1 ASTRONOMIA GEODSICA Posicionamento pelas Estrelas Baslio Santiago Adriano Salviano 2 NDICE NOTA DOS AUTORES

CAPTULO 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E SISTEMAS DE COORDENADAS Introduo Astronomia Geodsica Sistema Horizontal de Coordenadas Sistema Equatorial de Coordenadas ngulo horrio Precesso Relao entre os Sistemas Horizontal e Equatorial Outros sistemas de coordenadas Coordenadas eclticas Coordenadas Galcticas Fundamentos de Geodsia Histria da Geodsia A figura da Terra O Elipside de Revoluo Geide Sistema Geodsico de Referncia Determinao de Posio pela Astronomia CAPTULO 2 ESTUDO ANALTICO DO MOVIMENTO DIURNO Movimento diurno dos astros Passagem meridiana Estrelas circumpolares e estrelas invisveis Movimento diurno: exemplos do efeito da latitude do observador Trigonometria Esfrica Tringulos Esfricos Frmulas de Trigonometria Esfrica Astronomia Esfrica Situaes especiais

CAPTULO 3 MOVIMENTO ANUAL DO SOL E SISTEMAS DE TEMPO Movimento Anual do Sol Estaes do ano e eclipses As estaes do ano em nosso planeta Eclipses Sistemas de Medida de Tempo Instante, Hora, Intervalo e Estado de Cronmetro As diferentes definies de hora Converso entre Sistemas de Medida de Tempo Converso de tempo solar em sideral Tabela do Anurio Astronmico do Observatrio Nacional Tabela do Astronomical Almanac Converso de tempo sideral em solar Equao do Tempo 3 Tabela do Anurio Astronmico do ON contendo os valores da Equao do Tempo Tabela do Astronomical Almanac contendo os valores da Equao do Tempo Equao do Centro Reduo ao Equador CAPTULO 4 CORREES S COORDENADAS EQUATORIAIS Variao de Coordenadas Equatoriais Precesso Nutao Tabela do Anurio Astronmico do Observatrio Nacional Tabela do Apparent Places of Stars Deslocamento do Plo Celeste Movimento do Plo Astrometria Aberrao Refrao Tabela do Anurio Astronmico do ON com valores de Refrao mdia para diferentes distncias zenitais Tabela do Anurio Astronmico do ON com os fatores de correo de Rm para T e P Paralaxe e unidades de distncia em Astronomia Movimentos Prprios Catlogos de Estrelas e Atlas na Web Reduo das coordenadas astronmicas Tabela do Astronomical Almanac com os nmeros Besselianos Tabela com valores dos nmeros Besselianos de 2a ordem Tabela do Astronomical Almanac com os valores das coordenadas cartesianas X,Y,Z CAPTULO 5PRTICAS DE DETERMINAO ASTRONMICA Roteiro para preparao de relatrio de prtica astronmica Roteiro para montagem, nivelamento e calibrao de Teodolito 1 Prtica Determinao do meridiano astronmico e do azimute de uma mira usando a culminao de uma estrela Procedimento Observacional Exemplo 2 Prtica Determinao do meridiano astronmico e do azimute de uma mira usando uma estrela em elongao Procedimento Observacional Exemplo 3 Prtica Determinao de latitude usando o Mtodo de Sterneck Procedimento Observacional Exemplo 4 Prtica Determinao de longitude usando Mtodo das Alturas Iguais Procedimento Observacional 5 Prtica Determinao de longitude usando Mtodo das Distncias Zenitais Absolutas Procedimento Observacional Exemplo 6a Prtica Determinao da hora pelo Mtodo de Zinger CAPTULO 6 EXERCCIOS COM SOLUES Exerccios de Passagem Meridiana e Coordenadas Horizontais 4 Exerccios de Trigonometria Esfrica e Movimento Diurno Exerccios de Sistemas de Tempo Exerccios sobre variaes de Coordenadas Equatoriais

CAPTULO 7 APNDICES Glossrio de conceitos de Astronomia de Posio Esfera Celeste Sistema Horizontal Sistema Equatorial Quadro Resumo de Coordenadas Celestes Deduo das Frmulas do Mtodo de Zinger

BIBLIOGRAFIA 5 NOTAS DOS AUTORES Estetextotemumaorigemcuriosa,poisseguiuumcaminhopossivelmenteinversoda maioria. Inicialmente foi produzido em formato de hipertexto a ser acessado pela Internet e somente agoraestsendopublicadonaformatradicional.ParaosquetmacessoInternetsemprevale penaconheceromaterialemsuaversoeletrnica: http://www.if.ufrgs.br/~santiago/lectures/fis2005,atporqueasatualizaessedomais rapidamente para este ltimo. OendereodohipertextodadoacimapartedostioInternetdoInstitutodeFsicada UFRGS.Estematerialfoiinicialmenteconfeccionadocomoobjetivodeajudarosalunose professores de disciplinas de Astronomia Posicional, Fundamental e Geodsica. Trata-se, portanto, dematerialdidticoconcebidocomoapoioaoensinouniversitrio.Poroutrolado,oleigo interessado em Astronomia e dispondo de conhecimento de matemtica elementar como geometria e trigonometria certamente vai se beneficiar deste material. Na elaborao do hipertexto, originalmente foram usados trechos e figuras de alguns livros e stiosdisponveisnaWeb,incluindo-sestiosdoexterior.Atraduodoinglsparaoportugus, quando necessria, foi feita por este autor. Os livros e sites da Web de onde foram retiradas partes dos contedos que originalmente compunham o hipertexto, so os seguintes: Boczko, I.,Conceitos de Astronomia; Gemael, C., Astronomia Esfrica; Hatschbach, F., Determinaes Astronmicas; Astronomy 250 lecture notes. Endereo na Web: ; Tutorials for Astronomy. Endereo na Web: ; RoyFisher'sEarthRotationandEquatorialCoordinateswebpage.EndereonaWeb: ; Terry Moore's web page on Coordinate Systems, Frames and Datums. Endereo na Web: ; Tanto o hipertexto quanto o livro evoluram com o tempo, sendo que a elaborao da verso impressa, resultado de um projeto apoiado pelas Pr-Reitorias de Ensino e Pesquisa da UFRGS, foi umdosprincipaisimpulsionadoresdesteprocessodeaprimoramento.Omaterialaospoucosfoi sendomodificadoeadaptadoporesteautor,levando-seemcontaoscontedosdadisciplinade AstronomiaGeodsicaIeII,docursodeEngenhariaCartogrficadaUFRGS,almdasdemais disciplinas oferecidas pelo Departamento de Astronomia desta universidade. Figuras semelhantes s originais, por vezes melhoradas, bem como figuras novas, foram confeccionadas em sua maior parte 6 porAdrianoSalviano,formandodeEngenhariaCartogrficadaUFRGSeco-autordestaverso impressaprincipalmentenapartedeSistemaGeodsicodeReferncia.Mudanasnotextoeno ordenamentodaexposiodostpicosabordadossedeveramempartesnovasfiguras,mas tambmaoprprioprocessode aprofundamento didticodosautores.Todososcaptulosdotexto foram ampliadas com relao verso original, em especial os captulos conceituais e o captulos de problemas com solues. O Captulo 5 em diante so, na verdade, um diferencial importante deste livrodidtico,poisenfatizamaprticaastronmica,dandoassimmaiorclarezaaosconceitos tericos apresentados. Baslio Santiago Adriano Salviano 7 CAPTULO 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E SISTEMAS DE COORDENADAS

Introduo Astronomia Geodsica Osimples atodeolharparaocunoturno,emumanoitesemnuvense longedasluzesda cidade,eneleidentificarograndenmerodeestrelasdevariadosbrilhosecores,seconstituiem uma forma primitiva de praticar a Astronomia de Posio. Quem no teve a experincia de ver uma "estrelacadente",oupresenciarsubitamentealgumfenmenonocu(passagemdeumsatlite, balo meteorolgico ou mesmo um avio, aparente mudana de brilho de uma estrela, etc) e tentar descrever a outra pessoa em que posio do cu isso aconteceu? Em geral, para o leigo, este tipo de experincialevaaousodasmos:aprimeirareaoapontarmosparaadireoondesedeuo fenmeno.Joutraspessoaspodemtentarusarestrelasvizinhasaopontoouregiodocuem questo.Ofatoqueanecessidadedelocalizareidentificarobjetosnocuacompanhaa civilizao humana desde o seu incio. NaAntigidade,aidentificaodeestrelasespecficasnoculogoaoanoitecerou amanhecer,oumesmo a posiodoSolnocu comrelao a marcosde refernciaemterra eram usadosparamarcarasucessodasestaesdecaloroufrio,desecasoucheias.Parafacilitarseu trabalho,muitospovosusavamasestrelasmaisbrilhantesdocu,juntamentecomumpoucode imaginao,paraformarfigurasfamiliares,deanimaisconhecidos,figurasdesuamitologia,ou cenascotidianasnocunoturno.Essasfiguras,asconstelaes,jrepresentamumavanona prtica da Astronomia de Posio. Ao invs de apontar o dedo na direo de um certo fenmeno ou objetoceleste,oreconhecimentodasconstelaesnocupermitialocalizarestefenmenoou objeto simplesmente fazendo meno constelao cujas estrelas o circundavam. Apesar do apelo que tm junto s pessoas (todos ns j ouvimos falar de constelaes como o Cruzeiro do Sul, Escorpio, Sagitrio, Touro, etc) atualmente a Astronomia de Posio faz pouco usodelas.Omotivoparaopoucousodasconstelaespodeserconhecidosenosdispusermosa passarumanoiteolhandoparaocuetentandoidentificarasconstelaesnelepresentescomo auxlio de um mapa celeste. No mapa, as estrelas que compem a figura de cada constelao esto ligadasporlinhas,deformaque,comalgumaboavontade,podemosidentificarasformasdessas figuras que lhes do o nome. Mas ao olharmos para o cu noturno a coisa se complica e muito. O que vemos simplesmente um montede estrelas, algumas mais brilhantes, outras menos, algumas avermelhadas,outrasazuladasoubembrancas.Aquelasfigurasmarcadasnacartaceleste 8 simplesmentenosematerializamfacilmenteaosnossosolhosnocuacimadens.Uma explicao para este fato poderia ser a de que as constelaes que os mapas celestes descrevem at hojesoasmesmasqueosgregoseromanosantigosidentificaram.FigurascomooSagitrio, Centauro, Pgaso, Andrmeda, Cassiopia, etc, fazem parte da cultura deles e no da nossa! Mas a verdade que somente com muito treino poderamos comear a separar a confuso de estrelas que vemos no cu em figuras distintas, mesmo que tentssemos identificar coisas bem familiares no cu, como por exemplo, o Cristo Redentor, o Po de Acar, o elevador Lacerda em Salvador, o prdio do Congresso Nacional em Braslia, o mapa do Brasil, o smbolo da CBF, uma cuia de chimarro, animais domsticos como cachorros, gatos, bois, o que for! Atualmente,nstemosmeiosmaiseficazesdelocalizarumastronocu.Eficazaqui significaobjetivoesimples;naverdadetoobjetivoesimplesquantoaMatemticaque aprendemos no ensino bsico. A posio de um astro no cu pode ser estabelecida por meio de um sistemadecoordenadas.Naspginasqueseseguem,nsvamosdescreverossistemasde coordenadasmaisusadosemAstronomiadePosio,emespecialoSistemaHorizontalde CoordenadaseoSistemaEquatorialdeCoordenadas.Estessistemas,assimcomoosdemaisque veremosadiante,sotodosdeummesmotipo:aposiodeuma estrela nocupodeserdefinida pela especificao do valor de dois ngulos, um deles contado ao longo de um plano de referncia, variando de 0 a 360, e o outro contado a partir deste mesmo plano, variando de 90 a 90. Estes sistemas so chamados de Sistemas de Coordenadas Esfricas. Antes deintroduzirmos os sistemas horizontal e equatorial de coordenadas, contudo, faz-se necessrioestabeleceralgunsconceitoselementares.Quandoapontamosodedoparaalguma estrela, estamos escolhendo uma direo no espao. Todos os pontos situados ao longo da reta que, partindo de ns, passa pelo nosso brao a atinge a estrela, esto na mesma direo no espao. Mas ondeaolongodestaretaestlocalizadaaestrela?Estaperguntainteiramenteanlogaa perguntarmos "a que distncia est essa estrela de ns?". Para uma estrela "prxima", o tamanho do segmentoderetaquenosuneaelasermenordoquenocasodeumaestrela"distante".Uma mesma direo no espao pode conter mais de uma estrela, situadas a diferentes distncias. Ofatoqueasestrelasestotodistantesdensque,paraoefeitodesualocalizaono cu, podemos considerar que elas esto a uma distncia infinita! O que queremos dizer com isso queemAstronomiadePosioestamosapenaspreocupadosemcaracterizaradireonaqualse encontramosastros.Nonosinteressaaquiasuadistncia,bastandoparansaceitarqueesta distnciamuitomaiordoqueasdistnciascomquelidamosemnossasvidascotidianas,ou mesmo do que o tamanho da Terra. Essa concluso nos permite definir ento a esfera celeste. Trata-se de um conceito abstrato, mas muito importante: a esfera celeste nada mais do que uma forma de atribuir uma forma material ao cu de um observador. A esfera celeste tem raio infinito e centro 9 noobservador.Mascomoseuraioinfinito,qualquerobservadorsituadosobreasuperfcieda Terrapodeseconsiderarigualmentesituadoemseucentro.Qualquerobjetoceleste(Sol,Lua, planetas, estrelas, o que for) em um dado instante est situado em um ponto da esfera celeste. Este ponto resulta do prolongamento ad infinitum da direo no espao na qual vemos o objeto. Podemos desenhar crculos na esfera celeste. O exemplo mais fcil o crculo do horizonte. O horizonte um crculo sobre a esfera celeste que a divide ao meio: o hemisfrio que est acima dohorizonte apartevisveldaesfera celeste.Sconseguimosvernocuosastrosque estono hemisfriovisvel,acimadohorizonte.Ametadeabaixodohorizonte,obviamente,no conseguimosobservar.OSol,porexemplo,quandoestacimadohorizontedeumobservador, iluminatudosuavolta,caracterizandoodia;quandooSolestabaixodohorizonte,temos obviamentemenosclaridade,oquesignificaumasituaodenoite.Aoscrculosque,comoo horizonte, dividem a esfera celeste ao meio chamamos de grandes crculos ou crculos mximos. Ao longo do nosso estudo, deparar-nos-emos com outros exemplos de grandes crculos como o equador celeste, o meridiano astronmico e a eclptica. Estes sero discutidos em mais detalhe ao longo do livro, mas podemos adiantar que o primeiro divide a esfera celeste em dois hemisfrios: o norte e o sul celestes. J a eclptica um grande crculo no cu percorrido pelo Sol ao longo de um ano. Na verdade, todos os pontos e crculos que definimos sobre a superfcie da Terra podem ser prolongadosadinfinitumatencontraremaesferaceleste.Assimpodemosnoapenasfalarde Equadorcelesteedehemisfriosnorteesulcelestes,mastambmdeplosnorteesulcelestes, paraleloscelestes(assimcomoosparalelosaoEquadordaTerra)emeridianoscelestes.Quantoa estes ltimos, o meridiano astronmico de um observador, mencionado acima, nada mais do que a projeo na esfera celeste do meridiano geogrfico do mesmo. Sistema Horizontal de Coordenadas AfiguraI.1.1abaixoilustraosistemadecoordenadashorizontais.Nafiguravemosa metadedaAbbadaCeleste(=EsferaCeleste)visvelaoobservadorsituadoemO.Aposioda estrela est marcada por E. O Znite do observador indicado por Z. O znite o ponto da esfera celeste acima da cabea doobservador. De maneira mais tcnica podemos defini-lo como sendo o ponto da esfera celeste que resulta da extenso ad infinitum da vertical do observador. Assim sendo, adireodeZperpendicularaoPlanoHorizontaldoobservador,noqualsesituamospontos cardeais: Norte (N), Leste (E), Sul (S) e Oeste (W). O plano que contm tanto os pontos cardeais N e S quanto o znite Z o Plano Meridiano, cuja interseco com a Esfera Celeste define o Meridiano Astronmico do observador. Este ltimo, por vezes chamado de Linha Meridiana, divide a esfera celeste ao meio, sendo portanto um grande crculo.Analogamente,aintersecodoplanohorizontaldoobservadorcomaesferacelesteo 10 horizontedoobservador,novamenteumcrculomximodaesferaceleste.Asduasmetadesda esfera celeste definidas pelo horizonte so o hemisfrio visvel (acima do horizonte e que contm o znite) e o hemisfrio invisvel (abaixo do horizonte). A figura I.1.1, como j dissemos, representa apenas ametadevisveldaesfera celeste. Como omeridianoastronmicono tododisponvel observao,algunsautorespreferemdefinircomomeridianoastronmicoapenasosemicrculo meridianosituadoacimadohorizonte.Outrosfazemrefernciaaesteltimocomosendoo Meridiano Superior ou ainda, Semimeridiano Superior. OplanoquecontmoobservadorO,ozniteZeaestrelaEchamadodeVerticalda Estrela.AintersecodoverticaldaestrelacomaesferacelestedefineoCrculoVerticalda mesma. Figura I.1.1 Sistema de coordenadas horizontais. Pois bem, podemos situar qualquer ponto na esfera celeste com duas coordenadas. No caso do sistema horizontal essas coordenadas so a altura h e o azimute A. Pela figura I.I.1 vemos que a altura o ngulo entre a direo estrela (segmento de reta OE) e o plano do horizonte. A altura arbitrada como sendo positiva para pontos da esfera celeste situados acima do horizonte e negativa paraaquelesabaixodohorizonte.Joazimuteongulo,contadoaolongodoplanohorizontal, entre o plano meridiano e o vertical da estrela. A origem da contagem de A (ou seja, A = 0) em geralarbitradacomosendoopontocardealnorte(N);masalgunsautorespreferemusaroponto cardealSul(S).comumtambmsesubstituiraalturahpeladistnciazenitalz;estaltimao ngulo entre a direo vertical (ou seja, OZ) e a direo estrela. Fica claro, tanto pelas definies quanto pela figura, que a altura e a distncia zenital so ngulos complementares, ou seja: h + z = 90 Azimute e altura geralmente so definidos de forma que seus valores possam variar dentro dos seguintes domnios: 0 0360 0 A11 0 090 90 h0 0180 0 zValores negativos de altura se aplicam a objetos abaixo do horizonte, sendo z > 90 neste caso. Para fins de fixao, procuremos agora responder s seguintes perguntas: 1 Qual a altura de um objeto exatamente no horizonte do observador? 2 Qual a altura de uma estrela que esteja no nadir, ou seja, no ponto da esfera celeste diametralmente oposto ao znite? 3 Qual o azimute de um astro que se situa no meridiano astronmico do observador, entre o znite e o ponto cardeal norte? 4 Qual a altura de um astro cuja distncia zenital z = 40? 5 Qual o azimute de uma estrela cujo vertical contm o ponto cardeal leste (E)? AfiguraI.1.2mostraosistemahorizontalporumaoutraperspectiva.Nopaineldadireita vemos a definio da altura h do ponto de vista de algum que se situa no plano do horizonte. J o painel da esquerda mostra a definio do azimute A partir de uma perspectiva de quem olha para o plano horizontal de cima, ou seja, ao longo da vertical do observador. Figura I.1.2 definio da altura h e do azimute A. Umaobservaoimportantesobreo sistemahorizontalque ascoordenadasdeumobjeto mudam com o passar do tempo. fcil constatar isso, pois sabemos que, devido rotao da Terra, osastrossemovemlentamentedelesteparaoeste.Aonasceralestedomeridianoastronmico, qualquer estrela ter necessariamente um azimute no domnio 0 A 180. J ao se por a oeste do meridianodoobservador,seuazimuteser180A360.Aaltura(oudistnciazenital) obviamente tambm varia: tanto ao subirno horizonte a lestequanto ao baixar a oeste, a altura de uma estrela nula (h = 0). No intervalo entre estes dois instantes, o objeto obviamente est acima do horizonte e temos, portanto h > 0. Na verdade, veremos mais adiante que o movimento diurno de um astro tem a forma de um crculo na esfera celeste. Em geral, parte deste crculo est acima do 12 horizonteeparteabaixodele.AfiguraI.1.3ajudaavisualizarumarcodiurnotpicodescritopor uma fonte celeste. Novamente, vemos apenas a parte do arco diurno que est acima do horizonte do observador. Figura I.1.3 exemplo de arco diurno descrito por um astro. NotequenaFiguraI.1.3ospontosemqueoarcodiurnocruzacomohorizonteno coincidem com os pontos cardeais leste (L) e oeste (W). De fato, veremos mais adiante que poucos astros nascem (se pem) exatamente em L (W). Alm de variar com o tempo, as coordenadas horizontais de uma fonte astronmica tambm dependemdaposiodoobservadornasuperfciedaTerra.Ofatodeestaltimaserdetamanho desprezvelcomparadacomasdistnciassfontesastronmicasimplicaqueadireofonteno espaoindependedaposiodoobservador.Poroutrolado,adireodaverticaldoobservador claramentedependedeondenasuperfciedaTerraele est.Asituao retratadanafiguraI.1.4, quemostradoisobservadoressituadosemummesmomeridianogeogrfico,masempontos distintosdasuperfciedaTerra.Adireoestrelaamesmaindependentementedopontode observaosobreaTerra,sendoestadireorepresentadapelasretasparalelasdafigura.Masas verticais dos observadores, que pode ser aproximada como a reta originada no centro da Terra e que passapeloobservador,apontaemdireesdiferentes.Emoutraspalavras,osznitesZ1eZ2dos observadoresclaramentecorrespondem adireesdistintasnoespao.Oplanohorizontaldecada observadorperpendicularverticale,portantotambmvariadeorientaonoespao.Nota-se que a altura da estrela medida pelo observador O1 bem menor do que aquela medida porO2. Na figura, PNG e PSG correspondem aos plos norte e sul geogrficos, respectivamente. 13 Figura I.1.4 Variao da direo vertical e do plano horizontal com a posio do observador na Terra Na prxima seo veremos um sistema de coordenadas que no depende do tempo ou da localizao do observador na superfcie da Terra. Sistema Equatorial de Coordenadas Jhavamosmencionadoqueospontosecrculosquesodefinidossobreasuperfcieda Terratmseusequivalentesnaesferaceleste.EstasituaoretratadanafiguraI.1.5,naqual vemosumarepresentaodaTerra(esferainterna)edaesferaceleste(esferaexterna).Noteque estaltimatemraioinfinito,oqueobviamenteimpossveldereproduzirnafigura.Maso importante da figura o fato de permitir a visualizao dos equivalentes celestes ao equador e plos geogrficos. Eles so naturalmente chamados de Equador Celeste e Plos Celestes norte e sul. 14 Figura I.1.5 Equador e plos celestes. O fato de haver um nico plano equatorial, reconhecido como tal por todos os observadores emTerra,independentedeondeestejamnasuasuperfcie,constitui-senacondiobsicaparaa definiodeumsistemadecoordenadasquesejauniversal,ouseja,utilizvelportodosos observadores e cujas coordenadas, para uma dada fonte, tenham o mesmo valor, independentemente de quem as mede. Este o Sistema Equatorial (ou Uranogrfico) de Coordenadas. Este sistema de coordenadas vem sendo usado desde que os primeiros catlogos de estrelas foram criados. O sistema equatorial de coordenadas, assim como o horizontal, tambm baseado em dois ngulos: a Ascenso Reta e a Declinao . Outra semelhana entre os dois sistemas o fato de ambosseremdefinidosapartirdeumplanodereferncia.Nosistemahorizontalesteplanoo PlanoHorizontaldoobservador.Nosistemaequatorial,comonovamenteimplcitopeloprprio nome, o plano de referncia o plano que contm o equador da Terra e o equador celeste, ou Plano Equatorial.Naverdade,umobservadoratentovainotarquehumaenormesemelhanaformal entre os sistemas horizontal e equatorial. NafiguraI.1.6abaixovemosumarepresentaogrficadosistemaequatorial,ondeTo observador e E uma estrela. Tambm indicamos a posio do Plo Norte Celeste (PNC). O plano perpendicular direo deste ltimo e que contm o observador o plano equatorial. A interseco entre o plano equatorial e a esfera celeste o grande crculo chamado de Equador Celeste. Adeclinao definidacomoonguloentreoplanoequatorialeadireoestrela (segmentoTEdafigura).Analogamenteaocaso horizontal,osinalde caracterizaospontosdos diferenteshemisfriosseparadospeloplanodereferncia: > 0 ( < 0) correspondeapontosa norte(sul)doequadorceleste.Umaestrelasobreoequadorcelestetemdeclinao=0.Jo conjunto de todos os pontos cuja declinao constante chamado de Paralelo Celeste ou Paralelo deDeclinao.Ocomplementodadeclinao,representadopelongulopnafigura,sechama Distncia Polar, sendo, como implica o prprio termo, o ngulo entre a direo estrela e a direo aoplonorteceleste(segmentoderetaTPNC).Adistnciapolardesempenha,nosistema equatorial,omesmopapelqueadistnciazenitalnocasodascoordenadashorizontais.Podemos ento escrever: + p = 90 15 Figura I.1.6 Sistema de coordenadas equatoriais. Jaascensoreta,analogamenteaoazimutenosistemahorizontal,contadaaolongodo planodereferncia.Logoaorigemdacontagemdaascensoreta( = 0)necessariamenteum ponto sobre o equador celeste. Este ponto representado por na figura I.1.6. O ponto (ou Ponto VernalouaindaPontoderies)umdosdoispontosdaesferacelestequepertencetantoao equadorcelestequantoeclptica(verseosobremovimentoanualdoSol).Aascensoreta definidacomoonguloentreoplanoquecontmPNC,TeeoplanoquecontmPNC,Tea estrela E (ver figura I.1.6). A interseco deste ltimo (primeiro) plano com a esfera celeste define umgrandecrculochamadodecrculohorriodaestrela(dopontovernal).Ospontossobreo crculo horrio da estrela tm o mesmo valor de . Vemos pela figura que a ascenso reta contada paralesteepodeassumirvaloresentre0u360.comum,noentanto,exprimirmosa ascenso reta em unidades de tempo. Se atribuirmos um domnio de 24h ao domnio de valores de acima,teremos1h=15.Porexemplo,ospontossobreocrculohorriodoponto tm = 0 = 0h. Esta relao entre ascenso reta e tempo ficar mais ntida adiante, quando discutirmos o conceito de ngulo horrio e as diferentes definies de sistemas de tempo.

ngulo horrio ngulohorrioHdeumastroo nguloentreocrculohorriodeste astroeomeridiano astronmicodoobservador.Estengulo,assimcomoaascensoreta,tambmcontadosobreo equadorceleste,variandode0H360.AfiguraI.1.7muitosemelhantefiguraI.1.6.A diferenaainclusodomeridianoastronmicodoobservadornafigura.Conformeexplicado anteriormente, o meridiano o grande crculo no cu que contm o znite e os pontos cardeais norte 16 e sul. O meridiano necessariamente contm tambm os plos celestes norte e sul. Na figura vemos que o ngulo horrio cresce, a partir do meridiano, em direo oposta ascenso reta. H cresce para oeste,acompanhandoomovimentodiurnodosastros(delesteparaoeste).J cresceparaleste, seguindo o movimento anual do Sol. Note que enquanto a ascenso reta e a declinao formam osistemadecoordenadasequatoriaisouuranogrficas,ongulohorrioH,juntamentecoma declinao forma o sistema horrio de coordenadas. Figura I.1.7 Sistema horrio de coordenadas. precisamenteofatodeacompanharomovimentodiurnodosastrosquetornaHum indicadortilparacontagemdetempo.Porexemplo,senumdadoinstanteumaestrelaestno meridiano astronmico de um observador, seu ngulo horrio H = 0. Um dia depois, aps a Terra dar um giro completo em torno de seu eixo, a estrela estar novamente passando pelo meridiano do observador. Durante estas duas passagens meridianas, o ngulo horrio da estrela ter variado de 0 a 360. Podemos, portanto, definir a hora do dia com base no ngulo horrio do astro. Da o nome!A verdade que o cu um imenso relgio, do qual os astros so os ponteiros. A partir da posiodestesponteirospodemosentoobterumamedidadahora.Porexemplo,define-seHora Sideral (S) como sendo simplesmente o ngulo horrio do ponto vernal (ponto ). Pela figura I.1.7, vemos ento que: S = H = H* + onde H* e se referem a uma estrela qualquer. PodemosentodefinircomoDiaSideralointervalodetemponecessrio paraqueoponto vernalpasseduasvezespelomeridianodeumobservadorqualquer.Emoutraspalavras,o intervalo decorrido entre duas passagens meridianas do Ponto . 17 PodemostambmusarongulohorriodoSolcomoindicadordahora.Umavantagem bviadefaz-loresidenofatodequeoSolfacilmentelocalizvelnocu,omesmonose aplicando ao ponto vernal. A Hora Solar (M) ento dada pela expresso: M = Hsol + 12h onde Hsol o ngulo horrio do Sol em um dado instante. O acrscimo de 12h serve simplesmente para fazer com que a passagem meridiana do Sol (Hsol = 0h) corresponda ao meio-dia (M = 12h) e nomeia-noite.Novamentepodemosfalardediasolarcomosendoointervalodetempo decorrido entre duas passagens consecutivas do Sol pelo meridiano de um observador. Por estar a Terra orbitando em torno do Sol ao mesmo tempo em que gira em torno de seu eixoderotao,osdiassolaresideralnotmamesmadurao.Comoosentidodeambosos movimentosomesmo (anti-horriosevistodo norteehorrioseolhamosdosul)fcilprovar que o dia solar um pouco mais longo do que sideral: Dia solar = 24h solares. Dia sideral = 24h siderais = 23h 56min 04s solares. Maisadiante,noCaptulo3,voltaremosadiscutir,emmaisdetalhe,ossistemasde marcao de tempo usados em Astronomia. Para fins de fixao, veja se consegue responder as perguntas abaixo. 1)QualovalordedeclinaodoPloSulCeleste?Equalovalorde paraoPloNorte Celeste? 2) Qual o valor de de um ponto cujo crculo horrio faz um ngulo de 180 com o crculo horrio do ponto vernal?3) Qual o valor de de uma estrela situada 45 a sul do equador celeste?4)SejaumobservadorsituadonoplonortegeogrficodaTerra.Quepontodereferncia dosistemaequatorialsesituanoznitedesteobservador?Qualadeclinaodeumpontocuja distncia zenital medida por este observador 30?5)Qualovalordedistnciapolardeumaestreladedeclinao =20?Edeumaestrela com = 50?Precesso Finalmente,cumpre mencionar que o eixo de rotao da Terra muda de direo no espao. Porconseguinte,mudamnocuasposiesdosploscelestes,doequadorcelesteedoponto vernal. A este movimento chamamos de precesso do eixo (ou precesso dos equincios). Como as coordenadasequatoriaissodefinidasapartirdestespontosecrculosdaesferaceleste,elas tambmvariamcomotempo.Frmulasparacalcularascoordenadasequatoriaisdeumastroem diferentespocassodadaspeloAstronomicalAlmanac.Essasfrmulassomuitoteis,poisos catlogos astronmicos geralmente listam as coordenadas das estrelas para uma poca arredondada, 18 como1950ou2000.Sequisermoslocalizarcomprecisoumobjetonocuemumapoca arbitrria, teremos necessariamente que corrigir as coordenadas catalogadas para a precesso. A precesso do eixo muito lenta. De maneira aproximada, a variao de da ordem de 3s porano e a de de uns 20/ano. A figura I.1.8 mostra a variao da posio dos plos celestes devida precesso. A figura da esquerda mostra a situao no presente, em que o plo norte celeste (PNC)coincideaproximadamentecom aestrela Polaris.Daquiamilharesdeanos,oploceleste nortecoincidiraproximadamentecomaestrelaVega(figuradadireita).NoCaptulo4 discutiremos com mais profundidade a precesso do eixo, bem como outros movimentos que levam a variaes nas coordenadas equatoriais das estrelas. Figura I.1.8 Precesso do eixo de rotao terrestre.

Relao entre os Sistemas Horizontal e Equatorial de Coordenadas Vimosqueosistemadecoordenadashorizontaisoualtazimutaisbaseadonoplanodo horizonteenaverticaldoobservador.Porseremahorizontaleaverticalfceisdelocalizar,este sistemadecoordenadasomaisfcildesevisualizaresuascoordenadassomaisdiretamente mensurveis.tambmmaisfcilmontarumteodolitooutelescpiodeformaqueelesemova horizontaleverticalmente.Portanto,quasetodososinstrumentosdemedidaastronmicatm montagem altazimutal. Poroutrolado,vimosque,contrariamentescoordenadasequatoriais,ascoordenadas horizontaisdeumastromudamcomaposiodoobservadorecomahoradodia.Issoporqueo sistemaequatorialbaseadoempontosecrculosquesouniversalmentereconhecidospor qualquer observador na superfcie da Terra. J conceitos como o plano horizontal e direo vertical sorelativos.Computadorespodemserprogramadospara transformar coordenadasdeum sistema paraoutro.Essastransformaespodemserdeduzidasusando-sefrmulasdetrigonometria esfrica. Como as coordenadas horizontais variam rapidamente com o tempo, e tambm dependem 19 de onde se encontra o observador, essas transformaes tambm envolvem coordenadas temporais, como o ngulo horrio, e a latitude do observador, .ATrigonometriaEsfricaserdiscutidanoCaptulo2.Umacompilaomaisextensade frmulasdeTrigonometriaEsfricapodeserobtidanolivroConceitosdeAstronomia,deR. Boczko. Outra boa compilao pode ser obtida em Astrophysical Formulae, de K. Lang, p. 504. Umadificuldadecomumconsisteemsermoscapazesdevisualizar,aomesmotempo,os pontos e crculos pertinentes tanto ao sistema horizontal quanto ao sistema equatorial de referncia. Tentamos fazer isso na figura I.1.9. A figura mostra o plano que contm o meridiano geogrfico de observadoressituadosnospontosO1eO2sobreasuperfciedaTerra.Soindicadosoeixode rotaodaTerra,ligandoosplosgeogrficosnorte(PNG)esul(PSG),bemcomooEquador geogrfico.SabemospelafiguraI.1.5queoprolongamentodoeixoderotaolevaaosplos celestes e que a projeo do Equador define o seu correspondente celeste. Figura I.1.9 Pontos e crculos de referncia aos Sistemas Horizontal e Equatorial de coordenadas. OplanohorizontaldoobservadoremO1,assumindo-seaTerracomoesfricaede densidadeuniforme,simplesmenteoplanotangentesuperfciedaTerraemO1,talcomo indicado. J a vertical do observador ser o prolongamento da reta que liga o centro do planeta (C) ao observador, apontando na direo do znite (Z1). O ngulo entre esta reta e o plano equatorial , pordefinio,alatitude()deO1.Comoaverticalperpendicularhorizontal,omesmo acontecendocomadireodosploscelestescomrelaoaoequadorceleste,ficaevidentepela figura que a altura do plo celeste visvel do observador (no caso de O1 na figura o plo celeste norte, PNC) igual latitude do observador. Note que para O1 o plo elevado (acima do horizonte) ocelestenorte,enquantoqueparaO2,porsituar-seasuldoequadordaTerra,oploceleste 20 elevadoosul.ParaO2,portanto,aigualdadeentreaalturadoploelevadoealatitudeuma igualdade em mdulo, com sinais algbricos opostos.

Outros sistemas de coordenadas Coordenadas Eclpticas Esteumsistemacujo planoderefernciaodaeclptica,ouseja,oplanoque contmo caminhodescritopeloSolnocuaolongodeumano.Estesistemausadocomfreqnciaem Astronutica, por exemplo, para expressar e manter a posio e orientao de uma nave com relao ao Sol. Latitude e Longitude Eclpticas so usualmente expressas em graus e so mais comumente usadas em Astronomia do Sistema Solar. A primeira () a altura do astro com relao ao plano da eclptica (ver figura I.1.10 abaixo). J a longitude eclptica (L) contada ao longo deste plano, com origemnoponto. Transformaesentreestesistemaeosdemaispodemserencontradasem Conceitos de Astronomia, de R. Boczko ou em Astrophysical Formulae, de K. Lang, p. 504. Figura I.1.10 Sistema de Coordenadas Eclpticas Coordenadas Galcticas Mais um sistema de coordenadas esfricas, anlogo aos demais. Ele representado na figura I.1.11. Desta vez o plano de referncia o plano do disco da Via-Lctea, a galxia a que pertence o nossoSistemaSolar.Esteplanofazumngulode6232'comoplanoequatorial.ALongitude Galctica (l), contada ao longo do plano do disco, tem origem na direo ao centro da Galxia. Note quedifcildefinirocentrodaVia-Lctea,oquetornaestesistemasujeitoarevisesmais freqentes do que os anteriores. A Latitude Galctica usualmente denotada pela letra b, podendo, assimcomoadeclinao,aalturaealatitudeeclptica,assumirvaloresentre90 0. A altura mnima de qualquer astroocorrenasuaculminaoinferior.PelafiguraI.2.4podemosverqueacondiode circumpolaridade de uma estrela para um observador no hemisfrio norte dada por: p = 90 < > 90 . Figura I.2.4 Diagrama do plano meridiano mostrando a regio onde se situam as estrelas circumpolares (mais escura). 36 Na figura I.2.4, o semicrculo que passa pelos pontos cardeais Norte (N) e Sul (S) e tambm pelo znite o meridiano astronmico do observador. O plo celeste elevado o plo celeste norte (PNC),cujadireoperpendicularaoequadorceleste.Esteltimocruzaomeridianodo observador no ponto EC. A altura do plo celeste visvel igual latitude do observador, sendo que a direo de PNC bissetriz do arco mostrado em tonalidade escura na figura. Este arco representa a zona ocupada pelas estrelas circumpolares para o observador em questo. Podemos determinar nossa latitude pela observao do movimento diurno de estrelas circumpolares. O mtodo ilustrado na figura I.2.5. Figura I.2.5 Relao entre a latitude do observador e as alturas de uma estrela circumpolar nas culminaes inferior (hi) e superior (hs). Nela vemos novamente uma representao do plano meridiano de um observador. Vemos o plo elevado (PNC), de altura igual latitude do observador. Vemos tambm as posies de uma estrelacircumpolarnosmomentosdaculminaosuperior(C.S.)einferior(C.I.).Comoa declinaodaestrelanomudaaolongodeumdia,suadistnciapolarptambmsemantm constante.Assim, podemos ver facilmente pela figura que as alturas mxima (hs) emnima (hi) da estrela durante seu movimento diurno podem ser expressas em funo de e p: hi = p hs = + p Logo, eliminando p do sistema de equaes acima, teremos: 2i sh h += Para um observador no Hemisfrio Sul da Terra, a frmula praticamente a mesma. A nica diferenaquetemosquelembrarque,nestecaso,convenciona-sequealatitudenegativa, enquanto que as alturas de uma estrela circumpolar sero sempre positivas. Assim temos apenas que mudar um sinal algbrico: 2i sh h + = 37 Notequeoplosulcelesteestsempreabaixodohorizontedoobservadoremquesto. Estrelassuficientementeprximasaeleestarosempreinvisveisaesteobservador.Asituao retratadanafiguraI.2.6,ondevemosovalordedeclinaomnimo(emmdulo)necessriopara que uma estrela seja invisvel para um observador de latitude . A condio para uma estrela nunca nasa (seja invisvel) (hmax 45 so circumpolares e estrelas com < 45 so invisveis. Ascondiesdecircumpolaridadeeinvisibilidadeacimaseaplicamparaocasoemqueo observadorestnohemisfrionortedaTerra(ouseja, > 0).Paraohemisfriosul ( < 0) teremos: Circumpolaridade: < (90 + ) nvisibilidade: > (90 + ) Tente desenhar diagramas do plano meridiano de um observador, semelhantes aos diagramas dasfigurasI.2.4eI.2.6acima,masparaocasodeumobservadornohemisfriosulterrestre.Ao desenh-los, lembrando das definies de plo e equador celestes e lembrando que a altura do plo sul celeste ser sempre igual ao mdulo da latitude do observador, voc dever ser capaz de deduzir as expresses acima.

Movimento diurno: exemplos do efeito da latitude do observador DiferentespontosnasuperfciedaTerravemdiferentespartesdaesferaceleste.As prximas 5 figuras representam, respectivamente, situaes de observadores no plo norte da Terra (figura I.2.7), a uma latitude norte intermediria (figura I.2.8), no equador da Terra (figura I.2.9), a uma latitude sul intermediria (figura I.2.10) e no plosul(figura I.2.11). Em cada uma das cinco 38 figuras, a linha cinza mais grossa denota o caminho diurno descrito por uma estrela de declinao > 0 e a linha cinza mais fina representa o mesmo caminho para uma estrela de declinao < 0. Como veremos mais adiante estes caminhos representam muito bem os arcos diurnos descritos pelo Solemumdiadejunho(linhagrossa)eemumdiadedezembro(linhafina).Jnosequincios (aproximadamenteem21/03e21/09)oSolseencontrasobreoequadorceleste(linhaescura), sendo este ento o caminho por ele percorrido no cu ao longo destes dias. Noplonortegeogrfico(latitude =+90,figuraI.2.7),oplonorteceleste(PNC) coincidecomozniteeoequadorcelestecoincidecomohorizonte.Assim,ocuvisvel exatamenteohemisfrionorteceleste.medidaqueaTerragira,todasasestrelasdescrevem crculos em torno de PNC, ou seja, neste caso em torno do znite. Os crculos por elas descritos so entoparalelosaohorizonte,dealturaconstante(essescrculosdehconstantesochamadosde almucntar).Nenhumaestrela,portanto,nasceousepenocu.Todasasestrelasdohemisfrio norte celeste (ou seja, com > 0) so circumpolares. As estrelas com < 0 so sempre invisveis. Se o Sol tem declinao positiva, ele tambm estar sempre acima do horizonte durante todo o dia. Porexemplo,nosolstciodejunho(emtornode21/06),adeclinaodoSol =23,5,oque significaqueeleestarodiainteiroacimadohorizonte,noalmucntardeh=23,5.Oinverso ocorre no ms de dezembro, quando a declinao do Sol negativa. Neste caso o Sol fica abaixo do horizonte (nose v alinha cinza mais fina no diagrama) e um observador no plo norte da Terra fica ento imerso em noite constante. Figura I.2.7 Arcos diurnos para um observador no plo norte geogrfico da Terra. A uma latitude norte intermediria ( = +45, figura I.2.8), o PNC est a uma altura de 45 (aalturadoplosempreigualaomdulodalatitude,nuncaseesqueadisso!).Metadedo equadorcelesteestacimadohorizonteeaoutrametadeestabaixo.Notequeissosempre verdade,excetoparaumobservadornosplos.Oequadorcelestecruzaohorizontenospontos cardeais leste (E) e oeste (W). Algumas estrelas so circumpolares (aquelas com > 45) e outras nuncanascem( +45). As demais estrelas nascem e se pem a cada dia, passando parte do dia acima e parte do dia abaixodohorizonte.OSolnovamentenasceesepetodososdias.Masagora,eleficamaisda metadedodiaacimadohorizontenosmesesprximosadezembro,resultandonoverono hemisfrio sul. Prximo a junho, seu caminho no cu ao longo do dia est majoritariamente abaixo dohorizonte.OspontosdenascereocasodoSolnovamenteestoanorteousuldospontos cardeais E e W, dependendo tambm da poca do ano. Figura I.2.10 Arcos diurnos vistos por um observador situado em latitude sul intermediria ( = 45) . Noplosul(latitude=90,figuraI.2.11),asituaotambmanlogaaocaso correspondenteanorte.OPSCagoracoincidecomozniteeoequadorcelestecoincidecomo horizonte.Assim,ocuvisvelexatamenteohemisfriosulceleste.medidaqueaTerragira, todasasestrelasdescrevemcrculosemtornodePSC,ouseja,nestecasoemtornodoznite.Os crculos por elas descritos so novamente almucntares e nenhuma estrela nasce ou se pe no cu: todasasestrelasdohemisfriosulcelestesocircumpolares.etodasasestrelascom>0so 41 sempre invisveis. O Sol fica o dia inteiro acima do horizonte entre os dias 21/09 e 21/03, passando a ficar sempre abaixo do horizonte entre 21/03 e 21/09. Figura I.2.11 Aarcos diurnos para um observador situado no plo sul geogrfico ( = 90) . Trigonometria Esfrica Jestudamosqualitativamenteomovimentodiurno,concluindoquetodososastros completam diariamente um crculo paralelo ao equador celeste. Estudamos o caso particular em que umobjetoatravessaomeridianoastronmicodeumobservadorevimosquenestasituaoasua alturanocuatingeumvalorextremo(mximonaculminaosuperioremnimonaculminao inferior).Almdisso,estabelecemosrelaesmatemticasentrealatitudedoobservadorea declinao e altura da estrela na passagem meridiana. Na verdade, as coordenadas de uma estrela no cu esto associadas posiodoobservadornasuperfciedaTerraem qualquer instante, mesmo foradapassagemmeridiana.Hrelaesmatemticasbemmaisgeraisenvolvendocoordenadas horizontais,horriaseequatoriaisdeumaestrelaealatitudeelongitudedoobservador.Para deduzirmosessasrelaes,contudo,faz-senecessrioestudarmosumramodaTrigonometria chamado de Trigonometria Esfrica, cuja aplicao Astronomia constitui-se no que chamamos de AstronomiaEsfrica.Estanoamaisexcitantedasdisciplinas,masmuitoimportanteparaa prtica da Astronomia, pois o cu tem geometria esfrica e no plana. ATrigonometriaEsfricaanlogatrigonometriaplana,mascomadiferenamuito importante de ser aplicada a tringulos esfricos. Tringulos Esfricos Umtringuloesfricoumafigurasobreumasuperfcieesfricaqueresultaquando consideramos trs grandes crculos (ou crculos mximos) sobre essa superfcie. Um grande crculo qualquercrculosobreasuperfcieesfricaqueadividaemdoishemisfrios.Umplanoque contmumgrandecrculonecessariamentecontmtambmocentrodaesfera.AfiguraI.2.12 42 mostra um tringulo esfrico. Vemos uma esfera com centro em O e trs pontos em sua superfcie: A,BeC.Aounirmosestestrspontos,doisadois,atravsdecrculosmximos,formamosuma figura ABC que se assemelha a um tringulo, mas que se situa sobre a esfera: um tringulo esfrico, portanto. Figura I.2.12 Representao de um tringulo esfrico (de vrtices A, B e C) sobre a superfcie de uma esfera. Note que um tringulo esfrico no qualquer figura de trs vrtices desenhada sobre uma esfera;paraserumtringuloesfricoestafiguratemqueterladosquesejamarcosdegrande crculo. Outra observao importante sobre tringulos esfricos que tanto os seus ngulos quanto osseusladossomedidosemunidadesangulares.Osladosdeum tringuloesfricosoarcosde crculo mximo que, divididos pelo raio da esfera nos do o ngulo, com vrtice no centro da esfera, entreospontosqueelesligam.Josngulosemcadavrticedotringuloesfricorepresentama separao angular entre os planos dos grandes crculos que se interceptam naquele vrtice. Os tringulos esfricos tm algumas caractersticas que os distinguem dos tringulos planos. Nesteltimo,porexemplo,asomadosseusngulosinternossempreiguala180.Nocasodos esfricos, a soma dos ngulos sempre compreendida entre 180 e 540. Existem vrios livros que abordamaTrigonometriaEsfricadeumaperspectivamaisgeraleaprofundada,discutindoe apresentando vrios teoremas e resultados de interesse geral sobre os tringulos esfricos. Exemplos soasapostilassobreTrigonometriaeAstronomiaEsfricadeC.Gemael(UFPR)eolivro ConceitosdeAstronomia,deR.Boczko.Aquivamosadotarumaabordagemmaisobjetiva, voltando-nos diretamente para situaes de interesse Geodsico e Astronmico. NafiguraI.2.13vemosumexemplogeogrficodeumtringuloesfrico.Trata-sedo tringulo que tem como vrtices o plo sul geogrfico e as cidades de Rio de Janeiro e Cape Town 43 (fricadoSul).Osladosdotringuloqueligamcadaumadessasduascidadesaoplosulso simplesmentearcosaolongodosseusrespectivosmeridianosgeogrficos(arcosdegrandes crculos, portanto). J o lado que liga as duas cidades tambm um arco de grande crculo. Figura I.2.13 Exemplo geogrfico de um tringulo esfrico. Porqueoestudodetringulosesfricosimportantepara aAstronomia?Omotivoque, em qualquer instante, exceto pela passagem meridiana, um astro forma um tringulo esfrico com o plo celeste de seu hemisfrio equatorial e com o znite do observador. Este tringulo chamado de tringulodeposiodoastro.NafiguraI.2.14vemosrepresentadootringulodeposiodeuma estrela (cuja posio na esfera celeste representada pela letra E). A figura inclui tambm a posio doobservador(O),osplanos equatorial ehorizontaleoplanomeridiano(contendoZ,N,SeM). Esto indicadas na figura vrias coordenadas associadas estrela, como sua altura h, sua distncia zenitalz,suadeclinao esuadistnciapolarp.EstoindicadosaindaongulohorrioHda estrelae,pelaalturadoplocelesteelevado(PN),alatitude doobservador.Estafigura fundamental,poisenvolvequasetodososconceitosedefiniesquevimosatagora. Recomendamosqueoleitorrevejaasdefinies decada coordenadaedecadapontoe crculoda esfera celeste mostrados na figura I.2.14, at que esteja com ela bem familiarizado e entenda bem o que est vendo.

44 Figura I.2.14 Tringulo de posio de um astro (em branco), mostrado sobre a esfera celeste, juntamente com as coordenadas horizontais e equatoriais, alm dos pontos e crculos mais importantes. Frmulas de Trigonometria Esfrica Podemosentoaplicarinmerasrelaesentreoselementosdeumtringuloesfricoao tringulo deposio de um astro. Estasrelaes so deduzidas aseguir para um tringulo esfrico genrico, de lados a, b e c e ngulos A, B e C. Considere o tringulo genrico da figura I.2.15. Na figuratambmmostramosocentrodaesfera,O.Conformejmencionado,oladoadotringulo, porexemplo,umarcodegrandecrculoquemedeongulo,comvrticeemO,entreos segmentos de reta OC e OB, e assim por diante. O ngulo A (ou seja, com vrtice em A), por seu turno, mede a separao entre os planos OB e OC. Figura I.2.15 Tringulo esfrico genrico (com vrtices A, B e C). Vamosagoradeduziralgumasfrmulasimportantesqueassociamladosengulosdeum tringuloesfrico.Primeiramente,consideremosaperpendicularaoplanoC B Oequepassapelo vrtice em A do tringulo da figura I.2.15. Essa reta representada pelo segmento AP da figura. A partirdopontoP,tomemosagoraduasretas,PNePM,perpendiculares,respectivamente,aos 45 segmentosOBeOC.Aotomarmosestasretas,formamosnafiguravriostringulos(planos) retngulos: ANP, AMP, ONP, OMP e OAP. Alm desses, so tambm tringulos retngulos OAN e OAM. Usando todos estes tringulos poderemos ento deduzir vrias frmulas. Considere o tringulo OAN, por exemplo. O ngulo com vrtice em O deste tringulo mede a separao entre o cateto ON e a hipotenusa OA. Mas este ngulo o lado b do tringulo esfrico. Logo podemos escrever: cos(b) = OAON ;sen(b) = OAAN Analogamente, considerando o tringulo OAM, cuja hipotenusa OA (o raio da esfera), teremos: cos(c) = OAOM ;sen(c) = OAAMSejam agora os tringulos ONP e OMP, cuja hipotenusa OP. E sejam novamente os ngulos com vrtice em O, representados pelas letras gregas e . Podemos escrever: cos() = OPOM;sen() = OPMP cos() = OPON;sen() = OPNP Podemos ento escrever que OM = OP cos . Substituindo esta relao na expresso para cos c acima e lembrando que + = a, temos: OM = OA cos(c) = OP cos(a ) = OP [cos(a)cos() + sen(a)sen()] OA cos(c) = OP (cos(a) OPON + sen(a) OPNP) = ON cos(a) + NPsen(a) OA cos(c) = OA cos(b)cos(a) + NP sen(a) Esta ltima linha resulta da expresso para ON usando o tringulo OAN, dada anteriormente. Precisamos agora encontrar uma expresso para NP. Usando o tringulo ANP (retngulo em P e com hipotenusa AN), temos: NP = AN cos( N)= AN cos(C)= OA sen(b)cos(C) ondeN o ngulo, com vrtice em N, entre os segmentos AN e NP. Mas este ngulo igual ao ngulo C do tringulo esfrico, ou seja, o ngulo entre os planos OAC e OBC. Substituindo na expresso anterior temos ento: OA cos(c) = AO cos(b)cos(a) + NP sen(a) = OA cos(b)cos(a) + OA sen(b)cos(C)sen(a) Resulta finalmente em: cos(c) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)cos(C) Estaachamadafrmulados4elementos,emqueos3ladosdotringuloesfricoso associados a um de seus ngulos. Note que o lado cujo co-seno aparece no lado esquerdo aquele 46 opostoaonguloqueentranafrmula.Podemosescreveroutrasduasfrmulasanlogas(cuja deduo tambm inteiramente anloga): cos(a) = cos(b)cos(c) + sen(b)sen(c)cos(A) cos(b) = cos(a)cos(c) + sen(a)sen(c)cos(B) H tambm as frmulas dos 4 elementos aplicadas a ngulos: cos(A) = cos(B)cos(C) + sen(B)sen(C)cos(a) cos(B) = cos(A)cos(C) + sen(A)sen(C)cos(b) cos(C) = cos(A)cos(B) + sen(A)sen(B)cos(c) Pelas frmulas aplicadas aos tringulos OAN, OAM, ANP e AMP acima, podemos tambm deduzir a analogia dos senos. AM = OA sen(c) = ) (B senAP AN = OA sen(b) = ) (C senAP Logo:OAAP = sen(b) sen(C) = sen(c) sen(B) ) () () () () () (A sena senC senc senB senb sen= = Astronomia Esfrica ApliquemosagoraasfrmulasdeTrigonometriaEsfrica,deduzidasanteriormente,ao tringulo de posio de uma estrela, representado na figura I.2.16 pelo tringulo esfrico EZPNC. Osladosdestetringulo,conformeindicado,so ocomplementodalatitudedoobservador(90 ), a distncia zenital z (90 h) e a distncia polar p (p = 90 ). Alm do ngulo Q, com vrtice em E e mostrado na figura, ou outros ngulos do tringulo de posio so o ngulo horrio H, com vrtice em PNC (pois o ngulo entre o plano meridiano e o crculo horrio da estrela) e 360 A, com vrtice no znite. Este ltimo o ngulo entre o plano meridiano e o vertical da estrela, estando obviamenteligadoaoazimute.Ofatodeseuvalorser360Asedeveescolhaparticularda origem do azimute na direo norte e crescendo para lestesuloeste. A analogia dos senos nos d ento: ) () () () cos() 360 () cos(0H senz senQ sen A sen= = ) () () () cos() () cos(H senz senQ sen A sen= =

47 Figura I.2.16 Tringulo de posio de um astro. J as frmulas dos 4 elementos nos do: cos(z) = sen()sen() + cos()cos()cos(H)sen() = sen()cos(z) + cos()sen(z)cos(A) sen() = sen()cos(z) + cos()sen(z)cos(Q)

Situaes especiais Existemalgumassituaesespeciaisnasquaisasfrmulassesimplificambastante.Essas situaes se caracterizam pelo fato de um ou mais dos lados ou ngulos do tringulo de posio se tornarem nulos ou retos. A situao mais simples a da passagem meridiana. Neste caso o ngulo horrio H = 0. Pelaanalogiadossenosv-seimediatamentequeossenosdosdemaisngulosdotringulode posio tambm tm que se anular, ou seja, o azimute, por exemplo, assume os valores A = 0 ou A = 180. Estes dois casos se aplicam a culminaes a norte e a sul do znite, respectivamente. fcil ver tambm, pela primeira frmula dos 4 elementos acima, que: cos(z) = sen()sen() + cos()cos() = cos( ) z = (quando A = 0) ou z = (quando A = 180) Essasexpressesjhaviamsidodeduzidasnaseosobreomovimentodiurno,usandoos diagramasdoplanomeridiano.Oleitorcuidadosoemetdicovainotarqueasmesmasrelaes deveriamsertambmobtidasnocasodaculminaoinferior,quandoH=180.Mas,defato,se fizermos esta substituio nas equaes deduzidas acima, teremos: cos(z) = sen()sen() cos()cos() = cos( + ) z = 180 | + |48 Notequeainclusodovalorabsolutodasoma+ naexpressoacimavisaa compatibilizarosdomniosemquesodefinidasasdiferentesvariveisenvolvidas.Adistncia zenital z, por exemplo, definida no domnio 0 < z < 180. Dependendo dos valores de latitude e declinao,quesodefinidasnodomnioentre90e+90,anoinclusodovalorabsoluto poderia violar o domnio em z. Assim, ainda que haja mais solues matemticas para o caso de H =180,asoluoastronmicaparaasituaodaculminaoinferiorexigequeseconsidereo mdulo de + . Situaes deste tipo no so raras e, portanto, temos que sempre ter em mente as definiesedomniosdevaloresparaasgrandezasenvolvidaseadaptarassoluesmatemticas geraisdadaspelasequaesdatrigonometriaesfricaaocasoastronmicocomqueestamos lidando. tambm a situao do nascer e ocaso de uma estrela, z = 90. Neste caso, pelas frmulas dos 4 elementos, temos: cos(H) = tg()tg() cos(A) = ) cos() ( sen A primeira expresso acima mostra que um astro s nasce e se pe se: |tg()tg()| < 1 |tg()| < |cotg()| |tg()| < |tg(90 )| || < |(90 )| Asegundaexpressoresultanamesmarestrioacima,pois|cos(A)|tambmtemqueser menor do que a unidadeA restrio acima tambm requer cuidado. Se a latitude < 0, ento (90 ) > 90, o que novamenteviolaodomniodevalorespermitidosparaadeclinao. Assim,nocasodeum observadornohemisfrioSul,podemossubstituir(90)por(90+) ,jqueomduloda tangenteseromesmo,independentedosinalaritmticodoargumento.Assim,usandoosinal positivo no argumento, respeitamos os limites possveis para a declinao. Ou seja, uma estrela nasce e se pe somente se: || < 90 , para > 0 || < 90 + , para < 0 Essas condies tambm j haviam sido deduzidas anteriormente, quando estudamos estrelas circumpolares e invisveis. Haindaoutrassituaesteis,emqueasfrmulasdaTrigonometriaEsfricase simplificam.Porexemplo,quandoA=90ouA=270dizemosquea estrelapassapelo1e2 49 verticais, respectivamente. Analogamente, quando H = 90 ou H= 270, temos os crculos das 6h e 18h.QuandoQ=+/90,dizemosqueaestrelaestemelongao.Emtodasestassituaeso tringulodeposiodaestrelaretngulo.Houtrassituaesemqueotringulodeposiose tornaretiltero,ouseja,comumladoiguala90.Vimosocasodonascereocaso(z=90).H tambmoscasosqueenvolvemastrosouobservadoresespeciais,comoodeumaestrelaque pertena ao Equador Celeste ( = 0), ou o de um observador situado no Equador da Terra ( = 0). Procure voc mesmo deduzir as frmulas dos senos e dos 4 elementos nestes casos especiais. Um outro conceito importante o de velocidade zenital. Esta a taxa de variao no tempo dadistnciazenital,cz/cH.Podemosdeduzirumaexpressoparaavelocidadezenitalusandoa frmula dos quatro elementos envolvendo o ngulo horrio: cos(z) = sen()sen() + cos()cos()cos(H)Para isto basta derivarmos ambos os lados desta frmula com relao ao ngulo horrio (= tempo). Teremos ento: ) ( ) cos( ) cos() (H senHdz z sen = ) () ( ) cos( ) cos(z senH senHz = OvalordavelocidadezenitaldoSolnoinciooufinaldodia,porexemplo,determinaa duraodaquelafasedodiaemquenemdiaclaronemescuridototal,oquecomumente denominamosdecrepsculo.Quantomenorovalordecz/cH,maislongoocrepsculo.Pela dependncia da expresso acima com a latitude e com o ngulo horrio, vemos que este ser mais longo em lugares de latitude alta e/ou quando o valor de H do Sol ao nascer e se por mais distante dos valores 90 ou 270 (ou seja, em torno dos solstcios). 50 CAPTULO 3 MOVIMENTO ANUAL DO SOL E SISTEMAS DE TEMPO Movimento Anual do Sol As estrelas que vemos noite tm posies fixas no cu umas com relao s outras (exceto pelosefeitossecundriosdeaberrao,paralaxeemovimentoprprio,quediscutiremosmais adiante). O Sol, contudo se move por entre as estrelas a uma taxa de 1 por dia aproximadamente. Assim, ao final de um ano, ter descrito um grande crculo no cu, a que chamamos de eclptica. O movimento anual do Sol no cu causado pelo movimento orbital da Terra em torno deste. A figura I.3.1mostraavariaodaposiodoSolnocucomrelaosestrelasmaisdistantesmedida queaTerrasemoveemsuarbitaanual.Arbitacorrespondeelipsemaisinternadafigura.A esfera maior, mostrada em quatro diferentes posies da rbita, representa a Terra, enquanto que a esfera central representa o Sol. A elipse mais externa da figura a eclptica. Figura I.3.1 Movimento orbital da Terra, resultando no movimento anual do Sol na esfera celeste, sobre a eclptica. Asestrelasformamfigurasimaginriasnocu,aquechamamosdeconstelaes.As constelaesatravessadaspelaeclpticasochamadasdeconstelaeszodiacais.Afaixadocu coberta por estas constelaes chamada de zodaco. Por entre as estrelas do zodaco move-se no apenas o Sol, mas tambm os demais astros do sistema solar, como a Lua e os planetas. Em torno do dia 21 de maro o Sol, em seu caminho sobre a eclptica, atravessa o equador celeste. Este ponto de interseco entre os dois grandes crculos o ponto vernal (ou ponto ). Neste dia,chamadodeEquinciodemaro,oSolcruzaoequadorcelestedesulparanorte,marcando entoofimdoveronohemisfriosuldaTerraeofimdoinvernonohemisfrionorte.Pela 51 definiodeascensoreta,nestediaseuvalorparaoSol = 0h.Comoestsobreoequador celeste, a declinao do Sol no equincio de maro tambm nula. Pela figura acima, vemos que o Sol, visto da Terra, projetado na eclptica na direo da constelao de Peixes nesta poca. Uns 3 meses depois, em torno de 21 de junho, o Sol alcana seu maior valor de declinao: =23.NestapocaelevistosobreaconstelaodeGmeos.Apartirdesteinstante,oSol comea a se mover em direo ao sul, de volta ao equador celeste. Este dia chamado de Solstcio de junho, marcando o incio do vero (inverno) no hemisfrio norte (sul). Neste dia, = 6h para o Sol.Emtornododia21desetembro,oSolvoltaacruzaroequadorceleste,masdestavezdo hemisfrionorteparaohemisfriosul.oEquinciodesetembro,fimdoinverno(vero)no hemisfriosul(norte)terrestre.OSolestagoraemVirgem.CoordenadasequatoriaisdoSol: = 12h ; =0. Finalmente,uns3mesesdepois,oSolatingeseupontomaisasulnaesferaceleste: =23, = 18h . Este o Solstcio de dezembro, sempre em torno do dia 21/12. o incio do vero (inverno)nohemisfriosul(norte).Apartirdestedia,oSolcomeaasemoverparanorteat reatingir o ponto vernal no dia 21/3 do ano seguinte. Figura I.3.2 Representao da eclptica (curva mais fina) sobre a esfera celeste, com a posio do Sol nos equincios e solstcios. Em resumo, em sua jornada anual ao longo da eclptica, o Sol percorre 24h de ascenso reta, aumataxamdiade2hporms.Notequeestemovimentoanualindependentedomovimento diurno,compartilhado por todos os astros e causado pela rotao da Terra. O movimento diurno mais facilmente notvel, pois se d a velocidade bem maior, de 24h por dia. A figura I.3.2 mostra uma espcie de mapa mundi da esfera celeste, no qual vemos toda a regiocom||_47projetadaemumplano.Oequadorcelestealinhahorizontalquecortaa figura em duas metades. As demais linhas horizontais so paralelos de declinao, ou seja, crculos (pequenos)contendotodosospontosdedeclinaoconstante,nocaso,com =+/23,5.Estes paralelosdedeclinaosobreaabbadacelestesoasprojeesnocudosTrpicosdeCncer (latitude =23,5)edeCapricrnio(latitude =23,5),talcomoindicado.Asretasverticais representam os crculos horrios, de ascenso reta constante. A eclptica a linha curva e mais fina, 52 sendo que os dois pontos em que ela cruza o equador celeste, no meio e no extremo direito figura, so, respectivamente, os pontos e . J a tabela abaixo mostra as coordenadas equatoriais do Sol nos equincios e solstcios. Posies Especiais do Sol na Eclptica Coords. Sol NomeData Aprox. Equincio maro21/030h0 Solstcio junho21/066h23 Equincio setembro21/0912h0 Solstcio dezembro21/1218h23

Estaes do Ano e Eclipses As estaes do ano em nosso planeta As estaes do ano resultam do fato de que o eixo de rotao da Terra est inclinado por uns 23,5comrelaonormalaoseuplanoorbital(planodaeclptica).Aestengulochamamosde obliqidade da eclptica, sendo comumente representado pela letra grega epsilon (). O eixo aponta sempre na mesma direo no espao (exceto pelos efeitos secundrios de precesso e nutao, que discutiremosmaisadiante),deformaqueoplonortegeogrficoestporvezesinclinadona direo do Sol (de junho a agosto) e por vezes na direo oposta (de dezembro a maro). Estas duas situaes, obviamente, caracterizam o inverno e vero no Hemisfrio Sul da Terra, sendo a situao inversa no Hemisfrio Norte. AfiguraI.3.3procurailustrarasituao:oSolrepresentadopelaesferanocentroda figura.AlinhahorizontalpertenceaoplanodarbitadaTerraemtornodoSol(esteplano perpendicular figura). A Terra (esfera menor) mostrada em duas situaes distintas: esquerda, vemosaTerranodiadosolstciodedezembro.Nestasituao,osraiossolaresincidem perpendicularmentesobreoTrpicodeCapricrnio(=paralelodelatitude, =23,5).Outra maneira de dizer a mesma coisa que a declinao do Sol = 23,5. Pelo fato do Sol iluminar mais o Hemisfrio Sul, as noites so mais curtas e os dias mais longos neste hemisfrio do que no Norte.AincidnciamaisperpendiculardosraiossolaressobreoHemisfrioSultambmajudaa aquecerasregiesasuldoEquador;inicia-se,portanto,overo(inverno)noHemisfrioSul (Norte)geogrfico.Jnaposiodireita,aTerraestnoextremoopostodesuarbitaanual, sendoesteentoosolstciodejunho.AdeclinaodoSolagora = +23,5eosraiossolares 53 incidem perpendicularmente sobre o Trpico de Cncer ( = +23,5) neste dia. Trata-se do incio do inverno (vero) no Hemisfrio Sul (Norte). Figura I.3.3 Efeito da obliqidade da eclptica: situaes de solstcios de dezembro (painel esquerda) e de junho (painel direita). Sabemos que o cu muda sazonalmente, havendo constelaes visveis somente no vero ou noinvernoemcadahemisfrio.Issoocorreporque,medidaqueoSolsemovepelaeclptica (comoreflexodomovimentoorbitaldaTerraemseutorno),asestrelasqueaparecemnocu noturno (ou seja, que se situam longe do Sol) variam. Eclipses EclipsesocorremquandoaTerra,SoleLuaseencontramsobreumalinhareta.Podemos entoterduassituaesdistintas:1)aLuasesituaentreoSoleaTerra,projetandosuasombra sobre esta ltima. 2) a Terra se situa entre o Sol e a Lua, projetando sua sombra sobre esta ltima. No primeiro caso temos um eclipse solar, no segundo um eclipse lunar. Note que eclipses lunares s ocorrem quando a Lua est na fase cheia, enquanto que os eclipses solares s ocorrem quando a Lua est na fase nova. Outra diferena que a sombra da Lua projetada sobre a Terra nocobre toda a superfcie desta ltima. J a sombra da Terra suficientemente grande (e a Lua suficientemente pequena) para cobrirtodaaLua.Assim,eclipsessolaresssovisveisdealgunspontosdaTerra,maseclipses lunaressovisveisporqualquerobservadorquetenhaaLuaacimadoseuhorizontequando ocorrem. Por que no ocorrem eclipses todo ms? Por que o plano da rbita da Lua em torno da Terra no coincide com o plano da rbita da Terra em torno do Sol. Uma outra maneira de dizer isso que a Lua no se move sobre a eclptica,massobreumoutrograndecrculonocu,quefazumngulode5coma eclptica. A linha que conecta os dois pontos de interseco entre o plano da eclptica e a rbita da Lua chamada de linha dos nodos. Somente quando a linha dos nodos aponta na direo do Sol podem 54 ocorrer eclipses. H,portanto, duas pocas ao longo do ano em que podem ocorrer eclipses. Estas pocasmudamcomotempodevidosperturbaesgravitacionaissofridaspelarbitadaLua.A linha dos nodos orbitais da Lua varre um ngulo de 360 em um perodo de 18,6 anos (chamado de ciclo de Saros). A figura I.3.4 ilustra este movimento da linha dos nodos orbitais da Lua. O painel da esquerda mostra a rbita da Lua projetada no cu, juntamente com a eclptica, num determinado instante.Opaineldadireitarepresentaaposiorelativadosdoisgrandescrculos aproximadamente 1 ano depois, tendo a rbita lunar mudado de orientao com relao eclptica, o mesmo naturalmente ocorrendo com a linha dos nodos. Figura I.3.4 a eclptica e a rbita lunar, cuja interseco define a linha dos nodos lunares. AfiguraI.3.5mostraaeclpticaearbitadaLuaprojetadassobreaesferaceleste.Elas fazem um ngulo de 5,2 entre si. Este o valor da inclinao da rbita da Lua em torno da Terra com relao ao plano orbital da Terra em torno do Sol. Os dois nodos orbitais da Lua so tambm mostrados.AlinhaqueosconectaalinhadosnodosesomentequandoaLuaCheiaouNova ocorrem perto destas posies temos eclipses. Figura I.3.5 Projeo da rbita lunar e da eclptica na esfera celeste, sendo os nodos da rbita lunar os pontos de interseco entre os dois crculos. A figura I.3.6 descreve os eclipses da Lua e do Sol usando os cones de sombra que a Lua e a Terraprojetamnoespao.Nosdoisprimeirospainis,aluzdoSolvemdaesquerdadafigura. Quando a Lua est esquerda da Terra, ela nova, pois sua face iluminada invisvel para ns. A 55 Lua cheia representada direita da Terra. No painel superior, as fases cheia e nova no levam os eclipses,poisoconede sombradaLua(daTerra)noseprojetasobrea Terra(Lua).Essasfases estoocorrendo foradosnodosorbitais,quando, portanto,oSolnosesitua aolongodaretaque liga a Terra Lua. No painel do meio, por outro lado, os trs astros esto alinhados, fazendo com queasombradaLuaNovaseprojete sobreumapequenaregiodasuperfciedaTerra(causando umeclipsedoSolnestaregio)ecomqueasombradaTerraseprojetesobreaLuaCheia (causando um eclipse lunar).

Figura I.3.6 Situaes favorveis e desfavorveis ocorrncia de eclipses. Painis superiores: jogo de sombras; painel inferior: elementos orbitais e jogo de sombras. J apainelinferiorda figuraI.3.6combinaos elementosorbitais eo jogodesombraspara mostrarasituaofavorvelocorrnciadeeclipses.AlinhadosnodosorbitaisdaLuaalinha verticalquecortaocentrodafigura.AolongodelavemosqueasfasesnovaecheiadaLua acarretam eclipses. J quando o Sol est fora da linha dos nodos (situaes mostradasnas partes esquerda e direita da figura), as fases nova e cheia no levam aos eclipses, pois o cone de sombra da Lua (da Terra) no projetado sobre a Terra (a Lua). Aocorrnciadeeclipsessolaresdevidaaumacoincidncia:ofatodequeosdimetros angulares da Lua e do Sol, vistos da Terra, so quase iguais. Mas note que o dimetro aparente da Lua varia ao longo do ms, pois sua rbita em torno da Terraumaelipsemoderadamenteexcntrica;noapogeu(pontodarbitaemqueadistncia 56 mxima) a Lua parece ser 15% menor do que no perigeu (ponto de maior aproximao Terra). Se um eclipse solar ocorre na primeira situao, a Lua no cobrir todo o Sol, ocasionando um eclipse anular. Sistemas de Medida de Tempo Nasprximasseesvamosestudaremmaisdetalheasdiferentesformasdesemediro tempocombasenomovimentodiurnodosastros.VeremosqueomovimentoanualdoSol,que acabamos de estudar, leva a diferentes definies de hora solar. Veremos tambm a relao entre a horalocalealongitudedoobservador.Masparaatingirmosestesobjetivos,faz-senecessrio definirmosalgunsconceitosqueparecemesosimples,masporvezesresultamemalguma confuso. Instante, Hora, Intervalo e Estado de Cronmetro Umapossvelfontedeconfusoestemsaberdiferenciarconceitoscomoinstante,horae intervalo de tempo e compreender exatamente o que se quer dizer com essas definies. Todos ns temosumanoocotidianadotempo.Podemosordenar,deacordocomnossacapacidadede memria,fatoseacontecimentosemseqncia notempo.Estanoodotempo,baseadananossa experinciadodiaadia,nosfazsentirotempocomoalgoquepassaininterruptamente, levando a uma sucesso constante e linear de instantes. No abandonemos, pois esta noo. Assim, definimos de forma genrica o tempo como uma varivel cujo valor cresce de forma uniforme e que pode ser representada em um eixo. Um instante ento pode ser entendido como um ponto ao longo doeixodotempo.Ovalornumricodestavarivel,otempo,correspondenteacadainstantens chamamosdehora.Colocadodeoutramaneira,podemosidentificarqualquerinstantenoeixodo tempo atribuindo-lhe um valor numrico que corresponde hora naquele instante. Mas h diferentes formas (ou sistemas) que podemos usar para atribuir uma hora a um dado instante.Ouseja,umdeterminadoinstantenotempopodeserecaracterizadopordiferentes valores de hora. No Captulo 1 definimos pelo menos dois sistemas de tempo, a cada um dos quais associamos uma determinada definio de hora: hora solar e hora sideral. Qualquer instante ento caracterizado por valores, em geral diferentes, de hora solar e de hora sideral. Consideremosagoraumoutroconceitoextremamenteimportante:ointervalo.Intervalode tempo a distncia ao longo do eixo do tempo entre dois instantes. O valor do intervalo depende do sistemaqueestamosusandoparamarcarhora.Oquveremosnestecaptulosojustamente diferentes definies de hora (ou dizendo em outras palavras, diferentes sistemas de tempo) e como converter um intervalo de tempo de um sistema para outro. Comomarcamosahoraassociadaaumdadoinstante?Emgeral,usa-seumcronmetro. Existemtantocronmetrossiderais,quemarcamahorasideral,quantocronmetroscomuns, marcandoahorasolar.Nemsemprealeituradocronmetronosdexatamenteahoranestes 57 sistemas.Eissonem necessrio,desdequesaibamosconverteraleiturafeitanocronmetroem um dado instante (chamada de instante cronomtrico, I) em hora sideral ou solar. A diferena entre a hora e o instante cronomtrico chamado de estado do cronmetro, E. Hora = I + E Por exemplo, S = IS + ES, onde S a hora sideral num dado instante, IS a leitura feita em um cronmetrosideral neste instante e ES o estado deste cronmetro. Como determinar o estado deumcronmetro? Bastafazermosaleituradoinstantecronomtricoemuminstanteparaoqual saibamoscomprecisoahora.Porexemplo,aoobservarmosumaestrelapassarpelonosso meridiano, sabemos que a hora sideral neste instante igual ascenso reta da estrela: S = . Se neste instante o cronmetro indica IS, seu estado ser E = S IS = IS. Conhecidooestadodocronmetroemumdadoinstante,espera-sequeelesemantenha constante,pelomenosporalgumtempo.Estecertamenteseriaocasodeumcronmetroperfeito. Na prtica, h variaes em E ao longo do tempo, que quantificam aquilo que chamamos de marcha (m) de um cronmetro: m =HoraE

Quanto menor amarcha, mais regular o cronmetro,mais fcil, portanto ser us-lo para determinarahora.Comoveremosnestecaptulo,amarchadeumrelgiodecsio,quemedeo tempo atmico, da ordem de m = 1 / 1.000.000.000 = 109. As Diferentes Definies de Hora Vimosque,atravsdaobservaodomovimentodiurnodosastros,emespecialpela determinaodongulohorrio,podemosmedirotempo.Vimososconceitosdehorasiderale solar, baseadas, respectivamente, nos ngulos horrios do ponto vernal (ponto ) e do Sol. S = H

M = Hsol + 12h Ou seja, medida que a Terra rotaciona, variam os valores de ngulo horrio tanto do ponto vernalquantodoSol,variando,portantoosvaloresdehorasideralesolar.Acadainstanteno tempo, portanto, podemos atribuir um valor de cada uma destas definies de hora. Nsjvimostambmque,pelofatodeoSolmover-seporentreasestrelas,aolongoda eclptica e de oeste para leste, a uma taxa mdia de 360/365,25 = 0,9856 por dia, o dia solar mais longo do que o dia sideral. Ou seja, o intervalo entre duas culminaes superiores sucessivas do Sol de3min56,04smaislongodoqueointervaloentreduasculminaessuperioressucessivasde umaestrela,poisoSolestconstantementesedeslocandonosentidocontrrioaomovimento diurno.Notequeahoraquemarcamosnorelgio,comoveremosaseguir,ligada(masno 58 idntica) hora solar, de forma que outra maneira de dizer a mesma coisa afirmar que uma dada estrela passa pelo meridiano de um observador 3min 56,04s mais cedo a cada dia (solar). Na verdade, existem mais de uma definio de hora solar. O motivo que o movimento do Sol ao longo da eclptica no se d uniformemente, ou seja, a velocidade angular com que o Sol se desloca ao longo da eclptica varia com a poca do ano. Isso porque o movimento do Sol ao longo da eclptica o reflexo do movimento orbital da Terra no espao em torno dele. Sendo a rbita da Terraumaelipse,suavelocidade angularorbital varia,sendomaiornoperilio emenornoaflio. Esta situao bem representada na figura I.3.7, onde a elipse representa a rbita da Terra em torno do Sol. Este ltimo, de acordo com a 1 Lei de Kepler, se situa em um dos focos da rbita terrestre. O ponto P, de mxima aproximao ao Sol o perilio, enquanto que o ponto A, de maior distncia, o aflio. Na figura vemos dois arcos, 1 e 2 , varridos pela Terra em sua rbita quando prxima doperilioedoaflio,respectivamente.Pela2LeideKepler,sabemosqueasreasA1eA2 varridaspelaTerrasoiguaisseointervalodetempodecorridoaovarr-lasforomesmo.Como prximo do perilio a distncia SolTerra mnima, a velocidade angular tem que ser mxima para manterconstanteareavarrida.Logo,odeslocamentoangulardoSolsobreaeclpticatambm varivel. Figura I.3.7 representao do movimento orbital terrestre em torno do Sol, com sua velocidade angular varivel. Claroqueestasituaonomuitoconvenienteemtermosdemarcaodahora:no queremos ter dias com mais de 24h e outros com menos de 24h, seria muito confuso!Paracontornaresteproblema,definimosumahorasolarverdadeira(V)eumahorasolar mdia (M). Somente a primeira baseada no ngulo horrio do objeto luminoso que vemos no cu e que chamamos de Sol. A hora solar mdia baseada no ngulo horrio do Sol Mdio. O Sol Mdio umsolimaginrio,maisbemcomportadodoqueoSolverdadeiro.Suavelocidadeangularde deslocamento no cu constante e, portanto, seu ngulo horrio varia uniformemente. Os valores de hora solar verdadeira, V, e mdia, M, so dados, portanto por: V = HV + 12h 59 M = HM + 12h onde HV e HM so, respectivamente, os ngulos horrios do Sol verdadeiro e do Sol mdio. Outradefinioimportantedehoraadetempouniversal(TU).Tempouniversal simplesmenteahorasolarmdianomeridianodeGreenwich(longitude = 0).Sabemosquea hora associada a um determinado instante no tempo, seja sideral ou solar, verdadeira ou mdia, no a mesma em todos os pontos da Terra. Ela varia com a longitude, ou seja, com o meridiano. Isso fcildeentender,umavezqueseumastro(solverdadeiro,solmdioouopontovernal)est passandopelomeridianoaumadadalongitude1,elecertamentenopoderestarpassandopelo meridianoaumalongitude2,excetose1 = 2.Seem1, M = 0,porexemplo,em 2 = 1 + , M=. Ouseja,adiferenade horaentredoismeridianosemumdadoinstante igualdiferenadelongitudeentreosdoismeridianos.Comodissemos,issovaleparaqualquer sistema de medida de tempo. AfiguraI.3.8ilustraestefato,mostrandoaTerravistadecimadadireodoplonorte. Vemos na figura dois meridianos, de longitudes 1 e 2, respectivamente. O crculo mais externo a esfera celeste e nela esto indicadas a posio do ponto e do Sol Mdioem um dado instante. O movimento diurno se d no sentido horrio, sendo, portanto nesta direo que contamos os valores de ngulo horrio. Basta olhar para a figura para constatar que vale a igualdade: S = S2 S1 = 2 1 = 2 1 = 2 1 = Figura I.3.8 Posio de dois meridianos em um dado instante, com representao das horas sideral e solar de cada um. Notequesearbitrarmosquealongitudecresceparaoeste,sendonulanomeridianode Greenwich,teremosque2 0estoatrasadoscomrelaoaomeridianode Greenwich. Por exemplo, se so 9h solares mdias em Greenwich, TU = 9h, qual o valor de M no meridiano de longitude = 75 = 5h? Trata-se de um meridiano a leste de Greenwich (longitude negativa), de forma que sua hora solar mdia tem que ser adiantada com relao a este ltimo. Pela expresso acima, de fato teremos: M = TU + 75 = 9h + 5h = 14h Qual a hora que marcamos no relgio? Essa pergunta procede, principalmente medida que introduzimos cada vez mais sistemas de contagem do tempo. Resposta: a hora do relgio a Hora Legal(HL).AHoraLegalbaseadanomovimentodoSolMdio,masobedeceavrias convenincias geopolticas. A hora solar mdia M varia continuamente com a longitude. Em outras palavras, a hora solar mdia no Rio de Janeiro diferente da de So Paulo por alguns minutos, pois estaadiferenadelongitudeentreosmeridianosquepassampelasduascidades.Noseria convenienteparaocomrcio,indstria,poltica,etcqueoscariocasacordassemumpoucomais cedo, e comeassem a e terminassem de trabalhar tambm um pouco mais cedo, simplesmente por queoSolpassapeloseumeridianoastronmicoalgunsminutosantesdoquepelomeridianodos paulistas.Necessidadesdesepadronizarahoraemgrandesregiesunidaseconmica,culturale politicamente levaram definio de grandes faixas de longitude, chamadas de fusos horrios(F), quecompartilhamdeumamesmahoralegal.Pelaconvenodosfusoshorrios,asuperfcieda Terradivididaem24fusos,compreendendoumdomniode15delongitudecada.Oprimeiro fuso(F=0h)aquelecujocentrocontmomeridianodeGreenwich( =0). Contrariamenteao quefazemoscomalongitude,aoeste(leste)deGreenwichosfusossocontadosnegativamente (positivamente).UmarepresentaoesquemticadosfusoshorriosdadapelafiguraI.3.9.Nela vemos, em linhas tracejadas, o meridiano de Greenwich, correspondente ao fuso F = 0h. Na direo lestetemoscontadososfusospositivos, atF=+12h, juntolinhademudanadedata.Aoeste, temososfusosnegativos,sendoquenovamenteF=12hencontra-seimediatamentealesteda 61 linhainternacionaldemudanadedata.SomostradostambmnafiguraI.3.9osvaloresde longitude dos meridianos centrais de cada fuso. Figura I.3.9 Fusos horrios e seus valores centrais de longitude. A maior parte da populao brasileira est dentro do fuso F = 3h, cujo meridiano central , portanto,odelongitude = 3h x15/h=+45.Odomniodevaloresdelongitudecontidosneste fusohorrio37,5 HL1) para a observao. Inicialmente temos que converter hora legal HL em hora solar mdialocalM.Comovimos,adiferenaentreasduasserigualdiferenaentreanossa longitude, , e a longitude do meridiano central do fuso horrio em que nos encontramos, c. M1 HL1 = c M1 = HL1 + c M2 HL2 = c M2 = HL2 + c Os valores de hora sideral S1 e S2, correspondentes, respectivamente, a M1 e M2, sero dados pela expresso da equao (1), sendo que o valor de S0, a hora sideral em Greenwich TU = 0h, sempre tirado das efemrides. Como sabemos que a culminao de uma estrela ocorre hora sideral igual sua ascenso reta, , temos que escolher nosso alvo usando o critrio em ascenso reta S1 < < S2.

Converso de tempo sideral em solar Suponha agora que queiramos fazer o inverso: determinar a hora solar mdia local, M, dada a hora sideral S num dado instante. Basta resolvermos a equao (1) para M: + =10S SMcomo: += 111 , M = (S S0 ) (1 ) onde: = 0,00273043359.

Equao do Tempo ArotaodaTerranosproporcionaumaunidadenaturaldetempo:odia.Vimosque podemos definir o dia solar, por exemplo, como o intervalo entre duas passagens meridianas do Sol. J o dia sideral o intervalo decorrido entre duas passagens meridianas de uma estrela. Vimos que em um dia, solar ou sideral, o ngulo horrio do astro usado como referncia varia de 0 a 360 (ou de 0h a 24h). 69 Na prtica, se medirmos, com um cronmetro ou relgio, a durao do dia solar, notaremos que ela varia. Em outras palavras, o dia solar no tem uma durao fixa. J discutimos a causa desta variao na durao do dia solar: entre outras coisas, ela se deve ao fato de que oSol caminha ao longo daeclptica com velocidade varivel; quandoa Terra est no perilio(ou seja, sua distncia ao Sol mnima), a velocidade angular doSol sobre a eclptica mxima, fazendo com que o dia solarsejademaiordurao.JquandoaTerraestnoaflio,avelocidadeangulardoSolna eclptica mnima, o que torna o dia solar igualmente mnimo. Outro motivo que explica a variao observadadodiasolarodequeahorasolardependedongulohorriodoSol,Hsol ,medido portantoaolongodoequadorceleste.MasomovimentodoSolsedsobreaeclptica.Assim, mesmoquesuavelocidadeangularaolongodestaltimafosseconstante,suaprojeosobreo equador celeste no o seria. Umdiasolarquenosejasemprede24hno muitoconvenientepararegularavidadas pessoas. A soluo para este problema, como j discutido, foi definir um Sol Mdio. O Sol Mdio bem comportado: ele caminha com velocidade angular constante e sobre o equador celeste. Assim, duasculminaessuperioresdoSolMdioestarosempreseparadasnotempopelomesmo intervalo,chamadodediasolarmdio.Estetem sempreaduraode24htais comocontadaspor um cronmetro ou relgio comuns. A diferena entre o dia solar verdadeiro e o mdio chamada de equao do tempo. Na figura I.3.13 vemos a equao do tempo graficada ao longo do ano. Figura I.3.13 Grfico de sol med sol ver (= E) em funo da poca do ano. Vemos,portanto,queaequaodotempoatingevaloresdemaisdoque15minutosem determinadas pocas do ano. Geralmente representamos a equao do tempo pela letra E (s vezes usa-seoequivalentegrego).Dequalquerformanoconfundaequaodotempocomestadode um cronmetro apenas porque usamos e mesma notao! Matematicamente temos que: E = Hsol med Hsol ver = sol ver sol med 70 Na verdade, de acordo com esta definio, o grfico acima representa E, pois quando o Sol verdadeiro cruza o meridiano mais cedo (antes do meio-dia, M=12h), sabemos que Hsol ver > Hsol med. A segunda igualdade acima resulta do fato de que a hora sideral pode ser expressa tanto com o Sol Mdio quanto com o Verdadeiro: S = Hsol ver + sol ver = H solmed + sol med. Os valores de E tambm podem ser encontrados nas efemrides astronmicas:

Tabela do Anurio Astronmico do ON contendo os valores da Equao do Tempo Na Figura I.3.14, a primeira coluna lista o ms e o dia do ano. Seguem-se a ascenso reta e declinao do Sol verdadeiro, sua distncia Terra e seu raio angular. A equao do tempo dada indiretamentepelaltimacoluna,aquallistaahorasolarmdia(TU)emqueoSolverdadeiro cruza o meridiano de Greenwich ( = 0). O valor de E para este instante, portanto, ser a diferena entre o valor listado e 12h. Figura I.3.14 Tabela do Anurio Astronmico do ON contendo os valores da Equao do Tempo. 71 Tabela do Astronomical Almanac contendo os valores da Equao do Tempo NaFiguraI.3.15,aprimeiracolunalistaomseodiadoano.Apenltimacolunalistao raio angular do Sol. A equao do tempo dada indiretamente pela ltima coluna, a qual lista a hora solar mdia (TU) em que o Sol verdadeiro cruza o meridiano de Greenwich ( = 0). O valor de E para este instante, portanto, ser a diferena entre o valor listado e 12h.

Figura I.3.15 Tabela do Astronomical Almanac contendo os valores da Equao do Tempo. 72 Equao do Centro Alm do Sol Mdio, os astrnomos conceberam umoutro sol imaginrio, o Sol Fictcio. O Sol Fictcio percorre a eclptica, assim como o Sol Verdadeiro. A diferena o que o primeiro o faz avelocidadeangularconstante.Seosdoispartemjuntosdoperilio(queatualmenteocorreem tornododia04/01),oSolVerdadeiroinicialmenteterumadianteira,jquenoperiliosua velocidademxima.Assim,entreoperilioeoaflio(queocorrenoinciodejulho),oSol Verdadeiro percorre a eclptica frente do Sol Fictcio. Este intervalo de tempo inclui a passagem pelo ponto , em maro. Os dois sis chegam juntos ao aflio e, a partir da e at o prximo perilio, o Sol Fictcio caminha na frente, j que no aflio a velocidade do Sol Verdadeiro mnima. AsituaorepresentadanafiguraI.3.16.NelaSfeSvrepresentamasposiesdoSol Fictcio e do Verdadeiro, respectivamente. P' e A' so os pontos da rbita da Terra correspondentes aoperilioeaoaflio.Ospontosmarcadospor, representamossolstciosdedezembroede junho.Define-secomoequaodocentro(U)adiferenaentreaslongitudeseclpticasdoSol Verdadeiro e do Sol Fictcio: U = sol ver sol fic Figura I.3.16 Progresso do Sol verdadeiro e do Sol fictcio ao longo da eclptica durante o ano. Assim, sol ver > sol fic entre o perilio e o aflio (de janeiro a julho) e sol ver < sol fic entre aflio e o perilio (de julho a janeiro).

Reduo ao Equador Outradefinioimportanteachamadareduoaoequador(Q).Estadefinidacomoa diferena entre a ascenso reta do Sol Verdadeiro e sua longitude eclptica. Q = sol ver sol ver 73 Na figura I.3.17 vemos as trs equaes, U, Q e E, graficadas em funo do dia ao longo do ano. fcil provar, com as definies destas equaes, que: E = U + Q ParaistobastalembrarqueoSolmdio(fictcio)percorreoequadorceleste(aeclptica) com velocidade angular constante, o que significa que sua ascenso reta sol med (longitude eclptica sol fic) tem sempre o mesmo valor, sol fic = sol med . Figura I.3.17 Equao do centro (painel superior), reduo ao equador (painel do meio) e equao do tempo (painel inferior) em funo da poca do ano. 74 CAPTULO 4 CORREES S COORDENADAS EQUATORIAS Variao de Coordenadas Equatoriais Do ponto de vista da astrometria moderna, a Terra uma plataforma bastante irregular para a observao do cu. A rotao da Terra no uniforme, seu eixo de rotao no fixo no espao e mesmoaformadoplanetaeasposiesrelativasdepontossobresuasuperfcienosofixas. Como resultado, as coordenadas de um objeto no cu, mesmo as equatoriais, no so rigorosamente constantes. Se muda a direo do eixo de rotao, por exemplo, mudam os valores da ascenso reta edadeclinaodetodososobjetosnaesferaceleste.Dependendodaprecisocomque desejamos medir a posio das estrelas, faz-se necessria a correo para estes efeitos. Na antiguidade, medidas astromtricas, ou seja, medidas da posio dos objetos no cu eram feitas com instrumentos rudimentares,sendo,portantodeprecisobaixa. Assim,osefeitosdeque trataremos neste captulo no eram muito importantes para os antigos. Mas se objetivamos apontar umtelescpiocomuma precisode1,aindaassimnoprecisamosnospreocuparcomvariaes emsuaformaesuperfcie,masmudanasnaorientaodoeixoderotaojsetornammuito importantes. sobre isso que trataremos nas prximas sees. Decertaforma,ascoordenadasequatoriaiscelestescompatibilizamumsistemamvel, baseado na Terra, com um sistema, que seria ideal, fixo com relao s estrelas distantes. Ascenso retaedeclinaosobastanteanlogaslongitudeelatitude,usadasparaasuperfciedaTerra. Estesdoissistemascompartilhamomesmoeixopolareequador,masagradedecoordenadas celestes no rotaciona junto com o planeta. Graas a esta caracterstica, as coordenadas equatoriais de uma estrela se mantm constantes ao longo do seu movimento diurno. Contudo, a ascenso reta e declinao verdadeiras no so fixas com relao s estrelas, pois o sistema equatorial, amarrado ao eixoderotaoeaoequador,desloca-secomestesemfunodeperturbaesgravitacionais sofridaspelaTerra.Parapoderlistarasposiesdasestrelasemcatlogos,utilizamosentoas coordenadas baseadas na orientao do plo e do equador em uma poca especfica. 1 de Janeiro de 1950 e de 2000 (ou seja, 1950,0 e 2000,0) so as pocas mais comumente usadas. Como vimos anteriormente, a origem da ascenso reta se d em um dos dois pontos onde o Sol, em seu caminho anual por entre as estrelas (eclptica), parece cruzar com o equador celeste. A estepontochamamosdepontovernal.Emtrsdimenses,esteponto aprojeosobreo cuda reta de interseco entre o plano do equador da Terra e seu plano orbital. Como o primeiro plano 75 sempre perpendicular ao eixo de rotao e este muda sua orientao constantemente, a posio do Ponto vernal no cu tambm muda com relao s estrelas. Naprtica,ascoordenadascelestesestoamarradasaobjetosobservveis,poismuito difcildeterminarobservacionalmenteaposiodopontovernale,porconseguinte,aposiode qualquerastronocurelativamenteaesteltimo.Assimsendo,osistemadecoordenadas associadaspoca1950definidoapartirdeposiesdeestrelaspublicadasnoquartoCatlogo Fundamental, o FK4, enquanto que o sistema de 2000 baseado no quinto Catlogo Fundamental, o FK5.Estescatlogoslistamestrelasque,emsuamaioria,soprximas,deformaquequaisquer sistemas de coordenadas definidas a partir das posies destas estrelas esto sujeito a erros causados pelosmovimentosdessasestrelasnaesferaceleste(movimentosprprios,verprximassees). Atualmente sabemos que o equincio obtido a partir do FK4 se desloca com relao ao do FK5 por 0,085 por sculo. Atualmente,adefiniomaisestveldecoordenadasparaapoca2000baseadaem608 rdio-fontes extragalcticas que compem o International Celestial Reference Frame (ICRF). Este sistema de referncia extremamente estvel, deslocando-se a menos de 0,020 por sculo. O ICRF se tornou o sistema de referncia fundamental adotado pela Unio Astronmica Internacional (IAU) em 01/1998. Pormotivosquesoempartehistricoseemparteprticos,avariabilidadetemporalda direodoeixoderotaodaTerraedaposiodeumobservadornasuperfciedaTerracom relaoaeledivididoem4fatores:precesso,nutao,deslocamentodoplocelestee deslocamento do plo. Por definio, precesso e nutao so expressas matematicamente, usando-seequaesmatemticasapropriadas.Osoutrosdoisfatoresdevariabilidadesodesvios observados (ou seja, medidos) com relao ao esperado pelas frmulas matemticas que descrevem osdoisprimeiros.Assimsendo,aamplitudedestesdoisltimosnoprevisvelparaperodos muito longos. Todos os 4 componentes de variabilidade so discutidos com mais detalhe abaixo. Precesso Nem o plano orbital da Terra, cuja interseco com o cu define a eclptica, nem o plano do equador terrestre so fixos com relao a objetos muito distantes, como as fontes extragalcticas do ICRF.Oprincipalmovimentoaprecessodoeixoderotaoemtornodanormalaoplanoda rbita (plo eclptico). Este movimento de precesso causado por torques gravitacionais devidos LuaeaoSolechamadodeprecessoluni-solar.OeixoderotaodaTerravarreumconeno espao de ngulo de vrtice igual a 23,5 uma vez a cada 26.000 anos. Haindaaprecessoplanetria, causadapelasperturbaesgravitacionaiscombinadasdos outrosplanetasdoSistemaSolar.EstacausaumamudananoplanodarbitadaTerra.Oplo 76 eclptico, contudo, se move bem mais lentamente.Se imaginarmos seu movimento com relao s fontes extragalcticas, o eixo de rotao muda de posio a uma taxa de 20 por ano, enquanto que a normal ao plano da rbita varre apenas 0,5 no cu. Ambos os movimentos combinados formam o que chamamos de precesso geral. H desvios com relao precesso geral, de curto perodo, que tambm so previsveis e expressos por frmulas matemticas, aos quais chamamos de nutao, que ser discutida na prxima seo. Equaesparaoefeitodaprecesso,deprecisodaordemde1,sobreascoordenadas equatoriais so dadas abaixo. Elas se aplicam para qualquer data dentro de um intervalo de uns 20 anos, centrado no ano 2000. ) cos(nt=

) ( ) ( . tan sen n mt+ = onde m = 3,07419 s/ano e n = 20,0383/ano ou 1,33589s/ano. Estes valores, como j mencionado, so vlidos por uns 20 anos, centrados no ano 2000. A variao das coordenadas ascenso reta () e declinao () so expressas em segundos de tempo e segundos de arco, respectivamente. As frmulas, como as acima, para calcular as correes sobre as coordenadas equatoriais de umastroemdiferentespocaseparaintervalosdetempo,sodadaspeloAstronomicalAlmanac. Essasfrmulassomuitoteis,poisoscatlogosastronmicosgeralmentelistamascoordenadas dasestrelasparaumapocaarredondada,como1950,0ou2000,0.Sequisermoslocalizarcom precisoumobjetonocuemumapocaarbitrria,teremosnecessariamentequecorrigiras coordenadas catalogadas para a precesso. Vemos pelas frmulas acima que a precesso do eixo muito lenta. De maneira aproximada, avariaode daordemde3sporanoeade deuns20porano.AfiguraI.4.1mostraa variao da posio dos ploscelestes devida precesso. Opainel da esquerda mostra a situao no presente, em que o plo norte celeste coincide aproximadamente com a estrela Polaris. Daqui a milhares de anos, o plo celeste coincidir aproximadamente com a estrela Vega (painel da direita). 77 Figura I.4.1 Precesso do eixo de rotao terrestre em torno da normal eclptica. Segueumexemplodecomocalcularascorreesparaoefeitodaprecessousandoa frmula dada acima e que repetimos abaixo: ) cos(nt=

) ( ) ( . tan sen n mt+ = Computemos a precesso do ncleo da Galxia de Andrmeda durante 10 anos, conhecidas suas coordenadas equatoriais no ano 2000. (2000) = 0h 42min 44,32s; (2000) = +41 16 08,5 O primeiro passo converter ambas para graus decimais: 360032 , 4460420 + + = 68467 , 10 ) 71231 , 0 ( 15 = = 269028 , 4136005 , 8601641 = + + = Clculo da precesso: " 91 , 16 ' 3 " 9088 , 196 10 ). 68467 , 10 cos( . " 0383 , 20/= = = anosanos senano s ano s anos915 , 32 )] 269028 , 41 tan( ) 68476 , 10 ( 33589 , 1 07419 , 3 [ 10/ /= + = Para computar as coordenadas para o ano 2010, essas correes devem ser adicionadas s coordenadas do ano 2000. Nutao Movimentos previsveis do eixo de rotao terrestre em escalas de tempo (perodos) de 300 anosoumenossocombinadosparaformaroquechamamosdenutao.Estapodesertomada como uma correo de primeira ordem precesso. De acordo com o modelo de nutao mais atual, esteefeitocompostode106termosharmnicosenvolvendosenoseco-senoscomdiferentes freqncias,emsuamaioriaefeitossecundriosdetorquegravitacionaldoSoledaLua,mais85 correes devidasa efeitos planetrios. Os principais termos de nutao