astronomía esférica

Astronomıa EsfericaNotas de Clase

Jean-Paul Picon Guerrero*

Universidad Distrital Francisco Jose de CaldasFacultad de Ingenierıa

Ingenierıa Catastral y Geodesia

21 de agosto de 2014**

*[email protected]**Version actualizada en: https://dl.dropboxusercontent.com/u/10246687/AstroEsferica.pdf

1

https://dl.dropboxusercontent.com/u/10246687/AstroEsferica.pdf

Indice

1. LA ASTRONOMIA 31.1. La Astronomıa Esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. TRIGONOMETRIA ESFERICA 92.1. Elementos Geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1. Medida de Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2. Angulo Diedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3. Angulo Triedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4. Cırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.4.1. Cırculo Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.4.2. Cırculo Menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Triangulo Esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1. Angulo Esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2. Triangulo Esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2.1. Triangulo Esferico Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Sistema Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1. Latitud Geocentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2. Longitud Geocentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3. Declinacion Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Triangulos Rectangulos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.1. Reglas de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5. Relaciones Fundamentales de los Triangulos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.1. Ley del Seno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.2. Ley del Coseno para los lados: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.3. Ley del Coseno para los angulos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.4. Ley del Seno por el Coseno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.4.1. Descomposicion en dos Triangulos Rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.4.2. Proyeccion en un Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.4.3. Rotacion del Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.5. Formulas para el angulo mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.6. Formulas para el semilado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.7. Analogıas de Gauss-Delambre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.8. Analogıas de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. LA ESFERA CELESTE Y LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 31

2

3.1. La Boveda Celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1. Observacion del Cielo Segun la Latitud φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2. Boveda Celeste Topocentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Observacion del Cielo en Bogota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Meridiano del Observador, Lınea Meridiana y Primer Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Vertical del Astro y Cırculo de Declinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5. Coordenadas Horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6. Coordenadas Ecuatoriales Horarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6.1. Transformacion de coordenadas entre Horizontales y Ec. Horarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6.1.1. Teorema del Seno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6.1.2. Teorema del Coseno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7. La Eclıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7.1. El Punto Vernal à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.2. Constelaciones Zodiacales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7.3. La Oblicuidad de la Eclıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.7.4. El Tiempo Sideral Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.8. Coordenadas Ecuatoriales Absolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.8.1. Transformacion de Coordenadas entre E. Horarias y E. Absolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.9. Coordenadas Eclıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.9.1. Transformacion de Coordenadas entre E. Absolutas y Eclıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.10. La Vıa Lactea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.11. Coordenadas Galacticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.11.1. Transformacion de Coordenadas entre E. Absolutas y Galacticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4. EL TIEMPO EN ASTRONOMIA 794.1. El Calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2. El Dıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3. Conversion Entre Tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4. Tiempos: Sideral Local, Solar Verdadero, Solar Medio y Universal . . . . . . . . . . . . . . 814.5. Husos Horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.6. El Calculo del Tiempo Sideral Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6.1. Calculo del TSG0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.6.2. La Fecha Juliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.7. La Ecuacion del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.8. Sistemas de Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.9. Tiempo Atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.10. Tiempos Universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3

5. ALGUNOS FENOMENOS ASTRONOMICOS 895.1. Astros Circumpolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2. Maxima Disgresion de un Astro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3. Paso por el Meridiano del Observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4. Paso por el Cenit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.5. Salida y Puesta de un Astro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.6. Paso por el Primer Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.7. Calculos para el Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.8. Calculo de las Coordenadas Astronomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.8.1. Sol en el Cenit y Sol Circumpolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.8.2. Culminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.8.3. Salida y Puesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6. CORRECCION A LAS COORDENADAS 996.1. Refraccion Astronomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2. La Paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2.1. Paralaje Diurna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2.2. Paralaje Anual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3. Aberracion Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3.1. Aberracion Secular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3.2. Aberracion Anual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3.3. Aberracion Diurna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4. Movimiento de las Estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5. Deflexion Gravitacional de la Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.6. Precesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.7. Nutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7. GEODESIA ASTRONOMICA 1067.1. Representacion de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2. Definicion de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2.1. Coordenada Geocentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2.2. Coordenada Geodesica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2.3. Coordenada Geografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3. Transformacion de Latitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.4. Determinacion Astronomica de las Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.5. Relacion de las Coordenadas con las Unidades de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4

1. LA ASTRONOMIA

(del Gr; astro-nomos : arreglo de estrellas)Es la rama de la ciencia que estudia los cuerpos celestes, el espacio y el universo como un todo.

Objetos Celestes: planetas, satelites, asteroides, estrellas, galaxias, agujeros negros, etc.

Espacio: medio interestelar, sistemas planetarios, constelaciones, etc.

Con el inicio del universo comienza el tiempo. El universo es infinito espacialmente.La astronomıa busca explicar el universo cientıficamente.

Astrogeologıa Composicion planetaria.

Astrobiologıa Formas de vida.

Cosmologıa Origen y evolucion del universo.

Astrofısica Formacion y evolucion estelar.

Figura 1: Espectro Electromagnetico [1]

5

Figura 2: Franjas de transmision de la atmosfera terrestre.

7

Figura 3: Diferentes escalas de estudio en la naturaleza [2]

8

Figura 4: Clasificacion del Cielo segun la escala Bortle

9

1.1. La Astronomıa Esferica

Busca determinar la posicion del observador en la superficie de la Tierra con base en observaciones de estrellas. Se ocupade las direcciones en las que los cuerpos son observados; es apropiado definir estas direcciones en terminos de las posicionessobre la superficie de una esfera: La Boveda Celeste; como el punto donde la lınea de vision corta su superficie. El radio dedicha esfera es arbitrario.

10

2. TRIGONOMETRIA ESFERICA

(del Gr; sphaira : Bola)

11

2.1. Elementos Geometricos

2.1.1. Medida de Angulos

(del Lat; angulus : esquina)

Radianes:

0 ≤ θ < 2π

s = rθ π = P/D

Grados:

0˚≤ θ < 360˚

Horas:

0h ≤ θ < 24h

2π = 360˚= 24h

π = 180˚ 15˚= 1h

π = 12h

1h = 60m = 3600s

1m = 60s

1˚ = 60′ = 3600”

1′ = 60”

12

9, 5h = 9h + 0, 5h

= 9h +

[0, 5

h × 60m

1h

]= 9h + 30m

9, 5h = 9h 30m 00s

15h 36m 45s = 15h + 36m + 45s

= 15h +

[36

m × 1h

60m

]+

[45

s × 1h

3600s

]= 15h + 0, 6h + 0, 0125h

15h 36m 45s = 15, 6125h

3, 254651h = 3h + 0, 254651h

= 3h +

[0, 254651

h × 60m

1h

]= 3h + 15, 27906m

= 3h + 15m + 0, 27906m

= 3h + 15m +

[0, 27906

m × 60s

1m

]= 3h + 15m + 16, 7436s

3, 254651h = 3h 15m 16, 7436s

13

2.1.2. Angulo Diedro

(del Gr; Di-hedra : dos caras)

2.1.3. Angulo Triedro

(del Gr; Tri-hedra : tres caras)

14

2.1.4. Cırculos

(del Lat; circulus : anillo pequeno)

2.1.4.1. Cırculo Maximo (del latin; magnus : grande)

2.1.4.2. Cırculo Menor (del Lat; minimus : menor)

15

2.2. Triangulo Esferico

2.2.1. Angulo Esferico

.

16

2.2.2. Triangulo Esferico

.

a) c < a+ b

b) A = B ⇔ a = b; A > B ⇔ a > b

c) a+ b+ c < 360˚

d) 180˚< A+B + C < 540˚

17

2.2.2.1. Triangulo Esferico Polar .

18

2.3. Sistema Tierra

19

2.3.1. Latitud Geocentrica

−90 ≤ φ ≤ 90

90 S ≤ φ ≤ 90 N

2.3.2. Longitud Geocentrica

−180 ≤ λ ≤ 180

180 W ≤ λ ≤ 180 E

20

2.3.3. Declinacion Magnetica

21

2.4. Triangulos Rectangulos Esfericos

Figura 5: Esquema de un triangulo esferico rectangulo

4BED ⊥ AO

OE ⊥ BED ⇒ OE ⊥ EB ; OE ⊥ ED

4BEO ; 4DEO ; ∠E = 90˚

∠BED = ∠B −OA− C = ∠A

BDE ⊥ OAC ; BD ⊥ OAC

4BDO ; 4BDE ; ∠D = 90˚

23

sen a =DB

OB=DB

EB· EBOB

= senA sen c

tan a =DB

OD=DB

ED· EDOD

= tanA sen b

cos c =OE

OB=OE

OD· ODOB

= cos b cos a

tan b =ED

OE=ED

EB· EBOE

= cosA tan c

tan a = cosB tan c

cosA = senB cos a

sen b = senB sen c

tan b = tanB sen a

cos c = cotA cotB

cosB = senA cos b

2.4.1. Reglas de Neper

Figura 6: Esquema para aplicar las Reglas de Neper.

co-A = 90 − A ; co-B = 90 −B ; co-c = 90 − c

Se escoge una de las cinco partes: Parte Media.

Elementos junto a la parte media: Partes Adyacen-tes.

Demas elementos: Partes Opuestas.

Reglas de Neper

1- El seno de la parte media es el producto de las tangentes de las partes adyacentes.

2- El seno de la parte media es el producto de los cosenos de las partes opuestas.

24

sen(α + β) = senα cos β + cosα sen β

sen(90 + β) = 1 · cos β + 0 · sen β = cos β

sen(α− β) = senα cos β − cosα sen β

sen(90− β) = 1 · cos β −0 · sen β = cos β

cos(α + β) = cosα cos β − senα sen β

cos(90 + β) = 0 · cos β − 1 · sen β = − sen β

cos(α− β) = cosα cos β + senα sen β

cos(90− β) = 0 · cos β + 1 · sen β = sen β

tan(90− α) =sen(90− α)

cos(90− α)=

cosα

senα= cotα

tan(90− α) =1

tanα

25

2.5. Relaciones Fundamentales de los Triangulos Esfericos

2.5.1. Ley del Seno:

sen a

senA=

sen b

senB=

sen c

senC

2.5.2. Ley del Coseno para los lados:

cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosA

cos b = cos a cos c+ sen a sen c cosB

cos c = cos a cos b+ sen a sen b cosC

2.5.3. Ley del Coseno para los angulos:

cosA = − cosB cosC + senB senC cos a

cosB = − cosA cosC + senA senC cos b

cosC = − cosA cosB + senA senB cos c

2.5.4. Ley del Seno por el Coseno:

sen a cosB = cos b sen c− sen b cos c cosA

sen a cosC = cos c sen b− sen c cos b cosA

sen b cosA = cos a sen c− sen a cos c cosB

sen b cosC = cos c sen a− sen c cos a cosB

26

Figura 7: Division de un triangulo esferico en dos triangulos rectangulos.

2.5.4.1. Descomposicion en dos Triangulos Rectangulos

senh = sen b senA

senh = sen a senB

sen a senB = sen b senA

sen a

senA=

sen b

senB=

sen c

senC

senm = tanh cotA

senh = sen b senA

cos b = cosh cosm

cos a = cosh cos (c−m) = cosh (cos c cosm+ sen c senm)

cos a = cosh

(cos c

cos b

cosh+ sen c tanh cotA

)cos a = cos c cos b+ sen c senh cotA

cos a = cos c cos b+ sen c sen b senA cotA


27

cos b = cos a cos c+ sen a sen c cosB

sen c sen a cosB = cos b− cos c cos a

sen c sen a cosB = cos b− cos c (cos b cos c+ sen b sen c cosA)

sen c sen a cosB = cos b− cos b cos2 c+ sen b sen c cos c cosA

sen c sen a cosB

sen c=

sen2 c cos b

sen c− sen b sen c cos c cosA

sen c

sen a cosB = cos b sen c− sen b cos c cosA

Figura 8: Proyeccion de un triangulo esferico sobre un plano.[3]

2.5.4.2. Proyeccion en un Plano

28

OA ⊥ AD

OA ⊥ AE

∠BAC = A = DAE

4OAD A = 90˚

AOD = AOB = c

AD = OA tan c

OD = OA sec c

AOE = AOC = b

AE = OA tan b

OE = OA sec b

4DAEDE2 = AD2 + AE2 − 2 · AD · AE cos DAE

DE2 = OA2(tan2 c+ tan2 b− 2 tan b tan c cosA

)

4DOEDE2 = OD2 +OE2 − 2 ·OD ·OE cos DOE

DE2 = OA2(sec2 c+ sec2 b− 2 sec b sec c cos a

)

sec2 c+ sec2 b− 2 sec b sec c cos a = tan2 c+ tan2 b− 2 tan b tan c cosA

sec2 α = 1 + tan2 α


sen b sen c cosA = cos a− cos b cos c

sen2 b sen2 c cos2A = cos2 a− 2 cos a cos b cos c+ cos2 b cos2 c

sen2 b sen2 c cos2A = sen2 b sen2 c− sen2 b sen2 c sen2A

= 1− cos2 b− cos2 c+ cos2 b cos2 c− sen2 b sen2 c sen2A

sen2 b sen2 c sen2A = 1− cos2 a− cos2 b− cos2 c+ 2 cos a cos b cos c

X2 sen2 a sen2 b sen2 c = 1− cos2 a− cos2 b− cos2 c+ 2 cos a cos b cos c

X2 =sen2A

sen2 a

29

Figura 9: Representacion de un punto en dos sistemas rotados entre si.[2]

2.5.4.3. Rotacion del Sistema de Coordenadas

x = cosψ cos θ x′ = cosψ′ cos θ′

y = senψ cos θ y′ = senψ′ cos θ′

z = sen θ z′ = sen θ′

x′ = x

y′ = y cosχ+ z senχ

z′ = −y senχ+ z cosχ

cosψ′ cos θ′ = cosψ cos θ

senψ′ cos θ′ = senψ cos θ cosχ+ sen θ senχ

sen θ′ = − senψ cos θ senχ+ sen θ cosχ

30

Figura 10: Construccion del triangulo Esferico.[2]

ψ = A− 90˚

θ = 90 − bψ′ = 90 −Bθ′ = 90 − aχ = c

cos(90 −B) cos(90 − a) = cos(A− 90 ) cos(90 − b)sen(90 −B) cos(90 − a) = sen(A− 90 ) cos(90 − b) cos c

+ sen(90 − b) sen c

sen(90 − a) = − sen(A− 90 ) cos(90 − b) sen c

+ sen(90 − b) cos c

senB sen a = senA sen b

cosB sen a = − cosA sen b cos c+ cos b sen c

cos a = cosA sen b sen c+ cos c cos c

R−1x (χ) = Rx(−χ)

~r′ = Rx(χ)~rx′y′z′

=

1 0 00 cosχ − senχ0 senχ cosχ

xyz

Ry(α) =

cosα 0 senα0 1 0

− senα 0 cosα

~r = Rx(−χ)~r′xyz

=

1 0 00 cosχ senχ0 − senχ cosχ

x′y′z′

Rz(β) =

cos β − sen β 0sen β cos β 0

0 0 1

31

2.5.5. Formulas para el angulo mitad

tan1

2A =

tan r

sin (s− a)

tan1

2B =

tan r

sin (s− b)tan

1

2C =

tan r

sin (s− c)

s =1

2(a+ b+ c)

tan r =

√sin (s− a) sin (s− b) sin (s− c)

sin s

2.5.6. Formulas para el semilado

cot1

2a =

tanR

cos (S − A)

tan1

2a =

cos (S − A)

tanR

cot1

2b =

tanR

cos (S −B)

tan1

2b =

cos (S −B)

tanR

cot1

2c =

tanR

cos (S − C)

tan1

2c =

cos (S − C)

tanR

S =1

2(A+B + C)

tanR =

√cos (S − A) cos (S −B) cos (S − C)

− cosS

2.5.7. Analogıas de Gauss-Delambre

sin 12

(A−B)

cos 12C

=sin 1

2(a− b)

sin 12c

cos 12

(A−B)

sin 12C

=sin 1

2(a+ b)

sin 12c

sin 12

(A+B)

cos 12C

=cos 1

2(a− b)

cos 12c

cos 12

(A+B)

sin 12C

=cos 1

2(a+ b)

cos 12c

2.5.8. Analogıas de Neper

tan 12

(A−B)

cot 12C

=sin 1

2(a− b)

sin 12

(a+ b)

tan 12

(A+B)

cot 12C

=cos 1

2(a− b)

cos 12

(a+ b)

tan 12

(a− b)tan 1

2c

=sin 1

2(A−B)

sin 12

(A+B)

tan 12

(a+ b)

tan 12c

=cos 1

2(A−B)

cos 12

(A+B)

32

3. LA ESFERA CELESTE Y LOS SISTEMAS DE COORDENADAS

3.1. La Boveda Celeste

33

3.1.1. Observacion del Cielo Segun la Latitud φ

Polo Norte Terrestre φ = 90˚N

Ecuador Terrestre φ = 0˚

Polo Sur Terrestre φ = 90˚S

Otra latitud φ 6= 0

34

3.1.2. Boveda Celeste Topocentrica

hPNC = φ

35

• φ = 65˚N

36

• φ = 60˚S

37

• φ = 0˚

38

3.2. Observacion del Cielo en Bogota

39

Bandera de Brasil.

Bandera de Australia.

Bandera de Papua Nueva Guinea.

Bandera de Alaska.

Bandera del Mercosur,

Bandera de Tuvalu.

41

1. Procyon del Canis Minoris.

2. El Canis Maior (Sirio).

3. Canopus de Carinae.

4. Spica de Virginis.

5. Hydra.

6. Crux.

7. σOctantis.

8. Triangulum Australe

9. Scorpius (Antares).

42

3.3. Meridiano del Observador, Lınea Meridiana y Primer Vertical

46

3.4. Vertical del Astro y Cırculo de Declinacion

47

3.5. Coordenadas Horizontales

Origen Cırculo Coordenada Semicırculos Coordenada Punto PolosMaximo Circular Secundarios Vertical Fundamental

Observador Horizonte Azimut (Acimut) Vertical Altura Cardinal Norte Zenit (Cenit o Cenit) y Nadir0˚≤ A < 360˚ del astro −90˚≤ h ≤ 90˚ N C y C’

48

h+ z = 90˚


Observador Horizonte Azimut (Acimut) Vertical Distancia Cenital Cardinal Norte Zenit (Cenit o Cenit) y Nadir0˚≤ A < 360˚ del astro 0˚≤ z ≤ 180˚ N C y C’

49

Salida Culminacion PuestaOrto Transito Ocasoh = 0˚ h = hmax h = 0˚

0˚< A < 180˚ A = 0 ; A = 180˚ 180˚< A < 360˚

50

3.6. Coordenadas Ecuatoriales Horarias


Observador Ecuador Angulo Horario Cırculo de Declinacion M. Observador y E. Celeste Norte y Sur CelestesCeleste 0h ≤ H < 24h Declinacion −90˚≤ δ ≤ 90˚ G PNC y PSC

51

Salida Culminacion PuestaOrto Transito Ocaso

12h < H < 24h H = 0h 0h < H < 12h

52

3.6.1. Transformacion de coordenadas entre Horizontales y Ec. Horarias

3.6.1.1. Teorema del Seno:

sen (90− h)

senH=

sen (90− δ)sen (360− A)

− senA cosh = senH cos δ

3.6.1.2. Teorema del Coseno:

cos (90− h) = cos (90− φ) cos (90− δ) + sen (90− φ) sen (90− δ) cosH

senh = senφ sen δ + cosφ cos δ cosH

cos (90− δ) = cos (90− φ) cos (90− h) + sen (90− φ) sen (90− h) cos (360− A)

sen δ = senφ senh+ cosφ cosh cosA

54

3.7. La Eclıptica

55

3.7.1. El Punto Vernal à

Figura 11: Posicion del punto vernal en el cielo para el ano 2012 DC.

57

Figura 12: Posicion del punto vernal en el cielo para el ano 1012 AC.

58

Figura 13: Posicion del punto vernal en el cielo para el ano 2812 DC.

59

3.7.2. Constelaciones Zodiacales

Figura 14: Constelaciones zodiacales

à Aries ä Leo è Sagitarioá Tauro å Virgo é Capricornioâ Geminis æ Libra ê Acuarioã Cancer ç Escorpio ë Piscis

Ofiuco

60

3.7.3. La Oblicuidad de la Eclıptica

Figura 15: Origen de las estaciones

61

Figura 16: Inicio de la primavera y el otono

62

Figura 17: Dıa del equinoccio visto desde el Ecuador Terrestre

63

Figura 18: Dıa del equinoccio visto a una latitud φ = 20˚

64


65


66

Figura 21: Inicio del verano del hemisferio norte

67

Figura 22: Inicio del invierno del hemisferio norte

68

Figura 23: Dıa del solsticio visto desde el Ecuador Terrestre

69

Figura 24: Dıa del solsticio visto a una latitud φ = 20˚

70


71


72


73

3.7.4. El Tiempo Sideral Local

TSL = Hà

74

3.8. Coordenadas Ecuatoriales Absolutas


Geocentrico Ecuador Ascension Recta Cırculo de Declinacion Punto Vernal Norte y Sur CelestesCeleste 0h ≤ α < 24h Declinacion −90˚≤ δ ≤ 90˚ à PNC y PSC

77

3.8.1. Transformacion de Coordenadas entre E. Horarias y E. Absolutas

δ = δ

TSL = H? + α?

79

3.9. Coordenadas Eclıpticas


Geocentrico Eclıptica Longitud Eclıptica Meridiano Latitud Eclıptica Punto Vernal Norte y Sur Eclıpticos0˚≤ λ ≤ 360˚ Eclıptico −90˚≤ β ≤ 90˚ à Π y Π′

3.9.1. Transformacion de Coordenadas entre E. Absolutas y Eclıpticas

3.10. La Vıa Lactea

3.11. Coordenadas Galacticas


Geocentrico Plano Longitud Galactica Meridiano Latitud Galactica Centro Galactico Norte y Sur GalacticosGalactico 0˚≤ ` ≤ 360˚ Galactico −90˚≤ b ≤ 90˚ CG PG y PG′

3.11.1. Transformacion de Coordenadas entre E. Absolutas y Galacticas

80

4. EL TIEMPO EN ASTRONOMIA

4.1. El Calendario

Cuadro 1: Nombres de los dıas en diferentes idiomas.Espanol Frances Italiano Ingles Aleman Hebreo Portugues Japones

Lunes Lundi Lunedi Monday Montag Shenii Segunda Getsuyobi LunaMartes Mardi Martedi Tuesday Dienstag Sheliishii Terca Kayobi Fuego

Miercoles Mercredi Mercoledi Wednesday Mittwoch Rebii’ii Quarta Suiyobi AguaJueves Jeudi Giovedi Thursday Donnerstag Hamiishii Quinta Mokuyobi MaderaViernes Vendredi Venerdi Friday Freitag Shishshii Sexta Kin’yobi MetalSabado Samedi Sabato Saturday Samstag Shabbat Sabado Doyobi Tierra

Domingo Dimanche Domenica Sunday Sonntag Ri’shoon Domingo Nichiyobi Sol

4.2. El Dıa

Es el fenomeno astronomico periodico mas evidente para describir el paso del tiempo. Se puede verificar como dos pasossucesivos del Sol por el horizonte.Se le llama dıa al tiempo que tarda un astro en dar un giro sobre su propio eje. Hay diferentes definiciones del dıadependiendo del punto utilizado como referencia para la rotacion del cuerpo.

1 d× 24h

1 d× 60m

1h× 60s

1m= 86 400s

Dıa Sideral: dos pasos consecutivos del Punto Vernal à por elmeridiano del observador.

Dıa Solar Verdadero: dos pasos consecutivos del Centro del Sol por elmeridiano del observador.

Dıa Solar Medio: dos pasos consecutivos del Sol Medio por el meri-diano del observador.

i La orbita de la Tierra es perfectamente circular.

ii El Ecuador Celeste coincide con la Eclıptica.

81

360˚

365,2564 d= 0, 98561 /d = 0h 3m 56,55s por dıa

4.3. Conversion Entre Tiempos

24h de tiempo solar medio = 24h 3m 56,5553678s de tiempo sideral

24h 3m 56,5553678s

24h=

24h

23h 56m 4,090524s= 1,00273790935079

24h de tiempo sideral = 23h 56m 4,090524s de tiempo solar medio

24h

24h 3m 56,5553678s=

23h 56m 4,090524s

24h= 0,997269566329

Ej. 1 Un reloj marca 3h 56m 34,6s de tiempo solar medio. Calcular el tiempo sideral.3h 56m 34,6s × 1,00273790935079 = 3h 57m 13,4s

Ej. 2 Un reloj marca 14h 5m 17,8s de tiempo sideral. Calcular el tiempo solar medio.14h 5m 17,8s × 0,997269566329 = 14h 2m 56,1s

4.4. Tiempos: Sideral Local, Solar Verdadero, Solar Medio y Universal

TSL: Tiempo Sideral Local es el angulo horario del Punto Vernal: TSL = Hà

TSOLV: Tiempo Solar Verdadero se mide con el angulo horario del centro del Sol VerdaderoTSOLV = H + 12h

TSOLM: Tiempo Solar Medio medido con el angulo horario del Sol Medio TSOLM = H + 12h

TU: Tiempo Universal es el TSOLM en Greenwich TU = TSOLMGreenwich

TSOLMλ: Tiempo Solar Medio Local dependera del TU como TSOLMλ = TU ±(λ E

W/15)

83

4.5. Husos Horarios

Segun TSOLMλ cada observador tendra un tiempo local diferente dependiendo de su longitud respecto al meridiano deGreenwich. Los Husos Horarios son zonas del planeta de 15 de ancho con la misma hora. La zona que incluye al meridianode Greenwich se llama zona de tiempo cero. La zona de tiempo 12 es llamada la Lınea Internacional del Cambio deFecha.

Tiempo Legal: TL = TU +HH

HHColombia = −5h

Determine el TU si un reloj en Colombia marca:

Ej. 1 2h 35m 15s del 04-Abr-2003TU = 2h 35m 15s + 5h = 7h 35m 15s del 4-Abr-2003

Ej. 2 21h 55m 16s del 17-Sep-2010TU = 21h 55m 16s + 5h = 26h 55m 16s = 2h 55m 16s del 18-Sep-2010

84

4.6. El Calculo del Tiempo Sideral Local

Para calcular el TSL, se supone que se conoce el TSL para un observador ubicado en el meridiano de Greenwich a las 0h

de TU (TSG0). El angulo horario del punto vernal, en un instante t de TU , para un observador en Greenwich sera:

TSGt = TSG0 + [TU × 1,00273790935079]

Ya que las unidades de TU son el dıa solar medio, y de TSL el dıa sideral (ver sec. 4.4), cuyo factor de conversion esta dadoen la seccion 4.3.El TSL para un observador ubicado en λ 6= 0, o sea, que no esta en el meridiano de Greenwich es;

TSL = TSGt ±(λ E

W/15)

4.6.1. Calculo del TSG0

El angulo horario del punto vernal a las 0h de TU para un observador ubicado en el meridiano de Greenwich para un dıadeterminado, se calcula con la fraccion de siglo juliano T :

T =FJ − 2451545, 0

36525TSG0 = 6h 41m 50,54841s + 2400h 3m 4,81286s T + 0,09310s T 2 − 0, 0000062s T 3

4.6.2. La Fecha Juliana

La Fecha Juliana (FJ) busca determinar con exactitud la diferencia de tiempo entre eventos ocurridos dıas distintos(incluyendo la fraccion de dıa correspondiente).La FJ de un instante dado equivale al numero de dıas transcurridos desde el medio dıa del lunes primero de enero del ano4713 antes de Cristo, o, ano −4712 en el meridiano de Greenwich.Existen diversos metodos para calcular FJ , uno de ellos es el desarrollado por Meeus del 2001: Si m = 1, 2 entoncesy = y − 1, y m = m+ 12 entonces

FJ = [365, 25(y + 4716)] + [30, 6001(m+ 1)]− [y/100] + [[y/100] /4] + d− 1522, 5

85

Cuadro 2: Fechas Julianas para algunas centuriasano FJ ano FJ ano FJ ano FJ ano FJ

-1900 1027082,5 -900 1392332,5 100 1757582,5 1100 2122832,5 2000 2451544,5-1800 1063607,5 -800 1428857,5 200 1794107,5 1200 2159357,5 2100 2488068,5-1700 1100132,5 -700 1465382,5 300 1830632,5 1300 2195882,5 2200 2524592,5-1600 1136657,5 -600 1501907,5 400 1867157,5 1400 2232407,5 2300 2561116,5-1500 1173182,5 -500 1538432,5 500 1903682,5 1500J 2268932,5 2400 2597641,5-1400 1209707,5 -400 1574957,5 600 1940207,5 1500G 2268922,5 2500 2634165,5-1300 1246232,5 -300 1611482,5 700 1976732,5 1600 2305447,5 2600 2670689,5-1200 1282757,5 -200 1648007,5 800 2013257,5 1700 2341971,5 2700 2707213,5-1100 1319282,5 -100 1684532,5 900 2049782,5 1800 2378495,5 2800 2743738,5-1000 1355807,5 0 1721057,5 1000 2086307,5 1900 2415019,5 2900 2780262,5

Cuadro 3: Fechas Julianas para anos adicionalesano FJ ano FJ ano FJ ano FJ ano FJ0 0 20 7305 40 14610 60 21915 80 292201 365 21 7670 41 14975 61 22280 81 295852 730 22 8035 42 15340 62 22645 82 299503 1095 23 8400 43 15705 63 23010 83 303154 1461 24 8766 44 16071 64 23376 84 306815 1826 25 9131 45 16436 65 23741 85 310466 2191 26 9496 46 16801 66 24106 86 314117 2556 27 9861 47 17166 67 24471 87 317768 2922 28 10227 48 17532 68 24837 88 321429 3287 29 10592 49 17897 69 25202 89 3250710 3652 30 10957 50 18262 70 25567 90 3287211 4017 31 11322 51 18627 71 25932 91 3323712 4383 32 11688 52 18993 72 26298 92 3360313 4748 33 12053 53 19358 73 26663 93 3396814 5113 34 12418 54 19723 74 27028 94 3433315 5478 35 12783 55 20088 75 27393 95 3469816 5844 36 13149 56 20454 76 27759 96 3506417 6209 37 13514 57 20819 77 28124 97 3542918 6574 38 13879 58 21184 78 28489 98 3579419 6939 39 14244 59 21549 79 28854 99 36159

86

Cuadro 4: Mes adicional.(* para anos bisiestos)mes FJ mes FJ mes FJ mes FJ mes FJ mes FJ

Enero 0 (-1)* Marzo 59 Mayo 120 Julio 181 Septiembre 243 Noviembre 304Febrero 31 (30)* Abril 90 Junio 151 Agosto 212 Octubre 273 Diciembre 334

El proceso inverso puede hacerse con un poco mas de trabajo; si se conoce FJ al medio dıa (siendo ası un numero entero)se deben calcular:

A = FJ + 68 569 B =4A

146 097

C = A− 146 097B+34

D =4 000(C + 1)

1 461 001

E = C − 1 461D4

+ 31 F =80E

2 447

G =F

11

Para conocerse finalmente:

El dıa: d = E − 2 447F

80El mes: m = F + 2− 12G

El ano: y = 100(B − 49) +D +G

Como los dıas de la semana se repiten cada 7 dıas, el residuo de la division FJ/7 determinara el dıa de la semana; si elresiduo es 0 sera dıa domingo, 1 para dıa lunes, 2 para martes, 3 para miercoles, 4 jueves, 5 viernes y residuo iguala 6 parael sabado.

87

4.7. La Ecuacion del Tiempo

Es la diferencia entre el Tiempo SOLar Verdadero y el Tiempo SOLar Medio (ver sec. 4.4):

Figura 28: Comportamiento de ET a lo largo del ano

ET = 0h 9m 52, 2s sen 2B−0h 7m 31, 8s cosB−h 1m 30, 0s senB

B =2π(n− 81)

364

ET = TSOLV − TSOLMET = H −H

ET = 0 ∼

16-Abr

18-Jun

30-Ago

16-Dic

mın(ET ) = −0h 14m 16s ∼ 11-Feb

max(ET ) = +0h 3m 41s ∼ 14-May

mın(ET ) = −0h 6m 30s ∼ 26-Jul

max(ET ) = +0h 16m 26s ∼ 03-Nov

4.8. Sistemas de Tiempo

Tiempo de las Efemerides

Sugerido desde 1929, es una escala de tiempo teorica (ideal) uniforme, utilizada desde 1952 hasta 1984. Es la escala detiempo que representa la variable independiente de las ecuaciones de Newton.

d2~ridt2

= fi (~ri)

88

En 1958 se definio el segundo de las efemerides a 1/31 556 925, 9747 de la duracion del ano tropico en el instante enero 0 de1900 a las 12h de TE. Se observan las posiciones de los cuerpos del sistema solar y se comparan con las posiciones registradasen los almanaques (calculadas en el TE), para una posicion ~r de un astro se deduce un tiempo t de las efemerides. Paracalcular la diferencia se utiliza la relacion: ∆T = TE − TU .

Tiempos Dinamicos

Surgieron como la extension del concepto de una escala de tiempo ideal, esta vez, teniendo en cuenta las consecuencias deadoptar el formalismo de la Teorıa General de la Relatividad elaborada en 1916 por A. Einstein. Dicha teorıa sostiene quela coordenada temporal depende del sistema de referencia donde sea medida. El baricentro del sistema solar es el puntomas cercano a un sistema no acelerado, pero esta muy cerca al centro del sol, ası que se definen:

TDB Tiempo Dinamico Baricentrico

TDT Tiempo Dinamico Terrestre Es el argumento de tiempo con que se establecen las posiciones de los cuerpos delsistema solar. Llamado desde 1991 Tiempo Terrestre TT

La diferencia entre el TDB y el TDT es periodica, de amplitud 0, 002 s. En calculos que no requieran mucha exactitudTDB = TDT

4.9. Tiempo Atomico

Es una escala de tiempo estadıstica que no depende de ningun fenomeno astronomico, y define la unidad de tiempo delsistema internacional (SI).Se define un segundo como la duracion de 9 192’631.770 periodos de la radiacion que corresponde a la transicion entre dosniveles hiperfinos del estado fundamental del Cesio 133.

89

Diversos relojes atomicos de 133Cs, 6 primarios (δ ∼ 10−14) y 175 comerciales (δ ∼ 10−12), estan distribuidos por el planeta.

TDT = TAI + 32,184 s

La diferencia entre ambas escalas de 32,184 s se hizo para darle continuidad al TDT con respecto al TE

4.10. Tiempos Universales

Como el movimiento de rotacion de la Tierra no es regular, la medida del dıa sideral tampoco lo es. El TU , que se calculaa parir de TSL (invirtiendo el procedimiento de 4.6) tampoco resultara ser una medida completamente confiable.Se utilizan las siguientes escalas:

TU0 Tiempo Rotacional Terrestre en unidades de dıa solar medio, se mide la duracion de una revolucion conrespecto a fuentes de radio fuera de la galaxia..

TU1 Surge cuando se corrige el TU0 por el movimiento del polo, tampoco es uniforme, se retrasa debido al frenado de larotacion terrestre.

TUC Tiempo Universal Coordinado es una escala de tiempo uniforme para relacionar directamente el TU1 con elTAI y el TDT ; el TUC es el mismo TU .

TAI = TUC +N

|TU1− TUC| < 0, 9 s

Donde, N son los segundos bisiestos y se agrega uno aproximadamente cada 1, 3 anos.

i El TAI y el TUC tienen la misma escala de medida, el segundo del SI.

ii Si el TU1 se retrasa por mas de un segundo de TUC, es decir, |TU1− TUC| ≥ 0, 9 s se debe ajustar N .

Los segundos bisiestos se introducen desde 1972.Con el establecimiento del TDT a cambio del TE, y la utilizacion del TUC por el TU la diferencia ∆T es:

∆T = TDT − TU1

= (TAI + 32,184 s)− (TUC + δt)

= (TUC +N) + 32, 184 s− TUC + δt

∆T = N + 32,184 s+ δt

90

5. ALGUNOS FENOMENOS ASTRONOMICOS

5.1. Astros Circumpolares

δ ≥ 90− φ

Figura 29: Trayectoria debida al movimiento diurno de astros con diferentes declinaciones.

φ =hci + hcs

2

91

5.2. Maxima Disgresion de un Astro

92

5.3. Paso por el Meridiano del Observador

Hm = 0h Am = 0˚ o Am = 180˚ hm = hmax


sen (90 − zm) = senhm = senφ sen δ + cosφ cos δ

cos zm = cos (δ − φ)

zm = δ − φ

zm > 0⇔ A = 0˚

zm < 0⇔ A = 180˚

El Tiempo Sideral Local de la culminacion: TSLm = α?

93

5.4. Paso por el Cenit

La condicion para que un astro pase por el cenit del observador se debe a que la separacion entre el PNC y C es 90 − φmientras que la separacion entre Q y C debe ser δ, ası:

90 = (90− φ) + δ

φ = δ

Estrellas con declinaciones negativas unicamente pasaran por el cenit de observadores en latitudes sur.

Figura 30: Paso de un astro por el cenit.

94

5.5. Salida y Puesta de un Astro

hsp = 0˚ 0˚< As < 180˚ 12h < Hs < 24h

180˚< Ap < 360˚ 0h < Hp < 22h

Figura 31: Simetrıa en los angulos horarios y azimuts de salida y puesta


cosHsp = −senφ sen δ

cosφ cos δcosHsp = − tanφ tan δ

Hs = 24h −Hsp

Hp = Hsp

95

sen δ = senφ senh+ cosφ cosh cosA

cosAsp =sen δ

cosφ

As = Asp

Ap = 360 − Asp

El Tiempo Sideral Local de Salida: TSLs = Hs + α? .

El Tiempo Sideral Local de Puesta: TSLp = Hp + α?

96

5.6. Paso por el Primer Vertical

APV E = 90˚ hPV E = hPVW = hPV HPV E = 24h −HPV

APVW = 270˚ HPVW = HPV

sen (Co[HPV ]) = tan (90 − φ) tan (Co[90 − δ])

cosHPV =tan δ

tanφ

sen δ = cos (90 − hPV ) cos (90− φ)

senhPV =sen δ

senφ

97

5.7. Calculos para el Sol

Tanto el Sol como la Luna tienen una caracterıstica extra a tener en cuenta al momento de hacer diferentes calculos.Ninguno de los dos astros tiene aspecto de cuerpo puntual vistos desde la Tierra, se tratan como discos de radio angularaparente casi igual, de 0 16′.

5.8. Calculo de las Coordenadas Astronomicas

Las siguientes formulas dan las coordenadas aparentes del Sol, con una precision de 0, 01˚entre los anos 1950 y 2050;dependientes de n, el numero de dıas transcurridos desde (J2000.0):

n = FJ − 2 451 545, 0 (1)

Con esto se puede calcular la longitud media del Sol L y la anomalıa media g:

L = 280, 461 + 0, 9856474 n (2)

g = 357, 528 + 0, 9856003 n (3)

Teniendo en cuenta que L y g deben estar comprendidos en el rango entre 0˚y 360 . Las coordenadas eclıpticas del Sol seobtienen de:

λ = L+ 1, 915 sen g + 0, 020 sen 2g (4)

β = 0˚ (5)

ε = 23, 439 − 0, 0000004 n (6)

Donde se usa el hecho de que el Sol siempre esta sobre la eclıptica. La transformacion a coordenadas se simplifica a:

tanα = cos ε tanλ (7)

sen δ = sen ε senλ (8)

5.8.1. Sol en el Cenit y Sol Circumpolar

Debido a la oblicuidad de la eclıptica la declinacion del Sol cambiara a lo largo del ano: −ε ≤ δ ≤ ε, por lo tanto, elSol solo podra estar en el cenit de observadores ubicados entre latitudes φ = 23 27′ S y φ = 23 27′ N . Para observadoresen latitudes mayores a φ ≥ 90 − ε = 66 33′ el Sol en ciertas epocas sera un astro circumpolar, lo que significa que sepodra observar las 24h del dıa, fenomeno llamado Sol de media noche

98

Figura 32: Zonas geograficas debidas a la declinacion del Sol.

5.8.2. Culminacion

Al igual que en la seccion 5.3, conocidos φ del observador y δ del Sol para la fecha, se calcula el valor de h en que culmina.Para calcular el instante de observacion se debe recordar que en la culminacion del Sol

Hm = 0h

Por lo que (ver seccion 4.4):TSOLV m = 12h

Luego se calcula el tiempo solar medio local (ver seccion 4.7):

TSOLMmλ = 12h − ET

Se determina el TU:TUm = TSOLMm

λ ∓(λ E

W/15)

99

Finalmente la hora local sera:TLm = TUm +HH

5.8.3. Salida y Puesta

La salida o puesta, tanto del Sol como de la Luna, se toma como el momento en que el borde del disco toca el horizonte;las coordenadas (α; δ) de estos cuerpos se refieren al centro de los discos, ası, la altura a tener en cuenta para dicho eventosera hsp = −0 16′:

cosHsp =

sen(−0 16′)− senφ sen δ

cosφ cos δ

Calculado el angulo horario de salida o puesta del astro, el momento de observacion se determinara con el tramite descritoanteriormente para calcular el TL de observacion.

100

6. CORRECCION A LAS COORDENADAS

6.1. Refraccion Astronomica

La refraccion es el fenomeno por el cual un haz de luz se desvıa de su trayectoria debido al cambio de medio de dispersion.La luz proveniente de los astros se propaga por el medio interestelar y cuando entra a la atmosfera terrestre es refractada.La refraccion hace que la altura aparente ha sea mayor que la altura geometrica hg.El efecto depende de las condiciones atmosfericas en la lınea de vision y de la altura. La refraccion es nula cuando el astroesta en el cenit (h = 90 ), y maxima con el astro en el horizonte (h = 0 ), donde la refraccion incrementa su altura en 0 34′,efecto mayor al dıametro aparente solar (ver seccion 5.7).La refraccion Re depende tanto de la temperatura T como de la presion P 1 y de la altura aparente ha:

Re =

(0, 28 P

T + 273

)0, 0167˚

tan(ha + 7,31ha+4,4

)

Con lo que la altura geometrica es: hg = ha −Re.

6.2. La Paralaje

La paralaje es la diferencia en la posicion aparente de un objeto observado desde dos puntos de vista distintos. Efectostıpicos de paralaje se presentan en la fotografıa y en el efecto 3D.

6.2.1. Paralaje Diurna

La paralaje diurna la variacion de la direccion aparente de un cuero celeste visto desde puntos distintos de la superficie delplaneta Tierra.La paralaje horizontal se da cuando un observador tiene un astro en su cenit mientras que otro observador lo tiene en suhorizonte.

senPH =R

d

En este caso se calculan distancias en unidades de R⊕ = 6 378, 14 Km

11 atm = 760 mm de HG = 1, 013× 105 pa = 1013 mbar

101

6.2.2. Paralaje Anual

Es el cambio de direccion aparente visto desde dos puntos distintos de la orbita de la Tierra alrededor del Sol. De todaslas estrellas, aquella con mayor paralaje medida se llama Proxima del Centauro (π = 0, 762′′).

sen π =1

d

Ası se determinan distancias en unidades astronomicas 1 u.a. = 149 597 870 Km. Como las distancias entre estrellas sontan grandes, se definen unas nuevas unidades de distancia: el ano-luz:

300 000 Km/s× 31 557 600 s = 9, 46× 1012 Km = 1 ano-luz = 63 235 u.a.

y el parsec:1

sen(1′′)= 206 265 u.a. = 3, 26 anos-luz = 1 pc

6.3. Aberracion Estelar

La aberracion es la alteracion en la posicion aparente de un astro por el movimiento del observador o del astro mismo,debido a la velocidad finita de la luz.La velocidad de la luz en el vacıo: c = 299 792 458 m/s,La velocidad de traslacion de la Tierra alrededor del Sol v ' 29 800 m/s

6.3.1. Aberracion Secular

Su contribucion se le desprecia generalmente, es producida por el movimiento del sistema solar como un todo, alrededordel centro galactico.

102

6.3.2. Aberracion Anual

Se explica con un tratamiento clasico, es la que resulta del movimiento de traslacion de la Tierra alrededor del Sol.

~p1 = −~c+ ~v

El vector unitario:

p1 =~v − ~c|~v − ~c|

Figura 33: Diagrama de la Aberracion Anual.

Como ~c = cc y c = −p

p1 =~vc

+ p∣∣~vc

+ p∣∣

Como |p| = 1

p1 =~vc

+ p√1 + 2v

c+(vc

)2

Haciendo producto cruz a ambos lados y teniendo en cuenta que

|p× p1| = sen ∆θ |p× p| = 0 |p× ~v| = v sen θ

se tiene que:

sen ∆θ =vc

sen θ√1 + 2v

c+(vc

)2

Aproximando por serie de Taylor:

sen ∆θ =v

csen θ − 1

2

(vc

)2

sen 2θ + · · ·

max [sen ∆θ] =v

c' 29 800 m/s

299 792 458 m/s= 9, 94× 10−5 rad = 20, 5′′

La inclusion del formalismo relativista hace correcciones del orden de lamilesima de segundo.

103

6.3.3. Aberracion Diurna

La aberracion diurna es la contribucion debida del movimiento de rotacion de la Tierra sobre su propio eje. La velocidadde un observador sobre la Tierra depende de su latitud geografica ve = 2πRT

86 164 s= 460 m/s.

vφ = ve cosφ

La contribucion a la aberracion: ve

c= 1, 56× 10−6 rad = 0, 32′′

6.4. Movimiento de las Estrellas

Las estrellas en la boveda celeste no son estaticas, su cambio de posicion solo es apreciable en grandes escalas de tiempo.Se descompone en el movimiento propio µ y la velocidad radial vr.La estrella de Barnard se desplaza hasta 10, 3′′/ano. El movimiento propio ocurre transversalmente a la lınea de vision,mientras que el movimiento radial sucede en la misma direccion de la lınea de vision.

~vt = (µα cos δ;µδ)

µ =√µ2α cos2 δ + µ2

δ

La velocidad radial se mide facilmente gracias al efecto Doppler con espectrometro.

6.5. Deflexion Gravitacional de la Luz

Con su teorıa de la Relatividad General, A. Einstein en 1916 predijo que un campo gravitacional desviarıa la trayectoriade un haz de luz.La defleccion gravitacional puede calcularse como:

∆Φ =2GMc2r

√1 + cos Φ

1− cos Φ

Φ el angulo entre la estrella y el centro del Sol.

2GMc2r

=2 (6, 67× 10−11) (1, 998× 1030)

(300 000 000)2 (1, 49× 1011)= 1, 97× 10−8 rad = 0, 00408′′

La defleccion para una estrella se puede escribir como:

∆Φ =0, 00408′′

tan(

Φ2

)104

6.6. Precesion

El fenomeno de la precesion ocurre por la accion de un torque sobre un objeto con momento angular. Un ejemplo tıpico esmovimiento de cabeceo de un trompo. En la precesion se cuentan todos los efectos seculares del movimiento del eje terrestre.

Figura 34: Desplazamiento del PNC.

La razon de la precesion del eje terrestre es debido al achatamientode los polos y los campos gravitacionales de los demas componentesdel sistema solar. El efecto directo de la precesion es mover el puntovernal sobre la eclıptica, por lo que las coordenadas de los astros irancambiando con el tiempo. Es necesario definir una epoca, que es unafecha arbitraria, a la cual esten fijas las coordenadas. La epoca actual(desde 1984) es J2000.0.Se llamaran (α0; δ0) las coordenadas de un astro referidas a la epocaJ2000.0; se llamaran (α; δ) a las coordenadas del astro con referenciaal equinoccio y ecuador medio de la fecha.Para corregir por precesion se requieren calcular:

M = (1˚16′ 52, 43628′′)T + (1, 39644′′)T 2 + (0, 039636′′)T 3

N = (0˚33′ 24, 3108′′)T − (0, 4266′′)T 2 − (0, 04176′′)T 3

De J2000.0 a la fecha

Primero las cantidades auxiliares:

αm = α0 +1

2(M +N senα0 tan δ0)

δm = δ0 +1

2N cosαm

Finalmente, las coordenadas medias a la fecha:

α = α0 +M +N senαm tan δm

δ = δ0 +N cosαm

105

De la fecha a J2000.0

Las cantidades auxiliares:

αm = α− 1

2(M +N senα tan δ)

δm = δ − 1

2N cosαm

Las coordenadas en J2000.0:

α0 = α−M −N senαm tan δm

δ0 = δ −N cosαm

6.7. Nutacion

La nutacion tiene fenomenologicamente el mismo origen de la precesion, solo que en la precesion se cuentan los fenomenosperiodicos del movimiento del polo.Se determinan:

Ω Longitud media del nodo ascendente de la orbita lunar.

Ω = 125, 04− 1934, 13T

D Longitud media de la Luna menos la longitud media del Sol.

D = 297, 85 + 445 267,11T

F Longitud media de la Luna menos la longitud media del nodo lunar.

F = 93,27 + 483 202,0175T

Se calculan las contriubuciones por longitud ∆ψ y oblicuidad ∆ε:

∆ψ = −17, 2′′ sen Ω + 0, 2′′ sen 2Ω− 1, 3 sen (2Ω + 2F − 2D)− 0, 2′′ sen (2Ω + 2F )

∆ε = 9, 2′′ cos Ω− 0, 1′′ cos 2Ω + 0,6′′ cos (2Ω + 2F − 2D) + 0, 1′′ cos (2Ω + 2F )

106

La oblicuidad media de la eclıptica:ε = 23 26′21, 4′′ − 46,81′′T

Las correcciones en ascension recta y declinacion:

∆α = (cos ε+ sen ε senα tan δ) ∆ψ − cosα tan δ∆ε

∆δ = sen ε cosα∆ψ + senα∆ε

Junto al valor verdadero de la oblicuidad se calculan las coordenadas verdaderas de la fecha, que se obtienen de lascoordenadas medias de la fecha, es decir, las corregidas por precesion:

εv = ε+ ∆ε

αv = α + ∆α

δv = δ + ∆δ

107

7. GEODESIA ASTRONOMICA

Masa 5, 9736× 1024 KgMasa de la atmosfera 5, 1× 1018 KgMasa de los oceanos 1, 4× 1021 KgRadio ecuatorial 6 378 140 mRadio polar 6 356 755 mDistancia media al Sol 1, 496× 1011 mDensidad media 5, 515 g/cm3

Perıodo de rotacion 23h 56m 4, 09s

Periodo de traslacion 365,2421897 dTemperatura superficial de − 35 C a 50 CAchatamiento 3, 353× 10−3

Inclinacion del eje 23, 44˚Velocidad orbital 7, 9 Km/sVelocidad de escape 11, 1 Km/sAceleracion de gravedad 9, 8 m/s2

Figura 35: Estructura interna de la Tierra.

108

Figura 36: Franjas de transmision de la atmosfera terrestre.

109

7.1. Representacion de la Tierra

I- Simetrıa Esferica.

II- Abultamiento en el Ecuador = Achatamiento de los polos.

III- Superficie equipotencial = Geoide.

IV- Elipsoide de revolucion o esferoide.

x2

a2+y2

b2= 1

Excentricidad: e =

√a2 − b2

a2

Achatamiento: f =a− ba

e =√f(2− f)

Ano Nombre Radio Ecuatorial Achatamientoa (m) f

1979 UAI 6 378 140 1/298, 2571980 GRS 80 6 378 137 1/298, 25722221983 MERIT 6 378 137 1/298, 2571984 WSG 84 6 378 137 1/298, 257223563

7.2. Definicion de Coordenadas

7.2.1. Coordenada Geocentrica

Su origen es el centro de masas del planeta.

φ′ = latitud geocentrica

λ′ = longitud geocentrica

ρ = distancia radial

−90˚≤ φ′ ≤ 90˚

90˚S ≤ φ′ ≤ 90 N

7.2.2. Coordenada Geodesica

Depende de la lınea perpendicular al esferoide.

φ = latitud geodesica

λ = longitud geodesica

h = altura sobre el elipsoide

7.2.3. Coordenada Geografica

Se determina a partir de las observaciones astronomicas, cu-yo cenit se determina con la vertical local.

φ′′ = latitud geografica

λ′′ = longitud geografica

110

7.3. Transformacion de Latitudes

desviacion de la vertical =

cenit astronomico

cenit geodesico= QPC ′

angulo de la vertical =

cenit geodesico

cenit centrico= QPO

tanφ′ =y

xtanφ =

y

x

a2

b2

tanφ =a2

b2tanφ′

tanφ =1

(1− f)2tanφ′

x2 = a2 − a2

b2y2

y2 =x2b2 tanφ

a4

x2 =a2

1 + b2

a2 tan2 φ

x2 =a2 cos2 φ

1− e2 sen2 φ

y2 =a2(1− e2)2 sen2 φ

1− e2 sen2 φ

ρ2 = x2 + y2

ρ = a

√1− e2(2− e2) sen2 φ

1− e2 sen2 φ

Figura 37: Relacion entre φ′ y φ.

Angulo de la vertical: ν = φ− φ′

tan ν =tanφ− tanφ′

1 + tanφ tanφ′

tan ν =tanφ− (1− f)2 tanφ

1 + (1− f)2 tan2 φ

q =2f − f 2

1 + (1− f)2tan ν =

q sen 2φ

1 + q cos 2φ

111

ρ cosφ′ = x+ h cosφ

ρ senφ′ = y + h senφ

y = x(1− f)2 tanφ

x2

a2+x2(1− f)4 tan2 φ

a2(1− f)2= 1

x =a cosφ√

cos2 φ+ (1− f)2 sen2 φ= aC cosφ

C =[cos2 φ+ (1− f)2 sen2 φ

]−1/2

y = aS senφ

S = (1− f)2C

ρ cosφ′ = a cosφ

(C +

h

a

)ρ senφ′ = a senφ

(S +

h

a

)

Para el elipsoide de la IAU 1979

ν = 692, 7260′′ sen 2φ− 1, 1232 sen 4φ+ 0, 0026 sen 6φ+ · · ·ρ0 = 6367, 470098 + 10, 692737 cos 2φ− 0, 022445 cos 4φ−

(4, 9× 10−5

)cos 6φ+ · · ·

7.4. Determinacion Astronomica de las Coordenadas

A partir de la culminacion de un astro

hm − φ+ δ = 90˚

φ = hm + δ − 90˚

λE = (α− TSLt)× 15

λW = (TSGt − α)× 15

112

7.5. Relacion de las Coordenadas con las Unidades de Medida

Considerando que la circunferencia de la Tierra es de 40 000 m.

El metro: En 1795 se definio como 110 000

de la cuarta parte del meridiano terrestre.

La milla nautica: La distancia de un minuto de arco sobre la superficie terrestre. 1 milla nautica = 1 852 m

113

Referencias

[1] S. Palen. Shaum’s Outline of: Theory and Problems of Astronomy. MacGraw-Hill, 2002.

[2] H. Karttunen et al. Fundamental Astronomy. Springer, 5 edition, 2007.

[3] W. M. Smart & R. M. Green. Textbook on Spherical Astronomy. Cambridge University Press, 6 edition, 1986.

[4] A. E. Roy & D. Clarke. Astronomy: Principles and Practice. Institute of Physics Publishing, 4 edition, 2000.

[5] J. G. Portilla B. Elementos de Astronomıa de Posicion. Universidad Nacional de Colombia, 2001.

114

astronomía esférica

Documents