asuransi pensiun hari tua - repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/2271/2/013114028_full.pdf ·...
TRANSCRIPT
ASURANSI PENSIUN HARI TUA
S K R I P S I
Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat
memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si)
Program Studi Matematika
Oleh :
Maria Kurnia Lestari
NIM : 013114028
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Karya Ini Kupersembahkan untuk : Bunda pelindungku, Bunda Maria
Bapak, Ibu & Kakak-kakakku, serta
Almamaterku tercinta
Keindahan Tak Berpenghujung
Cinta
Yang menjadikan langit sebagai batasnya
Itulah keindahan tak berpenghujung
yang kalian berikan padaku
Dari saat Tuhan memberikan nafas kehidupan
Hingga suka duka yang membuatku tumbuh dewasa
Dalam nama cinta
Penyertaan kalian tiada pernah berakhir
Kini, kutelah berhasil
melewati lagi anak tangga menuju masa depan
Terima Kasih kuucapkan
Semoga setiap langkah yang kupijak
Tuk mencapai puncak impian
Dapat membuat kalian bangga
Hingga Keindahan tak berpenghujung
Selalu terpancar dari senyummu
Yang membuat langkah ini selalu berarti
Teruntuk
Kedua Orang Tuaku
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Perhitungan premi asuransi pensiun hari tua, ditetapkan dengan prinsip equality. Prinsip equality terdapat dalam asuransi jiwa, yaitu nilai tunai premi (iuran) yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan (manfaat) yang akan datang. Perhitungan preminya dipilih salah satu dari tiga pilihan berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa kerja dan rata-rata gaji per tahun untuk
tahun terakhir sebelum pensiun. Secara umum, berdasarkan perhitungan urutan besarnya premi adalah premi berdasarkan masa kerja, premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun untuk tahun terakhir sebelum pensiun, dan premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun selama masa kerja.
f
f
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Premium calculation in old age pension insurance is determined by using equality principle. The principle is found in life insurance, that is present value of future premium (contribution) is the same as present value of future claim (benefit). The premium calculation is taken from one of these three options that is : the working period, the averages of annual salary during working period, and the averages of annual salary for last year before pension. Generally, the amount of premium sequence is as follows : premium based on working period, premium based on the averages of annual salary for last year before pension, and premium based on the averages of annual salary during working period.
f
f
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat dan karunia-
Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul
Asuransi Pensiun Hari Tua dengan baik.
Skripsi ini disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika, Jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Sanata Dharma, Yogyakarta.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dan
bimbingan dari beberapa pihak, baik yang terlibat secara langsung maupun tidak
langsung. Oleh karena itu, dengan tulus penulis ingin menyampaikan rasa terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Bapak Ir.Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dekan Fakultas MIPA sekaligus
dosen pembimbing skripsi yang dengan penuh kesabaran membimbing selama
penulisan.
2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si.,M.Sc., selaku Ketua Program Studi Matematika,
dosen pembimbing akademik, sekaligus dosen penguji yang telah memberikan
kritik dan saran.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih.,S.Si, M.Si., selaku dosen penguji yang telah
memberikan kritik dan saran.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4. Seluruh staf pengajar Fakultas MIPA yang telah memberikan dukungan
kepada penulis baik selama kuliah maupun dalam penyusunan skripsi ini,
sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.
5. Bapak Z. Tukija dan Ibu E. Linda S.H. yang telah membantu dalam urusan
administrasi.
6. Para karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpustakaan, di
BAAK dan di AUK, atas kerjasama dan bantuan yang telah diberikan kepada
penulis selama ini.
7. Cinta pertama dan terakhirku Bapak dan Ibu, yang telah memberikan doa,
nasehat, semangat, dukungan serta kesabaran menanti kelulusanku.
8. Mbak Wenna, mbak Erma, mas Krisna, mas Bimo (makasih atas
kesabarannya), Song-song, yang telah memberikan semangat dan dukungan
selama kuliah.
9. Mbah putri, Om, Bulik, adik-adik sepupu, yang selalu menanyakan kapan
kelulusanku, keponakan-keponakan (Detha, Fernand, Ella) terima kasih
keluguan dan kelucuannya.
10. Sr. Fidelis ,OP dan Frans Beerens, terima kasih atas segala perhatian dan
dukungannya.
11. Teman seperjuanganku, Indah. Jengkel, marah, sakit, lelah, puyeng, deg-
degan, takut, tangis, nekat, senyum, tawa, lucu, haru, lega, puas dan bahagia
pernah kita rasakan bersama selama penulisan. Yakinlah selalu teman, bahwa
“sesuatu hal akan menjadi indah pada waktunya”.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12. Helen, terima kasih telah menjadi sahabatku selama ini dan Robert Tampa,
terima kasih puisi dan terjemahannya.
13. Teman-teman yang akan selalu kurindukan (Mat’01) antara lain : Andre,
Indah, Tabita, Ariel, Feri, Erika, Wiwit, Agnes, Daniwiati, Vrisca, Upik
(makasih pinjamannya), Ajeng, April, Deta, Fanya (makasih laptopnya), Yuli,
Rita, Ray, Tedy, Alam, Daniel (makasih mo jadi teman curhatku) yang telah
memberikan kebersamaan selama kuliah.
14. Semua pihak yang tidak dapat disebut satu persatu yang telah membantu
dalam penyusunan skripsi dan selama kuliah.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh
karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang
bermanfaat bagi penulis.
Yogyakarta,…………………2007
Penulis
Maria Kurnia Lestari
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ......................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN....................................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................... v
ABSTRAK .................................................................................................... vi
ABSTRACT.................................................................................................. vii
KATA PENGANTAR .................................................................................. viii
DAFTAR ISI................................................................................................. xi
BAB I PENDAHULUAN............................................................................. 1
A. Latar Belakang Masalah ................................................................ 1
B. Perumusan Masalah....................................................................... 4
C. Pembatasan Masalah...................................................................... 4
D. Tujuan Penulisan ........................................................................... 5
E. Manfaat Penulisan ......................................................................... 5
F. Metode Penulisan .......................................................................... 5
G. Sistematika Penulisan .................................................................... 5
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5
A. Tabel Mortalita (Mortality Table) .................................................. 7
B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality) .................................... 14
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Tabel Penyusutan Jamak (Multiple of Decrement Table) ............. 18
D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Decrement) ................. 22
E. Tingkat Bunga………………………………………………….... 26
F. Anuitas (Annuity)…………………………………………………. 28
G. Asuransi Jiwa……………………………………………………... 37
1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal………….. 38
a. Asuransi Berjangka…………………………………….. 38
b. Asuransi Seumur Hidup………………………………… 41
2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan………….. 44
BAB III ASURANSI PENSIUN HARI TUA............................................... 47
A. Dana Pensiun ................................................................................. 47
B. Tabel Pelayanan............................................................................. 49
C. Jenis Manfaat Pensiun ................................................................... 51
D. Fungsi Manfaat .............................................................................. 53
BAB IV PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN
HARI TUA.................................................................................................... 61
BAB V KESIMPULAN................................................................................ 66
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 67
LAMPIRAN.................................................................................................. 66
1. Tabel Mortalita Indonesia ........................................................ 68
2. Komutasi .................................................................................. 71
3. Tabel Pelayanan ....................................................................... 74
4. Komutasi .................................................................................. 75
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Keberhasilan pembangunan Nasional telah dirasakan oleh rakyat dengan
meningkatnya kesejahteraan pada umumnya. Tetapi hasil pembangunan juga telah
menimbulkan masalah-masalah sosial lainnya. Salah satunya yaitu masalah
ketidakpastian sosial ekonomi yang dihadapi oleh sebagian besar tenaga kerja
Indonesia. Bagi perseorangan ketidakpastian ini perlu diatasi, karena dapat
mengakibatkan hilangnya penghasilan. Sebab utama dari gangguan penghasilan
ini adalah hari tua, cacat/sakit dan kecelakaan serta kematian. Kondisi kehidupan
yang menurun pada hari tua merupakan masalah utama bagi setiap tenaga kerja,
karena pada saat itu kemampuan untuk memperoleh penghasilan menjadi
menurun/merosot atau hilang sama sekali, tetapi biaya hidup terus diperlukan. Hal
ini dijelaskan dengan menggunakan model Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi (life
–cycle hypothesis of consumption) dari Ando Modigliani (Branson, 1979).
Hipotesa siklus hidup konsumsi menekankan adanya hubungan antara
produktivitas, pendapatan dengan konsumsi. Menurut model ini perjalanan hidup
seseorang (life time) dibagi dalam tiga kurun waktu, yaitu:
(1) masa produktivitas rendah
(2) masa produktivitas tinggi
(3) masa produktivitas menurun.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Gambar 1. Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi
Kurva konsumsi menunjukkan aliran konsumsi individu yang
berkencenderungan meningkat seiring dengan perjalanan hidup seorang dan tidak
mungkin mengalami penurunan. Sedangkan kurva pendapatan menunjukkan
aliran pendapatan dimana berlaku siklus hidup yang membagi perjalanan hidup
seseorang kedalam tiga periode. Gambar (1) menunjukkan bahwa tahun awal
perjalanan hidup seseorang merupakan periode hutang (net borrower), sebab
meskipun belum ada aliran pendapatan, aliran konsumsi tetap berjalan )( 00 YC > .
Periode antara 1T dan 2T menunjukkan periode produktivitas tinggi, sehingga
aliran pendapatan lebih dari konsumsi ( )CY > . Pada masa ini, individu sudah
dapat melunasi semua hutang pada periode hutang dan kemudian menyisihkan
0C
0Y
A
B
1T 2T0Waktu
3T
kurva konsumsi
kurva pendapatan
Nilai Pendapatan/Konsumsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
pendapatannya (net surplus). Pada periode akhir (setelah titik B), masa
produktivitas individu menurun sehingga menyebabkan kemampuan memperoleh
pendapatan juga menurun (net deficit) seiring dengan bertambahnya usia. Titik 2T
dapat dikatakan batas usia pensiun dimana pendapatan sama besarnya dengan
konsumsi. Setelah titik B, individu mengalami masa defisit dimana pendapatannya
lebih kecil dari konsumsinya. Banyak orang yang bersedia menerima penghasilan
yang kecil pada masa aktif bekerja, asalkan mendapatkan cukup jaminan pada hari
tua.
Pengertian pensiun secara umum adalah berakhirnya masa kerja pegawai
karena sesuatu hal (misal : cacat/sakit) atau telah mencapai batas usia tertentu
(usia pensiun). Meskipun masa pensiun hanya akan berlangsung dalam jangka
pendek, tetap dibutuhkan jumlah investasi yang cukup besar. Sedangkan setiap
orang tidak mengetahui apakah dia masih hidup sampai hari tua dan berapa lama
dia dapat bertahan setelah melewati masa pensiun. Demikian juga seseorang tidak
dapat memperkirakan berapa besar dana yang harus diinvestasikan untuk
memenuhi biaya hidup di hari tua. Jika ditangani secara individual maka akan
terjadi kesulitan, karena setiap orang mempunyai keterbatasan pengetahuan
tentang dunia investasi.
Untuk mengatasi masalah tersebut, pihak perusahaan/pemberi kerja
menawarkan kepada pegawainya suatu bentuk simpanan/tabungan sebagai
jaminan di hari tua melalui sebuah Program Pensiun. Pada pelaksanaan program
pensiun, pegawai/peserta program diwajibkan membayar iuran yang berupa
anuitas dari awal masuk menjadi anggota sampai mencapai pensiun, yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
kemudian dibayarkan kembali dalam bentuk anuitas dari usia pensiun sampai
seumur hidup. Pembayaran anuitas didasarkan pada masa kerja dan gaji pegawai
yang bersangkutan. Penyetoran iuran harus dilakukan setiap jangka waktu
tertentu, karena dana tersebut harus segera diinvestasikan dan bunganya
diperhitungkan untuk setiap kali penyetoran.
B. Perumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat ditulis
dengan beberapa pertanyaan berikut :
1. Bagaimana cara menghitung peluang seorang pegawai keluar dari
kelompok karena pensiun pada saat usia x ?
2. Bagaimana cara menghitung besar premi (iuran) yang harus dibayarkan
peserta program pensiun menurut masa kerja, rata-rata gaji tahunan dan
rata-rata gaji beberapa tahun terakhir sebelum pensiun pada saat usia x ?
3. Bagaimana penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua?
C. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini dilakukan beberapa batasan sebagai berikut :
1. Satuan waktu adalah tahunan.
2. Faktor penyebab penyusutan adalah faktor penyebab independent.
3. Tingkat bunga manfaat pensiun adalah 10% .
4. Tabel Pelayanan yang digunakan adalah Service Table by Bowers.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
D. Tujuan Penulisan
Penulisan ini bertujuan untuk memahami perhitungan iuran yang harus
dibayarkan peserta asuransi pensiun hari tua untuk mendapatkan manfaat pensiun.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah penulis dapat mengetahui
dan memahami dasar perhitungan aktuaria pada asuransi pensiun hari tua .
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah
dengan metode studi literatur/pustaka. Studi literatur dilakukan dengan
mempelajari materi dari buku-buku acuan tanpa ada penemuan baru.
G. Sistematika Penulisan
Sistem penulisan laporan skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan urutan
sebagai berikut :
BAB I Pendahuluan
Menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam
pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut mengenai latar belakang masalah,
perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan
dan sistematika penulisan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II Landasan Teori
Menjelaskan tentang penyusutan anggota kelompok karena satu dan
lebih dari satu faktor penyebab, antara lain: tabel mortalita, percepatan
mortalita, tabel penyusutan jamak dan percepatan penyusutan jamak, tingkat
bunga, macam-macam anuitas antara lain: anuitas tentu, anuitas seumur hidup
dan anuitas sementara, asuransi jiwa dengan premi tunggal dan premi tahunan.
BAB III Asuransi Pensiun Hari Tua
Menjelaskan tentang perhitungan dasar dari manfaat pensiun, jika
dilihat dari masa kerja, rata-rata gaji tahunan pegawai selama masa kerja dan
rata-rata gaji untuk f tahun terakhir sebelum usia pensiun.
BAB IV Penerapan Perhitungan Premi Asuransi Pensiun Hari Tua
Menjelaskan penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua.
BAB V Penutup
Menjelaskan kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Tabel Mortalita (Mortality Table)
Tabel mortalita adalah tabel yang menggambarkan peluang meninggal
seseorang berusia x untuk periode n tahun berikutnya dari sekelompok orang
yang diasuransikan (kelompok pemegang polis asuransi). Perhitungan dilakukan
setiap tahun secara terus-menerus yaitu pada usia x , 1+x , 2+x , …. Sehingga
waktu yang berjalan adalah diskrit. Ada dua jenis kelompok pemegang polis
asuransi, yaitu kelompok terbuka dan kelompok tertutup. Kelompok terbuka
adalah kelompok yang mengalami pengurangan anggota sekaligus penambahan
anggota baru (bayi yang dilahirkan), sedangkan kelompok tertutup adalah
kelompok pemegang polis yang tiap tahunnya mengalami pengurangan anggota
tanpa ada penambahan anggota baru. Secara teori jenis kelompok yang digunakan
adalah kelompok tertutup, karena berkurangnya anggota setiap tahun pada
kelompok tertutup lebih stabil daripada kelompok terbuka yang terus menerima
anggota baru. Sehingga untuk selanjutnya kelompok pemegang polis yang
dimaksud adalah anggota dari kelompok tertutup.
Anggota dari kelompok dianggap mengalami kelahiran yang bersamaan
sebanyak 0l orang. Satu tahun berikutnya telah terjadi kematian sebanyak 0d
orang, sehingga banyak orang yang dapat mencapai usia 1+x adalah 100 ldl =−
orang. Dua tahun berikutnya terjadi kematian sebanyak 1d orang, sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
banyak orang yang dapat mencapai usia 2+x adalah 211 ldl =− orang. Proses
pengurangan tersebut akan berlangsung terus menerus sampai semua orang
meninggal atau 01 =+wl dengan w adalah usia terakhir dalam kelompok. Proses
tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :
1+=− xxx ldl
1+−= xxx lld (2.1)
dengan xl menyatakan banyak orang yang masih hidup pada usia x dan xd
adalah banyaknya orang yang meninggal pada usia x dalam kelompok.
Komponen terpenting dalam penyusunan tabel adalah mencari peluang
seseorang akan meninggal dalam kelompok, yaitu hasil bagi antara banyaknya
anggota kejadian dengan banyaknya anggota ruang sampel. Perhitungan ini
selanjutnya diterapkan untuk menentukan peluang meninggalnya seseorang pada
usia x yang dinyatakan dengan xq .
Misal A adalah himpunan orang yang meninggal pada usia x , dan
( ) =An xd = banyaknya orang yang meninggal pada usia x maka didapat :
x
xx l
dq ≈ (2.2)
x
xxx l
llq 1+−≈
Dengan asumsi bahwa 1=+ xx qp dengan xp menyatakan peluang hidup
seseorang pada usia x , maka dapat dinyatakan bahwa :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
xx qp −= 1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−= +
x
xxx l
llp 11
( )
x
xxxx l
lllp 1+−−
=
x
xx l
lp 1+= (2.3)
Pada persamaan (2.2) dan (2.3) peluang dihitung untuk waktu satu tahun
( )1=n , maka persamaan peluang untuk waktu lebih dari satu tahun ( )1>n adalah
x
nxxxn l
llq +−
= (2.4)
dengan xn q menyatakan peluang meninggal seseorang berusia x dalam jangka
waktu n tahun. Jika xn p menyatakan peluang hidup seseorang berusia x dalam
jangka waktu n tahun maka diperoleh :
xnxn qp −= 1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−= +
x
nxxxn l
llp 1
( )
x
nxxxxn l
lllp +−−
=
x
nxxn l
lp += (2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Bila n =1 indeks n disebelah kiri xp dan xq tidak perlu dituliskan, jadi notasi
xx qq =1 dan xx pp =1 .
Sedangkan peluang seseorang berusia x akan hidup n tahun dan kemudian
meninggal dalam satu tahun berikutnya didefinisikan sebagai berikut :
x
nxxn l
dq +=|
x
nxnxxn l
llq 1| +++ −
=
xnxnxn ppq 1| +−=
Indeks n menyatakan periode (jangka waktu) hidupnya seseorang. Peluang
seseorang saat berusia x akan meninggal dalam jangka waktu n tahun, dapat
terjadi pada tahun pertama, tahun kedua dan seterusnya sampai tahun ke 1−n .
Jika 1=+ xnxn qp maka dapat dinyatakan berikut :
xnxn pq −=1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= +
x
nx
ll
1
x
nxx
lll +−
=
( ) ( ) ( )
x
nxnxxxxx
lllllll +−++++ −++−+−
= 1211 ....
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= +−++++
x
nxnx
x
xx
x
xx
lll
lll
lll 1211 ....
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
xnxxx qqqq |....|| 121 −++++=
∑−
=
=1
0|
n
txt q
Pada penyusunan tabel mortalita, harapan hidup ikut diperhitungkan.
Harapan hidup adalah perkiraan rata-rata seseorang berusia x akan hidup
mencapai beberapa tahun lagi. Konsep ini tidak lain adalah konsep nilai harapan
(rata-rata) yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai berikut :
Definisi 2.1.
Nilai harapan didefinisikan dengan :
∑∞
=
=0
)(t
tTE ( )tf , untuk t diskrit
Ada dua macam harapan hidup, yaitu harapan hidup ringkas (curtate
expectation of life) dan harapan hidup lengkap (complete expectation of life).
Perhitungan dalam harapan hidup ringkas hanya memperhatikan tahun yang
penuh (tahun lengkap) dialami seseorang berusia x . Dengan kata lain pecahan
tahun tidak ikut dihitung. Sebagai contoh : seseorang lahir pada tanggal 10 Juni
1965, kemudian dia meninggal pada tanggal 15 November 2006. Hal ini berarti
dia meninggal pada usia 41,4 tahun. Nilai 0,4 ini yang dimaksud dengan pecahan
tahun yang pada harapan hidup ringkas dihilangkan. Jadi orang tersebut dianggap
meninggal pada usia 41 tahun. Misal peluang seseorang berusia x dapat bertahan
hidup 0,1,2,…, xw − tahun, masing-masing dinyatakan dengan xq|0 , xq|1 ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
xq|2 ,… xxw q|− maka sesuai dengan definisi 2.1, harapan hidup orang tersebut
adalah :
xxwxxxx qxwqqqe |)(....|2|10 2 −−++++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= +++++
x
ww
x
xx
x
xx
lllxw
lll
lll 13221 )(....21
( ) ( ) ( )[ ]13221 )(....211+++++ −−++−+−= wwxxxx
x
llxwlllll
( )13221 )()(....221+++++ −−−++−+−= wwxxxx
x
lxwlxwlllll
( )wxxx
llll
+++= ++ ....121
x
w
x
x
x
x
ll
ll
ll
+++= ++ ....21
xxwxx ppp −+++= ....2
∑−
=
=xw
txt p
1
dengan xe menyatakan harapan hidup ringkas.
Bila dalam harapan hidup ringkas pecahan tahun tidak ikut dihitung, maka
untuk harapan hidup lengkap pecahan tahun ikut dihitung. Jadi pecahan tahun 0,4
pada contoh sebelumnya ikut dihitung. Dengan demikian orang tersebut dianggap
telah meninggal pada usia 41,4 tahun. Sehingga waktu t yang dibutuhkan dari xl
orang untuk menuju tahun-tahun berikutnya tidak selalu bilangan bulat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Definisi 2.2.
Harapan hidup lengkap yang dinyatakan dengan 0xe , didefinisikan dengan :
∫−
+=xw
x
txx l
le
0
0 dt
∫−
=xw
xtx pe0
0 dt (2.6)
Integral diatas dapat dievaluasi dengan pendekatan distribusi seragam
(uniform) yang memberi pernyataan bahwa kematian dalam setahun dapat
dimisalkan terjadi pada pertengahan tahun (Sembiring,1986). Dalam statistika
fungsi distibusi seragam didefinisikan sebagai berikut :
dengan :
∫ −=
β
α αβdxxXE )(
2αβ +
=
Hasil pendekatan tersebut adalah :
∫+=1
0
0dxxee xx
210
+= xx ee
αβ −1
0
βα ≤≤ x
lainnya =)(xf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality)
Pada tabel mortalita, nilai xl hanya menggambarkan keadaan suatu
kelompok untuk x bilangan bulat. Pada prakteknya selama perjalanan waktu nilai
x tidak hanya bilangan bulat. Sehingga dapat dinyatakan bahwa xl adalah fungsi
kontinu. Pada interval usia x sampai 1+x banyak orang yang meninggal ( )xd
adalah 1+− xx ll dan x
xx
x
xx l
llldq 1+−
== . Sedangkan untuk interval usia x
sampai tx Δ+ banyak orang yang meninggal adalah txx ll Δ+− , sehingga
peluang meninggalnya adalah :
x
txxxt l
llq Δ+
Δ
−=
Jika persamaan diatas dibagi dengan tΔ , maka didapatkan tingkat mortalita yaitu :
x
txxxt
tlll
tq
Δ−
=Δ
Δ+Δ (2.7)
Dengan 0→Δt maka persamaan (2.7) disebut sebagai percepatan mortalita
(forces of mortality) yang didefinisikan berikut :
tqxt
tx Δ= Δ
→Δ 0limμ
x
txx
t tlll
Δ−
= Δ+
→Δ 0lim
tlll
x
xtx
t Δ−
−= Δ+
→Δ
)(lim
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
xμ dtdl
lx
x
1−= (2.8)
atau dapat juga dinyatakan dengan :
dtld x
xln
−=μ (2.9)
dtld xx .ln μ−=
Kemudian diintegralkan dari 0 sampai x yaitu :
dtldx
t
x
t ∫∫ −=00
ln μ
] dtlx
tx
t ∫−=0
0ln μ
∫−=−x
tx dtll0
0lnln μ
∫
=−
x
tdtx e
ll
0
0
μ
Sehingga diperoleh berikut :
∫
=−
x
t dt
x ell 0.0
μ
(2.10)
Jika persamaan (2.8) dinyatakan dengan :
xxx dldtl −=μ
maka untuk usia tx + dengan ,...3,2,1=t persamaan diatas menjadi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
txtxtx dldtl +++ −=μ (2.11)
atau dapat dinyatakan dengan :
dtdl
l txtxtx
+++ −=μ (2.12)
Jika 1+−= xxx lld maka dengan menggunakan definisi Integral Riemann
diperoleh
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=− +
+
1
01 dt
dlll txxx dt
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= +
1
0 dtdl
d txx dt (2.13)
Kemudian substitusikan persamaan (2.12) ke (2.13) sehingga diperoleh :
∫ ++=1
0
)( dtld txtxx μ (2.14)
Jika x
xx l
dq = maka didapat :
x
txtx
x l
dtlq
∫ ++
=
1
0
μ
dtpq txxtx +∫= μ1
0 (2.15)
Untuk 1>n persamaan (2.15) menjadi :
dtpq tx
n
xtxn +∫= μ0
Persamaan (2.11) dapat juga dinyatakan dengan :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
dtdl
ltx
txtx
+
++ −=
1μ
dtpd
pxt
xt
1−=
dtpd xtln
−=
dt
ll
dx
tx⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
+ln
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= +
+x
txtx l
lddt lnμ
Kemudian diintegralkan dari 0 sampai n yaitu :
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= +
+
n
x
txn
tx llddt
00
lnμn
x
tx
ll
0
ln ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= +
x
x
x
nx
ll
ll
lnln +−= +
x
nx
ll +−= ln
dtn
tx∫ +0
μ xn pln−= (2.16)
Sehingga diperoleh :
∫
=+−
n
tx dt
xn ep 0
μ
(2.17)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
dan
∫
−=+−
n
tx dt
xn eq 01μ
(2.18)
C. Tabel Penyusutan Jamak ( Multiple Decrement Table)
Tabel mortalita merupakan contoh praktek dari tabel penyusutan yang
terjadi karena satu faktor penyebab (kematian) atau disebut juga dengan Tabel
Penyusutan Tunggal (Single Decrement Table). Penyusutan adalah berkurangnya
anggota kelompok karena faktor penyebab. Sedangkan tabel penyusutan yang
terjadi karena lebih dari satu faktor penyebab disebut sebagai Tabel Penyusutan
Jamak ( Multiple Decrement Table).
Faktor penyebab penyusutan ada dua jenis, yaitu : faktor penyebab yang
tidak saling bebas (dependent) dan faktor penyebab yang saling bebas
(independent). Contoh faktor penyebab dependent, misal dari 1000 orang dengan
usia yang sama, pada permulaan tahun 50 orang meninggal dan pada akhir tahun
10 orang menjadi cacat. Dengan demikian, hanya 950 orang yang mempunyai
kesempatan keluar dari kelompok asuransi dengan penyebab menjadi cacat pada
akhir tahun, sedangkan 50 orang yang telah meninggal tidak akan pernah dapat
keluar dari kelompok dengan penyebab menjadi cacat. Contoh faktor penyebab
independent, misal dari 1000 orang dengan usia yang sama, pada permulaan
tahun ada 50 orang meninggal dan 10 orang menjadi cacat. Dengan demikian,
pada permulaan tahun ada 1000 orang mempunyai kesempatan keluar dari
kelompok asuransi dengan penyebab meninggal atau menjadi cacat. Pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
asuransi pensiun penyusutan kelompok dihitung pada permulaan tahun, sehingga
menggunakan faktor penyebab independent (Futami, 1993). Konsep ini tidak lain
adalah konsep indepedensi yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai
berikut :
Definisi 2.3.
Andaikan )1(xd menyatakan banyak orang yang meninggal pada usia x dan
)2(xd menyatakan banyak orang yang menjadi cacat pada usia x . Dua kejadian
)1(xd dan )2(
xd dikatakan independent jika :
( ) ( ) ( ))2()1()2()1(xxxx dPdPddP =∩
Pada keadaan awal kelompok, 0l orang akan mengalami penyusutan
anggota karena lebih dari satu faktor penyebab. Jika penyusutan dari xl orang
terjadi karena faktor penyebab satu maka dinyatakan dengan )1(xd , faktor
penyebab dua dinyatakan dengan )2(xd dan seterusnya sampai faktor penyebab m
yang dinyatakan dengan )(mxd , atau :
( ) ( ) ( ) ∑
=
=+++m
k
kx
mxxx dddd
1
)(21 .....
dengan )(kxd menyatakan banyak orang berusia x yang mengalami penyusutan
karena faktor penyebab ke- k ( )mk ,....,2,1= .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Komponen terpenting dalam menyusun tabel adalah Peluang seseorang
keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia x .
Definisi 2.4.
Peluang seseorang keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia
x adalah :
)(
)()(
Tx
kxk
x ld
q =
dengan )(Txl menyatakan banyak orang yang tetap menjadi anggota kelompok
pada usia x . Muncul nilai )(Txl yang sama, dapat terjadi karena asumsi
independensi (definisi 2.3).
Jika )()( 1 kx
kx qp −= , maka dapat dinyatakan bahwa :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= )(
)()( 1 T
x
kxk
x ld
p
)(
)()()(
Tx
kx
Txk
x ldl
p−
=
dengan )(kxp menyatakan peluang seseorang tetap berada dalam kelompok
karena faktor penyebab ke- k pada usia x .
Jika )(Txd menyatakan jumlahan dari banyak orang yang keluar dari
kelompok karena faktor penyebab ke- k (untuk mk ,.....,2,1= ) pada usia x , atau :
( )∑
=
=m
k
kx
Tx dd
1
)( (2.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
yang kemudian dengan menggunakan persamaan (2.2) maka diperoleh :
)(
)()(
Tx
TxT
x ld
q =
)(1
)(
)(T
x
m
k
kx
Tx l
dq
∑==
∑=
=m
kT
x
kxT
x ld
q1
)(
)()(
∑=
=m
k
kx
Tx qq
1
)()(
dengan )(Txq menyatakan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua
faktor penyebab pada usia x .
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.3) dapat dicari peluang
seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia
x , yaitu :
)(
)()()(
Tx
Tx
TxT
x ldl
p−
=
)(
)(1)(
Tx
TxT
x ll
p +=
Untuk peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua
faktor penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun ( 1>n ) dapat
dinyatakan bahwa:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
)(
)()(
Tx
TnxT
xn ll
p +=
Sedangkan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua faktor
penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun adalah :
)(Txn q )(
)()(
Tx
Tnx
Tx
lll +−
=
D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Multiple Decrement).
Percepatan total penyusutan jamak pada usia x didefinisikan dengan
menggunakan persamaan (2.9) yaitu :
dt
ld TxT
x
)()( ln
−=μ
Kemudian dengan menggunakan persamaan (2.10) dan (2.14) maka dapat
dinyatakan bahwa :
∫
=−
xT
t dtTT
x ell 0
)(
.)(0
)(μ
dan
dtld Ttx
Ttx
Tx
)(1
0
)()( . ++∫= μ
Dengan menggunakan persamaan (2.15) maka didapat :
dtpq Ttx
Txt
Tx
)(1
0
)()(+∫= μ
Untuk 1>n persamaan di atas menjadi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
dtpq Ttx
nT
xtT
xn)(
0
)()(+∫= μ
Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (2.17) dan (2.18) didapat :
∫=
+−n
Ttx dt
Txn ep 0
)(
)(μ
dan
∫
−=+−
nT
tx dtT
xn eq 0
)(
1)(μ
Tingkat penyusutan karena penyebab ke- k dirumuskan dengan
menggunakan definisi 2.1 yaitu :
)(
)()()(
Tx
ktx
kx
kxt
tlll
tq
Δ−
=Δ
Δ+Δ
Jika 0→Δt maka diperoleh percepatan penyusutan )(kxμ (forces of
decrement) yaitu :
tq k
xt
t
kx Δ
= Δ
→Δ
)(
0
)( limμ
)(
)()(
0lim T
x
ktx
kx
t tlll
Δ−
= Δ+
→Δ
tlll
Tx
kx
ktx
t Δ−
−= Δ+
→Δ )(
)()(
0
)(lim
dtdl
l
kx
Tx
kx
)(
)()( 1
−=μ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
⇔ )()()( kx
Tx
kx dldtl −=μ
Persamaan di atas terjadi untuk usia x , sedangkan untuk usia tx + adalah :
)()()( ktx
Ttx
ktx dldtl +++ −=μ
atau
dtdl
lk
txTtx
ktx
)()()( +
++ −=μ
Jika diketahui bahwa )(1
)()( kx
kx
kx lld +−= maka didapat :
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= +
1
0
)()(
dtdl
dk
txkx dt
dtld ktx
Ttx
kx
)(1
0
)()( . ++∫= μ
Kemudian dibagi dengan )(Txl , didapat :
)(
1
0
)()(
)(
)(.
Tx
ktx
Ttx
Tx
kx
l
dtl
ld ∫ ++
=μ
dtllq k
txTx
Ttxk
x)(
1
0)(
)()(
++∫= μ
dtpq ktx
Txt
kx
)(1
0
)()(+∫= μ
Untuk 1>n persamaan di atas menjadi berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
dtpq ktx
nT
xtk
xn)(
0
)()(+∫= μ
Jika dari persamaan (2.16) diturunkan untuk penyusutan k yaitu :
dtn
ktx∫ +
0
)(μ )(ln kxn p−=
yang kemudian diperoleh :
∫
=+−
nk
tx dtk
xn ep 0
)(
)(μ
dan
∫
−=+−
nk
tx dtk
xn eq 0
)(
1)(μ
Jika ∑=
=m
xk
kx
Tx dd )()(
maka begitu juga untuk ∑=
=m
xk
kx
Tx ll )()(
. Sehingga
hubungan antara )(k
xμ dan )(Txμ adalah :
( )
( )
( )
dtdl
l
Tx
Tx
Tx
1−=μ
( )
( ) ( )
dtdldldl
l
mxxx
Tx
)(21 .....1 +++−=
( )
( ) ( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++−=
dtdl
dtdl
dtdl
l
mxxx
Tx
......1 21
( ) ( ) ( )mxxx μμμ +++= ....21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
)(Txμ ∑
=
=m
k
kx
1
)(μ
Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa percepatan penyusutan
yang dikarenakan semua penyebab adalah sama dengan jumlahan dari semua
percepatan penyusutan untuk semua m penyebab.
F. Tingkat Bunga
Perhitungan manfaat pensiun sangat dipengaruhi oleh tingkat bunga, karena
saat dana yang telah terkumpul maka akan segera diinvestasikan dalam waktu
tertentu. Waktu investasi diasumsikan sama dengan waktu yang dibutuhkan untuk
banyaknya kali melakukan pembayaran, misalnya n kali (tahun). Dana yang
diinvestasikan tersebut akan dikembangkan oleh dana pensiun semaksimal
mungkin, sehingga diharapkan dapat mencukupi pemenuhan kewajiban yang
harus dibayarkan kepada peserta program saat mencapai usia pensiun. Pendapatan
bunga dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: bunga tunggal dan bunga majemuk.
Bunga tunggal adalah perhitungan bunga yang hanya didasarkan pada
perbandingan pokok dan jangka investasi. Misal besar pokok R , tingkat bunga
tunggal i , jangka investasi n tahun, maka besar bunga inRI ..= dan total pokok
berikut bunganya untuk n tahun adalah sebesar :
IRRn +=
inRRRn ..+=
).1.( inRRn +=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Bunga majemuk adalah perhitungan bunga dengan besar pokok jangka
investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar
bunga yang diperoleh. Misal besar pokok R , tingkat bunga tunggal i , jangka
investasi n tahun. Pada akhir tahun pertama jumlah bunga dan pokoknya adalah
)1.( iR + dan jumlah tersebut merupakan pokok yang baru pada permulaan tahun
ke dua, atau )1.(1 iRR += . Pada akhir tahun kedua besar bunga menjadi
),1(.. 1 iRiRi += jadi pada akhir tahun kedua besar bunga dengan pokoknya
adalah 2111 )1.()1)(1.()1(. iRiiRiRRiR +=++=+=+ atau dapat dinyatakan
dengan 22 )1.( iRR += . Pada permulaan tahun ketiga diperoleh besar pokok yang
baru yaitu 33 )1.( iRR += . Sehingga dengan jalan yang sama total pokok beserta
bunganya pada akhir tahun ke n atau permulaan tahun ke 1+n yang dinyatakan
dengan nR , adalah :
nn iRR )1.( +=
Untuk mencari besar pokok R , diperoleh dengan merubah persamaan di
atas menjadi berikut :
nn iRR −+= )1(
nRR = .nv (2.20)
dengan 1)1( −+= iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
G. Anuitas (Annuity)
Anuitas adalah serangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang
dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu. Anuitas terbagi atas dua macam
yaitu : Anuitas Tentu (Certain Annuity) dan Anuitas Hidup (Life Annuity).
Anuitas tentu adalah anuitas yang setiap pembayarannya dilakukan tanpa
syarat (pembayaran pasti). Misal diketahui suatu anuitas tentu dengan n kali
pembayaran sebesar Rp.1 yang dilakukan pada tiap akhir tahun. Maka
pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun pertama, kemudian pembayaran
kedua dilakukan pada akhir tahun kedua, dan seterusnya sampai pada akhir tahun
ke n .
Nilai Rp.1 adalah nilai yang sudah termasuk bunga ( )nR , sedangkan dalam
anuitas yang akan dicari adalah nilai tanpa bunga (nilai tunai( R )). Dengan
menggunakan persamaan (2.20) maka nilai tunai dari pembayaran tahun pertama
adalah: vRR .1= maka vvRpR == .1 ,nilai tunai tahun kedua: 22 .vRR =
maka 22.1 vvRpR == dan seterusnya sampai nilai tunai tahun ke- n :
nn vRR .= maka nn vvRpR == .1 . Sehingga nilai tunai keseluruhan ( A )
adalah jumlahan dari pembayaran tahun pertama sampai tahun ke n . Proses
tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :
nvvvA +++= ....2 (2.21)
Pembayaran anuitas dapat dilakukan dengan dua cara yaitu pembayaran
pada awal tahun (anuitas tentu awal) yang dinotasikan sebagai na&& atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
pembayaran pada akhir tahun (anuitas tentu akhir) yang dinotasikan sebagai na .
Selisih antara kedua anuitas adalah satu, atau nnaa += 1&& . Pada pemisalan di
atas yaitu A yang dilakukan pada akhir tahun merupakan anuitas tentu akhir
( naA = ) maka persamaan (2.21) menjadi :
nn
vvva +++= ....2 (2.22)
Anuitas di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama adalah v dan
rasio adalah v yang jumlah deretnya adalah:
iv
iv
v
vvvva
nnnn
n−
=−+
−=
−
−=
−−
=1
1)1(1
111
11( )
Sehingga persamaan (2.22) menjadi berikut :
iva
n
n
−=
1 (2.23)
Untuk anuitas tentu awal yang dinyatakan dengan :
12 ....1 −++++= nn
vvva&& (2.24)
Terlihat bahwa nna
va 1
=&& dengan jumlah deretnya adalah :
na&&iv
viv
v
nn −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
111
Sehingga persamaan (2.24) menjadi berikut :
iv
van
n
−=
1&& (2.25)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Contoh 2.1
Sebuah rumah dibeli dengan uang muka Rp.20.000.000,00 dan cicilan tiap akhir
tahun sebesar Rp. 5.000.000,00 selama 20 tahun ( %5=i ). Berapa harga rumah
bila dibeli secara tunai?
Jawab :
Dengan mempergunakan persamaan (2.23) maka nilai tunai dari cicilan selama 20
tahun, adalah :
Rp. 000.000.5 ,00 20a = Rp.5.000.000,00 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− −
05,0)05,01(1 20
= Rp.5.000.000,00 (12,4622)
= Rp.62.311.051,71
Jadi total harga rumah secara tunai adalah:
Rp. 20.000.000,00 + Rp.62.311.051,71 = Rp.82.311.051,71
Anuitas hidup adalah anuitas yang pembayarannya memperhatikan hidup
matinya tertanggung (annuitan) dan pembayaran akan terus berlangsung selama
annuitan masih hidup. Anuitas hidup yang sering digunakan tergantung pada lama
dan waktu pembayaran (awal atau akhir tahun). Anuitas hidup ada dua macam
yaitu: Anuitas Sementara (Berjangka) dan Anuitas Seumur Hidup.
Anuitas sementara adalah pembayaran anuitas yang tidak dilakukan
sepanjang usia tertanggung x , tetapi hanya selama n tahun asal tertanggung
masih hidup. Jika tertanggung yang berusia x meninggal sebelum mencapai usia
nx + , maka pembayaran dianggap selesai.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
nxn
xxx lvlvvlAl +++ +++= ....22
1
x
nxn
xx
llvlvvlA +++ +++
=....2
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= +++
x
nxn
x
x
x
x
ll
vl
lv
ll
vA ....221
xnn
xx pvpvvpA +++= ....22 (2.26)
Nilai tunai anuitas akhir )(A sementara dinyatakan dengan nxa
:&& dan nilai tunai
anuitas awal sementara dinyatakan dengan nxa
: . Dengan pemikiran yang sama
pada anuitas seumur hidup hanya bedanya pembayarannya dibatasi sampai n
tahun dan 1::1
−+=
nxnxaa&& . Persamaan (2.26) digunakan untuk menentukan nilai
tunai anuitas akhir sementara yaitu :
xt
n
t
tnx
pva ∑=
=1
: (2.27)
dan nilai tunai anuitas awal sementara :
∑−
=
+=1
1: 1
n
txt
tnx pva&&
xt
n
t
tnx pva ∑
−
=
=1
0:&& (2.28)
Cara yang lebih sederhana dalam penghitungan disebut dengan komutasi.
Misal xx
x lvD = dan wxxxx DDDDN ++++= ++ ....21 , maka persamaan
(2.27) dan (2.28) dapat dinyatakan menjadi berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
x
nxn
xxnx l
lvlvvla +++ +++=
....22
1:
=x
xnx
nxx
xx
x
lvlvlvlv +
++
++
+ +++ ....22
11
=x
nxxx
DDDD +++ +++ ....21
nxa
: =x
nxx
DNN 11 +++ −
(2.29)
dan
1:: 1−
+= nxnx aa&&
=x
nxx
DNN 111 +++ −
+
=x
nxxx
DNND ++ −+ 1
nxa
:&& =
x
nxx
DNN +−
(2.30)
Contoh 2.2
Pada usia 55 tahun, Tono mempunyai dua pilihan yaitu: menerima
Rp.30.000.000,00 dari suatu perusahaan asuransi yang akan membungakannya
dengan tingkat bunga 4% setahun, dan dia akan menerima dengan cara tentu tiap
permulaan tahun selama 30 tahun (anuitas tentu selama 30 tahun) atau
membiarkan uangnya pada perusahaan tersebut dan menerima sejumlah uang
yang sama besarnya tiap permulaan tahun selama 30 tahun bila dia masih hidup
(anuitas hidup). Hitunglah besar penerimaan Tono tersebut setiap tahun dalam
kedua hal. Bila ternyata dia meninggal tepat sebelum mencapai 80 tahun,
berapakah besar uang yang akan diterima Tono ?
Jawab :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Misalkan perusahaan membayar tahunan kepada Tono sebesar B rupiah, maka
dengan menggunakan persamaan (2.25) dan Tabel II Lampiran didapat :
(a) Nilai tunai anuitas awal tentu selama 30 tahun :
B 30a&& =Rp.30.000.000,00
B =30
00,000.000.30.a
Rp&&
B =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− −
)04,1)(04,0()04,01(1
00,000.000.30.30
Rp
B =9837,17
00,000.000.30.Rp
B = Rp.1.668.175,937
Bila ternyata dia meninggal sebelum berusia 80 tahun maka pembayaran
masih tersisa 5 kali (5 tahun). Nilai tunai sisa pembayaran ini adalah :
Rp.1.668.175,937 . 5a&& = Rp.1.668.175,937 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− −
)04,1)(04,0()04,01(1( 5
= Rp.7.723.479,804
(b) Dengan menggunakan persamaan (2.30) didapat besar pembayaran tahunan
untuk anuitas hidup awal sementara pada usia 55 tahun untuk jangka waktu
30 tahun adalah :
B 30:55a&& = 00,000.000.30.Rp
30:55
00,000.000.30.a
RpB&&
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
B =
55
8555
00,000.000.30.
DNN
Rp−
B = 00,000.000.30.Rp ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 8555
55
NND
B = Rp. 2.356.081,41
Sedangkan anuitas seumur hidup adalah anuitas yang pembayarannya
dilakukan sepanjang usia annuitan (jangka waktu n pada anuitas sementara
diganti dengan xw − ). Misal tiap orang dari sebanyak xl menyerahkan sejumlah
A rupiah ke suatu perusahaan. Pada saat seseorang berusia 1+x maka
perusahaan akan membayar sebesar Rp.1, pada saat seseorang berusia 2+x maka
perusahaan akan membayar sebesar Rp.1 dan seterusnya sampai semua orang dari
xl meninggal. Sehingga dana yang terkumpul di perusahaan adalah xAl rupiah.
Nilai tunai pada tahun pertama : vRR .1= maka vlRpR x ).1( 1+= vlx .1+= , nilai
tunai pada tahun kedua : 22 .vRR = maka 2
22
2 ).1( vlvlRpR xx ++ == sampai nilai
tunai pada tahun ke xw − : xwxw vRR −
−= . maka xww vlRpR −= ).1( xw
w vl −= .
Jika semua nilai tunai dijumlahkan maka diperoleh A , yaitu :
wxw
xxx lvlvvllA −++ +++= ..... 2
21
x
wxw
xx
llvlvvl
A−
++ +++=
....22
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −++
x
wxw
x
x
x
x
ll
vl
lv
ll
vA ....221
xxwxw
xx pvpvvpA −−+++= ....2
2 (2.31)
Nilai A tersebut merupakan anuitas akhir seumur hidup karena pembayaran
dilakukan tiap akhir tahun ( xa ) yang berselisih satu dengan anuitas awal seumur
hidup ( xa&& ) atau 11 −+= xx aa&& . Sehingga persamaan (2.31) disebut nilai tunai
akhir seumur hidup yaitu :
xxwxw
xxx pvpvvpa −−+++= .....2
2
xa ∑−
=
=xw
txt
t pv1
(2.32)
Kemudian untuk nilai tunai awal seumur hidup adalah :
xa&& ∑−−
=
+=1
11
xw
txt
t pv
xxwxw
xxx pvpvvpa 11
22 .....1 −−
−−++++=&&
∑−−
=
=1
0
xw
txt
tx pva&& (2.33)
Misal xx
x lvD = dan wxxxx DDDDN ++++= ++ ....21 , maka persamaan
(2.32) dan (2.33) menjadi berikut :
xxwxw
xxx pvpvvpa −−+++= ....2
2
x
x
x
wxw
xx
vv
llvlvvl⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +++=
−++ ....2
21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
x
xw
wx
xx
x
lvlvlvlv +++
= ++
++ ....2
21
1
=x
wxx
DDDD +++ ++ ....21
xa =x
x
DN 1+
dan
xa&& =x
x
DN 11 ++
=x
xx
DND 1++
xa&& =x
x
DN
(2.34)
Tabel komutasi yang digunakan dalam contoh-contoh berikut adalah Tabel
Komutasi Indonesia 1993 ( %4=i ).
Contoh 2.3
Hitunglah nilai tunai suatu anuitas awal seumur hidup dengan pembayaran
Rp.600.000,00 setahun untuk seseorang pada saat usia 20 tahun dan 60 tahun !
Jawab :
Dengan menggunakan persamaan (2.34) maka :
(i) Nilai tunai pada saat 20=x adalah :
Rp.600.000,00 20a&& = Rp.600.000,00 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
20
20
DN
= Rp. 12.972.182,75
(ii) Nilai tunai pada saat 60=x adalah :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Rp.600.000,00 60a&& = Rp.600.000,00 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
60
60
DN
= Rp. 6.722.394,49
Perhatikan bahwa premi tunggal bersih untuk orang yang berusia 20 tahun, lebih
tinggi (mahal) dibandingkan dengan orang yang berusia 60 tahun, karena hidup
orang yang berusia muda dianggap lebih lama dari orang yang berusia tua,
sehingga orang yang berusia 20 tahun akan menerima anuitas yang lebih besar.
H. ASURANSI JIWA
Pada dasarnya asuransi jiwa merupakan usaha kerjasama (koperasi) dari
sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi suatu
musibah terhadap salah seorang anggotanya. Usaha kerjasama ini dilakukan
melalui suatu perusahaan asuransi. Perusahaan yang besar dengan pemegang
saham yang banyak maka akan mudah mengatasi pembayaran santunan asuransi
(claim) kepada pewaris anggotanya yang meninggal. Setiap orang yang
mengasuransikan jiwanya pada suatu perusahaan asuransi berarti sepakat terhadap
suatu kontrak tertulis antara tertanggung dengan perusahaan tersebut. Isi kontrak
adalah besar premi yang harus dibayar tertanggung ke perusahaan beserta jadwal
pembayaran, dan besar claim yang akan diterima tertanggung bila terjadi suatu
musibah. Kontrak tersebut sering disebut sebagai polis asuransi. Besar claim
tergantung atas tiga hal penting, yaitu : peluang meninggal ( xq ), tingkat bunga
( i ), dan biaya operasional.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Dana yang sudah terkumpul dari pembayaran premi oleh para pemegang
polis diinvestasikan dengan tingkat bunga tertentu, dan sebagian dari bunga
tersebut merupakan milik para pemegang polis. Setiap perusahaan asuransi tidak
dapat bekerja tanpa biaya operasional, antara lain: biaya pegawai untuk
mengeluarkan polis, mengadministrasikan polis dan membayarkan claim, biaya
untuk membayar pajak, komisi, dan sebagainya. Dalam skripsi ini biaya
operasional tidak ikut dibahas, tetapi hanya memperhatikan peluang meninggal
dan tingkat bunga. Premi yang dihitung tanpa memperhitungkan faktor biaya
disebut premi bersih (net premi). Premi dapat dibayarkan sekaligus disebut premi
tunggal, dapat juga seumur hidup (premi tahunan seumur hidup), dan dapat juga
selama jangka tertentu (premi tahunan berjangka). Jika pemegang polis meninggal
sebelum berakhir jangka waktu pembayaran maka dianggap pembayaran telah
selesai.
1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal
a. Asuransi Berjangka
Asuransi berjangka merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana.
Dalam kontrak ini uang santunan asuransi (claim) akan dibayarkan perusahaan
kepada pewaris pemegang polis bila pemegang polis meninggal dalam jangka
waktu tertentu (jangka waktu polis). Untuk perhitungan yang lebih sederhana,
jangka waktu dihitung untuk satu tahun. Tingkat bunga dianggap stabil untuk
setiap tahunnya.
Andaikan ada sebanyak xl orang pemegang polis, menyerahkan premi
tunggal bersih sebesar Z rupiah ke suatu perusahaan asuransi dan tiap akhir tahun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
akan dibayarkan Rp.1 kepada tiap pewaris dari tertanggung yang meninggal. Jika
ternyata tertanggung mampu hidup mencapai usia 1+x maka claim tidak akan
dibayarkan. Sehingga sekarang dana di perusahaan ada sebanyak xZl rupiah.
Banyaknya yang meninggal dalam interval waktu setahun adalah sebanyak xd ,
maka dana yang dikeluarkan perusahaan pada akhir tahun sebesar Rp.1( xd ) atau
xd rupiah. Bila dana yang terkumpul di perusahaan dikenai bunga, maka dana
yang ada di perusahaan pada akhir tahun pertama ada sebanyak :
)1( iZld xx +=
)1( il
dZ
x
x
+=
x
x
ld
vZ .=
Misalkan 1:nx
A adalah nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih
asuransi sebesar Rp.1 untuk seseorang yang berusia x selama interval waktu n
tahun. Bila seseorang yang berusia x meninggal sebelum usia nx + , maka
kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp.1 pada akhir tahun orang tersebut
meninggal. Tetapi bila orang tersebut mampu hidup mencapai usia nx + , maka
orang tersebut tidak akan mendapat claim. Bila seseorang yang berusia x
meninggal pada akhir tahun pertama, maka nilai tunainya adalah x
x
ld
v. . Bila
seseorang yang berusia x meninggal pada akhir tahun kedua, nilai tunainya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
adalah x
x
ld
v 12 . + , dan bila seseorang yang berusia x meninggal pada akhir tahun
ke n , maka nilai tunainya adalah x
nxn
ld
v 1. −+ . Sehingga keseluruhan nilai tunainya
adalah :
1:nx
Ax
nxn
x
x
x
x
ld
vl
dv
ld
v 112 ... −++ +++= (2.35)
1:nx
Ax
txn
t
t
ld
v +−
=
+∑=1
0
1 (2.36)
Jika menggunakan simbol komutasi yang didapat dengan cara mengalikan
pembilang dan penyebut dengan xv , maka dari persamaan (2.35) didapat :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++= −++
x
x
x
nxn
xxnx v
vl
dvdvvdA 11
21:
...
x
xnx
nxx
xx
x
nx lvdvdvdv
A 1121
1:
... −++
+++ +++
=
Jika xxx Cdv =+1 dan xwxxx MCCCC =++++ ++ ...21 maka :
1:nx
A x
nxxx
DCCC 11 ... −++ +++
=
1:nx
A x
nxx
DMM +−
= (2.37)
Selain dinyatakan dalam simbol komutasi, persamaan (2.36) dapat juga
dinyatakan dalam bentuk anuitas, yaitu :
1:nx
Ax
txn
t
t
ld
v +−
=
+∑=1
0
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
1:nx
A xt
n
t
t qv∑−
=
+=1
0
1
Sehingga persamaan (2.36) dapat ditulis menjadi :
xnn
xxnx qvqvvqA1
21: ...
−+++=
Akan dibuktikan bahwa : 1:nx
A nxnx aav :: )( −= &&
Bukti :
1:nx
A )(...)()1( 122
xnxnn
xxx ppvppvpv −++−+−= −
xnn
xnn
xxx pvpvpvpvvpv −++−+−= −1222 ...
)...()...( 22
12
xnn
xxxnn
x pvpvvppvpvv +++−+++= −
)...()...1( 221
xnn
xxxnn
x pvpvvppvvpv +++−+++= −
x
n
t
n
tt
txt
t pvpvv∑ ∑−
= =
−=1
0 1
1:nx
A nxnx aav :: )( −= &&
b. Asuransi Seumur Hidup
Asuransi berjangka relatif sederhana dan murah (preminya rendah). Akan
tetapi bila jangka waktu sudah habis maka tertanggung tidak memperoleh apapun
dari perusahaan asuransi. Bila tertanggung mempunyai keinginan
mengasuransikan dirinya terus menerus maka dia harus membeli polis baru karena
kontraknya sudah selesai. Pembelian polis baru akan memakan biaya yang relatif
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
mahal mengingat usianya yang semakin bertambah tua sehingga peluang
meninggal makin tinggi. Asuransi seumur hidup merupakan solusi tepat untuk
mengatasi situasi tersebut, karena lebih murah dan praktis dibandingkan dengan
asuransi berjangka yang bersambung. Uang santunan asuransi (claim) dalam
asuransi seumur hidup pasti akan dibayar oleh perusahaan tanpa mempedulikan
kapan tertanggung meninggal.
Misalkan xA menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari asuransi
seumur hidup sebesar Rp.1 bagi seseorang yang berusia x . Bila seseorang berusia
x meninggal, maka kepada pewarisnya akan dibayarkan Rp.1 pada akhir tahun
orang tersebut meninggal. Dengan cara yang sama pada asuransi berjangka, maka
nilai tunai seluruh pembayaran tiap tahunnya adalah :
=xA x
wxw
x
x
x
x
ldv
ldv
ldv 112 ... +−+ +++ (2.38)
xt
xw
t
tx qvA ∑
−
=
+=0
1
Komutasinya didapat dari mengalikan persamaan (2.38) dengan x
x
vv
, yaitu :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
+−+
x
x
x
wxw
xxx v
vl
dvdvvdA1
12 ...
=x
xw
wx
xx
x
lvdvdvdv 1
121 ... +
+++ +++
x
wxx
DCCC +++
= + ...1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
x
xx D
MA = (2.39)
Contoh 2.4.
Tono pada saat berusia 50 tahun, membeli polis asuransi jiwa dengan claim
sebesar Rp.50.000.000,00 ( )%4=i jika :
a) Tono membeli polis asuransi berjangka selama 15 tahun. Dengan
menggunakan persamaan (2.37) maka besar premi yang harus dibayarkan
adalah :
Rp.50.000.000,00 =115:50
A Rp.50.000.000,00 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
50
6550
DMM
= Rp.8.773.969,98
b) Tono membeli polis asuransi seumur hidup. Dengan menggunakan persamaan
(2.39) maka besar premi yang harus dibayarkan adalah :
Rp.50.000.000,00 =50A Rp.50.000.000,00 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
50
50
DM
=Rp.21.946.654,15
Selain dengan komutasi, persamaan (2.38) dapat juga dinyatakan dalam
bentuk anuitas.
Akan dibuktikan bahwa : xA xx aav −= )( &&
Bukti :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Jika xn q ∑−
=
=1
1
|n
txt q maka persamaan (2.38) dapat dinyatakan dengan :
xxwxw
xxxx qvqvqvvqA |...| 1232
−−−++++=
Selanjutnya diperoleh berikut :
xA ...)()1( 22 +−+−= xxx ppvpv + ( )xxwxxw
xw ppv −−−− −1
xxwxw
xxwxw
xxx pvpvpvpvvpv −−
−−− −++−+−= 12
22 ...
)...()...( 22
12
xxwxw
xxxxwxw
x pvpvvppvpvv −−
−−− +++−+++=
)...()...1( 22
11
22
xxwxw
xxxxwxw
xx pvpvvppvpvvpv −−
−−−− +++−+++=
x
xw
t
xw
tt
txt
t pvpvv ∑ ∑−−
=
−
=
−=1
0 1
xA xx aav −= )( &&
2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan
Jika pembayaran dilakukan secara tahunan, maka perhitungan harus
didasarkan pada prinsip equality, yaitu : Nilai tunai premi yang akan datang =
nilai tunai claim yang akan datang. Alasan perusahaan asuransi memberlakukan
prinsip equality adalah untuk menghindari terjadinya kerugian salah satu pihak.
Jika keseluruhan pembayaran premi lebih besar dari besar claim yang diterima
maka pemegang polis akan merasa rugi, begitu juga sebaliknya.
Misal suatu claim asuransi seumur hidup ( xA ) sebesar Rp.1 dengan premi
tahunan yang dibayarkan tiap awal tahun ( xa&& ). Jika premi tahunan sebesar P ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
maka menurut prinsip equality harus dicari nilai P sampai diruas kiri didapatkan
Rp.1 yaitu:
xx ARpaP )1.(. =&&
x
x
aA
P&&
= (2.40)
Contoh 2.5.
Dari contoh 2.4 (b) Tono (50) ternyata merasa keberatan dengan pembayaran
premi tunggal sebesar Rp.21.946.654,15 untuk mendapatkan claim sebesar
Rp.50.000.000,00. Kemudian ia memutuskan untuk membeli polis asuransi
seumur hidup dengan premi tahunan. Dengan menggunakan persamaan (2.40)
maka besar premi yang harus dibayarkan adalah :
50
15,654.946.21.a
RpP&&
=
50
50
15,654.946.21.
DN
RpP =
=P Rp 1.504.458,84
Asuransi berjangka dengan pembayaran premi tahunan adalah suatu
kontrak asuransi untuk jangka waktu n tahun, dengan pembayaran preminya
sebanyak n kali. Menurut prinsip equality maka didapat :
1::. nxnx AaP =&&
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
nx
nx
aA
P:
1:
&&= (2.41)
Contoh 2.6
Dari contoh 2.4 (a) Tono (50) memutuskan membeli polis asuransi jiwa secara
tahunan dengan jangka waktu 15 tahun. Dengan menggunakan persamaan (2.41)
maka besar premi yang harus dibayarkan, adalah :
=P Rp.21.946.654,15 15:50
115:50
aA&&
=P Rp.21.946.654,15 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
6550
6550
NNMM
=P Rp.362.802,82
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
BAB III
ASURANSI PENSIUN HARI TUA
A. Dana Pensiun
Dana pensiun adalah lembaga perantara keuangan yang menjembatani saat
seseorang mengalami peningkatan penghasilan (usia produktif) dan penurunan
penghasilan (usia tua), sehingga kehidupan di masa tuanya akan terjamin
secara finansial (Wijayanto dkk,2001). Atau dapat dikatakan bahwa dana pensiun
merupakan penyelenggara program pensiun di suatu perusahaan. Sebagai lembaga
perantara keuangan, dana pensiun secara aktif memobilisasi dana para pegawai
melalui pengumpulan iuran pensiun dari anggota, dan melakukan investasi (misal
di pasar keuangan) untuk mengembangkan dana yang terkumpul agar kelak dana
yang dimiliki mencukupi untuk membayar manfaat pensiun masing-masing
anggota.
Ada tiga fungsi dana pensiun yaitu : fungsi tabungan, fungsi asuransi dan
fungsi pensiun. Fungsi tabungan berarti dana pensiun bertugas mengumpulkan
dan mengembangkan dana. Dana yang terkumpul merupakan akumulasi dan iuran
pemberi kerja/perusahaan dan pegawai, yang diberlakukan seperti tabungan.
Fungsi asuransi berarti dana pensiun bertugas membayarkan manfaat pensiun
kepada peserta program baik yang mengalami cacat atau meninggal sebelum atau
sesudah memasuki usia pensiun yang besarnya sesuai dengan yang dijanjikan
dalam peraturan dana pensiun (UU No. 11 tahun 1992). Fungsi pensiun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
berarti dana pensiun memberi jaminan kelangsungan pendapatan dalam bentuk
pembayaran secara berkala seumur hidup setelah mencapai usia pensiun.
Faktor yang paling menentukan dalam asuransi pensiun hari tua adalah usia
pensiun atau batas usia minimum penerima manfaat pensiun. Usia pensiun di tiap
negara berbeda-beda, hal tersebut menunjukkan bahwa konsepsi hari tua tidak
semudah yang dibayangkan (K.Soentonoe,1982). Dalam survei yang
diselenggarakan ILO (International Labour Organization) terhadap 84 negara
pada tahun 1967 diperoleh distribusi usia pensiun sebagai berikut :
Usia
Usia
Pria Wanita
Jumlah Negara
Pria Wanita
Jumlah Negara
70 70 2 63 60 168 68 1 62 57 267 67 2 60 60 1567 62 1 60 55 1965 65 15 55 55 865 62 1 55 50 365 60 13 50 50 1
Kriteria yang dipergunakan untuk menentukan usia pensiun adalah :
1) Harapan hidup
2) Keadaan fisik tenaga kerja
3) Keadaan kesempatan kerja
4) Biaya penyelenggaraan
5) Struktur keluarga
Usia pensiun normal baik pegawai negeri maupun pegawai swasta adalah 56
tahun, akan tetapi dana pensiun tidak berkeberatan jika pegawai bersangkutan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
bekerja lebih lama, misal bekerja sampai usia 60 tahun (Peraturan Pensiun No 32 /
tahun 1979).
Penyusutan jumlah pegawai pada suatu perusahaan yang diakibatkan lebih
dari satu faktor penyebab digambarkan melalui sebuah tabel penyusutan jamak
atau yang disebut dengan Tabel Pelayanan (Service Table). Tabel tersebut terbagi
menjadi dua bagian. Bagian pertama memperlihatkan penyusutan kelompok dari
usia masuk kerja (misal 26 tahun) sampai sebelum usia pensiun (misal 55 tahun)
dengan tiga faktor penyebab, yaitu: kematian (mortality), cacat/sakit permanen
(disability) dan keluar secara sukarela (withdrawal). Sedangkan, bagian kedua
memperlihatkan penyusutan kelompok dari usia normal pensiun sampai usia pasti
pensiun (misal 56-60 tahun) dengan dua faktor penyebab, yaitu: kematian dan
pensiun (retirement).
B. Tabel Pelayanan (Services Table).
Secara keseluruhan tabel pelayanan menggambarkan penyusutan anggota
kelompok yang diakibatkan oleh empat faktor penyebab. Jika )(Txd menyatakan
banyak peserta aktif yang berhenti kerja pada usia x karena semua faktor
penyebab, dengan menggunakan persamaan (2.19) didapat :
( ) ( ) ( ) )(4)3(21 Txxxxx ddddd =+++ (3.1)
dengan )1(xd adalah banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena meninggal
pada usia x , )2(xd adalah banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
cacat/sakit pada usia x , )3(xd banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena
keluar sukarela pada usia x , )4(xd banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena
telah mencapai usia pensiun pada usia x .
Diketahui bahwa: ( ) ( ) ( )Tx
Tx
Tx dll −=+1 maka dengan menggunakan persamaan
(3.1) banyak peserta aktif untuk satu tahun berikutnya adalah :
( ) )4()3()2(1)()(1 xxxx
Tx
Tx ddddll −−−−=+
dengan peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor
penyebab pada usia x , yaitu:
)(
)(1)(
Tx
TxT
x ll
p +=
( )
)(
)4()3()2(1)(
Tx
xxxxT
x
lddddl −−−−
=
( )
)(
)4(
)(
)3(
)(
)2(
)(
1
1 Tx
xT
x
xT
x
xT
x
x
ld
ld
ld
ld
−−−−=
Dan peluang keluar dari kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x
adalah :
)(
)()(
Tx
TxT
x ld
q =
Untuk tabel pelayanan bagian pertama, faktor )4(xd tidak ada maka banyak
peserta untuk satu tahun berikutnya adalah :
( ) )3()2(1)()(1 xxx
Tx
Tx dddll −−−=+
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
( )
)(
)3(
)(
)2(
)(
1)( 1 T
x
xT
x
xT
x
xTx l
dld
ldp −−−=
Dan
)(
)4()()(
Tx
xT
xTx l
ddq
−=
Untuk tabel pelayanan bagian kedua, )2(xd dan )3(
xd tidak ada maka banyak
peserta untuk satu tahun berikutnya adalah :
( ) )4(1)()(1 xx
Tx
Tx ddll −−=+
dengan
( )
)(
)4(
)(
1)( 1 T
x
xT
x
xTx l
dldp −−=
Dan
)(
)3()2()(
Tx
xxTx l
ddq
+=
C. Jenis Manfaat Pensiun
Manfaat pensiun adalah pembayaran berkala yang dilakukan oleh dana
pensiun kepada peserta program yang telah mencapai usia pensiun dalam jangka
panjang untuk menghadapi risiko hari tua, cacat dan kematian pada saat dan
dengan cara yang ditetapkan dalam Peraturan Dana Pensiun (UU No.11 Th.1992).
Dengan demikian manfaat pensiun tidak hanya menjamin hari tua yaitu kehidupan
setelah mencapai batas usia tertentu, tetapi pensiun juga menjamin jika terjadi
cacat tetap-total sebelum batas usia pensiun atau disebut hari tua prematur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
(premature old age), dan jika meninggal sebelum batas usia pensiun atau disebut
sebagai kematian prematur (premature death).
Sesuai Peraturan Pensiun, manfaat pensiun bagi peserta program terdiri dari :
1. Manfaat Pensiun Normal (MPN) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang
mulai dibayarkan pada saat peserta mencapai usia pensiun normal.
2. Manfaat Pensiun Dipercepat (MPD) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang
dibayarkan bila peserta pensiun pada usia tertentu sebelum usia pensiun
normal .
3. Manfaat Pensiun Cacat (MPC) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang di
bayarkan bila peserta mengalami cacat/sakit permanen.
4. Pensiun Ditunda (PD) adalah hak atas manfaat pensiun bagi peserta yang
berhenti bekerja sebelum mencapai usia pensiun normal yang ditunda
pembayarannya sampai pada saat peserta pensiun sesuai dengan peraturan
dana pensiun.
Hal tersebut mencerminkan salah satu fungsi program pensiun yaitu fungsi
asuransi, fungsi yang memberikan jaminan kepada peserta untuk menutupi resiko
kehilangan pendapatan (Subardi & Dwiarto, 1996).
Program pensiun oleh dana pensiun dapat dibedakan menjadi dua, yaitu :
Program Pensiun Manfaat Pasti/PPMP (Defined Benefit Plan) dan Program
Pensiun Iuran Pasti/PPIP (Defined Contribution Plan). PPMP adalah program
pensiun yang manfaatnya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun atau program
pensiun lain yang bukan merupakan PPIP. Sedangkan PPIP adalah program
pensiun yang iurannya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun dan seluruh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
iuran serta hasil pengembangannya dibukukan pada rekening masing-masing
peserta sebagai manfaat pensiun. Untuk selanjutnya manfaat pensiun dan program
pensiun yang dimaksud adalah MPN dan PPMP, dan manfaat pensiun cukup
disebut dengan manfaat (benefit).
D. Fungsi Manfaat
Manfaat pasti (defined benefit) berarti besar manfaat yang akan datang
(anuitas) sudah ditentukan terlebih dahulu, baru kemudian setiap tahun dilakukan
perhitungan iurannya (contribution). Iuran peserta yang dibayarkan setiap awal
tahun dalam asuransi disebut premi bersih tahunan. Dana pensiun melakukan
perhitungan manfaat pensiun berdasarkan pada prinsip equality, yaitu : nilai tunai
iuran (premi) yang akan datang = nilai tunai manfaat (santunan) yang akan datang.
Ada tiga hal penting yang digunakan untuk menentukan besar manfaat yang akan
datang, yaitu:
1) Masa kerja.
Penentuan besar manfaat tidak ada hubungannya dengan besar gaji
pegawai, namun masa kerja pegawai yang bersangkutan. Misal x adalah usia
pegawai masuk menjadi peserta program pensiun (misal 26 tahun) dan r adalah
usia pensiun peserta program (misal 56 tahun), maka masa kerja pegawai adalah
30=t .
Sesuai prinsip equality nilai kumulatif dari nilai tunai premi yang dibayarkan
yaitu jumlahan nilai tunai iuran dari usia x sampai 1−r harus sama dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
jumlahan nilai tunai manfaat (U ) yang dibagikan kepada peserta program pensiun
selama seumur hidup. Pernyataan tersebut dapat dirumuskan dengan :
)(
1
0
Ttx
xr
t
tlvP +
−−
=∑ )(. T
rxr
r lvaU −= && (3.3)
Menggunakan persamaan (2.28), maka nilai tunai anuitas awal sementara untuk
semua faktor penyebab adalah :
)(
1
0
)(:
Txt
txr
t
Txrx
pva ∑−−
=−=&&
Untuk komutasinya, digunakan persamaan (2.30) yaitu :
)(::T
xrxa−
&& = )(
)()(
Tx
Tr
Tx
DNN −
Jika persamaan (3.3) dibagi dengan )(Txl maka didapat berikut :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−−
=∑ )(
)(1
0T
x
Ttx
xr
t
t
llvP ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
)(
)(
. Tx
Trxr
r llvaU &&
)(1
0
Txt
xr
t
t pvP∑−−
=
)(. Txxr
xrr pvaU −
−= &&
)(:. T
xrxaP−
&& )(.. Txxr
xrr pvaU −
−= && (3.4)
Sehingga preminya adalah :
)(:
)(.T
xrx
Txxr
xrr
apvaUP
−
−−
=&&
&&
Misal )()( Tx
xTx lvD = dan )()(
1)()( ... T
rT
xT
xT
x DDDN +++= + maka :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
)(:
)(
)(
.
Txrx
Tx
Tr
x
rr
all
vvaU
P−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=&&
&&
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
)(
)()(
)(
)(
.
Tx
Tr
Tx
Tx
Tr
r
DNN
DDaU
P&&
)()(
)(..T
rT
x
Trr
NNDaUP−
=&&
(3.5)
Dengan menggunakan persamaan (2.34), jika rx = maka didapat :
)(
)(
Tr
Tr
r DNa =&&
Kemudian disubstitusikan ke persamaan (3.5) maka diperoleh :
)()(
)(.T
rT
x
Tr
NNNU
P−
= (3.6)
2) Rata-rata gaji per tahun selama masa kerja ( )xr − .
Penentuan besar manfaat berkaitan dengan tingkat kenaikan gaji setiap
tahunnya. Hubungan antara usia dengan gaji pegawai merupakan suatu fungsi
yang monoton naik, karena semakin bertambah usia pegawai besar gaji yang
diperoleh semakin meningkat (premi asuransipun ikut meningkat).
Definisi 3.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Jika xs menyatakan gaji tahunan pada usia x , maka gaji t tahun berikutnya
adalah :
∑=
−++ =t
iixtx sS
11
dengan xrt −= ,...,2,1
Definisi 3.2.
Rata-rata gaji tahunan didefinisikan dengan :
( )xrS tx
−+
Definisi 3.3.
Andaikanβ adalah tingkat manfaat tahunan yang telah ditetapkan perusahaan.
Manfaat didefinisikan sebagai hasil kali antara rata-rata gaji tahunan
dengan β ( )xr − , atau :
( )xrxr
SV tx −
−= + β
)(
txSV += .β
Definisi 3.4.
Gaji pada saat usia pensiun ( r ) adalah rS . Sehingga manfaat yang diperoleh
adalah :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
β=V rS
Definisi 3.5.
Nilai tunai anuitas hidup awal sementara yang dipengaruhi oleh rata-rata gaji
tahunan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
x
tx
ss
dengan subscript s adalah indeks, didefinisikan dengan :
)(
1
0
)(:
. Txt
txr
t x
txTxrx
s pvs
sa ∑
−−
=
+−=&&
Atau
)(
)(1
0
)(: . T
x
Ttxt
xr
t x
txTxrx
s
llv
ssa +
−−
=
+− ∑=&&
Kemudian ruas kanan persamaan di atas dikalikan dengan x
x
vv
:
x
x
Tx
Ttxt
xr
t x
txTxrx
s
vv
llv
ssa .. )(
)(1
0
)(:
+−−
=
+− ∑=&&
)(
)(1
0
)(: . T
xx
Ttx
txxr
t x
txTxrx
s
lvlv
ssa +
+−−
=
+− ∑=&&
Misal )()( Tx
xTx lvD = dan )()( T
txtxT
tx lvD ++
+ = maka didapat komutasinya, yaitu :
)(
)(1
0
)(:
. Tx
Ttx
xr
t x
txTxrx
s
DD
ss
a +−−
=
+− ∑=&&
Andaikan α adalah tingkat premi tahunan, atau dapat dinyatakan dengan :
xsP .α= (3.7)
Dengan menggunakan persamaan (3.4) maka prinsip equality-nya menjadi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
)()(: .. T
xxrxr
rT
xrxs
x pvaVas −−
−= &&&&α
Dengan demikian tingkat preminya adalah :
xrxs
x
Txxr
xrr
aspvaV
−
−−
=:
)(
..
&&
&&α
dan komutasinya yaitu :
∑
−−
=
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=1
0)(
)(
)(
)(
)(
)(
.
.
xr
tT
x
Ttx
x
txx
Tx
Tr
Tr
Tr
DD
sss
DD
DNV
α
∑
−−
=++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=1
0
)()(
)(
)(
..11
.
xr
t
TtxtxT
xxx
Tx
Tr
DsDs
s
DNV
α
∑−−
=++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= 1
0
)(
)()(
)(
.
.
xr
t
Ttxtx
TxT
x
Tr
Ds
DDNV
α
∑
−−
=++
= 1
0
)(
)(
.
.xr
t
Ttxtx
Tr
Ds
NVα (3.8)
3. Rata-rata gaji per tahun untuk f tahun terakhir (misal 5 tahun) sebelum
pensiun.
Gaji terakhir pegawai digunakan sebagai penentu (patokan) besar perolehan
manfaat, karena jika menggunakan gaji tahun-tahun sebelumnya yang nilainya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
lebih kecil, maka akan terjadi ketidakseimbangan iuran dengan manfaat yang akan
datang.
Definisi 3.6.
Rata-rata gaji f tahun terakhir didefinisikan dengan :
f
sxr
fxrttx∑
−−
−−=+
1
Definisi 3.7.
Andaikan γ menyatakan tingkat manfaat tahunan yang ditetapkan oleh
perusahaan. Manfaat didefinisikan sebagai hasil kali antara rata-rata gaji f tahun
terakhir dengan γ ( )xr − , atau :
( )xrsf
Wxr
fxrttx −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑
−−
−−=+ γ
11
)(1 1 1
xrssf
Wxr
xt
xr
frttxtx −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∑ ∑
−−
=
−−
−=++ γ
( )fSS
xrW frr −−−= γ (3.9)
Dengan menggunakan persamaan (3.8) maka besar premi adalah :
xrxs
x
Txxr
xrr
aspvaW
−
−−
=:
)(
..
&&
&&α
dan komutasinya yaitu :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
∑
−−
=++
= 1
0
)(
)(
.
.xr
t
Ttxtx
Tr
Ds
NWα (3.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
BAB IV
PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN HARI TUA
Seorang pegawai suatu perusahaan, masuk menjadi peserta program pensiun
pada usia 26 tahun. Gaji permulaan tahunnya sebesar Rp. 500.000,00, dengan
asumsi kenaikan gaji 5% setiap tahunannya. Pegawai tersebut diharuskan
membayar iuran setiap tahun (premi tahunan) untuk mendapat manfaat pensiun
sebesar 75% dari gaji tahunannya. Jika pegawai tersebut pensiun di usia 56 tahun.
Akan dicari besar premi tahunan yang harus dibayarkan kepada dana pensiun.
Jika x adalah usia masuk menjadi peserta program pensiun, r adalah usia
pensiun peserta dan xs adalah gaji tahunan pada usia x , maka tabel gajinya
adalah :
x xs 26 50000027 52500028 55125029 57881330 60775331 63814132 67004833 70355034 73872835 77566436 81444737 85517038 89792839 94282540 98996641 103946442 109143743 114600944 120331045 126347546 132664947 1392981
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
48 146263049 153576250 161255051 169317752 177783653 186672854 196006555 2058068
Perhitungan besarnya premi menurut :
1. Masa kerja
Jika diketahui besar manfaat : =U Rp.800.000,00
Dengan menggunakan persamaan (3.6) besarnya premi adalah :
)(56
)(26
)(56.
TT
T
NNNUP−
=
=P Rp. 6.731,34
2. Rata-rata gaji per tahun dengan masa kerja 30 tahun.
Dengan menggunakan definisi 3.4 didapat manfaat :
%75=V x 56S
%75=V x Rp. 33.219.424,00
=V Rp.24.914.568,00
Dengan menggunakan persamaan (3.8) didapat tingkat premi :
∑=
++
= 29
0
)(2626
)(56
.
.
t
Ttt
T
Ds
NVα
=α 0,30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Sehingga didapat tabel premi berikut :
x xs Premi
(30% x xs ) 26 500000 149736,72 27 525000 157223,56 28 551250 165084,73 29 578813 173338,97 30 607753 182005,92 31 638141 191106,22 32 670048 200661,53 33 703550 210694,60 34 738728 221229,33 35 775664 232290,80 36 814447 243905,34 37 855170 256100,61 38 897928 268905,64 39 942825 282350,92 40 989966 296468,47 41 1039464 311291,89 42 1091437 326856,48 43 1146009 343199,31 44 1203310 360359,27 45 1263475 378377,24 46 1326649 397296,10 47 1392981 417160,90 48 1462630 438018,95 49 1535762 459919,90 50 1612550 482915,89 51 1693177 507061,69 52 1777836 532414,77 53 1866728 559035,51 54 1960065 586987,28 55 2058068 616336,65
3. Rata-rata gaji per tahun untuk 5 tahun terakhir sebelum pensiun.
Dengan menggunakan persamaan (3.9) didapat manfaat :
=W 0,13 x 30 x Rp.3.722.714,00
=W Rp. 18.613.569,00
Dengan menggunakan persamaan (3.10) didapat tingkat premi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
∑=
++
= 29
0
)(2626
)(56
.
.
t
Ttt
T
Ds
NWα
=α 0,22
Sehingga didapat tabel premi berikut :
x xs Premi
(22% x xs ) 26 500000 111867,67 27 525000 117461,06 28 551250 123334,11 29 578813 129500,81 30 607753 135975,86 31 638141 142774,65 32 670048 149913,38 33 703550 157409,05 34 738728 165279,50 35 775664 173543,48 36 814447 182220,65 37 855170 191331,68 38 897928 200898,27 39 942825 210943,18 40 989966 221490,34 41 1039464 232564,86 42 1091437 244193,10 43 1146009 256402,76 44 1203310 269222,89 45 1263475 282684,04 46 1326649 296818,24 47 1392981 311659,15 48 1462630 327242,11 49 1535762 343604,21 50 1612550 360784,43 51 1693177 378823,65 52 1777836 397764,83 53 1866728 417653,07 54 1960065 438535,72 55 2058068 460462,51
Dari ketiga pilihan perhitungan premi tersebut, terlihat bahwa premi yang
paling rendah adalah pilihan pertama dan premi yang paling tinggi adalah pilihan
kedua. Untuk perusahaan asuransi, pilihan kedua sangat menguntungkan, karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
premi yang tinggi, tetapi memberatkan pesertanya. Sehingga diambil jalan
tengahnya agar kedua pihak saling menguntungkan, yaitu perhitungan premi
menurut pilihan ketiga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
BAB V
KESIMPULAN
Pengertian pensiun hari tua adalah berakhirnya masa kerja seorang pegawai
di tempatnya bekerja, karena telah mencapai usia pensiun. Konsep perhitungan
premi pada asuransi pensiun hari tua tidak terlepas dari konsep asuransi jiwa. Jika
pada asuransi jiwa, seseorang akan mendapat santunan jika dia meninggal, maka
pada asuransi pensiun hari tua, seseorang akan mendapat santunan (manfaat
pensiun) jika dia telah mencapai usia pensiun. Prinsip yang berlaku adalah nilai
tunai premi (iuran) yang akan datang harus sama dengan nilai tunai santunan
(manfaat pensiun) yang akan datang (prinsip equality). Premi dibayarkan secara
berkala selama menjadi peserta aktif program pensiun untuk mendapatkan
santunan yang juga diberikan secara berkala seumur hidup peserta, setelah
mencapai usia pensiun. Perhitungan manfaat pensiun dapat ditentukan oleh salah
satu dari tiga pokok berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa
kerja dan rata-rata gaji pertahun untuk f tahun terakhir sebelum pensiun. Dalam
prakteknya, alternatif ketiga lebih banyak menjadi pilihan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
DAFTAR PUSTAKA Bowers Jr,N.L.,Gerbers,H.U.,Hickman, J.C., Jones, D.A., Nesbitt,C.J. (1997).
Aktuarial Mathematics, Second Edition, The Society of Actuaries, Schaumbers, Illinois.
Futami, T., terj. Herlianto, G. (1988). Matematika Asuransi Jiwa, Edisi Pertama,
The Kyoei Life Insurance.co, LTD, Tokyo, Japan. Futami, T., terj. Herlianto, G. (1993). Matematika Asuransi Jiwa, Edisi Kedua,
The Kyoei Life Insurance.co, LTD, Tokyo, Japan. Kertonegoro,S.(1982). Jaminan Sosial Prinsip dan Pelaksanaannya di Indonesia,
Jakarta. Larson, R.E and Gaumnitz, E.A. (1951). Life Insurance Mathematics, New York
John Wiley and Sons. Inc., London.
Sembiring, RK. (1986). Asuransi I modul 1-5. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta.
Sembiring, RK. (1986). Asuransi I modul 6-9. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta.
Catarya, Indra. (1988). Asuransi II. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta.
Wijayanto, B, Sopater, S, Sucahyo, U.S., Atmojo, W, Kusjadi, Sunaryo, H,
Suwanto, Suyitno, A. (2001). Memahami Dana Pensiun GKJ dan Persoalannya, Dana Pensiun Gereja-gereja Kristen Jawa, Salatiga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
LAMPIRAN
TABEL I
Tabel Mortalita Indonesia 1993
x xl xd xp xq 0 1000000 32230 0,96777 0,03223 1 967770 3523 0,99636 0,00364 2 964247 2526 0,99738 0,00262 3 961721 1933 0,99799 0,00201 4 959788 1632 0,99830 0,00170 5 958156 1514 0,99842 0,00158 6 956642 1473 0,99846 0,00154 7 955169 1375 0,99856 0,00144 8 953794 1249 0,99869 0,00131 9 952545 1086 0,99886 0,00114 10 951459 980 0,99897 0,00103 11 950479 922 0,99903 0,00097 12 949557 912 0,99904 0,00096 13 948645 930 0,99902 0,00098 14 947715 1005 0,99894 0,00106 15 946710 1174 0,99876 0,00124 16 945536 1409 0,99851 0,00149 17 944127 1681 0,99822 0,00178 18 942446 1894 0,99799 0,00201 19 940552 2013 0,99786 0,00214 20 938539 2046 0,99782 0,00218 21 936493 2060 0,99780 0,00220 22 934433 2074 0,99778 0,00222 23 932359 2079 0,99777 0,00223 24 930280 2130 0,99771 0,00229 25 928150 2107 0,99773 0,00227 26 926043 2010 0,99783 0,00217 27 924033 1867 0,99798 0,00202 28 922166 1724 0,99813 0,00187 29 920442 1620 0,99824 0,00176 30 918822 1590 0,99827 0,00173 31 917232 1624 0,99823 0,00177 32 915608 1676 0,99817 0,00183 33 913932 1718 0,99812 0,00188 34 912214 1751 0,99808 0,00192 35 910463 1794 0,99803 0,00197 36 908669 1881 0,99793 0,00207 37 906788 2040 0,99775 0,00225
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
38 904748 2289 0,99747 0,00253 39 902459 2581 0,99714 0,00286 40 899878 2898 0,99678 0,00322 41 896980 3220 0,99641 0,00359 42 893760 3530 0,99605 0,00395 43 890230 3837 0,99569 0,00431 44 886393 4139 0,99533 0,00467 45 882254 4473 0,99493 0,00507 46 877781 4854 0,99447 0,00553 47 872927 5290 0,99394 0,00606 48 867637 5796 0,99332 0,00668 49 861841 6429 0,99254 0,00746 50 855412 7203 0,99158 0,00842 51 848209 8100 0,99045 0,00955 52 840109 9056 0,98922 0,01078 53 831053 9956 0,98802 0,01198 54 821097 10904 0,98672 0,01328 55 810193 11894 0,98532 0,01468 56 798299 12924 0,98381 0,01619 57 785375 13995 0,98218 0,01782 58 771380 15096 0,98043 0,01957 59 756284 16230 0,97854 0,02146 60 740054 17391 0,97650 0,02350 61 722663 18572 0,97430 0,02570 62 704091 19764 0,97193 0,02807 63 684327 20947 0,96939 0,03061 64 663380 22130 0,96664 0,03336 65 641250 23290 0,96368 0,03632 66 617960 24409 0,96050 0,03950 67 593551 25475 0,95708 0,04292 68 568076 26478 0,95339 0,04661 69 541598 27389 0,94943 0,05057 70 514209 28194 0,94517 0,05483 71 486015 28874 0,94059 0,05941 72 457141 29412 0,93566 0,06434 73 427729 29778 0,93038 0,06962 74 397951 29966 0,92470 0,07530 75 367985 29950 0,91861 0,08139 76 338035 29720 0,91208 0,08792 77 308315 29265 0,90508 0,09492 78 279050 28580 0,89758 0,10242 79 250470 27664 0,88955 0,11045 80 222806 26523 0,88096 0,11904 81 196283 25169 0,87177 0,12823 82 171114 23621 0,86196 0,13804 83 147493 21904 0,85149 0,14851 84 125589 20054 0,84032 0,15968 85 105535 18107 0,82843 0,17157
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
86 87428 16107 0,81577 0,18423 87 71321 14099 0,80232 0,19768 88 57222 12128 0,78805 0,21195 89 45094 10240 0,77292 0,22708 90 34854 8473 0,75690 0,24310 91 26381 6860 0,73996 0,26004 92 19521 5424 0,72215 0,27785 93 14097 4182 0,70334 0,29666 94 9915 3137 0,68361 0,31639 95 6778 2285 0,66288 0,33712 96 4493 1612 0,64122 0,35878 97 2881 1099 0,61854 0,38146 98 1782 721 0,59540 0,40460 99 1061 455 0,57116 0,42884 100 606 606 0 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
TABEL II
Komutasi ( )%4=i
x
xD xN xC xM 0 1000000 22790952,67296 30990,38462 123424,89719 1 930548,07692 21790952,67296 3257,21154 92434,51258 2 891500,55473 20860404,59604 2245,60480 89177,30104 3 854966,46706 19968904,04131 1652,33650 86931,69624 4 820430,80490 19113937,57425 1341,38504 85279,35974 5 787534,38890 18293506,76935 1196,53619 83937,97470 6 756048,06852 17505972,38044 1119,35894 82741,43851 7 725849,93772 16749924,31192 1004,69903 81622,07957 8 696927,93339 16024074,37420 877,53083 80617,38054 9 669245,48204 15327146,44081 733,66269 79739,84970 10 642771,60851 14657900,95877 636,58931 79006,18702 11 617413,03425 14015129,35026 575,87848 78369,59770 12 593090,50061 13397716,31601 547,72357 77793,71922 13 569731,60394 12804625,81540 537,05183 77245,99566 14 547281,79812 12234894,21146 558,04083 76708,94383 15 525674,45736 11687612,41335 626,80820 76150,90300 16 504829,40081 11161937,95598 723,34290 75524,09481 17 484689,54249 10657108,55518 829,78887 74800,75190 18 465217,84813 10172419,01269 898,97275 73970,96303 19 446425,88122 9707201,16456 918,70692 73071,99028 20 428336,94810 9260775,28333 897,85355 72153,28336 21 410964,59655 8832438,33523 869,22810 71255,42981 22 394289,03781 8421473,73868 841,47642 70386,20171 23 378282,59841 8027184,70087 811,06255 69544,72530 24 362922,20515 7648902,10246 798,99879 68733,66275 25 348164,66001 7285979,89731 759,97221 67934,66396 26 334013,73934 6937815,23730 697,10131 67174,69175 27 320469,95575 6603801,49796 622,60244 66477,59044 28 307521,58578 6283331,54222 552,80304 65854,98800 29 295141,02944 5975809,95644 499,47624 65302,18496 30 283289,97514 5680668,92699 471,37181 64802,70872 31 271922,83506 5397378,95185 462,93409 64331,33691 32 261001,33039 5125456,11679 459,38183 63868,40282 33 250503,43584 4864454,78640 452,78249 63409,02098 34 240415,90582 4613951,35056 443,73049 62956,23849 35 230725,40972 4373535,44473 437,14169 62512,50800 36 221414,21382 4142810,03501 440,71237 62075,36632 37 212457,57015 3921395,82119 459,58228 61634,65395 38 203826,54286 3708938,25105 495,84457 61175,07167 39 195491,21588 3505111,70818 537,59402 60679,22710 40 187434,72893 3309620,49231 580,40543 60141,63308
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
41 179645,29546 3122185,76338 620,09128 59561,22764 42 172115,76975 2942540,46791 653,64375 58941,13637 43 164842,28869 2770424,69817 683,16384 58287,49261 44 157819,03683 2605582,40947 708,59023 57604,32877 45 151040,48365 2447763,37264 736,31778 56895,73855 46 144494,91649 2296722,88899 768,30352 56159,42076 47 138169,11618 2152227,97250 805,11031 55391,11724 48 132049,80910 2014058,85632 848,19313 54586,00693 49 126122,77716 1882009,04722 904,64140 53737,81380 50 120367,25971 1755886,27007 974,57016 52833,17240 51 114763,17956 1635519,01036 1053,78345 51858,60224 52 109295,42766 1520755,83080 1132,84223 50804,81878 53 103958,91513 1411460,40314 1197,52494 49671,97655 54 98762,97038 1307501,48801 1261,10771 48474,45161 55 93703,28689 1208738,51763 1322,69872 47213,34390 56 88776,61559 1115035,23074 1381,96362 45890,64518 57 83980,16676 1026258,61515 1438,92853 44508,68156 58 79311,23182 942278,44839 1492,43309 43069,75303 59 74768,36674 862967,21657 1542,83031 41577,31995 60 70349,83002 788198,84983 1589,61099 40034,48964 61 66054,45633 717849,01982 1632,26865 38444,87864 62 61881,63167 651794,56349 1670,22304 36812,61000 63 57831,34588 589912,93181 1702,11194 35142,38696 64 53904,95141 532081,58594 1729,07710 33440,27502 65 50102,60694 478176,63453 1749,72217 31711,19792 66 46425,86143 428074,02759 1763,25959 29961,47575 67 42876,99178 381648,16616 1769,48596 28198,21616 68 39458,39076 338771,17438 1768,41735 26428,73021 69 36172,34300 299312,78362 1758,90517 24660,31286 70 33022,19387 263140,44062 1740,96326 22901,40769 71 30011,14623 230118,24675 1714,37775 21160,44443 72 27142,49362 200107,10052 1679,15501 19446,06668 73 24419,39656 172964,60690 1634,66370 17766,91167 74 21845,52530 148545,21034 1581,71534 16132,24798 75 19423,59744 126699,68504 1520,06808 14550,53263 76 17156,46792 107276,08760 1450,37959 13030,46455 77 15046,22418 90119,61968 1373,24512 11580,08496 78 13094,27814 75073,39549 1289,52100 10206,83985 79 11301,13105 61979,11736 1200,18400 8917,31885 80 9666,28817 50677,98631 1106,42546 7717,13485 81 8188,08239 41011,69814 1009,56001 6610,70938 82 6863,59614 32823,61575 911,02673 5601,14938 83 5688,58494 25960,01961 812,31211 4690,12265 84 4657,48110 20271,43467 715,10065 3877,81054 85 3763,24657 15613,95357 620,83947 3162,70989 86 2997,66684 11850,70700 531,02399 2541,87042 87 2351,34797 8853,04016 446,94538 2010,84643 88 1813,96613 6501,69219 369,67663 1563,90105
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
89 1374,52158 4687,72605 300,12310 1194,22442 90 1021,53227 3313,20447 238,78296 894,10133 91 743,45961 2291,67221 185,89037 655,31837 92 528,97463 1548,21260 141,32504 469,42799 93 367,30441 1019,23797 104,77318 328,10295 94 248,40414 651,93355 75,56963 223,32977 95 163,28050 403,52942 52,92802 147,76014 96 104,07247 240,24891 35,90303 94,83212 97 64,16665 136,17645 23,53588 58,92909 98 38,16282 72,00980 14,84686 35,39321 99 21,84816 33,84698 9,00902 20,54635 100 11,99882 11,99882 11,53733 11,53733
(Sumber : Futami, 1993)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
TABEL III
Tabel Pelayanan
x
)(Txl )1(
xd )2(xd )3(
xd )4(xd
26 100000 100 19990 0 0 27 79910 80 14376 0 0 28 65454 72 9858 0 0 29 55524 61 5702 0 0 30 49761 60 3971 0 0 31 45730 64 2693 46 0 32 42927 64 1927 43 0 33 40893 65 1431 45 0 34 39352 71 1181 47 0 35 38053 72 989 49 0 36 36943 78 813 52 0 37 36000 83 720 54 0 38 35143 91 633 56 0 39 34363 96 550 58 0 40 33659 104 505 61 0 41 32989 112 462 66 0 42 32349 123 421 71 0 43 31734 133 413 79 0 44 31109 143 373 87 0 45 30506 156 336 95 0 46 29919 168 299 102 0 47 29350 182 293 112 0 48 28763 198 259 121 0 49 28185 209 251 132 0 50 27593 226 218 143 0 51 27006 240 213 157 0 52 26396 259 182 169 0 53 25786 276 178 183 0 54 25149 297 148 199 0 55 24505 316 120 213 0 56 23856 313 0 0 3552 57 19991 298 0 0 1587 58 18106 284 0 0 2692 59 15130 271 0 0 1350 60 13509 0 0 0 13509
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
TABEL IV
Komutasi ( %10=i )
x
)(Txl )(T
xD )(TxN
26 100000 8368,75712 44455,93839 27 79910 6078,91370 36087,18127 28 65454 4526,10810 30008,26757 29 55524 3490,06374 25482,15947 30 49761 2843,18812 21992,09573 31 45730 2375,09826 19148,90761 32 42927 2026,63156 16773,80935 33 40893 1754,91917 14747,17779 34 39352 1535,10766 12992,25862 35 38053 1349,35062 11457,15095 36 36943 1190,78116 10107,80033 37 36000 1054,79043 8917,01917 38 35143 935,97963 7862,22874 39 34363 831,92182 6926,24912 40 33659 740,72421 6094,32729 41 32989 659,91555 5353,60308 42 32349 588,22565 4693,68753 43 31734 524,53177 4105,46189 44 31109 467,40883 3580,93012 45 30506 416,63909 3113,52129 46 29919 371,43746 2696,88220 47 29350 331,21547 2325,44474 48 28763 295,05337 1994,22927 49 28185 262,81389 1699,17590 50 27593 233,88000 1436,36201 51 27006 208,07424 1202,48201 52 26396 184,86728 994,40777 53 25786 164,16092 809,54050 54 25149 145,53599 645,37957 55 24505 128,90456 499,84358 56 23856 114,07096 370,93902 57 19991 86,89121 256,86806 58 18106 71,53651 169,97685 59 15130 54,33855 98,44034 60 0 44,10179 44,10179
( Sumber : Bowers, 1997)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI