Kilka sw o algebraicznej teorii grafw

Micha Pilipczuk

Wydzia Matematyki, Informatyki i Mechaniki,Uniwersytet Warszawski

28 stycznia 2011

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 1/22

Idea

Idea: bada wasnoci kombinatoryczne grafw za pomocobiektw algebraicznych z nimi zwizanych

macierz ssiedztwa,laplasjan,inne...

Co moemy bada?

Moemy zlicza obiekty metodami algebraicznymi.

adne

Moemy bada globalne wasnoci grafu za pomoc wasnocispektralnych jej macierzy ssiedztwa.

wane

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 2/22

Idea

Idea: bada wasnoci kombinatoryczne grafw za pomocobiektw algebraicznych z nimi zwizanych

macierz ssiedztwa,

laplasjan,inne...

Co moemy bada?

Moemy zlicza obiekty metodami algebraicznymi.

adne

Moemy bada globalne wasnoci grafu za pomoc wasnocispektralnych jej macierzy ssiedztwa.

wane

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 2/22

Idea

Idea: bada wasnoci kombinatoryczne grafw za pomocobiektw algebraicznych z nimi zwizanych

macierz ssiedztwa,laplasjan,

inne...

Co moemy bada?

Moemy zlicza obiekty metodami algebraicznymi.

adne

Moemy bada globalne wasnoci grafu za pomoc wasnocispektralnych jej macierzy ssiedztwa.

wane

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 2/22

Idea

Idea: bada wasnoci kombinatoryczne grafw za pomocobiektw algebraicznych z nimi zwizanych

macierz ssiedztwa,laplasjan,inne...

Co moemy bada?

Moemy zlicza obiekty metodami algebraicznymi.

adne

Moemy bada globalne wasnoci grafu za pomoc wasnocispektralnych jej macierzy ssiedztwa.

wane

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 2/22

Idea

Idea: bada wasnoci kombinatoryczne grafw za pomocobiektw algebraicznych z nimi zwizanych

macierz ssiedztwa,laplasjan,inne...

Co moemy bada?

Moemy zlicza obiekty metodami algebraicznymi.

adne

Moemy bada globalne wasnoci grafu za pomoc wasnocispektralnych jej macierzy ssiedztwa.

wane

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 2/22

Idea

Idea: bada wasnoci kombinatoryczne grafw za pomocobiektw algebraicznych z nimi zwizanych

macierz ssiedztwa,laplasjan,inne...

Co moemy bada?Moemy zlicza obiekty metodami algebraicznymi.

adneMoemy bada globalne wasnoci grafu za pomoc wasnocispektralnych jej macierzy ssiedztwa.

wane

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 2/22

Idea

Idea: bada wasnoci kombinatoryczne grafw za pomocobiektw algebraicznych z nimi zwizanych

macierz ssiedztwa,laplasjan,inne...

Co moemy bada?Moemy zlicza obiekty metodami algebraicznymi.

adne

Moemy bada globalne wasnoci grafu za pomoc wasnocispektralnych jej macierzy ssiedztwa.

wane

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 2/22

Idea

Idea: bada wasnoci kombinatoryczne grafw za pomocobiektw algebraicznych z nimi zwizanych

macierz ssiedztwa,laplasjan,inne...

Co moemy bada?Moemy zlicza obiekty metodami algebraicznymi.

adneMoemy bada globalne wasnoci grafu za pomoc wasnocispektralnych jej macierzy ssiedztwa.

wane

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 2/22

Idea

Idea: bada wasnoci kombinatoryczne grafw za pomocobiektw algebraicznych z nimi zwizanych

macierz ssiedztwa,laplasjan,inne...

Co moemy bada?Moemy zlicza obiekty metodami algebraicznymi.

adneMoemy bada globalne wasnoci grafu za pomoc wasnocispektralnych jej macierzy ssiedztwa.

wane

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 2/22

Macierz ssiedztwa

Graf: G = (V ,E ), gdzie E to zbir par rnych elementw z V .

Czyli kropki poczone kreskami.Bdziemy mwi o grafach prostych, w multigrafach mog byptelki i wielokrotne krawdzie.Macierz ssiedztwa |V | |V |:

(M)i ,j =

1 gdy pomidzy vi oraz vj jest krawd,0 w .p.p.Dla multigrafw:

(M)i ,j = liczba krawdzi pomidzy vi oraz vj .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 3/22

Macierz ssiedztwa

Graf: G = (V ,E ), gdzie E to zbir par rnych elementw z V .Czyli kropki poczone kreskami.

Bdziemy mwi o grafach prostych, w multigrafach mog byptelki i wielokrotne krawdzie.Macierz ssiedztwa |V | |V |:

(M)i ,j =

1 gdy pomidzy vi oraz vj jest krawd,0 w .p.p.Dla multigrafw:

(M)i ,j = liczba krawdzi pomidzy vi oraz vj .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 3/22

Macierz ssiedztwa

Graf: G = (V ,E ), gdzie E to zbir par rnych elementw z V .Czyli kropki poczone kreskami.Bdziemy mwi o grafach prostych, w multigrafach mog byptelki i wielokrotne krawdzie.

Macierz ssiedztwa |V | |V |:

(M)i ,j =

1 gdy pomidzy vi oraz vj jest krawd,0 w .p.p.Dla multigrafw:

(M)i ,j = liczba krawdzi pomidzy vi oraz vj .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 3/22

Macierz ssiedztwa

Graf: G = (V ,E ), gdzie E to zbir par rnych elementw z V .Czyli kropki poczone kreskami.Bdziemy mwi o grafach prostych, w multigrafach mog byptelki i wielokrotne krawdzie.Macierz ssiedztwa |V | |V |:

(M)i ,j =

1 gdy pomidzy vi oraz vj jest krawd,0 w .p.p.

Dla multigrafw:

(M)i ,j = liczba krawdzi pomidzy vi oraz vj .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 3/22

Macierz ssiedztwa

Graf: G = (V ,E ), gdzie E to zbir par rnych elementw z V .Czyli kropki poczone kreskami.Bdziemy mwi o grafach prostych, w multigrafach mog byptelki i wielokrotne krawdzie.Macierz ssiedztwa |V | |V |:

(M)i ,j =

1 gdy pomidzy vi oraz vj jest krawd,0 w .p.p.Dla multigrafw:

(M)i ,j = liczba krawdzi pomidzy vi oraz vj .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 3/22

Macierz ssiedztwa przykad

1

2

34 5

6 7

0 1 0 1 1 0 01 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 10 0 1 1 1 0 00 0 1 1 1 0 0

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 4/22

Macierz ssiedztwa przykad

1

2

34 5

6 7

0 1 0 1 1 0 01 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 10 0 1 1 1 0 00 0 1 1 1 0 0

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 4/22

Zliczanie marszrut

Chcielibymy powiedzie, na ile sposobw moemy przejpomidzy wierzchokami vi oraz vj uywajc dokadnie k krokw.

Wpierw dla k = 2. Ta liczba to liczba moliwych wierzchokwporednich, czyli

l(M)i ,l(M)l ,j .

Czyli (M2)i ,j .

Oglnie: liczba sposobw przejcia w k krokach tol1,l2,...,lk1

(M)i ,l1(M)l1,l2 . . . (M)lk1,j .

Co jest dokadnie rwne (Mk)i ,j (prosty argument: indukcja).

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 5/22

Zliczanie marszrut

Chcielibymy powiedzie, na ile sposobw moemy przejpomidzy wierzchokami vi oraz vj uywajc dokadnie k krokw.

Wpierw dla k = 2. Ta liczba to liczba moliwych wierzchokwporednich, czyli

l(M)i ,l(M)l ,j .

Czyli (M2)i ,j .

Oglnie: liczba sposobw przejcia w k krokach tol1,l2,...,lk1

(M)i ,l1(M)l1,l2 . . . (M)lk1,j .

Co jest dokadnie rwne (Mk)i ,j (prosty argument: indukcja).

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 5/22

Zliczanie marszrut

Chcielibymy powiedzie, na ile sposobw moemy przejpomidzy wierzchokami vi oraz vj uywajc dokadnie k krokw.

Wpierw dla k = 2. Ta liczba to liczba moliwych wierzchokwporednich, czyli

l(M)i ,l(M)l ,j .

Czyli (M2)i ,j .

Oglnie: liczba sposobw przejcia w k krokach tol1,l2,...,lk1

(M)i ,l1(M)l1,l2 . . . (M)lk1,j .

Co jest dokadnie rwne (Mk)i ,j (prosty argument: indukcja).

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 5/22

Zliczanie marszrut

Chcielibymy powiedzie, na ile sposobw moemy przejpomidzy wierzchokami vi oraz vj uywajc dokadnie k krokw.

Wpierw dla k = 2. Ta liczba to liczba moliwych wierzchokwporednich, czyli

l(M)i ,l(M)l ,j .

Czyli (M2)i ,j .

Oglnie: liczba sposobw przejcia w k krokach tol1,l2,...,lk1

(M)i ,l1(M)l1,l2 . . . (M)lk1,j .

Co jest dokadnie rwne (Mk)i ,j (prosty argument: indukcja).

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 5/22

Zliczanie marszrut

Chcielibymy powiedzie, na ile sposobw moemy przejpomidzy wierzchokami vi oraz vj uywajc dokadnie k krokw.

Wpierw dla k = 2. Ta liczba to liczba moliwych wierzchokwporednich, czyli

l(M)i ,l(M)l ,j .

Czyli (M2)i ,j .

Oglnie: liczba sposobw przejcia w k krokach tol1,l2,...,lk1

(M)i ,l1(M)l1,l2 . . . (M)lk1,j .

Co jest dokadnie rwne (Mk)i ,j (prosty argument: indukcja).

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 5/22

Zastosowanie

LVI OM, II etap, zadanie 3

W przestrzeni danych jest n (n 2) punktw, z ktrych adne 4 niele na jednej paszczynie. Niektre z tych punktw zostaypoczone odcinkami. Niech K bdzie liczb poprowadzonychodcinkw (K 1), a T liczb powstaych trjktw. Udowodni, e

9T 2 < 2K 3.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 6/22

Problem

LVI OM, II etap, zadanie 3, wersja po ludzku

Wykaza, e dla grafu prostego G = (V ,E ) zachodzi nierwno

9|T |2 2|E |3,

gdzie T jest zbiorem cykli dugoci 3 w G .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 7/22

Zliczanie trjktw

Jak policzy zgrabnie liczb trjktw w G?

Kada marszruta w G dugoci 3 o tym samym pocztku i kocuto trjkt...Wystarczy podnie M do trzeciej potgi, wzi lad i podzieliprzez 6.A jak podobnie w terminach ladu wyrazi liczb krawdzi?Wystarczy podnie M do drugiej potgi, wzi lad i podzieliprzez 2.

Nasza nierwno: 9(tr(M3)

6

)2 2 (tr(M2)2 )3, czyli(tr(M3)

)2 (tr(M2))3 .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 8/22

Zliczanie trjktw

Jak policzy zgrabnie liczb trjktw w G?Kada marszruta w G dugoci 3 o tym samym pocztku i kocuto trjkt...

Wystarczy podnie M do trzeciej potgi, wzi lad i podzieliprzez 6.A jak podobnie w terminach ladu wyrazi liczb krawdzi?Wystarczy podnie M do drugiej potgi, wzi lad i podzieliprzez 2.

Nasza nierwno: 9(tr(M3)

6

)2 2 (tr(M2)2 )3, czyli(tr(M3)

)2 (tr(M2))3 .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 8/22

Zliczanie trjktw

Jak policzy zgrabnie liczb trjktw w G?Kada marszruta w G dugoci 3 o tym samym pocztku i kocuto trjkt...Wystarczy podnie M do trzeciej potgi, wzi lad i podzieliprzez 6.

A jak podobnie w terminach ladu wyrazi liczb krawdzi?Wystarczy podnie M do drugiej potgi, wzi lad i podzieliprzez 2.

Nasza nierwno: 9(tr(M3)

6

)2 2 (tr(M2)2 )3, czyli(tr(M3)

)2 (tr(M2))3 .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 8/22

Zliczanie trjktw

Jak policzy zgrabnie liczb trjktw w G?Kada marszruta w G dugoci 3 o tym samym pocztku i kocuto trjkt...Wystarczy podnie M do trzeciej potgi, wzi lad i podzieliprzez 6.A jak podobnie w terminach ladu wyrazi liczb krawdzi?

Wystarczy podnie M do drugiej potgi, wzi lad i podzieliprzez 2.

Nasza nierwno: 9(tr(M3)

6

)2 2 (tr(M2)2 )3, czyli(tr(M3)

)2 (tr(M2))3 .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 8/22

Zliczanie trjktw

Jak policzy zgrabnie liczb trjktw w G?Kada marszruta w G dugoci 3 o tym samym pocztku i kocuto trjkt...Wystarczy podnie M do trzeciej potgi, wzi lad i podzieliprzez 6.A jak podobnie w terminach ladu wyrazi liczb krawdzi?Wystarczy podnie M do drugiej potgi, wzi lad i podzieliprzez 2.

Nasza nierwno: 9(tr(M3)

6

)2 2 (tr(M2)2 )3, czyli(tr(M3)

)2 (tr(M2))3 .

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 8/22

Zliczanie trjktw

Jak policzy zgrabnie liczb trjktw w G?Kada marszruta w G dugoci 3 o tym samym pocztku i kocuto trjkt...Wystarczy podnie M do trzeciej potgi, wzi lad i podzieliprzez 6.A jak podobnie w terminach ladu wyrazi liczb krawdzi?Wystarczy podnie M do drugiej potgi, wzi lad i podzieliprzez 2.

Nasza nierwno: 9(tr(M3)

6

)2 2 (tr(M2)2 )3, czyli(tr(M3)

)2 (tr(M2))3 .Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 8/22

Jak si robi nierwnoci na ladach?

O macierzy M wiemy, e ma komplet rzeczywistych wartociwasnych 1, 2, . . . , n.

Wartociami wasnymi M2 i M3 s odpowiednio drugie i trzeciepotgi liczb i .Nasza nierwno przyjmuje posta:(

ni=1

3i

)2(

ni=1

2i

)3.

Czyli wystarczy wykaza, e(n

i=1

|i |3) 1

3

(

ni=1

|i |2) 1

2

.

Ale to jest szacowanie normy l3 przez norm l2!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 9/22

Jak si robi nierwnoci na ladach?

O macierzy M wiemy, e ma komplet rzeczywistych wartociwasnych 1, 2, . . . , n.Wartociami wasnymi M2 i M3 s odpowiednio drugie i trzeciepotgi liczb i .

Nasza nierwno przyjmuje posta:(n

i=1

3i

)2(

ni=1

2i

)3.

Czyli wystarczy wykaza, e(n

i=1

|i |3) 1

3

(

ni=1

|i |2) 1

2

.

Ale to jest szacowanie normy l3 przez norm l2!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 9/22

Jak si robi nierwnoci na ladach?

O macierzy M wiemy, e ma komplet rzeczywistych wartociwasnych 1, 2, . . . , n.Wartociami wasnymi M2 i M3 s odpowiednio drugie i trzeciepotgi liczb i .Nasza nierwno przyjmuje posta:(

ni=1

3i

)2(

ni=1

2i

)3.

Czyli wystarczy wykaza, e(n

i=1

|i |3) 1

3

(

ni=1

|i |2) 1

2

.

Ale to jest szacowanie normy l3 przez norm l2!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 9/22

Jak si robi nierwnoci na ladach?

O macierzy M wiemy, e ma komplet rzeczywistych wartociwasnych 1, 2, . . . , n.Wartociami wasnymi M2 i M3 s odpowiednio drugie i trzeciepotgi liczb i .Nasza nierwno przyjmuje posta:(

ni=1

3i

)2(

ni=1

2i

)3.

Czyli wystarczy wykaza, e(n

i=1

|i |3) 1

3

(

ni=1

|i |2) 1

2

.

Ale to jest szacowanie normy l3 przez norm l2!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 9/22

Jak si robi nierwnoci na ladach?

O macierzy M wiemy, e ma komplet rzeczywistych wartociwasnych 1, 2, . . . , n.Wartociami wasnymi M2 i M3 s odpowiednio drugie i trzeciepotgi liczb i .Nasza nierwno przyjmuje posta:(

ni=1

3i

)2(

ni=1

2i

)3.

Czyli wystarczy wykaza, e(n

i=1

|i |3) 1

3

(

ni=1

|i |2) 1

2

.

Ale to jest szacowanie normy l3 przez norm l2!Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 9/22

A co moemy zrobi z wyznacznikiem?

Mamy bardzo ciekawy obiekt algebraiczny: wyznacznik. Moeliczy on co ciekawego?

Uyjemy modyfikacji macierzy ssiedztwa, czyli laplasjanu grafu:

(L)i ,j =

deg vi jeli i = j ,

1 gdy pomidzy vi oraz vj jest krawd,0 w .p.p.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 10/22

A co moemy zrobi z wyznacznikiem?

Mamy bardzo ciekawy obiekt algebraiczny: wyznacznik. Moeliczy on co ciekawego?

Uyjemy modyfikacji macierzy ssiedztwa, czyli laplasjanu grafu:

(L)i ,j =

deg vi jeli i = j ,

1 gdy pomidzy vi oraz vj jest krawd,0 w .p.p.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 10/22

A co moemy zrobi z wyznacznikiem?

Mamy bardzo ciekawy obiekt algebraiczny: wyznacznik. Moeliczy on co ciekawego?

Uyjemy modyfikacji macierzy ssiedztwa, czyli laplasjanu grafu:

(L)i ,j =

deg vi jeli i = j ,

1 gdy pomidzy vi oraz vj jest krawd,0 w .p.p.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 10/22

Laplasjan przykad

1

2

34 5

6 7

3 1 0 1 1 0 01 3 0 1 1 0 00 0 2 0 0 1 11 1 0 4 0 1 11 1 0 0 4 1 10 0 1 1 1 3 00 0 1 1 1 0 3

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 11/22

Laplasjan przykad

1

2

34 5

6 7

3 1 0 1 1 0 01 3 0 1 1 0 00 0 2 0 0 1 11 1 0 4 0 1 11 1 0 0 4 1 10 0 1 1 1 3 00 0 1 1 1 0 3

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 11/22

Drzewa rozpinajce

A teraz co z zupenie innej beczki: drzewo rozpinajce grafu.

Drzewo rozpinajce to podgraf o tym samym zbiorzewierzchokw,

(czyli graf na tym samym zbiorze wierzchokw, ale majcypodzbir krawdzi)

ktry jest drzewem,

(czyli spjnym grafem bez cykli)

w szczeglnoci uspjniajcym wszystkie wierzchoki.

Proste wiczenie 1: drzewo o n wierzchokach ma n 1 krawdzi.Proste wiczenie 2: kady graf spjny ma drzewo rozpinajce.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 12/22

Drzewa rozpinajce

A teraz co z zupenie innej beczki: drzewo rozpinajce grafu.Drzewo rozpinajce to podgraf o tym samym zbiorzewierzchokw,

(czyli graf na tym samym zbiorze wierzchokw, ale majcypodzbir krawdzi)

ktry jest drzewem,

(czyli spjnym grafem bez cykli)

w szczeglnoci uspjniajcym wszystkie wierzchoki.

Proste wiczenie 1: drzewo o n wierzchokach ma n 1 krawdzi.Proste wiczenie 2: kady graf spjny ma drzewo rozpinajce.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 12/22

Drzewa rozpinajce

A teraz co z zupenie innej beczki: drzewo rozpinajce grafu.Drzewo rozpinajce to podgraf o tym samym zbiorzewierzchokw,

(czyli graf na tym samym zbiorze wierzchokw, ale majcypodzbir krawdzi)

ktry jest drzewem,

(czyli spjnym grafem bez cykli)

w szczeglnoci uspjniajcym wszystkie wierzchoki.

Proste wiczenie 1: drzewo o n wierzchokach ma n 1 krawdzi.Proste wiczenie 2: kady graf spjny ma drzewo rozpinajce.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 12/22

Drzewa rozpinajce

A teraz co z zupenie innej beczki: drzewo rozpinajce grafu.Drzewo rozpinajce to podgraf o tym samym zbiorzewierzchokw,

(czyli graf na tym samym zbiorze wierzchokw, ale majcypodzbir krawdzi)

ktry jest drzewem,

(czyli spjnym grafem bez cykli)

w szczeglnoci uspjniajcym wszystkie wierzchoki.

Proste wiczenie 1: drzewo o n wierzchokach ma n 1 krawdzi.Proste wiczenie 2: kady graf spjny ma drzewo rozpinajce.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 12/22

Drzewa rozpinajce

A teraz co z zupenie innej beczki: drzewo rozpinajce grafu.Drzewo rozpinajce to podgraf o tym samym zbiorzewierzchokw,

(czyli graf na tym samym zbiorze wierzchokw, ale majcypodzbir krawdzi)

ktry jest drzewem,(czyli spjnym grafem bez cykli)

w szczeglnoci uspjniajcym wszystkie wierzchoki.

Proste wiczenie 1: drzewo o n wierzchokach ma n 1 krawdzi.Proste wiczenie 2: kady graf spjny ma drzewo rozpinajce.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 12/22

Drzewa rozpinajce

A teraz co z zupenie innej beczki: drzewo rozpinajce grafu.Drzewo rozpinajce to podgraf o tym samym zbiorzewierzchokw,

(czyli graf na tym samym zbiorze wierzchokw, ale majcypodzbir krawdzi)

ktry jest drzewem,(czyli spjnym grafem bez cykli)

w szczeglnoci uspjniajcym wszystkie wierzchoki.

Proste wiczenie 1: drzewo o n wierzchokach ma n 1 krawdzi.Proste wiczenie 2: kady graf spjny ma drzewo rozpinajce.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 12/22

Drzewa rozpinajce

A teraz co z zupenie innej beczki: drzewo rozpinajce grafu.Drzewo rozpinajce to podgraf o tym samym zbiorzewierzchokw,

(czyli graf na tym samym zbiorze wierzchokw, ale majcypodzbir krawdzi)

ktry jest drzewem,(czyli spjnym grafem bez cykli)

w szczeglnoci uspjniajcym wszystkie wierzchoki.

Proste wiczenie 1: drzewo o n wierzchokach ma n 1 krawdzi.

Proste wiczenie 2: kady graf spjny ma drzewo rozpinajce.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 12/22

Drzewa rozpinajce

A teraz co z zupenie innej beczki: drzewo rozpinajce grafu.Drzewo rozpinajce to podgraf o tym samym zbiorzewierzchokw,

(czyli graf na tym samym zbiorze wierzchokw, ale majcypodzbir krawdzi)

ktry jest drzewem,(czyli spjnym grafem bez cykli)

w szczeglnoci uspjniajcym wszystkie wierzchoki.

Proste wiczenie 1: drzewo o n wierzchokach ma n 1 krawdzi.Proste wiczenie 2: kady graf spjny ma drzewo rozpinajce.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 12/22

Drzewo rozpinajce przykad

1

2

34 5

6 7

1

2

34 5

6 7

1

2

34 5

6 7

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 13/22

Drzewo rozpinajce przykad

1

2

34 5

6 7

1

2

34 5

6 7

1

2

34 5

6 7

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 13/22

Drzewo rozpinajce przykad

1

2

34 5

6 7

1

2

34 5

6 7

1

2

34 5

6 7

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 13/22

Twierdzenie Kirchoffa

Wykonaj magiczny przepis:

napisz laplasjan grafu;wykrel dowolny wiersz i kolumn o tym samym numerze;oblicz wyznacznik otrzymanej macierzy;

a wyjdzie Ci liczba drzew rozpinajcych grafu G .

Uwaga: To pokazuje, e liczenie liczby drzew rozpinajcych jestw P , mimo, e moe ich by wykadniczo wiele!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 14/22

Twierdzenie Kirchoffa

Wykonaj magiczny przepis:napisz laplasjan grafu;

wykrel dowolny wiersz i kolumn o tym samym numerze;oblicz wyznacznik otrzymanej macierzy;

a wyjdzie Ci liczba drzew rozpinajcych grafu G .

Uwaga: To pokazuje, e liczenie liczby drzew rozpinajcych jestw P , mimo, e moe ich by wykadniczo wiele!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 14/22

Twierdzenie Kirchoffa

Wykonaj magiczny przepis:napisz laplasjan grafu;wykrel dowolny wiersz i kolumn o tym samym numerze;

oblicz wyznacznik otrzymanej macierzy;

a wyjdzie Ci liczba drzew rozpinajcych grafu G .

Uwaga: To pokazuje, e liczenie liczby drzew rozpinajcych jestw P , mimo, e moe ich by wykadniczo wiele!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 14/22

Twierdzenie Kirchoffa

Wykonaj magiczny przepis:napisz laplasjan grafu;wykrel dowolny wiersz i kolumn o tym samym numerze;oblicz wyznacznik otrzymanej macierzy;

a wyjdzie Ci liczba drzew rozpinajcych grafu G .

Uwaga: To pokazuje, e liczenie liczby drzew rozpinajcych jestw P , mimo, e moe ich by wykadniczo wiele!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 14/22

Twierdzenie Kirchoffa

Wykonaj magiczny przepis:napisz laplasjan grafu;wykrel dowolny wiersz i kolumn o tym samym numerze;oblicz wyznacznik otrzymanej macierzy;

a wyjdzie Ci liczba drzew rozpinajcych grafu G .

Uwaga: To pokazuje, e liczenie liczby drzew rozpinajcych jestw P , mimo, e moe ich by wykadniczo wiele!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 14/22

Twierdzenie Kirchoffa

Wykonaj magiczny przepis:napisz laplasjan grafu;wykrel dowolny wiersz i kolumn o tym samym numerze;oblicz wyznacznik otrzymanej macierzy;

a wyjdzie Ci liczba drzew rozpinajcych grafu G .

Uwaga: To pokazuje, e liczenie liczby drzew rozpinajcych jestw P , mimo, e moe ich by wykadniczo wiele!

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 14/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa [wersja prof. Ryttera]

Dla ustalenia uwagi z macierzy wykrelamy pierwszy wiersz ipierwsz kolumn.

Wyznacznik jest rozdzielny ze wzgldu na sum pojedynczegowiersza.Po kolei i -ty wiersz dzielimy na sum deg vi wierszy z jednjedynk (pochodzc z diagonali) i jedn minus jedynk(pochodzc z krawdzi)

Uwaga: Minus jedynki moe nie by, jeli krawd prowadziado wierzchoka v1.

Stosujc rozdzielno dostajemy, e det L =

S det LS , gdzie LSodpowiada macierzy powstaej w wyniku wyboru dla kadegowierzchoka v2, v3, . . . , vn jakiej incydentnej krawdzi.Pokaemy, e det LS wynosi 1 gdy S odpowiada wyborowidrzewa rozpinajcego oraz 0 w przeciwnym przypadku.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 15/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa [wersja prof. Ryttera]

Dla ustalenia uwagi z macierzy wykrelamy pierwszy wiersz ipierwsz kolumn.Wyznacznik jest rozdzielny ze wzgldu na sum pojedynczegowiersza.

Po kolei i -ty wiersz dzielimy na sum deg vi wierszy z jednjedynk (pochodzc z diagonali) i jedn minus jedynk(pochodzc z krawdzi)

Uwaga: Minus jedynki moe nie by, jeli krawd prowadziado wierzchoka v1.

Stosujc rozdzielno dostajemy, e det L =

S det LS , gdzie LSodpowiada macierzy powstaej w wyniku wyboru dla kadegowierzchoka v2, v3, . . . , vn jakiej incydentnej krawdzi.Pokaemy, e det LS wynosi 1 gdy S odpowiada wyborowidrzewa rozpinajcego oraz 0 w przeciwnym przypadku.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 15/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa [wersja prof. Ryttera]

Dla ustalenia uwagi z macierzy wykrelamy pierwszy wiersz ipierwsz kolumn.Wyznacznik jest rozdzielny ze wzgldu na sum pojedynczegowiersza.Po kolei i -ty wiersz dzielimy na sum deg vi wierszy z jednjedynk (pochodzc z diagonali) i jedn minus jedynk(pochodzc z krawdzi)

Uwaga: Minus jedynki moe nie by, jeli krawd prowadziado wierzchoka v1.

Stosujc rozdzielno dostajemy, e det L =

S det LS , gdzie LSodpowiada macierzy powstaej w wyniku wyboru dla kadegowierzchoka v2, v3, . . . , vn jakiej incydentnej krawdzi.Pokaemy, e det LS wynosi 1 gdy S odpowiada wyborowidrzewa rozpinajcego oraz 0 w przeciwnym przypadku.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 15/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa [wersja prof. Ryttera]

Dla ustalenia uwagi z macierzy wykrelamy pierwszy wiersz ipierwsz kolumn.Wyznacznik jest rozdzielny ze wzgldu na sum pojedynczegowiersza.Po kolei i -ty wiersz dzielimy na sum deg vi wierszy z jednjedynk (pochodzc z diagonali) i jedn minus jedynk(pochodzc z krawdzi)

Uwaga: Minus jedynki moe nie by, jeli krawd prowadziado wierzchoka v1.

Stosujc rozdzielno dostajemy, e det L =

S det LS , gdzie LSodpowiada macierzy powstaej w wyniku wyboru dla kadegowierzchoka v2, v3, . . . , vn jakiej incydentnej krawdzi.Pokaemy, e det LS wynosi 1 gdy S odpowiada wyborowidrzewa rozpinajcego oraz 0 w przeciwnym przypadku.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 15/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa [wersja prof. Ryttera]

Dla ustalenia uwagi z macierzy wykrelamy pierwszy wiersz ipierwsz kolumn.Wyznacznik jest rozdzielny ze wzgldu na sum pojedynczegowiersza.Po kolei i -ty wiersz dzielimy na sum deg vi wierszy z jednjedynk (pochodzc z diagonali) i jedn minus jedynk(pochodzc z krawdzi)

Uwaga: Minus jedynki moe nie by, jeli krawd prowadziado wierzchoka v1.

Stosujc rozdzielno dostajemy, e det L =

S det LS , gdzie LSodpowiada macierzy powstaej w wyniku wyboru dla kadegowierzchoka v2, v3, . . . , vn jakiej incydentnej krawdzi.

Pokaemy, e det LS wynosi 1 gdy S odpowiada wyborowidrzewa rozpinajcego oraz 0 w przeciwnym przypadku.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 15/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa [wersja prof. Ryttera]

Dla ustalenia uwagi z macierzy wykrelamy pierwszy wiersz ipierwsz kolumn.Wyznacznik jest rozdzielny ze wzgldu na sum pojedynczegowiersza.Po kolei i -ty wiersz dzielimy na sum deg vi wierszy z jednjedynk (pochodzc z diagonali) i jedn minus jedynk(pochodzc z krawdzi)

Uwaga: Minus jedynki moe nie by, jeli krawd prowadziado wierzchoka v1.

Stosujc rozdzielno dostajemy, e det L =

S det LS , gdzie LSodpowiada macierzy powstaej w wyniku wyboru dla kadegowierzchoka v2, v3, . . . , vn jakiej incydentnej krawdzi.Pokaemy, e det LS wynosi 1 gdy S odpowiada wyborowidrzewa rozpinajcego oraz 0 w przeciwnym przypadku.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 15/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

S to przyporzdkowanie wierzchokom v2, . . . , vn krawdzi z nimiincydentnych.

S dwie moliwoci:

krawdzie wybrane w S tworz drzewo rozpinajce;krawdzie wybrane w S zawieraj cykl (by moe dugoci 2,gdy pewna krawd wybrana przez oba jej koce).

Jeli S zawiera cykl to dodajc wiersze odpowiadajcekrawdziom tego cyklu dostajemy wektor zerowy!

Czyli wtedy macierz jest osobliwa, czyli det LS = 0.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 16/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

S to przyporzdkowanie wierzchokom v2, . . . , vn krawdzi z nimiincydentnych.S dwie moliwoci:

krawdzie wybrane w S tworz drzewo rozpinajce;krawdzie wybrane w S zawieraj cykl (by moe dugoci 2,gdy pewna krawd wybrana przez oba jej koce).

Jeli S zawiera cykl to dodajc wiersze odpowiadajcekrawdziom tego cyklu dostajemy wektor zerowy!

Czyli wtedy macierz jest osobliwa, czyli det LS = 0.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 16/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

S to przyporzdkowanie wierzchokom v2, . . . , vn krawdzi z nimiincydentnych.S dwie moliwoci:

krawdzie wybrane w S tworz drzewo rozpinajce;

krawdzie wybrane w S zawieraj cykl (by moe dugoci 2,gdy pewna krawd wybrana przez oba jej koce).

Jeli S zawiera cykl to dodajc wiersze odpowiadajcekrawdziom tego cyklu dostajemy wektor zerowy!

Czyli wtedy macierz jest osobliwa, czyli det LS = 0.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 16/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

S to przyporzdkowanie wierzchokom v2, . . . , vn krawdzi z nimiincydentnych.S dwie moliwoci:

krawdzie wybrane w S tworz drzewo rozpinajce;krawdzie wybrane w S zawieraj cykl (by moe dugoci 2,gdy pewna krawd wybrana przez oba jej koce).

Jeli S zawiera cykl to dodajc wiersze odpowiadajcekrawdziom tego cyklu dostajemy wektor zerowy!

Czyli wtedy macierz jest osobliwa, czyli det LS = 0.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 16/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

S to przyporzdkowanie wierzchokom v2, . . . , vn krawdzi z nimiincydentnych.S dwie moliwoci:

krawdzie wybrane w S tworz drzewo rozpinajce;krawdzie wybrane w S zawieraj cykl (by moe dugoci 2,gdy pewna krawd wybrana przez oba jej koce).

Jeli S zawiera cykl to dodajc wiersze odpowiadajcekrawdziom tego cyklu dostajemy wektor zerowy!

Czyli wtedy macierz jest osobliwa, czyli det LS = 0.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 16/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

S to przyporzdkowanie wierzchokom v2, . . . , vn krawdzi z nimiincydentnych.S dwie moliwoci:

krawdzie wybrane w S tworz drzewo rozpinajce;krawdzie wybrane w S zawieraj cykl (by moe dugoci 2,gdy pewna krawd wybrana przez oba jej koce).

Jeli S zawiera cykl to dodajc wiersze odpowiadajcekrawdziom tego cyklu dostajemy wektor zerowy!

Czyli wtedy macierz jest osobliwa, czyli det LS = 0.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 16/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

A co jak S jest drzewem rozpinajcym?

Bdziemy redukowa macierz LS do macierzy identycznociowej,tak jak dzieci w przedszkolach.

Spjrzmy na wierzchoek vl ssiadujcy w drzewie z v1 dlaniego mamy l-ty wiersz z samotn jedynk na diagonali.

Tym wierszem redukujemy wszystkie wiersze pozostaychssiadw vl .

Redukujemy tak w d drzewa a do macierzy identycznociowej,o wyznaczniku 1.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 17/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

A co jak S jest drzewem rozpinajcym?

Bdziemy redukowa macierz LS do macierzy identycznociowej,tak jak dzieci w przedszkolach.

Spjrzmy na wierzchoek vl ssiadujcy w drzewie z v1 dlaniego mamy l-ty wiersz z samotn jedynk na diagonali.

Tym wierszem redukujemy wszystkie wiersze pozostaychssiadw vl .

Redukujemy tak w d drzewa a do macierzy identycznociowej,o wyznaczniku 1.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 17/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

A co jak S jest drzewem rozpinajcym?

Bdziemy redukowa macierz LS do macierzy identycznociowej,tak jak dzieci w przedszkolach.

Spjrzmy na wierzchoek vl ssiadujcy w drzewie z v1 dlaniego mamy l-ty wiersz z samotn jedynk na diagonali.

Tym wierszem redukujemy wszystkie wiersze pozostaychssiadw vl .

Redukujemy tak w d drzewa a do macierzy identycznociowej,o wyznaczniku 1.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 17/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

A co jak S jest drzewem rozpinajcym?

Bdziemy redukowa macierz LS do macierzy identycznociowej,tak jak dzieci w przedszkolach.

Spjrzmy na wierzchoek vl ssiadujcy w drzewie z v1 dlaniego mamy l-ty wiersz z samotn jedynk na diagonali.

Tym wierszem redukujemy wszystkie wiersze pozostaychssiadw vl .

Redukujemy tak w d drzewa a do macierzy identycznociowej,o wyznaczniku 1.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 17/22

Dowd twierdzenia Kirchoffa

A co jak S jest drzewem rozpinajcym?

Bdziemy redukowa macierz LS do macierzy identycznociowej,tak jak dzieci w przedszkolach.

Spjrzmy na wierzchoek vl ssiadujcy w drzewie z v1 dlaniego mamy l-ty wiersz z samotn jedynk na diagonali.

Tym wierszem redukujemy wszystkie wiersze pozostaychssiadw vl .

Redukujemy tak w d drzewa a do macierzy identycznociowej,o wyznaczniku 1.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 17/22

Co jeszcze mona zrobi z wyznacznikiem?

Mamy ciekaw formu permutacyjn na wyznacznik, moe onaumie co ciekawego liczy w grafie?

Graf dwudzielny, to taki, ktrego wierzchoki dziel si na dwiegrupy: lewe i prawe, za krawdzie cz tylko lewe z prawymi.

Doskonae skojarzenie w grafie dwudzielnym to bijektywneprzyporzdkowanie wierzchokom z lewej wierzchokw z prawejtak, by kady wierzchoek mia przyporzdkowanego swojegossiada.

Chcielibymy policzy liczb doskonaych skojarze w grafie.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 18/22

Co jeszcze mona zrobi z wyznacznikiem?

Mamy ciekaw formu permutacyjn na wyznacznik, moe onaumie co ciekawego liczy w grafie?

Graf dwudzielny, to taki, ktrego wierzchoki dziel si na dwiegrupy: lewe i prawe, za krawdzie cz tylko lewe z prawymi.

Doskonae skojarzenie w grafie dwudzielnym to bijektywneprzyporzdkowanie wierzchokom z lewej wierzchokw z prawejtak, by kady wierzchoek mia przyporzdkowanego swojegossiada.

Chcielibymy policzy liczb doskonaych skojarze w grafie.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 18/22

Co jeszcze mona zrobi z wyznacznikiem?

Mamy ciekaw formu permutacyjn na wyznacznik, moe onaumie co ciekawego liczy w grafie?

Graf dwudzielny, to taki, ktrego wierzchoki dziel si na dwiegrupy: lewe i prawe, za krawdzie cz tylko lewe z prawymi.

Doskonae skojarzenie w grafie dwudzielnym to bijektywneprzyporzdkowanie wierzchokom z lewej wierzchokw z prawejtak, by kady wierzchoek mia przyporzdkowanego swojegossiada.

Chcielibymy policzy liczb doskonaych skojarze w grafie.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 18/22

Co jeszcze mona zrobi z wyznacznikiem?

Mamy ciekaw formu permutacyjn na wyznacznik, moe onaumie co ciekawego liczy w grafie?

Graf dwudzielny, to taki, ktrego wierzchoki dziel si na dwiegrupy: lewe i prawe, za krawdzie cz tylko lewe z prawymi.

Doskonae skojarzenie w grafie dwudzielnym to bijektywneprzyporzdkowanie wierzchokom z lewej wierzchokw z prawejtak, by kady wierzchoek mia przyporzdkowanego swojegossiada.

Chcielibymy policzy liczb doskonaych skojarze w grafie.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 18/22

Przykad

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 19/22

Przykad

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 19/22

Macierz ssiedztwa grafu dwudzielnego

Z grafem dwudzielnym o n wierzchokach z prawej i m z lewejmoemy stowarzyszy macierz A wymiaru n m:

(A)i ,j =

1 gdy pomidzy vi oraz wj jest krawd,0 w .p.p. .

Liczba doskonaych skojarze:

per A =piSn

(A)1,pi(1)(A)2,pi(2) . . . (A)1,pi(n).

Wyznacznik:

detA =piSn

(1)(pi)(A)1,pi(1)(A)2,pi(2) . . . (A)1,pi(n).

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 20/22

Macierz ssiedztwa grafu dwudzielnego

Z grafem dwudzielnym o n wierzchokach z prawej i m z lewejmoemy stowarzyszy macierz A wymiaru n m:

(A)i ,j =

1 gdy pomidzy vi oraz wj jest krawd,0 w .p.p. .Liczba doskonaych skojarze:

per A =piSn

(A)1,pi(1)(A)2,pi(2) . . . (A)1,pi(n).

Wyznacznik:

detA =piSn

(1)(pi)(A)1,pi(1)(A)2,pi(2) . . . (A)1,pi(n).

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 20/22

Macierz ssiedztwa grafu dwudzielnego

Z grafem dwudzielnym o n wierzchokach z prawej i m z lewejmoemy stowarzyszy macierz A wymiaru n m:

(A)i ,j =

1 gdy pomidzy vi oraz wj jest krawd,0 w .p.p. .Liczba doskonaych skojarze:

per A =piSn

(A)1,pi(1)(A)2,pi(2) . . . (A)1,pi(n).

Wyznacznik:

detA =piSn

(1)(pi)(A)1,pi(1)(A)2,pi(2) . . . (A)1,pi(n).

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 20/22

Permanent a wyznacznik

Niestety, permanent to nie wyznacznik...

Ale modulo 2 ju jest!

Czyli umiemy policzy parzysto liczby skojarze w grafie,nawet wielomianowo.

Ale samej liczby ju nie: obliczenie permanentu macierzyzerojedynkowej jest NP-trudne.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 21/22

Permanent a wyznacznik

Niestety, permanent to nie wyznacznik...

Ale modulo 2 ju jest!

Czyli umiemy policzy parzysto liczby skojarze w grafie,nawet wielomianowo.

Ale samej liczby ju nie: obliczenie permanentu macierzyzerojedynkowej jest NP-trudne.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 21/22

Permanent a wyznacznik

Niestety, permanent to nie wyznacznik...

Ale modulo 2 ju jest!

Czyli umiemy policzy parzysto liczby skojarze w grafie,nawet wielomianowo.

Ale samej liczby ju nie: obliczenie permanentu macierzyzerojedynkowej jest NP-trudne.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 21/22

Permanent a wyznacznik

Niestety, permanent to nie wyznacznik...

Ale modulo 2 ju jest!

Czyli umiemy policzy parzysto liczby skojarze w grafie,nawet wielomianowo.

Ale samej liczby ju nie: obliczenie permanentu macierzyzerojedynkowej jest NP-trudne.

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 21/22

Dzikuj za uwag

Pytania?

Micha Pilipczuk Algebraiczna teoria grafw 22/22