atalet momentler İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · atalet...
TRANSCRIPT
![Page 1: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/1.jpg)
ATALET MOMENTLERİ
KT 1
![Page 2: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/2.jpg)
ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ
Atalet momenti, kesitlerin geometrisine bağlı olarak hesaplanan büyüklüklerdenbiridir.
Bir alanın ataletatalet momenti,momenti, moment ekseninden itibaren lineer olarak değişenbir yayılı yükün momentini hesaplamak gerektiğinde ortaya çıkar. Bu türden biryüklemenin tipik bir örneği, sıvı içine batırılmış bir levha yüzeyi üzerinde etkiyenbir sıvı basıncıyla oluşur.
Sıvı yüzeyinin altında “y” mesafesinde bulunan bir noktada uygulanan basınç
KT 2
bulunan bir noktada uygulanan basınç veya birim alana düşen kuvvet, γ sıvının özgül ağırlığı olmak üzere,
p= γ y olarak ifade edilir.
Buna göre şekilde gösterilen sıvı içine batırılmış levhanın dA alanı üzerine suyun uyguladığı kuvvetin büyüklüğü:
dF=pdA=( γ.y )dA
![Page 3: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/3.jpg)
Bu kuvvetin levhanın x eksenine göre momenti;
dAyydFdM2γ==
Dolayısıyla tüm basınç dağılımıyla üretilen moment;
∫= dAyM2γ
Buradaki integral, levha alanının x eksenine göre atalet momentini ifade eder;
KT 3
Buradaki integral, levha alanının x eksenine göre atalet momentini ifade eder;
∫= dAyI x
2
Bu formdaki integraller ile, akışkanlar mekaniği, malzeme mekaniği, yapımekaniği ve makine tasarımında sıksık karşılaşıldığı için atalet momentihesabında kullanılan yöntemler önemlidir.
![Page 4: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/4.jpg)
ATALET MOMENTLERİ
Şekilde gösterilen x-y düzlemindeki A alanını gözönüne alalım. dA düzlemsel diferansiyel alanın x ve y eksenlerine göre atalet momentleri;
dAxdI
dAydI
y
x
2
2
=
=
KT 4
İle tanımlanır. Tüm alan için atalet momentleri integralle belirlenir:
y= dA’nın x eksenine uzaklığı
x= dA’nın y eksenine uzaklığı
Alanların ikinci
momenti
momentiataletgöreeksenineydAxI
momentiataletgöreekseninexdAyI
A
y
A
x
⇒=
⇒=
∫
∫
.
.
2
2
![Page 5: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/5.jpg)
KUTUPSAL ATALET MOMENTİ
dA diferansiyel alanın bir O noktasına göre ikinci momenti de formüleedilebilir:
Burada; r= O noktasında dA’ya dik mesafedir. Tüm alan için bu değer;
olarak bulunur.
Buna kutupsal (polar) atalet momenti adı verilir.
dArdJO
2=
yx
A
O IIdArJ +== ∫2
KT 5
Buna kutupsal (polar) atalet momenti adı verilir.
JO ile Ix ve Iy arasındaki bubağıntı, “ r=x2+y2 ” ilişkisindenkaynaklanmaktadır. Ix , Iy ve JO
her zaman pozitif büyüklüklerdir,çünkü uzaklığın karesi ve alanınçarpımı ile bulunmaktadırlar.
Atalet momenti birimi, uzunluğundördüncü kuvvetini içermektedir:m4, mm4 gibi.
![Page 6: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/6.jpg)
ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ
Bir alanın merkezinden geçen bir eksene göre atalet momenti biliniyorsa, paralel eksen teoremini kullanarak bu eksene paralel bir eksene göre atalet momentini belirlemek mümkündür.
Şekilde gösterilen A alanının x eksenine göre atalet momentini bulmaya çalışalım.
dA diferansiyel elemanı x’ geometrik
KT 6
dA diferansiyel elemanı x’ geometrik merkez ekseninden y’ kadar uzaklıktadır.
x ve x’ paralel eksenleri arasındaki sabit uzaklık dy ile gösterilmiştir.
![Page 7: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/7.jpg)
ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ
Bu durumda tanım gereği,
olarak bulunur.dAdyIxd y
2)( +′=
Tüm alan içinse;
KT 7
![Page 8: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/8.jpg)
ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ
Birinci integral, alanın geometrik merkez eksenine göre atalet momentidir.
İkinci integral, sıfırdır. Çünkü, x’ ekseni alanın geometrik merkezinden geçer,
Üçüncü integral, toplam alanı verdiğinden
∫ ∫ =′=′⇒=′ 00 dAydAyy
∫∫ =⇒= AddAdAdA yy
A
22
Bu durumda,Steiner teoremi
KT 8
222
yxyx AdIAddAyI +=+′= ′∫x’ eksenine paralel diğer bir eksen Ağırlık merkezinden geçen x’
eksenine göre atalet momenti
dik uzaklık
Steiner teoremi
![Page 9: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/9.jpg)
Benzer ifade y ekseni (Iy) için yazılabilir:
2
xyy AdII += ′
Ağırlık merkezinden geçen y’ eksenine göre atalet momenti
Toplam alan
y ekseninin y’ eksenine olan dik uzaklığı
Steiner teoremi
KT 9
x’ ve y’ eksenleri, ağırlık merkezinden (C noktasından) geçmektedir.
![Page 10: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/10.jpg)
Sonuç; verilen bir alanın herhangi bir eksene göre atalet momenti ( veya );o alanın ağırlık merkezinden geçen ve bu eksenlere paralel olan eksene göreatalet momenti ile ( veya ), eksenler arasındaki dik uzaklığın karesinin alanile çarpımının toplamına eşittir. Buna paralel eksenler teoremi ya da SteinerTeoremi denir.
yIxI
yIxI
NOT: Steiner teoremi, yalnız ve yalnız ağırlık merkezinden geçen eksentakımına göre kaydırmada kullanılır. Yani, ağırlık merkezinden geçen eksenden
KT 10
takımına göre kaydırmada kullanılır. Yani, ağırlık merkezinden geçen eksendenfarklı bir eksene göre kaydırma yapıldığında yukarıdaki bağıntılar geçerlideğildir. Çünkü ağırlık merkezi dışındaki herhangi bir noktada statik moment"sıfır" değildir. Formülasyon bu durumda değişir.
![Page 11: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/11.jpg)
O noktasından geçen x-y düzlemine dik eksene göre polar atalet momenti:
2
222
'
AdJJo
ddd
IIJ
C
xy
yxC
+=
+=
+= ′
Alan merkezine göre
Ağırlık merkezinden O noktasına olan dik uzaklık
olduğuna göre ve
ise,
KT 11
Alan merkezine göre polar atalet momenti
noktasına olan dik uzaklık
Toplam alan
Bu üç denklemin her biri (Ix, Iy, Jo), bir alanın bir eksene atalet momentinin,alanın geometrik merkezinden geçen paralel bir eksene göre atalet momenti ile,alanın eksenler arasındaki uzaklığın karesiyle çarpımının, toplamına eşitolduğunu ifade eder.
![Page 12: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/12.jpg)
Alan Atalet Momentinin İntegralle Bulunması
KT 12
• Eğer eğri y=f(x) şeklinde tanımlanabiliyorsa, sonlu uzunlukta (x veya y) ama diferansiyel genişlikte (dx veya dy) bir dikdörtgen eleman seçerek hesap yapılabilir.
•dA alanına sahip diferansiyel eleman, eğriyi bir (x,y) noktasında kesecek şekilde seçilmelidir.
![Page 13: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/13.jpg)
1.durum:
Elemanın uzunluğu eksenlere paralel seçilebilir. Dikkat edilirse, diferansiyel dikdörtgen elemanlar, x-eksenine göre atalet momenti bulunurken x-eksenine paralel, y eksenine göre atalet momenti bulunurken ise y-eksenine paralel
KT 13
paralel, y eksenine göre atalet momenti bulunurken ise y-eksenine paralel seçilmiştir. Bu durumda aşağıdaki formüller kullanılabilir:
ydxdAxdydA
dAxIvedAyI yx
==
== ∫∫22
![Page 14: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/14.jpg)
2.durum:
Elemanın uzunluğu eksene dik seçilirse, moment kolu x ve/veya y seçilen dikdörtgen için sabit olmamaktadır. Bu durumda, paralel eksenler teoremi kullanılmalıdır.
KT 14
kullanılmalıdır.
Önce elemanın kendi geometrik merkezinden geçen yatay bir eksene göre atalet momenti hesaplanmalı, daha sonra paralel eksen teoremi kullanılarak elemanın x veya y eksenine göre atalet momenti belirlenmelidir.
![Page 15: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/15.jpg)
ÖRNEK 55
Şekilde gösterilen dikdörtgen alanın ;
a) Ağırlık merkezinden geçen x’ eksenine göre atalet momentini
b) Dikdörtgenin tabanından geçen xb eksenine göre atalet momentini
KT 15
c) x’-y‘ düzlemine dik olan, ağırlık merkezinden geçen z’ eksenine göre atalet momenti değerini bulunuz.
![Page 16: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/16.jpg)
1.duruma göre:
a) Diferansiyel eleman x’ eksenine paralel seçildiği için tüm eleman x’ eksenine y’ mesafesindedir ve 1. durumdaki denklem kullanılabilir.
KT 16
2.duruma göre:
b) Paralel eksen teoremine göre;
![Page 17: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/17.jpg)
c)
∫∫ ∫+
−
+
−
====2/
2/
32
2/
2/
22
'12
1'')'(''
b
bA
b
b
y hbdxxhhdxxdAxI
KT 17
![Page 18: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/18.jpg)
ÖRNEK 56
Şekilde gösterilen alanın x eksenine göre atalet momentini bulunuz.
İntegrasyon için seçilen diferansiyel alan elemanı, x eksenine paraleldir. Eleman dy kalınlığına sahip ve eğriyi bir (x,y) noktasında kestiği için, alanı
1.durum
KT 18
dA=(100-x)dy’dir.
![Page 19: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/19.jpg)
2.durum
İntegrasyon için seçilen diferansiyel alan elemanı, yeksenine paraleldir. Eleman dx kalınlığına sahiptir ve eğriyibir (x,y) noktasında kesmektedir. Elemanın bütün parçalarıx ekseninden aynı mesafede bulunmamaktadır, bu nedenleelemanın bu eksene göre atalet momentini belirlemek içinparalel eksen teoremi kullanılmalıdır.
2/~
12
1
12
1
3
3
'
yyydxId
yhdxbbhI
x
x
==
===
KT 19
2/12
yyydxId x ==
![Page 20: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/20.jpg)
KOMPOZİT ALANLARIN ATALET MOMENTLERİ
Kompozit alanlar, yarım daire, dikdörtgen ve üçgen gibi bir dizi basit parça veya şekilden oluşur. Bu parçaların her birinin ortak bir eksene göre atalet momenti biliniyor veya belirlenebiliyorsa, kompozit alanın atalet momenti, tüm parçaların atalet momentlerinin cebirsel toplamına eşit olur.
Analizde izlenecek yol:
Parçalar: alan parçalara ayrılır ve her bir parçanın ağırlık merkezlerinden referans eksene olan dik uzaklıklar belirlenir.
KT 20
Paralel eksen teoremi: eğer parçaların merkezlerinden geçen eksenler referans ekseniyle çakışmıyorsa paralel eksen teoremi kullanılmalıdır.( ; :parçaların ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momenti)
Toplam: Tüm alanın referans eksene göre atalet momenti, parçalar için elde edilen sonuçlar toplanarak bulunur. Kompozit alanda boşluk varsa, bu boşluğun atalet momenti toplamdan çıkartılır.
2AdII += I
![Page 21: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/21.jpg)
Basit geometrik şekillerin atalet momentleri
DİKDÖRTGEN (b=h İSE KARE)
hbA .=
y y3
3
bhI x =
3
3hb
I y =
3
12
bhI x =
12
3hb
I y =
KT 21
G h
2
hy =
b
2
bx =
x
x
O
![Page 22: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/22.jpg)
KT 22
![Page 23: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/23.jpg)
Bazı Şekillerin Atalet Momentleri
KT 23
![Page 24: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/24.jpg)
Örnek 3. Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre ataletmomentlerini hesaplayınız.
y 18 cm
4 cm
12 cm
?=xI
?),( =yxG
KT 24
(0,0)x
7 cm 7 cm
4 cm
12 cm
?=yI
![Page 25: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/25.jpg)
Örnek 3. çözümü
x
y
G
y 18 cm
4 cm
cmcmcm
x 9)12*4()4*18(
9*)12*4(9*)4*18(=
+
+=
cmcmcm
y 8.10)12*4()4*18(
6*)12*4(14*)4*18(=
+
+=
G1
(14-10.8) cm
KT 25
(0,0)x
7 cm 7 cm
4 cm
12 cm
yG2
∑=
+=n
i
iiixx AyII1
2).(
2
3
2
3
)68.10(*)12*4(12
12*4)8.1014(*)4*18(
12
4*18−++−+=xI
(10.8-6) cm
42.2515 cmI x =
![Page 26: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/26.jpg)
Örnek 3. çözümü
x
y
G
y 18 cm
4 cm
x
cmx 9=
cmy 8.10=
G11
KT 26
(0,0)x
7 cm 7 cm
4 cm
12 cm
x
G2
∑=
+=n
i
iiiyy AxII1
2).(
2
3
2
3
)99(*)12*4(12
12*4)99(*)4*18(
12
4*18−++−+=yI
42008cmI y =
2
![Page 27: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/27.jpg)
y 18 cm
4 cm
42.2515 cmI x =
G (9, 10.8)
Örnek 3. çözümü
KT 27
(0,0)x
7 cm 7 cm
4 cm
12 cm 42008cmI y =
2.2515 cmI x =
![Page 28: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/28.jpg)
y 15 cm
2 cm
?=xI
?=I
?),( =yxG
Örnek 4. Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre ataletmomentlerini hesaplayınız.
KT 28
(0,0) x2 cm
13 cm
?=yI
![Page 29: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/29.jpg)
y 15 cm
2 cm
13 cm
1
x
y
G
G1
G2
cmx 48.4=
Örnek 4. çözümü
KT 29
(0,0) x2 cm
13 cm
2
G2
cmy 52.10=
cmcmcm
x 48.4)13*2()2*15(
1*)13*2(5.7*)2*15(=
+
+=
cmcmcm
y 52.10)13*2()2*15(
1*)13*2(14*)2*15(=
+
+=
![Page 30: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/30.jpg)
y 15 cm
2 cm
13 cm
1
x
y
G
G1
G2
cmx 48.4=
Örnek 4. çözümü
(14-10.52) cm
(10.52-6.5) cm
KT 30
(0,0) x2 cm
13 cm
2
G2
cmy 52.10=
(10.52-6.5) cm
∑=
+=n
i
iiixx AyII1
2).(
23
23
)5.652.10(*)13*2(12
13*2)52.1014(*)2*15(
12
2*15−++−+=xI
465.1159 cmI x =
![Page 31: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/31.jpg)
Örnek 4. çözümü
y 15 cm
2 cm
13 cm
1
x
y
G
G1
G2
cmx 48.4=
(7.5-4.48) cm
KT 31
(0,0) x2 cm
13 cm
2
G2
cmy 52.10=(4.48-1) cm
∑=
+=n
i
iiiyy AxII1
2).(
23
23
)148.4(*)13*2(12
13*2)48.45.7(*)2*15(
12
2*15−++−+=yI
465.1159 cmI y =
![Page 32: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/32.jpg)
465.1159 cmI y =
465.1159 cmI x =
y 15 cm
2 cm
Örnek 4. çözümü
KT 32
G (4.48, 10.52)
(0,0) x2 cm
13 cm
![Page 33: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/33.jpg)
Örnek 5. Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre ataletmomentlerini hesaplayınız.
y 9 cm
1 cm
?=xI
?),( =yxG
KT 33
(0,0) x4 cm
12 cm ?=yI
1 cm
4 cm1 cm
![Page 34: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/34.jpg)
Örnek 5. çözümü
y 9 cm
1 cm1
x
y
G
G1
cmcmcmcm
x 5.4)1*9()12*1()1*9(
5.4*)1*9(5.4*)12*1(5.4*)1*9(=
++
++=
cmcmcmcm
y 0.7)1*9()12*1()1*9(
5.0*)1*9(7*)12*1(5.13*)1*9(=
++
++=
KT 34
(0,0)x
4 cm
12 cm
1 cm
4 cm1 cm
2
3
xG2
G3
GHer iki eksene göre simetrikolan bu alanda aslında ağırlıkmerkezini hesaplamaya gerekbile yok.
![Page 35: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/35.jpg)
y 9 cm
1 cm
12 cm
1
x
y
G2
G1
Örnek 5. çözümü
n
KT 35
(0,0)x
4 cm
12 cm
1 cm
4 cm1 cm
2
3 G3
G
∑=
+=n
i
iiixx AyII1
2).(
23
23
23
)5.00.7(*)1*9(12
1*9)77(*)12*1(
12
12*1)75.13(*)1*9(
12
1*9−++−++−+=xI
4906 cmI x =
![Page 36: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/36.jpg)
y 9 cm
1 cm
12 cm
1
x
y
G2
G1
Örnek 5. çözümü
n
1y
02
=y
KT 36
(0,0)x
4 cm
12 cm
1 cm
4 cm1 cm
2
3 G3
G
∑=
+=n
i
iiixx AyII1
2).(
23
23
23
)5.00.7(*)1*9(12
1*9)77(*)12*1(
12
12*1)75.13(*)1*9(
12
1*9−++−++−+=xI
4906 cmI x =
3y
02
=y
![Page 37: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/37.jpg)
Örnek 5. çözümü
y 9 cm
1 cm
12 cm
1
x
y
G2
G1
G0
2=y
∑ +=n
AxII2
).(
01
=y
KT 37
03
=y
(0,0)x
4 cm
1 cm
4 cm1 cm
2
3 G3
G
∑=
+=i
iiiyy AxII1
2).(
23
23
23
)5.45.4(*)1*9(12
1*9)5.45.4(*)12*1(
12
12*1)5.45.4(*)1*9(
12
1*9−++−++−+=yI
45.122 cmI y =
![Page 38: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/38.jpg)
y 7 cm
2 cm
?=xI
?=I
?),( =yxG
Örnek 6. Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre ataletmomentlerini hesaplayınız.
KT 38
(0,0) x2 cm
8 cm
?=yI
![Page 39: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/39.jpg)
y 7 cm
2 cm1
x
y
G1
G
Örnek 6. çözümü
3.5 cm
cmx 83.4=
KT 39
(0,0) x2 cm
8 cm
2
G2
G
cmcmcm
x 83.4)8*2()2*7(
6*)8*2(5.3*)2*7(=
+
+=
cmcmcm
y 33.6)8*2()2*7(
4*)8*2(9*)2*7(=
+
+=
4 cm6 cm
9 cmcmy 33.6=
![Page 40: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/40.jpg)
y 7 cm
2 cm1
x
y
G1
G
Örnek 6. çözümü
∑=
+=n
i
iiixx AyII1
2).(
cmy 67.2)33.69(1 =−=
cmy 67.1)433.6( =−=
KT 40
(0,0) x2 cm
8 cm
2
G2
G
cmy 33.6=
23
23
)433.6(*)8*2(12
8*2)33.69(*)2*7(
12
2*7−++−+=xI
cmy 67.1)433.6(2 =−=
467.276 cmI x =
![Page 41: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/41.jpg)
y 7 cm
2 cm1
x
y
G1
G
Örnek 6. çözümü
cmx 83.4=
∑=
+=n
i
iiiyy AxII1
2).(
cmx 33.1)5.383.4(1 =−=
KT 41
(0,0) x2 cm
8 cm
2
G2
G
23
23
)83.46(*)8*2(12
8*2)5.383.4(*)2*7(
12
2*7−++−+=yI
cmx 17.1)83.46(2 =−=
417.109 cmI y =
![Page 42: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/42.jpg)
ÖRNEK 57
Şekilde gösterilen kompozit alanın x-eksenine göre atalet momentini hesaplayınız.
Çözüm:
KT 42
Çözüm:
Kompozit alan, yanda gösterildiği gibi, dikdörtgenden daireyi çıkartarak elde edilir. Her iki alanın ağırlık merkezi şekilde gösterilmiştir.
Merkezler x-ekseni ile çakışmamaktadır. Bu nedenle paralel eksen teoremi kullanılmalıdır.
![Page 43: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/43.jpg)
DAİRE
DİKDÖRTGEN
KT 43
TOPLAM
Kompozit alanın x-eksenine göre atalet momenti:
![Page 44: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/44.jpg)
ÖRNEK 58
Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının x ve y ağırlık merkezi eksenlerine göre atalet momentlerini belirleyiniz.
KT 44
Kesit, A, B ve D dikdörtgen alanların birleşimi olarak düşünülebilir. Bu alanların ağırlık merkezleri şekilde gösterilmiştir.
![Page 45: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/45.jpg)
A ve D dikdörtgenleri :
KT 45
B dikdörtgeni:
![Page 46: ATALET MOMENTLER İ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-atalet_mom-8-.pdf · ATALET (EYLEMS İZL İK) MOMENT İ Atalet momenti, kesitlerin geometrisine ba ğlı olarak](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033120/5e088234cfd5da75f017d675/html5/thumbnails/46.jpg)
Toplam
Tüm kesitin atalet momentleri için toplama işlemi yapılır.
KT 46