astrophysics laboratory...¿mÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó...

16

Upload: others

Post on 15-Oct-2020

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

� � �� � � � � � � � �

������ ������������ �!� "$#&%('*)$+-,/.$02143*56�7�8�9;:�<>=@?�ACBEDGFG:IH�J�KMLONQPSR�TQUOV�WYXQZ�[;\^]`_aBYb�cd]`efBYgGh�]i Bkj�c;lQm4npo�]`q4BE6�r�b�cd]tsuB�vEw;xOy�o;zd{dU�|}WYXd~��OHdJ�K�];xOy@o;zd{KQLd�����k���d�QB�����U�VdW���:;�>\�ZEX��d��H�JdKQL�|/���>�OW��d7d������Bk��=���L��� ��� � \��d|�WkX �¡�¢ :EK

£ _£¥¤^¦}§ �¨_ i �u©;ª �¬«®­¯«°�  ~���H�J�K

_E± £ i£¥¤²¦ � i�³ § � iµ´ ©·¶ § e ¦ � §-¸ q�� ¸ q¹»º ¦ _®¼ �½«»­¿¾»�  ����H�J�K

£ q£¥¤ © §-¸ � i ¸ q�� ¦ � §²À q �½«»­ÂÁÃ�  x�yko}z�{�K

£ _Äs£¥¤O¦O§ �Å_Æs i � ¦ e § i ©CÇaÈɶ�ÇSÊÌË½Í �¬«®­ ¹ �ÎOh�Ï�j�c�¼ÐL�B�] �dÑ L�BkÒOh;LONdWYw�Ó$��ÔÐÕkÎOhQL}NdWYw�ÓQÖ�×fØk�;WkX(ÔÐÕYÎh�Ù}U�B�Î�h�Ú�ÛQÜdÝ�ÞkoàßIáa]�D�F�:�Ú�â�ã�Ü�H�JdKäá�å$ækç��kL�N�èE��é�ê�WkX

§²À ßE© ¹»ºìë _ �¬«®­îí®�¼Ð©·¶ § ß �¬«®­Âïð�«

Page 2: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

xGy@o;z�{@H�J�K;:@ñ>òQ:Có�ô$ÇaÈSBGõ�ö�{@odÏ�÷���]`ÇSÊø˽ÍùBYú�û�ü�ý��;U�|GWkX�þGÿ��� âI:������kU�Bk÷����QÖÐÎ� CL��OWYX�÷�����:����CB��>c��fá�DGFO:IHIJ�K(á��Q��@éGê�W�ç��kL�NIèÐ���2P����}W>ç���Ö�U�VdW*��������:� �!#"�$G�!X

£ �£¥¤ ©&% � % ¶�«°�_ § �('*) § )+�p� �¬«®­-,®�ç�ç�Uk] % B�.�÷�.�]/' ) Bk6Gh�0/L�1�2���H�3�:@÷��>��4d] § ) BY6Gh�0CL�152��IH�3�:6�Ó}U�|�WYX� �+7 8&9;:$143*5-,<¾>=���¾@?�A#6�Ó�H�J�K

B £ ÀDC£FE À ¦HG £ ÀIC£FE £KJ ¦ML £ ÀIC£FJ À ¦ON £ C£KE ¦OP £ C£FJ ¦RQ C ¦HS ©/ª �½«»­UTÃ�B�D�F�:}N>óEL�Ó�V}U�VdWkX

W#X Y Z

G À ¶ ¹ B L\[ ª ]�^_Y £ À C£¥¤ À ¶ L À£ À C£FE À ©Cª

G À ¶ ¹ B L ©/ª ú�`#Y £ C£¥¤ © L £ À C£aE ÀG À ¶ ¹ B L\b ª cedfY £ À C£FE À ¦ £ À C£FJ À ©/ª

¡d¢ :ÐK�]d÷�����:kKd]OÚ�â�ã>Ü�H�JdK;B�]Rg���h��i]�^_Y�]dú#`#Y�]�cdjY5A�6dÓ�HIJKO:lk#Y#ZQLi�GèE���dWkX�D�F�U�B�A�6dÓ�HIJ�K}:�m�Ó>å�n;Lpo����Eå�qRrGW@ÖE]�H�J�K}:YQL�N�P å�nd]�s�t���u � �M���Ö�vCèÐ�CækWIZIêY]�åMç�ó>�>\²����WYH�JdK}Ö��:lYR�d:w áa��å4\����;ækç���ÖkÎ# OUd|�WYX� �yx z&:;{}|~#s C Ö@��=��#� E��IJ L_���Mr�WG�E�Góf¾�=������fá��M��WYX¾>=O�>�}=/á���:;N�ó������CL����*Pp]��������;:����(á$� Ea�+�DJ�� �ù�lrOWYX#���;=��QB EHO3IÖ�� E ] J H�3�Ö�� J ��rGWkX E������ © Ea��� � E ] J�� ��� © J��\� � J Ud|OWYXIDGF�]5����#¡�¢ �¤£ �¦¥ � áf�O��� C �¨§ � © C � Ea�y�IJ�� � :}N>óELi©kRMr�WYXª¬«�\²���dW�� � E��¦�DJ­� � :GØ��(PaU�Û�®�¯�{�AM°�r�WO��]

C �²±K�(§ � © C � Ea� ¦ � E³� J­� � © C �¨§ � ¦ � E � £ C£FE � � ¦ � E À¾µ´ � £ À C£KE À � � ¦� EF¶Á·´ � £ ¶ C£KE ¶ � � ¦e¸¹¸º¸ �½«»­U»ð�

Page 3: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

x

x

y

∆∆y

(i, j)(i-1, j) (i+1, j)

(i, j+1)

(i, j-1)

� «®­¯«½¼ ¾�=��M¾H¿�Ý�ö�:#�

C �¨Àa�¦§ � © C � E·� ¶Á� E��DJ­� � © C �¨§ � ¶Á� E � £ C£aE � � ¦ � E À¾µ´ � £ À C£FE À � � ¶� E ¶Á·´ � £ ¶ C£KE ¶ � � ¦�¸º¸¹¸ �½«»­ « ªÃ�

�½«»­U»ð� K w �·�½«»­ « ªð� KfálÂQæ��C �²±��¦§ � ¶ C �¨Àa�¦§ � ©M¾Ã� E � £ C£FE � � ¦MÄ �y� Ea¶ � �¬«®­¯«®«°�

\YZ�ÖOèE�k]� £ C£KE � � © C ��±��(§ � ¶ C �¨Àa�¦§ �¾Ã� E ¦HÄ �y� E À � �¬«®­¯«°¾®�

r#���}ô�] �¤£ �¦¥ �K�;Ld�#ÅdW C : E HR3�:�6�Ó#Æ#s � £ CKÇ £KE � � Ö�� E À :�È5mäáa×MÉlÊ�ËO:�O��U��y� E Lpo����*¾�=}:�Ì�c}U�� D�F�:}N>óELEéQØIW� £ C£KE � � © C �²±��¦§ � ¶ C �¨Àa�¦§ �¾Ã� E �½«»­ « ÁÃ�

çY�/á�Í�Î�mdÓO:EKf�ÐÏfó�XÑ_Ò LQ\��k]Ó� E Lpo����à«Ô=}:�ÌdcOUkD�F�:lm�Ó�Ê#Ë�K}Ö�Õ(� �OWkX

� £ C£FE � � © C �²±��¦§ � ¶ C �¨§ �� E �×Ö�Ø#m�ÓG� �¬«®­¯« ¹ �� £ C£FE � � © C �¨§ � ¶ C �¨À��(§ �� E �×Ù�Ú#m�ÓG� �¬«®­¯«°í»�

�½«»­U»ð� Kf�4�½«»­ « ªÃ� KäáaÏR��WO�C �²±��¦§ � ¦ C �¨Àa�¦§ � ©C¾ C �º§ � ¦ � E À � £ À C£FE À � � ¦RÄ �y� E�Û � �¬«®­¯« ïÃ�

\YZ�ÖOèE�k]� £ À C£KE À � � © C �²±��¦§ � ¶}¾ C �¨§ � ¦ C �¨Àa�¦§ �� E À ¦HÄ �+� E À � �¬«®­¯«Ü,®�

Page 4: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

çE�/N;Pp] C : E L�Ý5rOW2¾@?�6�Ó�:�Æ5s � £ À CKÇ £FE À � � áÞ� E L�oG�I�*¾>=�:�Ì�cQUEDGF:ON�óEL_Ê�ËRr�W>ç���Ö�U�VdW� £ À C£KE À � � © C �²±��¦§ � ¶O¾ C �¨§ � ¦ C �¨Àa�¦§ �� E À �½«»­ «�TÃ�

Ñ_Ò L�]� £ À C£FJ À � � © C �¨§ � ±�� ¶G¾ C �¨§ � ¦ C �º§ �IÀa�� J À ¸ �½«»­ «�»Ã�

� �×ß àâá�<(143*5-,�zã:¬ä�åæFç¹è³ç×æ é�êìëOílî5ï�ðÁë�ñ�ò�ó�ô�õ�ö�÷�øúù�û�üpý#þ�ÿ

  ÷�����H�JdK £ �£ ¤ ©Þ' § À �  6�7�����H�J�K £ q£ ¤ ©;� §�À qD�F�:}N�ó��à«Ô=�������H�J�K·á�m�Ó#Ê�Ë;L�NIè@������tM���f��\²�Eå4æEç��Iáú�R�>���N�ó�XHr#���}ô�]}< ¤ ©&ª�Ld�5Å>W C � ¤ �DE � :�t C �¨ª �IE � á��Á�>�k]� ���:d< ¤ � [ ªÃ� L��Å>W C � ¤ �IE � á�éGê�WYX £ C£¥¤ ©ì' £ À C£FE À �½«»­¿¾°ªÃ�����Æ�s/'²B E Ll�2���G�;��r}WkXMNQæ�� ���O�G��WGNGó�L�]fç�:�H�J�K�:�åCB�����W

Xäá � {���xl~��RrGW>ç��kL�NIè@�kå��}��LÐé�ê�W>ç��YÖ�U�VdWkX�å�:�����Ø w � Ò �äá��L��Mr@X

x

ut = 0

t > 0

� «»­¿¾ ¼�����H�J�K}:kåO:d<�=E?�AO: Ò �

Page 5: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

æFç¹è³ç�� ���iý�þ�ÿ ��!#"�$ %'&)(+*-,/.102.�34$65« =��7����HIJdK �½«»­¿¾°ªÃ� ák<>=�L�o��I�98�:�:d< ¤<; �ì� ¤ Ù}:><� ¤<;�±�� © ¤'; ¦ � ¤ :=>UlÖ�Ø5mdÓd]��O=�Lio�����B5Í_Î�m>Ófá��@è@��mdÓ�=OrGW}�ú=dK(á Õ/WkX;ç�ç@Uk] C ;� ©C � ¤<; �DEµ� �ÉUd|�WkX

C;�±��� ¶ C ;�� ¤ ©ì' C ;� ±�� ¶}¾ C ;� ¦ C ;� Àa�� E À �½«»­¿¾Ã«°�ç�:�N�ó���m>Ó�:/�}P^Häá?>A@CBEDGFIH�{�J��K>MLONQPSRTNVU�WYXZ@SWY[]\�ROX^UZBS\_X)`a\_NQ\bUdceWYfg\_NV\_X^h_\

WiXjDlkmROh_\ �ù�ÐÏfó�X�K �½«®­î¾Ä« � áú~�n(\²��=dKäá�Õ/WC; ±��� © C ;� ¦ '�� ¤� E À � C ;� ±�� ¶O¾ C ;� ¦ C ;� Àa� � �¬«®­î¾®¾®�ñ�ò/B�< ¤'; U>:�t�]�odò;B�<� ¤<;�±�� © ¤p; ¦ � ¤ U�:lt;[#Å�U�q�Å����>WYX·\�ZIÖGèE�E]< ¤<; Ud:��5�#����U�:ltQÖ�� w èÐ�G�@�sr�t�ô�L*«vu�®�J�F�Û¿w�Ù � ¤'; ±K� � :l���5���U>:lt·áf�i�MrGW�ç��YÖdU�VdWkX;ç@:�N�ó��Eå5n�:GçG��á(ÿEå�n �úÏfó�Xx>-@EBCDyF6Hd{�JL��#ÅdW�~�sO:l���MÝ�Æäá����Mr�WG��=O:}N>óELi��WkX

n+1

t

n

x

boundary

j-1 j j+1

� «»­ÂÁ ¼z>A@CBEDyF�H�{�J�Ld��ÅdW�~�s}:����MÝ�Æ>A@CBEDyF�H�{�J�L�N�Pp] «Ô=��j���CÝ�{Ðö � {�Ýd|ÐÜ�áú2äóEâEo~} �]��J�B�=}:ON>óÐLp�WYX«»­ ��¾H¿�Ý�ö_�O:��#��t E � á#�O¿Mn@r�W*�I¾H¿�Ý�ö������¾Ã­ ��¾H¿�Ý�ö_�O:�����t C � � ¤ ©/ªð� á#�O¿Cn�r�W*�1���#W�X��ÁÆ­S<� ¤ ÖE]}| � w�� ê��QêC� ��Z#�Z�><9 ¤<�/; Í L#�OrGW�Ø@Uk]�|GWd�>B��;êC� �}Z��sQ[#Å�]�D�FCáy�2P��Mr

�KRð��o>ñ�:����fá�� æ �5�#�5�/Lio������ ¤ Ù}:�t·á$�¬«®­î¾®¾»� K/LGNIè@�p���MrGW �¬<=���ÓG������]����:����O:���y�������Z �¡£¢Z¤I¥#¦s§Z¨�©6ª7«�¬�­®¨¯�°����G±d²Z¥ ³1������O:�´�µ��

³�¶·�@<�¸®�º¹G»z¼�½�¾Z¤6¥

Page 6: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

¿MÀÂÁÃÀiÄ Å£Æ�Ç ÈÉËÊÍÌ�ÎMÇÍÇ�ÏjÐÑ�Ò�Ó�ÔÕ�Ö ×ÙØAÚCÛEÜGÝ6Þ�ßjà6á6â�ã�äæå�ç6èjé�êZ×dë6ì�íïî�ß�ë ðEÜ��yñòãä�ó6¥ ¨?¹G» Ö�ô6¥���®�yõ�§sö�ä�÷7ø�÷�ù�ú~á�û�ü}Ö�ýþö�ÿ����þö�ä�������á�� �~á�ø6¥ �d¨�Ö��6 I¥#¦�����6á���~á��������º�G¾s¤�¥��6¨�Ö�����¥7§�¤�×����º���d¤7ä�ó â �]¦����� ³�� ��ÝdÞ�ß7à7� × ���!�����������"Ùÿ�#ò¨�$�×&%�� ¨Iö�äæå�' (�à�Ý�Û*)�+�×��×,��-I×�.�/�0º�21�¨�ö]ä

354687 1 4:9<; 6>= ³Qå@?BADC)��E��� F�áHG�± ö�äI1#�8� ¤HJ K 1LKLM å6¨�ød¥����º�N�d¤6¥�%&��Ö�ôd¥#¦O��� �IP ûHQ�� RS�¦T��²ò�VUXWZY�[]\_^5`NabY5Y×,���c�ü�d�¨feg�]¦ §Z¨�©�ªIh 7Ti ×~¨,� 3 46 û��kj�×Zâ ��áA�l�)jëjí��æånm�oZ×,m�Jph 7Oirq C ×~¨,��û��kj�× â �áVsflt)�ëjí��æånm�os×�mº�#ôï¡u�v ¦

θ = π θ = π/3

j åZ?xw5y{z�|dÜ�}H( ~QÜ×����c�ü�d�¦���j�y�h 7Ti ×�ù�ú6¦j��j���h 7Tirq C�×�ù�ú6¦3 46E7 1 4 \<��� ³��x��hO�C�?Ø-ÚCÛEÜ�����F�á�G�± v ¥ ¨1 4�����9<; 6>= 7 1 4�9<; 6>=��I� ¹G»¹E��� 1 4���9<;�� 6 ����� =�� A 9<; 6�=�� 9<;�� 6¡  ��� =£¢�¤ ³Qå@?BA¥wl�â7ãä�J 1 7 å � A � ¹y»¹E� � ³Qå � ¶_WZ¦§hO� ¤ ³Qå@?BA@¨ �.©-�0kª K 1«K¬Mºå���ôI¥7§�¤�á�û

� å�M®å � A � ¹G»¹u� � ³Qå � ¶_W@¦<hO��M?å ¤ ³påZ?­Abs2�ö#§�ª ã�ä�J ® M � ¹G»¹u� � ³Qå � ¶_W@¦<hO� 7 � ¹°¯¹f� � AD¦±�²Y � hA M®å ¤ ³Qå@?BAZ³O�´�µ ׶h�³·´�µ ×�m�o ×,mI��á�$�÷jä,��k��ô6¥�§�¤�á�û

® M � ¹y»¹u��� M åA ¤ ³Qå@?BAD¸)�¹©º áZâT»�J ØAÚCÛEÜGÝ Þ�ß�àdáZâO»�å�çdè�é�ê�%�¼�F�×së ì�íºî�ßdëdð�Ü � ñ½� ù6ú�J����Ý�Û*)�+ ¹G»¾ª º Fþ�]õò§ v ât�9át¿�ÜÁÀ8Âjß Ã v ¥Ä©Å!ª�ô ¥t� ¨Hª&�  Z¥#¦~§~¨©�ª�lt)�ëjí�ÆÇ(�È~��É���ásö#§�ù�ú�J ¹G»vû å¥ÊDwGá~ö]ø6½�²dª�øï¡�ø�÷�¦

Page 7: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

¿MÀÂÁÃÀ Á Ë�Ì�Í�Î�Ï Ï Ð�Ó�Ñ Ò�Ó1Ì Ô�Õ�Ó�Ö:ÓØ×ÙÑ©Úé�êÇ%�¼ Fþ�E��� Û v ¥¾Üsá�� Ý~×�Þ��¾���s× ß �òá�Jt�d¤d¥¾à!�þ» 4���� ��× 3 ×��þ��á¤�ä¾� � Û v ¥,%��!ª�ôI¥�¦T�j×sâ���ø�%����ãâjü�� ³���`8�åäæ�i¶ç�æ¯ ��� ¨è é�Jê\<�å�åä��Y¶ç��¯ë� ¨�û�� c�����ª¾ìòãäòÿ�¥#¦�G�ík��ø â�ü��k��ôd¥ Û�î£abY5ï:ðñ[ò�Y¶_W@䲦�W@Y¾�k��û�J©ókô�l�ß©'Võ�"�± ö]ä,J ¹�ö × â���á�����Û v ¥#¦

3 4����6 � 3 46¹G» 7 � ÷ õ 3�4����6 ��� � A 3�4����6 � 3�4ø���6£  �¹E� � � ³Qå � õ�� 3 46 ��� � A 3 46 � 3 46¡  �¹E� � ù ³Qå@?BADú)��#²ï�uû�ü v ¥d¨Gç × â���ø�ñ�ýº�uá�þ,F~ájøI¥#¦

ÿ Ê 4ø��� 7�� ³ Ê 4 � ¤ ³Qå@? C ® ��#²ï�yü~÷jä Ê 4���� ���d¤9²dªIâ9÷�¦©jæåZ?­¨ á�J*�×�ù�ú ×���� ×����RÝ��º� v ¦

n+1

t

n

x

boundary

j-1 j j+1j å@?B¨�y Û î�a@Y5ï:ðñ[ �i¶_W@ä�¦�WZY{��á���½�¥���� ×����RÝ�� ������å@? ñ�ý ÿ ¨����gÀ à � ×���Å��®���I¤�ø���÷�¦A�? U�WZY []\_^5`NabY5Y�×¾�� c�ü�dïá6â »�J õ���å q A�øò¡#ª � ¹y» q ¹u� � � ® �yõ~§ v ´�µZ×¹G» á�$6÷jä Û î�a@Y5ï:ðñ[ �i¶_Wb䲦�WZY Ý6Þ�ßjà6û�������á��k��ô6¥��6¨���þö�ø���÷�¦

���! "$#&%('*),+.-0/21¬ä43cd65Ç%�¼�Fº�87:9����<;�á6â » ����Û v ¥d¨Gñ�ý ÿ J<=<>?��� À à � J<@�>A���gÀ Ã,B��µ~÷�ä ÿ B 7 � ¨9÷k�DC~×&%�¼�F�á7ø ¥�¦�E�çdè&�8�!�Iû�ñ©ý ÿ ×&Æ�(�È�ª�/T�òÿ�ø¥7§�¤HJGFIH ��üZø�J�×8K7¬�ü��ïû:L�0kª�M~÷�¦Ág��,��Jã��×�%�¼�Fº�NL�0PO�ÿvü ÿ#§�¤7×

QSRj×UT�V6ü��Tª8WPXY�²dä���§�¦�§~¨�©dª�JPZ�[6ñ�ý�á�$ ÷�äIû*\QÛ Û^]Ç��JP_�ZP[�ñ©ýá�$ ÷�ä ûa`Ù��Û^]Ç��øbJ�ª�µ�÷ò¡�²dä ÷I¥#¦MØ�§JOl�)�ëjí�Æk(�È6×�/T�6÷�cPd ¨6ef��÷cgd®��hjiïáµZ÷7ä8k<l��m~¤I¥:Egn<cgd � ³po¾^åä�¯±�rq@î±�tsg�vu�wIµ���²IäI÷�¥#¦�xzy<{s×,���|U} `�üP~�Æ�~ZßjÝ?�jß�ÃI×@ÛZÞjÝ À�;º����S�#²d§�÷�¦

Page 8: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

���p� ���S%('*),+.-0/21¬ä43¿MÀ�� À1¿ ������������Í�Î�Ï� }$���<� � } %�¼�FZ×�����ü ������u���� ø,ß��~ûJ��<���<� ×z���º��©�Iø�½²dª7ø¡]ø6÷�­k��ôI¥#¦P�z� ×����Ç��ø,ß��~¼�½ �� »�  v §�¤�áJ�çZ×Zâ���ø2¡Sç�èIÝ�¢©ô�ß�£��%�¼�F®��¤ ©I¥#¦

¥ 3¥ » �A¦ ¥ 3¥ � 7 ® ³påZ? C å·�§�¼~ö�J ¦ û����� ¦ � ® ¨ v ¥#¦!�× %�¼�F~ûJ Ý<¢�ô�ß�§ 3 × ÞÇ���<¨�ª�JP©��Z×�m�{¦ ���<ª v ¥ �6¨���ôò¡°� v m��©%�¼�Fk��ôI¥#¦

u

x

u2

u1

u

x

u2

u1

t = 0

c

t > 0

c

j å@? s�y åzç�è6Ý<¢�ô�ß:£��&���Z×�«�¬�����¨�����­�®÷�Ø�Jkjæå@? sl×Zâ ��á�«�¬�á �z¯ ® � 3 7 3 � Jê� b ® � 3 7 3 � ×Zâ �á½� 7 ® �,�����ø��<¨º�¤ ©�ä�ó6¥�¦�%�¼�F ³påZ? C å·�-×�°�±�ü~û

3 ³/»³²£�g� 7 3 ³ ® ²£� �?¦ »V� ³QåZ? C�AO���ôd¥#¦��kj�×Zâ��áJæ»´� ® ��×z°�±�ü~ûJ<«<¬ ³1» 7 ® � ×�Ý<¢©ô�ß�§ 3 ×�+©Â�z<µjß�ê�C®��¶�ã�ä ¦ »z¼�½:·�ñ<£�� ö�§:C�ájøI¥#¦¿MÀ�� À�¸ ¹^º6»6¼��¾½���¿À�`�5�%�¼�F�×jù�ú ¨j¯�Á�á�J å�ç è ÝP¢�ô�ß %�¼©F ³Qå@? CËå � �,�©� á&$ ÷�ä9Õ6¾©����JÞ©�6á�$6÷jä�7�9����º��¨jã�ä,����Û v ¥ ¨£ç�F®��Âï¥#¦

3 4����6 � 3 46¹y» �A¦ 3 46 ��� � 3 46£  �AO¹u� 7 ® ³påZ? CZC2���²ò�°û�ü v ¥ ¨fJ3�4����6 7 3546 � åAÄà ³ 3�46 ��� � 3546¡  � � ³påZ? C@wl����¾��J à û�ç�F����<ÅS�#² ¥N�k��ôg»�J �jß�ô�Ü8� ¨è�ª² ¥#¦

Ã:Æ ¦¹y»¹E� ³Qå@? C:¨ �

Page 9: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

¿MÀ�� ÀiÄ ¹^º6»6¼��¾½���¿Ï�Ç�È�É9Ð�Ñ�Òå@?^Ê:WZY,[]\_^5`8a@Y5Y]× %��3 4687 1 4 9 ; 6>= ¨���÷�ä�����F ³Qå@? Cbwl��á�G�± v ¥ ¨fJ

1 7 å � åA à ³ 9<; =�� 9   ; = � ³påZ? CZs)�7 å � P à ¦±��Y�h ³påZ? C�³O�

ö�§�ªdã�äK 1«K � 7 å � à � ¦���Y � h�¯ºå ³påZ? CZ¸2�

¹�º ×�Ë�Ì?âk» Jph 7 ® ×�ù�ú®��Í6÷jäÙØ-ÚEÛEÜGÝ6Þ�ßjà6û:Î�á�����~á�ø6¥#¦A�?ÉÛ©(�ô�ß:®&Ï�á6â�¥H%����� Ûþö#§F�ákÛt(�ô�ß�®&Ï~�G´Iµºö�ä�Ð<Ñ��©%�¼ Fº�°"O��J ØAÚCÛEÜ]����F ª¾J�×Zâ��ø�Ð�Ñ��©%�¼�Fº�Gõ�§sö�ä�÷�¥j s�Ò�à6ä�ó6¥�¦» 4���� 7 » 4 � ¹G»ñJê� 6ÔÓ � 7 � 6ÖÕ?× �AØ6Ù ÷gÚ�Û°J

354����6 7 3546 � ¥ 3¥ÝÜ × Ü �ßÞà ¥âáäã¥åÜ á × Ü áçæ�ètèéè ê ÞìëîíìïñðãóòôÔõ÷öùø ãÝòô æ(ú

ãúÝû × û

æ Þà úá ãúåû á × û

á æ Þü úâýã

úâû ý × û ýæSètèéè ê Þìëÿþ��ñð

ã òô��ÝöÖø ã òô�� ú ãúÝû × ûæ Þà ú

á ãúåû á × û

á � Þü úåýã

úåû ý × û ýæ�ètèéè ê Þìëÿþ Þ ð

������ ��������������

ãÝò õ÷öô � ãóòôDø�� Þà�� ê ãóòôÔõ÷ö�� ãóòô��Ýö ð ê Þ ë þ à ð� ��!#" ê Þìëîíìïñð%$�& !#" ê Þìëÿþ��ñð%$ ê Þ ë þóÞ ð Ø�'�(*)�Ú�Û $

ú ãú Ü ×

Ü æ Þà úá ãú Ü á ×

Ü á ø�� � ê úãúâû × û

æ Þü ú ýã

úâû ý × û ýæ�ètèéè ð ê Þìëÿþ íñð

+-, Ø�.�/0)PÚ?Ûú ãú Üæ01 ú ãúåû ø2�

Þà úá ãú Ü á ×

Ü �1ü ú ý

ãúâû ý × û

áçæ�ètèéè ê Þìëÿþìþ ð+�+43 $�576980:<;�= ��>@?�� ú ã

ú Ü ø��1 ú ãúåû

ê ÞìëÿþBA ðC0D

ú á ãú Ü á ø

1 á ú á ãúÝû á

ê Þìëÿþ ü ð

Page 10: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

3�E Ú + Û�Ø6Ù0F<Ú�Ûú ãú Üæ01 ú ãúåû øG�

1 áà úáÔãúåû á ×

Ü �1ü ú ý

ãúåû ý × û

á æ�ètèéè ê ÞìëÿþBH ð& !JI4����KL" C�M4N4OQP "SRUT M@PSV 3�E ÚSW & !�X Þ VLY-Z �4[�\^]^_�`ba#c�[\ V "�d MeN FUf W gih �4[�\�j Y `^/�k �4l#�*m@�Uno`�d*p0q�r f-s : I E f I $g Z ��[^\�j 3 Y `^/^k IetJu C#Dwv T*x�yo"Sz F l{`�aJc�|^�JI E f0} + �*m@�~nI#�-�#�<��� :Q6 d f*} F*��������� `��Ux fSWC�M4N $ ÛU��� �-�0���0yLq v ^� � �<�^��>�?^�*�������� o���@� Y _�lJ��" ���� 3�E f + } I�TUy f W

��������� ���¡ �¢¤£�¥§¦©¨«ª¬¥§¦®­°¯²±�³J´�µU¶+ �@>�� 3 Y ������ o������� & !#� ã òô ` ê ã òôÔõ÷ö æ ã òô��Ýö 𸷠à 3e¹ :SºJ»�$�¼~½ � C � "����K )ofSW

ã ò õ÷öô ø Þà ê ã òôÔõ÷ö æ ã òô��Ýö ð � � à ê ã òôÔõ÷ö�� ã òô��Ýö ð ê Þ ë þ¿¾ñðã òôNøLÀ òÂÁÄÃÆÅ êÈÇÊÉÌË ð ` '�(ÎÍ N ÏUÐ�Ñ À `�ÒoÓ f~}

À ø Þà êÕÔÄÖØ× æ0Ô � ÖØ× ð �ÚÙà êÕÔÄÖÛ× � Ô � ÖØ× ð êÙ ë þ ïñðø ÜÞÝ�ß Ë � Ç � ß ÇáàâË êÙ ëÛA°�ñðÍ P I M4N

ã À ã á øQÜÞÝ�ß á Ë�æ � á ß Çäà á Ë êÙ ëÛA Ù ðå

Ù ëÛH "ÏUÐ�Ñ ã À ã ` Ë ��æ _ }^Í N ç�è�é ê À�ê Ë ð 3�ë )eWíìïî ëð ��ñ Ç ÁÞò ñ Ç Ü�ó �� ������ 3 Y $n�� ��Ü _ � ø 1õô�ö · ô û I ã � ã«÷ Ù `�ø P ) ù^ú $ ��� "�û�üG`�ý0Ó f + } I 3 : f W + �þ�ÿ � + } `G Ý�� ñ î à���� ��ñ Ç ÁÞò ñ Ç Üõó � ì Á��� þ�ÿ ê � ì þ�ÿ E f�F Y n�� ��Ü�þ�ÿ ð }����Wì¬î ëð ��ñ Ç ÁÞò ñ Ç Ü�ó ~������� ��� Y _�l^\��#I�� :L6 $ � � ��� I ��� }�} v "�dJp M�N Íp � + } 3�E f W

g

1-1

ν = 1

θ

ν=0.5

åÙ ëÛH�� ìïî ÃBð ��ñ Ç ÁÞò ñ Ç ÜÄó ����@��� ù�ú � Ï�Ð@Ñ

Page 11: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

��������� �������! #"%$'&�(åÙ ë ¾ �

C � "*)0I h ��>,+^"*-UT M4N F�f-ù^ú `/. » fSW + � } :<$10 � 3 �324� = �` $10 � }�5!6 " E P f 0 � Ù �*�!��� ��� 387�9 )of >@�*I 5!6 ��� 3�E fSW

j-1 j j+1

c > 0 n+1

t

n

x

boundary

j-1 j j+1

åÙ ë ¾:� � å<; & >4+�"%-�T f ) $�& å<;

Ù=�>!?�5�6 ���Q"�@�A fCB!D æ ]

Ù=FE �� � �S���U>@?^�2`%�!�o"�c F NUYHG ý���� $ 2I�o"�c F NoY 5 6 �^� }UÍ N ���K )Uf*} $ 1KJ � � ù�ú $�¼U½ � ������`ML f W

ã ò õ÷öô � ã òôô�ö æJ1 ã òô�� ã òô��Ýöô û ø � êÙ ëÛA à ðÍ P I M4N

ã ò õâöô ø ã òô � 1ô�öô ûê ã òô � ã òô¤�Ýö ð ê

Ù ëÛA íñðåÙ ë ¾§&

å " Ù=�>!?�5�6 ���Q"�@�A fCN _*� B!D æ�]G` ë )eW Ï�Ð�ÑQY

À ø Ù � �êÙ �Ô � ÖØ× ð ê

Ù ëÛA þ ðø êÙ � �

æ � ÜÞÝ�ß Ë ð � Ç � ß ÇäàâË êÙ ëØAÂA ðÍ P I M4N

ã À ã á ø êÙ � �

æ � ÜÞÝ�ß Ë ð áIæ � á ß ÇáàåáÄË êÙ ëÛA ü ðø Ù � à �

êÙ � � ð

êÙ ��ÜÞÝ�ß

Ë ð êÙ ëÛA�Hìð+ , C#D $ � ÷ � ÷ Ù �

ù^ú $!O�P � Ë "@c F N ã À ã ÷ Ù 3^E D $ ��� 3^E f + } I@T~yfSWQ�RTS*U

V n�� �OÜ _ � I Ù � � ëÛH�A � � ëØA � ù�ú "�c F N Ù =�>�?F5�6 ���Q� Ï~Ð�Ñ ã À ã `XW�Y Ë �æ _ }^Í N ÒoÓ $ ç�è�é ê ã À ã ê Ë ð 3�Z�[F\^] r C WV Ù =!>�? 5 6 �^�^�J�e���^� ê

Ù ëØA íñð "Ûo�~� �S�J�Q`/_I` )~f + } " C�MeN $�¼o½ �

;�= ��>�?��*I8L{q , f + } ` ë r W & !�X Ù V I [�\ V 3�E f + } "%a P Í N $ n����Ü þ�ÿ `cb,A Wú ãú öæJ1 ú ãúâû ø Ùà

1õô û ê Ù � � ðú á ãúâû á � Ùü

1 ê%ô û ð á ê à � á � í � æ Ù ðú ý ãúÝû ý

æ0èéètè êÙ ëØA§¾ñð

Page 12: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

�������ä� ���¡ �¢edΨgf¬ª¬¥ihkj^±�³#´ µo¶ì¬î ëðml�Á à ò ñ Ý�n o���@� Y Û*�o� �-�#�~" v }Ho 6 ����� 3�E D $�¼o½ � C � " Í N bJy, f W

ã ò õ÷öô ø ã òô æ*ô�ö ú ãú öæ Ùà ô�öÔá ú

á ãú ö á

æIp�ê ô�ö ý ð êÙ ëÛA ïñð

& !�X à V $ X í V " ú ã · ú ö ø�� 1 ú ã · úâû $ ú á ã · ú ö á ø 1 á ú á ã · úÝû á ` '�(*)of~}

ã ò õ÷öô ø ã òô�� 1Äô�ö ú ãúâûæ Ùà 1 áõô�ö á ú

áäãúåû á

æ4p�ê%ô�ö ý ð êÙ ë ü �ñð2F� = � ú ã · úåû $ ú áäã · úâû á `%q ,�r�,4sut ��� 387�9 )Uf~}

ã ò õ÷öô ø ã òô�� Ùà 1õô�öã òôÔõ÷ö�� ã òô��Ýöô û

æ Ùà 1³á êô�öô û ð

á ê ã òôÔõ÷ö�� à ã òô æ ã òô¤�Ýö ð êÙ ë ü Ù ð

+4, I ìïî ÃBðml�Á à ò ñ Ývn *����� 3UE f W ¼ 6 �3bxw8yU?QyGq�T0y f C � " $ ìïî ÃBðml�Á à ò ñ Ývn ������ Y 2F� $ �!��"�c F N F x , v à =�>!? � 5 �#"@d M�N F�f Wì¬î ëðml�Á à ò ñ Ý�n ����@��� ����� `^z Ý à8{ Á �}| î à à �e>�� 3*~ 8 N�� fSW Ï�Ð�ÑQYÀ ø Ù � � à

ê Ô ÖØ× � Ô � ÖØ× ð æ � áà êÕÔ ÖØ× � à æ#Ô � ÖØ× ð êÙ ë üñà ð

ø Ù �F� � ß ÇäàâË�æ � á ÜÞÝÂß Ë � � á êÙ ë ü íñðÍ P I M4N $

ã À ã á ø � Ù � � á ê Ù ��ÜÞÝ�ß Ë ð�� áIæ � á ß Çáàåá�Ë êÙ ë ü þñðø Ù � à �

á êÙ � �

á ð ê Ù �UÜÞÝÂßË ð ê

Ù ë ü A ð+-, C0D $ ã � ã«÷ Ù 3�E�,I� O�P � Ë "@c F N ã À ã«÷ Ù 3�ED $ ��� 3�E f + } IeToy f W

Ù=TE �� � �4>�?��J� ù^ú $ ìïî ëðml�Á à ò ñ Ývn U����� Y ¼~½ � C � " à���� " ��A P ���@� }8�u� 3�E f W + ��>���` à��4� ìïî ëðml^Á à ò ñ Ý�n � }%�3��W

ã ò õ÷öm� áôÔõ÷ö�� á ø ã òôÔõ÷ö æ ã òôà �7Ùà 1ô�öô ûê ã òôÔõ÷ö � ã òô ð ê

Ù ë ü ü ðãÝò õ÷öô ø ãåòô�� 1

ô�öô ûê ã ò õ÷öm� áô õ÷ö�� á � ã ò õ÷ö�� áô��Ýö�� á ð ê

Ù ë ü H ð+S, ` å ë )of~} å Ù ëîï �C � "�d fSW

ì¬î ëðml�Á à ò ñ Ý�n � Y 24� $ ���U"�c F N F x , v à = >�? ��>�� 3^E f I $ ��� � � 7!�3 _�l��!�G`���� f*} F~� �*��`�a*c W +S, "�æ Í N $�¼�½ � ��/ I*�Îq , N F�f W� Ý ò � à Ý ze� ��/Ù=�E �� � �<���U>�?�� ú ã · ú ö÷æ~1 ú ã · úâû ø � "%� Í N $ ã ò õ÷öô ø������� ã òôÔõ � �8�*� à =>�? ¼ 6 � >�? `�a0c#�<� C � d� ������ v 5 �8� ~ � `M��a )of + } Y 3 : d F�W_�l��!�G`M  » f >��#" Y ¼U½ � v ��I E fSW

Page 13: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

n+1

t

n

x

boundary

j-1 j j+1

n+1/2

åÙ ëÿï:� à��4� ìïî ëðml�Á à ò ñ Ý�n U���@��"�@!A fu¡�¢ ��� ,

V�£�¤�¥ � `�R » f¥ � ]�_G`§¦ }�Í N $¨© ò õ÷öô ø © ò õ÷öô ª ¦¬« © òôÔõ÷ö��I­ © òô®ª © òô��Ýö ð « Ù°¯ ü ¾ñð}<)ofSW

V ��±�²´³�æ�_G`X` F�f+-, "�c F N�Y =�µ 3 5�¶ )Uf

·¹¸»º ¼¾½À¿<Á1´ÃÅÄxƾÇ���ÉÈ �®� Ê�ËFÌ�Í�ξÏÑÐ�Ò Ó'ÔÙ=�E �� � �<���U>�?��

ú ©ú ö ª 1 ú ©úåû ø � « Ù°¯ ü ï ð` ¼U½ �8�Õ«ÉÖ D � ð " N � )Ufú ©ú ö ª ú¬×úåû ø � « Ù°¯ H°� ð+�+43 $ × ø 1 © « Ù°¯ H Ù ðY �!±2` E qbT )eW å Ù°¯ Ù � "'Ø8Ù 3 u M4N ë Í PHÚ!Û « û ô��Ýö���ÜÞÝ û Ý û ô õ÷ö���Ü ð "!@ A f Ö Dk © � ��� N K Y $ + � �!��� �U"S� & �àß�á û ôãâ÷ö��äÜ `/å MeN w ( D )~f � ± ¨× ôãâ÷ö��äÜ ���" �ÎÍ-F�W +-, C0D = �G`cL f W

© ò õ÷öô ø © òô9� ô�öô û « ¨× òôÔõ÷ö���Ü � ¨× òô��Ýö��äÜ ð « Ù°¯ H ­ ðæ \3ç�è ß�á0� �!± ¨× òôãâ÷ö��äÜ Y%é æ \�ç3è � 3 ����±0yLq 7!9 �U" û�ü )Uf + } I 3 : fSW+�, `L_�l��!± }c{� W é�ê ���# ~�������e�����#y²q�_�l^� ±{`wÒ0Ó f0} ¼~½ � C � "d f W

Page 14: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

j-1 j j+1

f j-1/2 f j+1/2~ ~

åÙ�¯áÙ �:� æ \�ç3è � } æ \3ç�è ß�á�`Må M�N w ( D )Uf �!±*��æ ]

V �����¨× òôÔõ÷ö���Ü øíÙ­ « × òôÔõ÷ö ª × òô ð « Ù°¯ H íñðV ìïî ëð ��ñ Ç ÁÞò ñ Ç Üõó

¨× òôÔõ÷ö��äÜ ø Ù­ ë « Ù � Ù� ð × òôÔõ÷ö ª « Ù ª Ù� ð × òôíì « Ù�¯ H þ ðVIî Å�� Çäà ò « 5�6 ��� ð¨× òô õ÷ö��äÜ ø Ù­àï « × òô õ÷ö ª × òô ð � ã 1 ã « © òô õ÷ö � © òô ðmð « Ù�¯ HÂA ðV ìïî ëðml�Á à ò ñ Ývn¨× òôÔõ÷ö���Ü ø Ù­ ï « Ù � � ð × òôÔõ÷ö ª « Ù ª � ð × òô ð « Ù�¯ H ü ð

���ÉÈ ��ñ Ó'Ô!ò�ó�ôCÐì¬î ëðml�Á à ò ñ Ý�n �0�e_�l���±2`Xõ h#)*f + } " C�M�N $ ���!��� 7��#3 �à� �{`c  » f +} I 3 : d F yQ� � y*. » N��0C ��Wíìïî ëðml�Á à ò ñ Ý�n �*� _�l��!± Y = � C � " v%ö A f W¨× òôÔõ÷ö���Ü�ø 1 � © òô÷ª Ù­ « Ù � � ð « © òôÔõ÷ö�� © òô ð»� « Ù�¯ HÂH ð_^l!���JI��§�wd F Ù = >!? � 5 6 �^�0�4_�l�� ± Y 1HJ � � } : ¨× òôÔõ÷öm��Ü ø 1 © ô 3�E D $ìïî ÃBðml�Á à ò ñ Ývn �Q��_UlU��±Q� & !UX Ù V }uø!ù Í N FofSW q +@3 $ ìïî ëðml�Á à ò ñ Ývn �Q��_l��!±*� & !�X ­ V ` = � C � "uõ h{Í N!� f W¨× òôÔõ÷ö���Ü�ø 1 � © òô÷ª Ù­ « Ù � � ðûú ôÔõ÷öm��Ü « © òôÔõ÷ö�� © òô ð»� « Ù�¯ H§¾ñð+�+�3 b ({Í P ú ôÔõ÷ö���Ü � + } `L��±!²4³�æ�_ }u����W _�l��!±Õ« Ù°¯ H°¾ ð `������Õ« Ù°¯ H ­ ð "'�(ÎÍ N N � )of~}M= �G`cL f W

© ò õ÷öô � © òô© òô¤�Ýö � © òô ø � � Ù �ÚÙ­ « Ù � � ðûú ô��Ýöm��Ü � ª Ù­ � « Ù � � ð ú ôÔõ÷ö���Üü ô « Ù�¯ H ïñð

Page 15: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

+�+43 $ ü ôþý © òô�� © òô��Ýö© òô õ÷ö � © òô « Ù�¯ ¾Â�ñð3�E fSW

u j-1

n

u j

n

uj

n+1

åÙ°¯ Ù�Ù � _�l����0Ie��� d F C � " )Uf P Ó�" © ò õâöô ��lG`M²´³ )ofCÿ u

_�l��!�*Ie��� d F C � " )of P Ó�" $ å Ù�¯áÙÂÙ " ë Í PUC � " © ò õ÷öô I © òô } © òô��Ýö �����l{` }4f C � "H²�³L`�R » f + } " Í C ��W +�, " Y $ �Õ« Ù�¯ H ïñð �e��!J�4l{` ¼o½ � C �"u²´³ ) ,I� C F W� ÷ © ò õ÷öô � © òô© òô��Ýö � © òô ÷ Ù « Ù�¯ ¾ Ù ð

�Õ« Ù�¯ H ïñð � & !G` '�(*)of~} ¼U½ � þ�ÿ `cL f W� ­� ÷ ú ô��Ýö��äÜ � ú ôÔõ÷ö���Üü ô ÷ ­

Ù � �« Ù�¯ ¾ ­ ð

� ì þ�ÿ I�ø P�� , N F�f<ù�ú � ÷ � ÷ Ù d�� 3 $�÷­ ÷ ú ô��Ýö��äÜ � ú ôÔõ÷ö���Üü ô ÷ ­ « Ù�¯ ¾ìíñð

+ ��æ ]�� Y $�¼�½ ��� P c�� þ�ÿ I } v "<ø P�� ,�,I����� )ofSW

� ÷ ú ôÔõ÷ö���Ü ÷ ­ « Ù�¯ ¾ þ ðy�c� ÷ ú ôÔõ÷ö���Üü ô ÷ ­ « Ù�¯ ¾¿A ð+ � ÿ uQ` å ë )~f*} å Ù°¯ Ù ­ ���J��d F Ú Û "�d fSW ü Ý � � ù�ú Y ú ôÔõ÷öm��Ü ø � � �I � � , fSW

ì¬î ëðml�Á à ò ñ Ý�n �*� _�l��!± 3 Y ú ôÔõ÷ö���Ü ø Ù « å � ì l ð 3�E f P Ó $ ü Ý Ù · ­ � Ú!Û 3 ���ÿ u�� } d D $ _^l��!�*I���� fSW å � � ��ÿ u���" E f ��±!²´³�æ _G`Þ` F^f + } " CD $ _�l!���JI � + qwd F C � " )Uf + } I 3 : f W q�� ø�� Y ¼�½ � | Çáà | Ý ò æ _Õ« å �| Çáà | Ý ò ð 3�E fSW

Page 16: Astrophysics Laboratory...¿MÀÂÁÃÀ Á Ë Ì Í Î Ï Ï Ð Ó Ñ Ò Ó 1Ì Ô Õ Ó Ö:ÓØ×ÙÑ©Ú é ê Ç% ¼ F þ E Û v ¥ ¾Ü sá Ý ~× Þ ¾ s× ß òá Jt d¤d¥ ¾à!

1

1

2

2

B j+1/2

r

LW

minmod

O

B = 2r

åÙ°¯ Ù ­ ��� ± ²4³^æ�� ú������ � Ü « ü"!$# ��% ÿ'&�(*)"+ ,-)/.10324+�576989:<;>=@?�A�B�C # ��D ��EGFH�I'J�K�LNM�O � (QPSRT69PU;38@,VPSRT69PU;38UO � (

WYX4Z[W]\_^9`bac!ed f ` ahgifj! `lk"mon"pc!d a ` fhqrasqtk1! `�kumvncw"!d k `bayxzk1! `�kumvnunj!

{}|�~�|�� ��� ���i� ����N� #r��� F����t�� K��N������t�'� #������r#������r#� �¡r#£¢ ��¤z¥$;u¦§._¨s©ª.u:lR«.12

¦<RT;"6 ` ¥¬© ! �s­ � (

®°¯ `b±}²c!´³zµ �j¶ ±9²�����¸· ±¹²� ¶ `lk"mon"ºc!¥$;u¦».>¨�©¬.>:�R�.>¦�R�;u6½¼�¾�¿£����À F@Á�ÂÄÃÆÅ�Ç � Ç �yÈ�É

®Ê¯ ` ±9² ��� !¬q ®Ê¯ `b±¹²c! `lk"moº"fj!#�¢ �½¤z¥$;u¦».>¨[©ª.u:lR«._¦<RT;"6�Ë°R�PSRT6ÌR�Í<ÎÌRT69Ï ` ¥¬©ÐË !�È�É �@Ñ�Ò�(

�ÓE LiM�O � ¤sÔÓÕNJ�K ¢ � F �½Ö× ØÓÙ�Ú ?�A�B�CÓ¼Û¥¬©ÐË È�É ¤yÜrÝ�J ��� F J�K ¢��¼�Þ�ßÓKY(

àVáãâ*ä

å ��æ�ç�è # ��D�é�ê�ë `�kìº"º>í3!´î�ï Â�èNð@ñ�ò Ø�ó�ô�õ�ö�÷å£ø ù�ú # ��D�û æ ��� è�ü�ý B�?Nþ�B ÿ # Û'A�?�� `��_f"fufj!4Ø�������Ø�� ����÷