbital de binarias visualesSe mide el movimiento orbital de cada componente sobre las estrellas del fondo del cielo.

http://csep10.phys.utk.edu/guidry/java/binary/binary.html

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5

rbitas de estrellas binarias: efectos de proyeccinObservamos rbitas aparentes, es decir la proyeccin de las rbitas reales sobre el plano del cielo. La inclinacin del plano de la rbita real con respecto a la lnea de visin es el ngulo de inclinacin i

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6

3

Binarias astromtricasSirius A & B

Son sistemas binarios en los que slo una de las estrellas es visible. La estrella secundaria en general es una componente poco brillante: una WD, una BD, etc Se detecta la presencia de la compaera debido al movimiento perturbado de la estrella ms brillante

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Binarias astromtricas

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Determinacin de las masas de estrellas binarias visuales 2 3 G( M1 + M 2 ) = a 3 ley de Kepler P a semieje mayor de la rbita relativaP perodo de revolucin M1,M2 masas de las estrellas2

Si escribimos a en UA, P en aos y M en masas solares: a3 M1 + M2 = 2 P Si el semieje mayor se mide en segundos de arco: 3 a 1 M1 + M2 = 2 P Para conocer los valores individuales de M1 y M2 hay que usar: M1a1 = M2 a2Curso 2009-10 Astrofsica estelar ngeles Daz Beltrn 9

Binarias espectroscpicasEs el tipo ms comn de binarias. Sus componentes no se pueden resolver con el telescopio. Se observa su espectro en el que se detectan desplazamiento en sus lneas de absorcin.

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Desplazamiento Doppler de las lneas espectrales en estrellas binarias v r = cDebido a la inclinacin de la rbita medimos vr sen i

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Si las dos estrellas tienen luminosidades similares, se observan los dos sistemas de lneas de absorcin: binaria espectroscpica doble. En caso contrario, slo se observa un sistema de lneas: binaria espectroscpica simple.

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Curva de velocidad radial de binarias espectroscpicasLa velocidad radial vara a lo largo del movimiento orbital. A partir de la curva de velocidad radial se determina el perodo, P, de la rbita.

P v = 2 a

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Funcin de masas para binarias espectroscpicasLas curvas de velocidad radial dan:a1 sen i a2 sen i P + Leyes de Kepler M1 sen3 i + M2 sen3 i

En general, no conocemos i. Estadsticamente, para estrellas de un mismo tipo espectral, se puede tomar el valor medio de la cantidad M1 sen3 i y tener en cuenta que = 0.59 para todas las orientaciones posibles

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Binarias eclipsantesEn estrellas binarias eclipsantes, el plano de la rbita est casi en la lnea de visin (perpendicular al plano del cielo). En su movimiento orbital las estrellas se eclipsan una a otra alternativamente.

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Eclipses entre dos estrellas binarias

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Relacin Masa-Luminosidad

Empricamente se encuentra: L M = 2.5, M < 0.5 M = 4, M 0.5 M

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Densidades estelares y gravedad superficialEl conocimiento de la masa y el radio de las estrellas permite estimar sus densidades medias y el valor de la gravedad en su superficies. M / M = (R / R )3g M / M = g (R / R )2

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Cap tulo 8

Atmsferas estelares oRegin de transicin entre el interior estelar y el medio ino o terestelar Fotosfera: capa donde se origina el espectro estelar observado

Distribucin de temperatura en las capas externas del Sol en funcin o o de la profundidad geomtrica. Centro del Sol hacia la derecha eFigura 8.1:

1

Parmetros que denen la fotosfera a2 - Te L = 4RTe4 2 -g g = GM/R - Composicin qu o mica

- secundarios: rotacin, B,... o

# Descripcin de una atmsfera estelar: o o T (r) y P (r) para unos valores de Te, g y . # Modelos de atmsferas Magnitudes observables: o Ecuacin de transporte de energ (radiativo, conveccin, o a o conduccin mecnica, magntica) distribucin de T . o a e o - Radiativo: Modo dominante - Conveccin: estrellas fr y pre-secuencia principal o as Ecuacin hidrosttica (hidrodinmica, magnetohidrodinmio a a a ca) distribucin de P . o Composicin qu o mica: ionizacin, poblacin de estados, conso o tantes del material.

2

8.1.

Transporte radiativo en una atmsfera o estelardI = I + S d I ( ) = I (0)e +0

(8.1) (8.2)

S (t )e( t )dt

Expresa I ( ) a lo largo de la l nea de visin o Acopla los parmetros f a sicos del material atmosfrico al e espectro emergente. Hay que conocer S (t ) Hay que suponer una geometr apropiada y las direcciones a z relevantes para el observador

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8.2.

Geometr esfrica (no dependencia aza e imutal)

dI I dr I d = + dz r dz dz I cos I sin = I + S r r dr = cos dz, rd = sin dz (en la gura -d)

(8.3) (8.4)

Atmsferas extensas: supergigantes, interiores estelares o Secuencia principal: R >> espesor fotosfera Atmsfera o plano-paralela (VINCI, VLTI, 2003) (www.eso.org/outreach/press-rel/pr-2003/pr-14-03.html)# Eri : 1,5Re Rp

4

8.3.

Atmsfera plano-paralela o

Estrellas SP (V): R >> espesor fotosfera ( 0,1 % R )

Figura 8.2:

Atmsfera plano-paralela: independiente de z o

dI cos = I + S (8.5) dr Usualmente se utiliza la profundidad en la atmsfera: o x = r cos

dx = dr (8.6) (8.7)

dI = I S d

I ( ) = c

S (t )e(t ) sec sec dt

(c reemplaza I (0). Se elige debido a las condiciones diferentes para la radiacin entrante ( /2) y saliente ( o /2).5

# Intensidad entrante (cos < 0):in I ( )

=0

S (t )e(t ) sec sec dt

# Intensidad saliente (cos > 0):out I ( )

=

S (t )e

(t ) sec

sec dt =

S (t )e(t ) sec sec dt

En la supercie estelar ( = 0):in I (0) = 0

(8.8)

out I (0) = 0

S et sec sec dt

(8.9)

Ecuacin de transporte relevante para el Sol o Estrellas: Flujo

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8.3.1.

Aproximacin de Eddington-Barbier o + I ( = 0, ) = 0

S (t )et sec d(t sec )

(8.10)

2 n Hiptesis: S ( ) = ao + a1 + a2 + ... + an o ( 0 xnexdx = n!) + I ( = 0, ) = ao + a1 cos + 2a2 cos2 + ... + n!an cosn (8.11)

Aprox. Eddington-Barbier: S ( ) = ao + a1 I+( = 0, ) = ao + a1 cos = S ( = cos ) (8.12)

# I () oscurecimiento en el limbo observable en el Sol. En el centro ( = 0, cos = 1): I = a0() + a1() ( S a = 1) En el borde ( = /2, cos = 0): I = a0() (S en la supercie) Eddington-Barbier se ve la atmsfera hasta = 1 o

7

8.3.2.

Flujo estelar emergenteF =

I cos d

(8.13)

# d = sin dd. Si F = f (): 2

+ I cos sin d

F = 20 2

+ 2 2

I cos sin d (8.14)

F = 20

S e

(t ) sec

2

0

sin dt d20

S e(t ) sec sin dt d (8.15)

En la supercie estelar: I = 0

Cmo d(cos ) = sin d: o1

F (0) = 20

+ I cos d(cos )

(8.16)

8

# Aprox. Eddington-Barbier S ( ) = a + b 2 (a + b cos ) cos d(cos ) = (a + b ) 3 0 (8.17) Comparando F con S : F (0) = 2 2 F (0) = S ( = ) (8.18) 3 Flujo emergente es veces la funcin fuente en o = 2/3 # Hiptesis S = B (T ) (LTE): o 2 F (0) = B (T ( = )) 3 # Hiptesis = f () (Atmsfera gris): o o (8.19)1

2 F (0) = B (T ( = )) (8.20) 3 F (0) corresponde a un bb cuya temperatura es la de la atmsfera estelar a = 2/3 o 2 4 F (0) = T0 (T0 = T ( = )) (8.21) 3 # Por denicin: To Temperatura efectiva o9

8.4.

Equilibrio radiativo

La energ se produce en el interior estelar y se conserva en a su paso por la atmsfera o En la atmsfera no hay fuentes ni sumideros o Div F = 0 (Se deben incluir todas las formas de transporte de la energa relevantes. Aqu olo consideramos transporte radiativo) s # Atmosfera plano-paralela: Conservacin de energ o a: d F (x) = 0 F (x) = F0 = cte ; F0 = dx

F d = Te40

(8.22)

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1. Ecuacin de Milne o Eq. de transporte radiativo: dI = I S cos d Integrando en ngulos slidos: a o cos

(8.23)

dI d = d

I d

S d

(8.24)

d = dx: d dx cos I d =

I d

S d

(8.25)

Integrando en frecuencias y suponiendo S istropa: o d dx

F d = 40 0

J d 40

S d = 0 (8.26) (8.27)

J d =0 0

S d

# Signicado: radiacin total absorbida (izquierda) = o radiacin total emitida (derecha). o

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2. Ecuacin de Milne o En equilibrio radiativo: ujo integrado en frecuencias es cte. F (x) = F0 = cte. Expl citamente: 2

[0 0

S e

(t ) sec

2

0

sin dt d0

S e(t ) sec sin dt d]d =

F0 2 (8.28)

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3. Ecuacin de Milne o Multiplicamos por cos la ecuacin de transporte e inteo gramos en ngulos slidos: a o dI cos d = d 2

cos I d

cos S d

Izquierda: integral K multiplicada por 4 (relacionada con la presin de radiacin). o o Primera