************** ***********************

A RA

T I SN AE

i

C O N S O N LE T

DISSONILIBER TERTIVS

A R. I T H M E T I C V S-De Harmonicomm Numerorum Dodrina

.

P R AE F A T I O.\VM fingula corpora harmonice percujfadifferentes fonos nttnc confo-nos) mqdb diffonos, iam ex -vtrifque mixtos, habere experientia doceat.Quanam buius aut dijfonantia, aut confotuntite caufafit , hoc libro de-monttrandum duximus

. Quoniam vero tota vis huius rei in numero-&S rum aliter atque aliter ad inuicem comparatorum naturd confiftit

;

primo ArithmeUcam harmonicam pramittere " ifum eil > vt caufam_>ordinis rerum,& harmonia totius maiori ordine,& ab omni confufione

,

V

Lib. 111. De Harmnicorum Numerorum DoclrinA . 8

1

Definitiones in Mufica

.

i' VNISONVS ,fiue ,>

JU 4rtis Magfi* Confoni-, (*> Dijjoni,

C A P V T I.pe Proportionibus earumque defmition^,

&diuision.

VT vis, & natura Mufica? cxa^ius peruideatiir, prdo poftulare videtur, vt primoloco de numerorum piy? feu ratione, & analogia dicamus . Euclides itaqu^in Definitionjbuslibri V.Rationem ficdefinit- Rafio (Ccuquodidcm cft Proportio^

Quid fit esl duarum. quantfcumquefint eiufdemgeneris quanticatumcerta alterius ad.aUeram babi-

r^A :. ^.Atquevtr

iam,vitad.Tprol!xitat:s-gratiavarijs quantiratumdiuifionibusomifliS,

de folisnumerorumRationibusagamus, primo dttfinirionemponimus Rationis. vt

fequirur . Ratio eH duorum numerorum alterius adalteruni cerfa babitudofeu comparatio;

hoc eft: quilibet numerus cum alio comparari poteft, eique vel aequalis , vel insqualis

deprehenditur. Sisqualiseft, irt+ ad^ Ratio vocabitur aequaliratis, quam, vtpoteinepta ad muficam, repudiamus . Si vero ei fuerit inarqualis; Ratio dicetur inxquah-

tatis, cuius generis dua; numerantur fpecies, nempe ratio maioris inxqualitatis, & ra-tio minorismsqualitatis; vtramque hic explicandam duximus .

Numerus qui ad aliumcomparatur, vocaturantecedens, alterverb ad quemfie

collatio, confequens . Si itaque antecedens maior fit , comparatio feu ratio illa Maio-

risinsqualitatis vocabitur. vt 6 ad 3 Sivero antecedens minus fuerit confequente,

Minoris insequalifatis ratio erit , vt 3 ad 6 & huic fempcr praeponunt praspofinonera..( fubj ita vt h# du* proportiones maioris & minoris inxqualitatis , fic exprimantur:ad 3 eft duplajat 3 ad 6,fubdupla . Porro quinque funt fpecies Rationis maioris ina^

qualiratis. Vtfequitur. f i 1 Multiplex.

4 Tresfuntfimplices j2 Superparticularis.

Quarum rurfum. ?. 1 3 Superpartiens.r J Dusexfuperioribus^ 4 Multiplexfuperparticulans

.

1 compoficaj L 5 Multiplex fuperpartiens.

Multiplex eft. quanno antecedens ipfum confequens aliquoties feu amplius quam_,

Qmd fit fcmel exade continet, hoc eft, quando antecedens a confequente ita numeratur , feumultiplex

j ta diuiditur , vt nihil fuperfit . vt 4 ad 2 ratio dupla eft , & 9 ad 3 tripla,& fimiles aliaa^ a" ' innumera;; nam fpecies huius proportionis finita; in infinitum dari poflunt , quarunu.

tamen omnium minima , eft dupla , maxima vero aflignari non poteft, cum nulla ra-tio ita ma^na fit , cui maior dari non poflit , vt in hac naturali numerorum ferie patet

1 23 45 67 89 in quafecundus adprimumeftduplus, tertius ad primumtriplus,quartus quadruplus , & fic infinitum

.

Quid fu- Superparticularis ratioeft quando antecedens fuperat ipfum confequens itate_jrperparticu tantum) vt 3 ad 2 rationem habetfefquialteram.quia 3 numerum z femel &dimidiiiiwisRstio

ciuscontjnet ; ltera 4 ad 3 rationem obtinent fefquitertiam, nam 4 numerum 3 ff-jmelcontinet,&iofuperadhuceiuspartcmtertiam; Harum rationum omnium ma-xim*funt,fcfquialtcra j&ftfquitertia,minima: vtpoteininfinitum diminuibiles yerbis

vti non exprimi, ita nec animo concipi poflunt . Eft autem fefquialtera vel fefquitertia

contraria dupls, hsc enim minima in infinitum crefcens protenditur , ills maximaj minfinitum defcrefcentes protenduntur.

Qmdfu- SuperpaTtiensRatioeftcumantecedensfuumcofequens.femel&infupereiusnonpeiparties vnam , fed aliquot partesadhuc continet 5 vts ad 3 rationem habetfuperbipartiente

io tertiasjqushabetur,fimai0remterminumperminoremdiuidas,- 3enimins lemelrnn.con-

Ltb. 111. De Harmomcorum Kumerorum Doclrinct. 8 1

continctur,&reIinquuntur^ numerusrationisfuperbiparticntistertias . Habetqucfpccics prorfus infinitas

.

Si enim maiorcm continet femel,& adhuc duas tertias vo-cabitur proportiofuperb.partienstertias, fi infuper adhuc habuerit duas quartas

, autquintas, fextas, feptimas, oftauas, vocabitur proportio fuperbipartiens quartas, quin-tas,fextas,feptimas,oaauas &c. Iterum fr maior continuerit minorem fcmel.&adhuctrcs, quatuor, qmnque

,

fex, feptimas, oitauas i rionas &c. vocabitur proportio fuper-tripartiens

,fupetquadripartiens

, fuperquintupartiens , fuperfextuparticns feptimas,octauas, nonas, & fic in inhnitum, vt in exemplo .

II. Exemplum Superpartientium

.

3 5 Superbipartiens tertias

.

4 7 Supcrtripartiens quartas.5 9 Superquadrupartiensquintas.6 n Superquintupartiens fextas

.

7 1 3 Superfextupartiens feptimas.

8 i s Superfeptuparticns oftauas

.

9 17 SuperoSupartiens nonas.

I. Exemplum multiplicium

,

Dupli.I 2 3 4 S2468 10

Tripli.

34569 u 15

Quadrupli.12 3 4 54 8 iz 16 20

Sefquialtcri

.

III. Exemplumfuperparticularium

.

Sefquitertij . Sefquiquarti.

3 I 6 | 9 I 12 I iS I 18 I2 ! 4 | 6 I 8 i 10 I 12 I

| 4 | 8 | 12 | 16 I 20 | 24 | I5 | 10 | is l 20 | 25 I 30I3J6I 9 } 12 I 15 I 18 I |4 I 8 j 12 I 16 I 20 I. 2+

Porro propo: tio multiplex fuperparticularis eft quando maior minorem aliquotiescontinct, &adhuceiijs partem aliquotam , vt ^ad^continet enim9quatuor bis, &adhuc vnam qua-tam minoris numeri fiue quaternarij, eftque compotita ex multipli-ci, &fuperpart>culari, continet autem, & hae~proportioinfinitasfpccies, tam expartemultiplicis, quam expartefuperparticulari . Exemplum fequitur.

II. Exemplum .Multipliciumfuperpartientium.

TERMINI.

I. Exemplum

Multipltciumfuperparticularium.

* 3 4Dupli s\ 7 9Tripli 710 13Quadrupli 9J13 17Quintupli nScxtupli 13

16 2119 2S

7?o

c e

5 3.

s

1

1

16

212631r?

6

13192S31

37

c

7

IS22293643

c

I II III VI

c

-

' sc c ti 5'S.=?. a. 3

Aduerteprimitmexemplum hJc ratione e(Te intelligendiim. In_>qnauis columna numeras in c*pite pofitus refpedu numerorum in_>eadem columru pofitorunj femperfuam denominationem multipliceaccipitfecundum voces ad latus finiltrum ordine pofius ; denominationem vero fuperparticuUrem fumit a voce intra fcripta, & refpon-dentieidemcoluinnje &c.vt v g.in primacolum.aad j habetpro-portionem duplam fefquialteram, ad7. yer6, tripUm fefquialteramad^. nabetquadrupUmfefquialteram , &c Similitcr infecundaco-Jumna 3 ad 7 habct proportionem duplamfefquitertiam,ad iO.habettriplam fefqmterCiam,& fit de cxteris

.

DupliSuperbipar-tientes 3

DupliSupertripar-tientes 4

DupliSuperquadripartientes s

Tripli

Superbipar-tientes 3

TripliSupertripartientes 4

41 1

S

14

3z 1

415

616

8

22

1028

622

9,1224 32t_

12 l6

3 3 44

iS 20

tfS

9 12

33 t_

12 16

145 6oi

L z P;o

84 Arth Magtf&Qopfoni, g\ piffoniProportiodeniquemultiplexfupcrpartienseitnumeius, quiadaliumcomparatus

continctipfum pIufquatt'ftmiJpV^tiiisadhuc! alJq"uaspartes aliquotasj poteftqtm_,

'

coptipgere infinitis.njodg fb:Sr eqjmynusrnum.er.uSfContinet alium plufquam femdfcilicet pis, ^^cius^dh'uc^s,fJerfi4slpar?;es,-d!"e?tM^yPla fuperbipartiens tertiasr ggin fccun

tib. 111. De Harmonicorum Numerorum Dotfrina. 8 s

Propositio III.

Continuarefuperpartientem proportionem,

DAtus numerusf tot vnitatibus maiordenominatorepirtium aliquotarum , duaiinproportionenominantur.quotpartesineademproporrioneexprimuntur) da-

bit primam proportionem fuperpartientempropolits fpeciei ad numerum eafdem_>partesdcnominantem,quiduonumcriduplicati, triplicati,autper quem.uisalium nu-merurri multiplicatidabunt feeundam,tertiam prOportionem,& fic confequenrer, v.g.Siquiscontinuaredefiderer proportionerri fuperbiparrentern tertias, habemus hicduo in proportione nota primum eft vox BI alterumeft ( tertias . ) Huic fgiturternario numeroaddemusduo& prouenient s.dico j ad 3 efle proportionem fuper-tripartientem tertias quaefitam, & quidem in minimis terminis exprelTam , hoc ll du-plices,prodibitfecunda huius fpeciei proportio; fi eos triplices producetur tertiapro-portio, & lic de coeteris, vt fequitur

,

Superbiparrientestertias. Supertripartientesquartas. Superquadrupartientesquintas.

5 | 10 l IS | 20 | 2S 1 30J

1 7 I 14 21 I - | 3S I 42! I 9 ! 18 I 27 I 36 | 4.5 I 543! 6 ! 9 I 12 I 1 5 ! 1 8 I ! 4 I 8 3 2 I 1 6 I 20 I 24 I I s I 1 o ! 1 S I 20 I 2 S I 3 o

Propofitio IV,

JProportionem multipiicem fuperparticularem reperire,

SI dominatorem partisaliquota; perdenominatorem multiplicis multiplicemus,produ&oque addamus vnitatem, habebimus priraam propolltae fpeciei propor-tionem ; Vt fiinuenire velimus omnes numeros proportionis fextupIae,fefquinona;,du-cemus 9 denominatorem partis nonae in 6 denominatorem multiplicis proportionis ,produdtoque numero S4addemus 1 conflatufque numerus 5 5 ad 9 denominatorempartisnonaeexprefsedabitprimamproportionemfextuplam, fefquinonam

, minimisterminis cxpreflam;quam fiduplemusdabunt 110& isfecundam propofitae fpecieiproportionem , & ficininfinitum cos multiplicandofemper hu us fpeciei produceturproportio. Itafiduplam fefquialteram defideres.ducantur 2,quam fefquialtera pate-facit,in2quammultiplexvidelicetdenotat, producenturqueaddita vnitate s.Quinq.igiturad2primaefthuiusfpecieiproportiominimisterminisexpreffa,quam Ci duples,prodibit io&4fecuuda proportio, &ficperquemuis numerum multiplicando mim-mos hofce tcrminos femper eiufdem fpeciei proportionem produces

.

Proportiones duple, fefquialtere,

.

I 5 I 10 l iS l 20 j 25 1 30 | 35 I 4 1 45 j SO I SS I 60 j1 2, 1 4 j 6 i 8 j 10 j 12 i 14

1

16 1 18 ! 20J22J2+1

Proportiones tripl^ fefquifeptime,

.

I 22 I 44 I 66 1 88 J 1 10 I 132 l x 54 I * 76 I 19S 11 7 | iVfjai j*28 I 35 ! *2 j 49 \ S6 j 63 j^

Pro-

8merum 8 otupartiente,Na conflatus numerus 52 ad 1-1 denominatorepartium,habetprimaproportionem quapfitamjquiduplicati dabunt 1043^22 fecundamproportioiiem vfqueininrinitum> vtpatet in exemplo .

1. .

/. Exemplum ,

Proportiones quadruple, fapero&upartientes vndccimas r

I52^1 104 I I5

Lib.lll. DeHarmomcorumNumefWtAm Doclrina. 87non autem quilibet cum proximepraecedente, vtinhisnumeris contingir 4. 7 ,8 1 r,3033 nam eadem eftdiftcrentia inter binos 4.7 &8.11 & 30.33 nonautem inter^.z &

,

7.8&C.GEOMETRICA proportionalitas fiue Medietas cft, quando tres, vel plures numeri

eandem proportionem habont,atqueh.tcproprieproportiohalitas, fiueanalogia dici-tur,lupradirta vero improprie , cum non fiteadem femper interearum terminospro-portio, ita vtrecliusMedietatesdicanturproprermediostenninos ,qui certa quadamrationc inter cxtremos interijciuntur, vt hi numcri 2 4.S.1 6.quoniam quilibet ad fuuriiantcccdentcmeandemhabet proportionem duplam, conftituuntproportionjlitatemgeomctricam . Eftque duplex etiam Continua fcil. & difcreta s Continua cernitur iniam a"atis numeris;D'fcreta autem in hifce fex 2.4.12.24.30.60 bini enim rantum fcm-perduplam inter fehabcntproportionem, nonautem quilibet ad proximum ante-cedentcm

,

MVSICA fiueharmorrica proportionalitasaut medietaseft,quando rresnumeri Mnficapro

ta ordinantur, vteadem fitproportiomaximi adminimum, quaj differentiae inter portiorhaioresduosaddiffcrentiam interduosminores, vt hi tres numeri 3.4.6 quoniam_. '^ ?

cadem eft proportio maximi 6 adminimum3 qusdifferentia inter maximum 6 &mcdium + nimirum numeri2addirtcrentiam intermedium 4&minimi 3 id eftad iCum vtrobique fit proportio dupla > conftituunt proportionalitatem fiue medietatemmuficam , aut; harmonicam ; proportionalitatem vero hanc harmonicam effe inde_->patet,quodtresprincipalesconfonantias, diapafon.diapente, & diateffaron exhibeat.Vt in hocexemplo6 ad 3 diapafon,6 ad + diapente,4deniquead 3 diateffaronrefert.Idcm de reliquis ftatuendum . Sed iam ad particularia proportionalitatis harmonicaeprocedamus

.

Propositio \,

Tres numeros in proportionalitate barmonica reperire

.

INnueniuntur tresnumeriharmonici ,ex quibufcumque proportionalitatis arith-roetica; tribusnumcris.hoc pacTro.Primum terminum duc in fecundum,& tcrtium,

& fecundum iterum in tertium, habebifque quxfitum, vt fequitur

.

Sintitaquetresnumeriarithmetice proportionales 1. 2. 3 & exhiseruerevelistresharmonice proportionales,- duc 1 in 2 & in 3,prouenietque primus, & fecundus termi-

, nusproportionalitatisharmonica 2-3 Si iterum 2arithmeticum terminum duxerisinteitium,2 in 3,-prodibit 6, tertius harmonice proportionalis, vt fequitur 1 1 .2. 3 Arithm.Aliter mcdium tcrminum Arithmeticae proportionalitatis duc in extre- J2.3 .6 Harm.mos, &prodibunt extremi termini harmonici, extremi vero arithmeticsin fe du&iprocreant medium harmonicae

,| nH Arithm.

Vtinadduftocxemplopatet . |; j\6 Harm.Hinc patet cxtremos terminos proportionalitatis harmonicas, atque adeo , & difte-

rentiaseandem habere proportionem,quam extremi arithmetics ex qua orta eft . ha-

bcre i vt ex adduclo exemplo patet

.

propor.

propor.

Arith. 1 1.2.3 1 3-7. tt 1 4. 6. 8 | 10.60 | 100

Harm. l_ 2.3.6 J2f. 33. 77 | 24.32.48 | 600.1000 I 6000

Pro

88 Artts JMagnt Confoni, $$ Dijjfoni

Propofitio I I.

Datis quibufuis duobm numerus medium harmonkiproportionalem ajjignare.

IMter qupfuis duos numeros datos inuenics medium harmonice proportionalemj

,

hoc pafto.Numeru,qui fitexdatorum numerorii diflferentia duc in corum mino-re,& partire produ&u per eorudem fumma^qtiotumqjminori adde.conflatus enim nu-meruserit mediusquaefitus; fint v.g. propofiti duonumeri 14 &6o,vt habeaturme-tlium haimonicum,duc eorum difierentiam 45 in minorem 1 s& numerum produ&Q,67 s partire per 75 eorum fummam . Nam Ci quotientem 9 minori i s adijcias , con-flabis medium terminum 24. vt patet in hoc exemplo, 1 5.54.60. Eundem medium re-peries, fi eandem difTerentiam 45 ducas in 60 minorem & produ&um 2200 per eorilfummam zsdiuidas, quptusenim36 exmaiori cpdemptus,relinqueteundemmcdiiterminum 24,

Propofitio III.Datis duobus quibufuisnumeris tertium terminum harmonici

proportionalem ajjignare.

Otaprimbhancoperationem, non femperfieripoffe.quandoautem idfieripof-fit pulchre ipfa operacio docet, hoc pa&o . Numerum ex vno in alterum ge-

nitumpardemur per numerum qui relinquitur , fubtra&a amborum ditTerentia ex mi-nore terminodaraj quotiens enim erit tertius terminus vtroq,- dato maior, quem quae-rimus. Quodfiquandoquediuiforreperiatur effe o,- vel quando amborum differen-tia exminore terminofubtrahineqmt , impoffibile eft datisduobusnumerispoffeter-tiummaiorem adiungiinproportion 3.Iitateharmonica. Rem exemplodccJaremus.Sjntduoterminiminores 12. 16, diuidemusnumerumex eisprocreatum 192 per 8,

_ ,qui numerusrelinquitur ,fiamborum difTerentia^exminori i2detrahatur . Quo-Quando 4 *"-%, n- i 7 i-

aatiTduo- tiensenims^cumdatis duobus conitituit hanc harmonicam proportionalitatem_,bus nume- 12.16, 24.C. 24eiufdejn tertium lerminumquxfitum . Hancextcndemus, fiadduosharmonice oumeros 16. 24- tertjum adiungamus nimirum diuidendo384numerum cx i6in24illis pro- faftum.per 8.quinumerusremanetfaftafubtraftionedifTerenti_amborumqua;eft 8portiona-^ exmaiori i6.inuenietur enim numerus 4?. ftabuntqueitanumeri 4harmonicepro-pofsit , & portionales 12, 16.24.48. Si veib attentauerimus hifce adiungere alium maiorern_.qujdono. fruftralaborabimus.NamdatisduobusvItimis24. 48 reperieturdiuifor efle. o. Quod

fi quis proponat hofce numcros io.ia.adiungeturillistertiusvtroque maior. 15. Adhos veroduos 10,11. apponetur tertius 12. Etadduos 90.99 tertius 110 ; at veroad3-6.nullusadiungipoterit,quiadiiferentiainterambos,qua; eft 3 demptaexma-iori3 relinquet o. Vndefequiturcum dati numerihabuerint proportionem duplam

,

illistertiam proportionalem adiungi nonpolle, quiadifTerentiaamborumfempereft :minoriterminosqualis. Cum veronumeridatihabuerintproportionem duphema-iorem , Minime quoque tertius harmoniee proportionatis maior illis . quia difTerentiaamborum tunc femper minori termino rnaior eft, vtproinde fubtradtio fieri nulla fatio-ne poflit

.Vt Cx dentur duo numeri 3 . 7 quorum proportio eft dupla fefquitertia,ma-

ior videlicetquam dupIajvidesamborumdifTetentiam^maiorcm efTe 3 minore ter-mino

. Quare illis aliquis tertius adiungi non poterit . Patet igitur ex his,vt datis duo-bus quibufuis numcris tertius illis adiungi poflit harmonice proportionalis, necelTc cf-

fe,

N

Lib. 1 II. l)t Harmonicorum Kume/orum DoBrina . 89le , vtdati numcribabcantinterfcproportionem velfuperparticularcm vel fuperpar-tientemduplo minorem_,

.

Propofitio I V.

Datis duobus numeris quibufcumque tertium vtroque minorem inproportionalitate barmonica reperircs

NVmerum ex vno in alterum produftum partire pcr fummam cx maiori dato &amborum difFerentia colledamiQuotiensenim eriris,quiquajritur. Vtfide-

turduonumcri6. 12. Si diuidamusnumerum 72 ex 6 in i2faftum per 18. fummamex 1 2 , & amborum differcntia 6. colleclam i rcpericmus^ tcrtium minorcm vtriqueilli proportionalem. vt hic cernis^ 6. 12. Hanc extcndcmus regrcdiendo verfus mi-nores numcros, fiduobus 4. 6. minorem tertium, 3 adiungemushoc modo 3.4. 6.12.

Hic autem ternarius numerusinucnitur, diuidendonumcrum 24 fa&uro cx 4 in6. per 8. fummam vidclicct ex 6. & amborum differcntia 2 collcclam . Eodem mododuobusminoribus3.4.adiungeturtcrtiusminor2

, Atquc fic decrefcet quslibctanalogia harmonica continue in infinitum_i

.

, ~ r

GOROLLARIVM.PAtet ex hifccadmirabilisquaedam trium proportionalitatum proprictas j Primo propr;etj s

cnim Arithmeticaaugeturin infinitum ,fcd non in infinitum decreicit, harmo- proportio-nica contradecrefcitininfinitum, nonveroin infinitum augeripoteft ; hoc cft vt pri- nal,tatt,m '

mus, fecundus ac tertius fint harmoniceproportionalesj itcftcundus , tertius & qaar-tus; item tcrtius, quartus& quintus . Gcometrica vcro augetur & diminuitur in infi-nitum_j.

C A P V T. III.De Logifhca Proportionum

.

RAtionum compofitio fiuc Logiftica,nihil aliud eft, quam algorithmus proportio-num, quo vna vidclicctproportio alteri additur vcl demitur

,quoue intcr fi__>

multiplicantur& diuiduntur datsproportionesihabctquc 5. fpecies quas totidenu.propofitionibus expcdicmus

.

Propofitio I.

Proportiones interfe tddere .

ADditio Rationum eft Inuentio numerorum duorum, quorum adfe inuicem ratio datasrationes compleffitur. Itaautcm praxinaufpicare . Ordina datas rationes in_

terminisnumerorum minimis, deindemultiplica terminosantecedentcs intcr fe ,&componeturexduobusantecedentibusvnum antecedcns. Similiter, ex multiplica-tioncmutua terminorum confequentium conflabitur vnum confequens. Hino pcr-fpicuum eft, additioncm rationum a multiplicatione fragmentorum vulgarium non_*

M diftare;

qS_

co

a.2'rt

e

a

3

o_

E23

90 /_W Magn

Lib. II 1. De Harmonicorum Numerorum Docirina. 5,1

J_ & elicictur -t fefquitertia ratio,feu quod idem cft, fi diapente _ diapafon fubtrahasrcmancbit necelfariodiateiraron, vtinfequcntibus fufius dcclarabitur. Sic fi fubdu.xeris a ratione quadrupla -7- rationem fefquialteram "f>relinquetur~ ratio dupla firperbiparticns tertias

.Sit iterum fubducenda fefquitertia

_ fefquialtera ; ponanturpropofitiones, vt fequitur

.

DecuiTatim igjtur eas inter fe multipiica, & prodibunt 8 i Sefquialtewi

,

ad 9 fefquioitaua propcrtio, in qua tonus confiftit . Si-cuti igitur additio proportionumfimiUs eft multiplica-tioni fraftorum, iic fubdii-tio ijmilis eft diuihoni fradto-rum

. Examen denique vcr.xfubductionis certifllnium 4 Sefguitert. 3^eft,firatio relidtaadfubduclam additararionem, inftau- 8 SefquUwftaua . g fiuetonusrct eam

, & qua fubduila fuit

.

Propofitio III.Rationes multiplicare

.

J-*-jl._-_LC_cl

STatueordine numerosrationismult^plicand* toties,quotiesnumerus multiplieascontinet vnitatem; ac deinde multiplica omnes antccedentes inter fc, & ofFercnt

fefe antecedentes rationis quxGtae.

Similiter etiam.inuenitur confcquens.ex mutuaconfequentium multiplicatione; v.g, mulfpfcaturus rationem fefquialteram per 3.ponc ter ordinc hoc modo J_ ' j_, ia duc tria in fe fiet 9,qu rursu in 3 duces,pro-dibitque rationis quxfitx antecedens. fimiliterduc 2 in _ fiut4, quae iterum per 2 mul-tiplicata, producent 8 quafitJE rationisconfcquens . Sefquialtera ergo ratio multipli-cata per 3 feu tercollecta , conficit j__ triplam fupertripartientcm odlauas . Hoc mo-

do fi rationem duplaueris _-i. duplam fcfquiquartam conficies.

Hinc manifeftum cft, quod rationcm aliquam duplare nihil aliud llt quam nume-rosrationis minimos.vt dicr folet.quadrare; & tnplare idem quodcubice multiplicare,&multiplicarcper 4 non aliud,quam terminoru numerosquos vulgo vocat Zenficefi-cos fiue quadrato-quadratosquasrere. Et vice verfa,rationem mediare nihilalitid eft,quam ex numeris eius radicem quadratam quaererc; & partiri per 3 idem quod ratio-nem eiuscubicam inuenire; & per^fecare, nihilaliud fit, quam numerorum rationisdatse radices Zenficenficas fiue quadrato-quadratas caperc . Exempii gratia duplam

fefquiquartam mediarc eft ex 2V inuenire radicem quadratam, quae eft 1 V a qua de,nominaturratioemergens, nempcfefquiakcra . Atque bancmagnum vfum in mul-tis exemplis habere reperio, quo magismiror, curplei iquc qui de numeris erudite fcri-

fcrunt, multiplicationem diuifionemque rationum , reium naturam non admittere_>

prodiderint. Sedhiforfan excufari poterunt, quod non adnumeros,fed ipfam na-turam rationum refpexerint . Vt enim plumbu.m,ftannum,aurum.fimilefqucrerumfpccies non multiplicant.fedper numeros adhaerentes multiplicantur ; ita ratio noiu.

per aliam rationem, fed per aliosnumeros mulriplicaturjat verb partuiorationii tumpernumeros, tum peraliasetiam rationes perficitur : Quoniam veio earesomninorequirit non tantum modum inueniendi radices numerorum quadratas & cubicas,-fed &cenficcnficas,ccnficubicas,cencenficubicas, cubocubicubicas, &c. ne aliquid

quod non abantccedentibusdependeat ^&fequcnribuspraeceptis conferat ,dicere_>

dcprehendar , idco totam hanc dc mcdiatione algcbraica materiam proprio operi, vi^M 2 delicct

pi 4ytis MjtSffg Cottfeni, M Difonldelicct Arti combinatoriardeftin.uimus . Scd cxempia modo multiplicatiomsA

diui-

fionis proportiopum fubiungamus;

.

Propofitio IV.

Multiplicare proportionesper numeros fraHos

.

PRimb itague multiplica proportionem per numeratorem iuxta regulam paulbantetraditam. Secundo cxproduftofa&oextraheradicem, qualern dcnomi-

nator minutia? repraefentat

.

Exemplum

.

Vltinlicaturus iitur _!i- per _L; primo cubices proportione propofita duftis in fe

8. 8 jjLcubicS U numeratoribusqua t&eaorniaatonbusprodib-i t "__*_ .Hoc

perafto ex vtroqjtermino radix quadrati quadratica eduifta dabit JZ_ radice quasfitam.

Ideo autem qusrimusradicequadrato quadrataquoddenominatiirideft^refertradi-cemquadrato-quadratam,2vero radicemquadratam , & 3 repr.^fenrat radicem cu-bicam, vtinprogreffioae Cofltcafatisfuperque demonftrarur

,

Xvl

Propofitio V.

Vroportiones fiuerationes diuidereper proportioms

.

Slcuti numeruspalmorumdiuiditur, velper numerumpalmorum, velper nume-rum abftraclium

. Sic proportio diuiditur , vel per numerum abftra_r.um_.

,

velperproportionem. Quandoproportiodiuiditur perproportionem, tuncin quo-

tienteprouenit numerus, &nunquam proportio, dum enim qusro.quoties proportiodiuidenscontineaturinproportione diuidenda, prodibit neceftario quotiens , qm pro.portio dici aon poteft . dum verb prpportio diuiditur, pernumerum abftra&um , tuncfemper prouenit in quotfente proportio . Sed ad rcm .REGVLA I, Ita igiturproportiones per proportionespartire, fubtrahe propqrtionc

diuidentemaproportionediuideada, donec veKuqualitasoccurrat, ve! genus propor-tionummuteturjcolligiturautemquotiensexvnitatibus illis, quibus fignantur viccsfubtra&ionura i nam vice vniufcuiufquc fubtradtionis ponenda eft vnitas .

Exemplum de oceurrente fedrem_,exem plis declarem us

.

Prima fubtraftia - facit feu -'*'

3 6+ i9Z 32

Secunda fubtra&io facic - fetj -;3 32 9 I(*

Ter-

Lib Tll. De Harmonicorum Numerorum Doflrin* . 9 3Tertiafubtradio 1 *1 facit feu zl

3 16 48 8

2 *1 27 r . 54/-, 9Quarta fubtra&io *r facit feii 3 24. 4

Quinta fubtraclio facit feu 2 4 12 2

3 r . 6Sexta fubtradio facit ecce xqualitas

Quandocunque igituroccurritfcqualiras, fignum eft,proportionemdiuidcntem_j

,

numerare diuidendam proportionem prascise ; & efle diuidcntem proportionem par-tem aliquotam pioportionis diuidenda:, cumautem 6fafta fint fubtraftion.es, erit 6quoticnsdiuifionis.

Aliud exemplum vbi tqualius non occurrit

.

Vandonon occurritxqualitas, fcd genus tantum fuerit mutatum, fignum eftproportioncm diuidentem efle partem aliquantamdiuidenda proportionis, &diuidendam non numerare j fint,v.g. diuidenda ___. per 21

Primafubtraclio -8

- facit $& feu -K27 iz 3+5 6 l61

_>. 1.

1- ,

~~ *'

Secunda fubtractio 15 facic fcu 27

16 +32 2-

-1 11 - .1 . 1 ... .

Q

Tertia fubcracTrio facit feu 27 2 H 9

Vidcshicgenus efle mutatum prouenit enim proportio minoris ina?qualitatis,quaretcrtiafubtraftio fieri non debmt . Quia ergo dus fubtraftioncs fafta: funt,idc6quotiensfacitzremanfitaucem X, eftque illa proportio tertia pars diuidcntis

proportionis, ideo totus quotiensfacit 2 Eft igitur proportio dupla fcfquitertia intcri*7*r>7ia T'

REGVLA II. Proportioncsverbperintegros numeros itadiuides. Extrahe devtroquetcrminoproportionisradicemillam quam diuiforretulerit, vt ^diuiu per 2

facit 11 iterr. -!! diuifa per 3 facit *. . Item iiuifa per 6 facit -

REGVLA III. Pr^portionesdeniqueper minutiasfiuc numeros fraftos ita diui-des Permutd terminos frafti diuidentis , & operare iuxta regulam multiplicationisfuperius datampcrmimerosfraftos,v.g.volo diuidereifper -Uponeigitur quater

hac proport.one(vt vides repetitioncm >JL i7. >J- if)qu* deinde in fc dufta dabunt S^dcinde qusrc radiccm cubicamdc vtroque terminoproportionis

faftae propter^ qui

charafter eft rad.cis cubic*; & prod.bunt i itaque JJ. dmifa per _L fac.t

.

CA-

4 .;,..-. Artis Magn* Confoni^ & DiJ/oniC A P V T. I V.

Dc Irrationalibus numeris

.

Ci Viti in Muficafepementiofiat irrationaliumnumerorumquibuscofo-nanti^ di-r midientur , vifumfuit ad omnimodam harmonicarum.rerum inteiligentiarrijhoc loco, antequam vlterius progrediamur, eas declarare, & fimu! modum eas adde-di, fubtrahendi, multiplicandi, diuidendi, fubiungere_>

.

Sunt igitur omnes illaeproportiories rationales ,qua; terminos habcnt commcnfura- Ibiles , Quae autem tcrminos habent incomenfurabiles, funt irrationales , Vnde quilibet itmmerus medialis ad numeru rationalem habet proportionem irrationale. non tamen Iomnis medialis ad mediale, quia v* Q6- ad v* Q24. rationale proportipnem haber, fcil.dupla. Quandocunqsvero terminus proportionis irrationalis, mit irrationaiis, tunc ne-ceftc eft reliquu terminum eiufciem propOrtionis etiam clTe irrationalem

. Atque iftijnotiora funt, quam vtexemplis indigeant.

Sunt autem proportiones irrationales minutiaeproportionum rationaIium;vt /Q6.ad /Qjteftminutiatriplas proportionis; Eft enim dimidia pars triple (lue diapafboJdiapente. Sic 6 ad /433 efttertiapars diapafon, fiue duplaeproportiot)is,v.tpitec

Quidi7fi- etiamexregula, quasproportionesdenorainar^Aocet.fcilicetdi.uifotermino -raiort-gmim

Lib. 11/. De Harmowcorum Numevorum Doflrim . $$

Paradigma Additionis. Paradigma multiplicationis

Paradigmaiubtraclionis

.

Paradigma diuifionis

.

6 9 /0^8,

* 19 9 VQ18

ab remanec ve 1 dimidiata facVQ velVQz i z yoil z _

iVrtf aduerte bic Leclor quod ha&enus de numerarum proportionibusfolum quafiin ab~.JlraBo egerimus ; deinceps vero infequenttbus Capitibus buius tertij libri, qud rattone adfo-not harmonicos applicari dibeant prxfatx proportiones per Algorithmum muficum, often*demus

,

C A P V T. V ,Dc interuallis harmonicis-

INfonoharmonicoquinquepotriTimurn confiderantur. I. Vocisftatusfeu tenfio,qux eft , & grascis ?*ts dicitur, iuxta quam vox aut chorda in tono ad canendumv

aptoconrtituitur. II. Vocisintenfiogra:ce sw.j_-*, fimouetur agraxii adacutum_.

III, Vocis rcmifTio W, fi videlicetabacutoingraueprocedit: IV. e.xintenfione_Anafcituracumen. V. cxremifiionegrauitasnafcitur

.

Atqtic cx hac (bnorum miftura nafcuntur interualla diuerfa feu JWV~t_ ita vt in-teruallum nihil aliud (it, quam acuti fonigrauifquediftantia,in quorum notitia totiusMuficx negotium merito, vt in decurfu operis videb:tu>-, confiftit . neque enim Mufi-ca , aut Harmonia fine huiufmodi interuallis cohcipi vlla ratione poteft

.

Diuiditur autem omne interuallum in Concinnum , cV Inconcinnum . Concinnagrxce.uwM vtifuntadharmoniam apta, fic inconcinna bp-uT ad Muficam ineptafuntinterualla.hsc tamen Muficusconfideratexaccidente,vteareijciat; illa per fe,Vtretineat, vel inconcinna perconcinna emendet

.

Iterum Concinna funt duplicia. quasdam funt confona.qusdam diflbna; Confona_ffuntqu;tfuauemauribus affundunt concentum,DifTona quas ingratum exhibent,mu-ficistamen numcrisaptum Suntautem iuxtaNeotoricorum placita 15 . interualla maiora; minora 5. Maiora

funt illaquscx tonismtegris.&femitonijscomponuntur; Minorafunt, partes toni, &femitonij; De maioibus intcruallisprimodicendum ; deinde de minoribus . Ma-ioraitaqueinterualla numerofunt 15. Vnfonus , fquem tamen nos vejutiprincipiumtantum intcruallorum ponentes,ab omni toni grauis acutique diftantia reijcimus ) To-nus

,Semitonium mnius , Ditonus , Semiditonus , Tritonus , Diatejfaron , Diapente , Se-

midiapente,Semitonium c*m Diapente , Ditonus cum Diapente , Semiditonus currt^

Dm-

* &

95 ^y/rt Magnx Confoni , (J5 DijfoniDiapenle, Diapafon , Semidiapafon . Rcliqua rerb interualla , vt diapafbn cum dia-penteBifdiapafon , & fimiliacompofitacum eademfintcum fimplicibus,omittimus,Verum iam vniufcuiufquc interuallum , vt declaremusordopoftula.e vidctur.

Vmforws. VNISONV$ eft eiufdem vocis repetitio omnis intenfionis aut remilfionis incapax

,

eftque in Mufica idem, cjuod puotum in Geomctna,in Arithmctica vnitas, in cireulocentrum,ex quoomnesreliqu* confbnantiarum fpecies cmanant. Eftqueprimafo-jiorum permiftio inter eas, quas fenfus apprchendit, & ab aequalibus fonis eiufdcm in-tcnfionis , auttoniproucnit,gra:cis / At diuifa: intcr fcj aut cum alijsconnex* tonum nonminusfaciunt

,quamaliae; vtmicum re,Scfacumfol.) Hanc

Grjecireprajfentabantperduas quaslibet chordas , exceptis i;'s chordis qua; femito--nium minus referebant, vt poftea dicettir . Confiftit autem hoc intcruallum in propor-tione fefquioftaua,fequc habet vt

Lib. 11 1. Ds ftarmonicorum Numerorum Doftrina. 97omnia in fequcntibus fuse explicabuntur . Semitonium minus notis Muficis ita ex-primitur.

Semitonium minusfiue fecunda minor

.

mi fa mi fafcjaz

fcfcpz

ii mi fa mi

III. DITONVS fiuc tertiaperfedalnteruallum muficum eft confiftens in propor-tionefefquiquarta, fequehabet vt s ad4, quo vox furfum veldeorfum abvnilbooper Ditorjns.duos tonos recedit , dicitur etiam tertia maior,vel tertia enharmonica, componitur extono maiore & minore quod ita probatur,- ducantur proportiones vtriufq.roni in (e, &comunis vtriufq. produdli diuifor minimus rclinquet in quotiente __ ditonum quasfituvt vidcs ,-Hanc tertiam& Recentiores con- 9 IO 90tra Pythagoraeos ratione&experientiacon- > 3 communisdiuiibr fifi introduxerunt , quo interuallo diftantchordae netc & paranete in enharmanicogenere. Chara&erem eiiis inArithmctica_jmufica ftatuimushunc Il.notifquc muficis ita exprimitur.

Ditonus

.

-*, '

-*a

^&mm E?Efa la fa la la fa U fa

IV. SMIDITONVS fiue Tertia irnpeifefta aut tertia minor trihcmironum minus,tertia chromatica alijfque pafiim nomin ibus appellata i Interuallum muficum eft, quOvoxabvnifono furfum veldeorfum receditpertonum &medium, fiue femitonium.,.minus.coniiftit in proportione fefquiquinta & fe habet vt 6 ad 5. conftat ex tono ma-iorc &fcmitoniomaiore. quodprobatur, Ducanturform.^ toni maioris & femitoniimaioris in fe, & produfta per communem diuifbrem minimum diuifa , relinquent in_.quotiente ~ vt fcquitur : Eius du* funtfpecies ex re in I 9 8/a.SieK mi inJbl . hac confonanria feparantur nete & ,6 ,iSparanete chorda in gcnere chromatico

. Expnmitur x++hiftx notulis.

-

Semicrito-nus quid ?

-

Semiditonus fiue Tertia Mimor

tonusjuajor.

. .

fernitbniQ maius120 femiditon. ~~ '

diuifbr

5 femidit.intcrm.radicalibus,

1

:$==__*

re fa mi fol fa .. rc . fol mi

,Y- ^^ONVS fiue Qyarta maior, quartadura & generi diatoriicoprorfusincp-

ta 5 lnteruallum muficum eft, vocem per tres tonos intendens aut rcmjttens dicitEr q?aTritonus

tntonus

8 . Mth M*gn* Confoni, g Diffonitritonus co quod ex tribus tonis conftet,

conliftitquc in proportione gus eft 4 5 ad 3 z

notis muficis ita cxprimitur

.

Tritonus

.

in molli

.4=*- It--3rtM--J

fa mi roi fa

*- j - - - c~\r: .;.:-"?.: SeH

Lib. 111. De f/armonkorum Numerorum Doflrifta . 99IX. HZXACHORDON MINVS, fexta imperfeda, fexta minoriiueiemitonium ,. .

! /- 11/1 o 1 /- Hexachor.cum diapente.muucuminterualJumcit , quovoxper tres tonos rcduo lemrtonia mi- don minu;nora quibus conftat , moueturfurfum vrel deorfum , eftque in proportione fupcrtripar-tiente quintas, feque habet vt 8 ad j. exprimitur natulis vt in paradigmatc apparet.

Hexachordon fiue fexta minor.*-

:$=mi fa fa mi .

X. HEXACHOR.DON MAIVS, fexta perfefta , fexta maior , ronuscum diapen- Hexachorte,interu.ilium muficu eftharmonia:qua(i ineptu.qtio vox velafcendendo vcldefcen- donmaiusdendo per 4 tonos & vno femitonio minore mouetur, eftque proportionis fupertripar-ticntis tertias , fe habens , vt 5 ad 3- ab antiquis per chordam hypate mefon repnefen-tata, vtfequitur.

Hexachordon maius \ fexta maior prohibita

.

._ C=ttPvt la re mi

XI. DITONVS CVM DIAPENTE , eft feptima maior, quinq; tonis & Semitonio Dhon . #minore conftans.cius afcenius eftex C in b w/;&deficit a Diapafon femitonio minore, cum Dk-fuperatquefemidiapafonvno Comrr.ate,eftque Muiicuminteruallum proportionis fu- Pente tperftptuparticntis ociatias, fequehabet vt is ad 8.idnotulis muiicis expreftum infrahabes.

Ditonus cum Diapente, feptima maiorjinteruallum prohibitum.

jq$z:=|rfc$zr:zr|

mi vt

XII. SEMIDITONVS CVM DIAPENTE, feptima minor, interualhim muficum Semiditoeft

,quo vox moueturab vniibno per 4 tonos & 2. femitonia minora, v.g. ex Din C. nus cl"r

tonodeficitaDiapafbn, coniiftitin proportionefuperquadrupartientequintas, fequeiaPcme

habet vt 9 ad 5 . exerhplum vidt_i

.

Semiditonus cum Diapente feptima minor .

j-r3-m khhMh **r -

* 2 ~

re fa

"""$*"" "~- '

Diapafon

.

I?emidiapafon

.

100 . ! AHis MagntConJom, & DtffomXIII. DIAPASOM omriiumconfonantiaiumregma,inicfinyulahucvfque enar-

rata complicans intcruaila , oftaua perfccla interuallum muficum eft conftans ex cfia-

rentc & di.ucflaron, quo vox per s tonos & duo femitonia minora mouetur,a naturavoci humanannfita.fiquidemnihilfaciliuseft, quamdiapafoncantarc , quod&in_./pueris elucefcit , qui duma Pr.xceptore eandem cum ijs formare vocem iubentur , fta-tim diapafon modulantureandemfcvocem redderccrcdcntcs. Confiftit in propor-

tionedupla, qusomniumproportionum unsqualitatisprima eft,proximaa:qualitati,ficut diapafon vnifono.de qua fullus in mufica noftra Phyftolggjgij

.

XIV, SEMIDIAPASON, (Iueoftaua imperfc&a , iotcrualhim^Muficum eft, qusvoxperquatuortonos&triafcmitonia minora mouetur,ita muficisnotulisexprimi-

tur.

Diapafonfiue oftaua . Semidiapafon , oftaua imperfefta

.

**. A...U....-J. J>.C-,., i $ h

rcfol

Oiflnesco.ionantisecontineturinnumerofenario.

V

Atque ex dictis patet omnes veras confonantias primis fex numeris includi , diapa.

fon reperitur in dupla que eft z ad r. Diapete in fefqu altera,qua: eft 3 ad 2. diatcflaron

infefquitertia,quseft4ad3. Ditonusinfcfquiquarta, quaseft s ad4," Semiditonu

infefquiquinta,quscft 6 ad 5. 1 1 ikutd!apentecuduteifaronconft:tuuntdiapafonjita ditonus & femiditonus conftituuBt iiapente, vti paulopoft patebit 5 Nec folum inconfonantusfimplicibus hoc verum eft ,fed&in compofitis. Nam 6 ad 5 eftfemi-ditonus, 6 ad 4 diapente, 6 ad 3 diapafon, 6 ad 2 diapafon cum diapente 6 ad 1 diapa-

foncumdiapente, sad^ditonus; sad3. Hcxachordum maius, vel ditonus curru.diateflaron, s ad^diapafon &diapente, s ad 1. diapafon cum duono. 4 ad 3 diatefla-

ron.4 ad 2 diapafon.4 ad 1 bifdiapafon.3 ad 2 diapente, 3 ad 1 diapafon cum diapente

z ad 1 diapafon , vt fchema monftrat fequens .

16 adi diapafon diapente 1$ ad 1 diapafon ditonus j 4 ad 1 bifdhpifon

6 adadiap.cumdiapente 5 ada diapafondiapente 4 ad 2 diapaJJjpa

6 ad 3 diapafon 5 ad3 hexacordumaius

6 ad4 diapente i s ad4 ditonus

6 ad s femiditonus S ad s vnifonus

6 ad6 Vnifonus

4 ad 3 diateflVdn

4. ad 4 vniibnus

3 ad 1 diapalbn diapente

3 ad 2 diapente

2 ad 1 diapafon 1 ad 1 vnifonus

2 ad 2 vnifonus

3 ad 3 vnifonus

Para-

Lib. 111. De Harmonicorum Numerorum Doftrina, . 1 01

Paradigma totius proportionis harmonicae com-pendium dcclarans

.

I 3 i 4j

5 | 6

I I J I567 8 9 10 11 12

Sefquial- Sefquiter-iSelquiqiiariiefquiquin Sefquifex-pefquilep-, beiquio

tera tii | ta | t I ta ' tnm I jftauaitiqiino 1', tl.jtudeci

.el^uiusdeci

n . m m a

Diapafon | Diapente | Diateflaron | Ditonus 1 SemM tnntis

Vides iitur quomodo in hac tabella difponatur numeri fecundu genus fuperparticu-lare: intraquam inucnitur nonfolum a&uformacuiufuis iiaiplicis confonantia?,fedScmixt,&compoiit j Certe in hoc vnico exemplo nefcio qua: diuina vis numerorumlatet i Si enim hanc tabulam continuaueris, non tantum aflcriptJe confonantias,fed

&:m :n:maquoqueinterualla innotefcent. Tabulam hanc hac arte difpofuimus,primo ordine fex numeros ferie naturalijdeinde in altero oidine a binario incipiedo,or-dine numeros vfquead i2ferie naturalidifpofuimus, vtvides, hos enim fl inter fe ritecontulcris j omn ;um huc vfque confonantwrum proportiones infallibiliter innote-fcent , in quo & illud admirabile numeros fib: perpendiculenter fuprapofitos omnesdupIxproportion : sefle; S"cundum veroferiem naturalem conlideratos combina-tofquefuperparticularesi Diagons vcro difpoiitos fuperparticularisfuperpartientif-qtie proportioniseflc

.

C A P V T VI.De interuallisminoribus.

1 rTp ONVS MAIOR, qui&fecundamaxima, & fefquioftaua nominatur.exexccfTuconfouantiarum diapente, & diateilaron natum interuallum eft,

quo vox mouetur ex vel ex fol in la vti fupra quoque oftenfum fuit ; dixi ex

exccflfu diapente, & d :atcflaron natum . Nam proportio fefquialtera , & fefquitertia_jdifferuntfcfquioc}aua,6 quidem ad 9 eft diapente,& 6 ad S.diatefl*aron,& differcntia_.

inter has eft__proportiofefquiocT:auafeu tonus maior.

2 TO>JVS ' MINOR , qus & fecunda,& fefquinona dicitur,- in hac fiquidem pro-portionc conftttiitur, &confiderari poteft, vtpars minorditoni in tonum maiorem ,&minoremdiftnbuti,vtinhis numerispatet 8. 9. 10. vel vtexceflus hexachordi ma-

iorisaddiapcnre. Namfuperbipartiens tertias feuhexachordum fuperat fefquialte-

ram proporrioneni per fefquinonam,vthifce in numeris apparet 6.9. 10. confiderari

quoque poteft ronus minor, vt exceffus diateflaron ad femiditonum . Nam propor-|

tiofcfquitcrtiafuperatfefquiquintamproportione fefquinona , vt inhifcenumerisap-

parct 12, 10. 9.

3 SEVIITO.^IVM MAIVS interuallumeft ,conftans exceffu, quodiateffaronfu-peratditonum ; & cum diateflaron infefquitertia conftituatur, &ditonus in fefqui-quarta;conftituendum erft hociuteruallum in fefquidecimaquinta,vt exhifce nume-

risapparet 16.15.1i. Exhocfemitoniocum tonomaiori, componitur minima con-fonantiarum

,quam fcmiditonum feu tertiara minorem diximus

.

4 SEMITONVIM MINVS, minimumintcruallum ex his quxfumuntur exexceflibus confonantiarum, quoniam eft exceffus , quo ditonus fuperat femiditoaum^.

,

quaj

ica Artis Magn* Confont, & Djfoniqux funt vltims confonantiac . Et ciim oftcnfum llt , diconum in fefquiquarta > femi-

ditonum in ftfquiquinta confiftere,neccftari6fequiturfemitoniumminus in fefquiui-

pefimaquartaproportioneconftitutum efie.vtpatetcxhifce numeris2$. 24.20. An

vcro hoc inreruallum idem fit cum Limmate Pythagorico , alibi difcernetur

.

;

5 DIESIS intcruallum minimum eft , quod origineru fuam trahit ex cxccflu , quofemitoniumminusamaiorifuperatur. Cumenimdi&um fit fcmitonium maius in_.fefquidecimaquinta , & femitonium minus in fefquiuigeilmaquarta confiftcre , diefeosinteruallum necefiario conftituendum entinproportionefupertripartiente 125. vt his

numerispatet 120. 125. 128.6 COMMA MINIMVM omnium interuallorum fenfibilium,oriturexdifFerentia

jnter fcmitonia maius, & minus > Cum enim tonus maior confiftat in fefquioiftaua_

,

minor in fefquinona, neceflario emergit proportiofefquioT:uagefima,in qua nos com-jriaconfifteredicimus , vt exfequentibus numeris patet 72. 80. 81.

Verum ciim de hifce , & fimilibus interuallis fuse in fequentibus traftemus Cbperua-taneum eiTe ratus fum ijfdem diutius hoc loco inhsrere

,

NDe diuifione toni

.

Ihil porro reftat, nifivt &obiterdiuifionem tonideclaremus; Notum igitureftvti,& in fequentibus fuse docebitur, tonum in duo rqualia diuidi non pofle , eo

quod nulla ratio fuperparticularis in quo, & tonus eft, in duo a:qua diuidi poflit . To-nusitaque infefquio&auaproportioneconftitutus, inmaius minufque u-nitonium_.diuidituriGraecimaius femitonium .jufr Apotomen, minus vero liwm diefin apipellant, fiue vt pythagorici mV/*. diuiditur autem minus femitonium in duo dia-fchifinata ; exceflus vero quo femitonium maius minus fuperat , comma dicitur. :Quod & ipfum in duo fi hifmata fubdiuiditur, vt Philolaoplacet

,

DIESIS eftfpacium quo maior eft fefquitertia proportio duobus tonis,- Comma vetb eft fpacium, quo maior eft fefquioiftaua proportio duabus diefibus , hoc eft femito-nijs minoribus . SCHISMA eftdimidium commatis,- DIASC HISMA vero eftdimi-dium diefis, id eft femitoni/ minoris , ita Philolaus ; Vbi notandum diefios appellatio-nem propriam efle& impropriam 3 piopriam cumfumiturpioftmitoniominore,im-propriam cum prodiafchiimatea veteribusvftrpatur,

2. SEMITONIVM MINVS non prorfiiS4 habere Commata fed 3 fuperarej :"fa_,&femftonium maiusnon prorfus s commata haberefed^fuperare c6ftatindeq,fa6t3.vt tonus fuperetodo corpmata, nonum non irnpleat , vt ftue docetur apud Boetium_,lib.3-cap.14. & i

Jb. 1IL De Harmonhorum Numerorum Dofirina. ioj

Typus diuifionis toni

.

a 4608

g4+9f

.

1

f 4374c 4.352d 4330

c 4212

b 2096

Diafchifrru

Diafchifma

fi.f(ifmc

jcfufma

Diafchifma

Diafchifma

C A P . V f VII.Genciis intemallorum

.

:

* 7 Trum vifisdcfinitionibus Gngulorum interuallorum niliam amphus reftat , mfiV vtGenefinfinguIoiumbrcuiterexaminemus^quodtumfiet, vbi pnmo pro-portiones vmufcuiufque defcrip&irnuVa mmirM*iflcipiendo.

Tabella proportionem singufbtum intefuairorumj

in terminis radicahbus , feu minimis exhibens.

CommaDiafchifmaDiefis enharmonic*Diefis Limma pythagoricumApotome pythagoricaSemitonium minusSemitoniummaiusTonus minorTonus maiorTertia minorTerdamaiorQuarta

80 ad 8 1.

thgjJ^oJ .62ijLUMM*

-

,1 n ,' rrr 1 v 11

H -11 ,i"l T*

rit8 ad 125;a4$ ad a-y^

~ 204S ad i7- '5 sacciei- 16 ad J J

IO ad.a; 99 ad6 ad5 ad4 ad

8;

5

43

Tri.'

104TritonusSemidiapenceQuintaSexta maiorSexta minorSeptima minorSeptima maiorO&aua

Artis MAgriAConfoni, ($ Difoni

* \- "

' 't ' ' - * i ' "

I 1 tmm

t

^* "' I I I II I l>l II I II ! II ^

45 ad64 adj ad

$ ad8 ad9 ad

15 ad2 ad

32

4JJfl

3*1

5

5

8

1

Vifis igitur iftis iam videamus, quomodocompofitiones ,diuifioncs,cxceflinquc/jngulorum iptemallorum ope Arithmetica; eruan tur

.

\*/

Propofitio I.

Jnueritre excejjum quo tertia minor fuptrat mcCiorem ,& i-noremtonum.

Primo ponantur proportioncs tertiae minoris,& tonimaforls in mi- Exemplumnimis terminis , vt fequitur

.

* Tertia minox 1Sccundb. Multiplica pofitasproportionesdecuflatim,&prodibut

48 ex 6 in 8, &4S ex s in 9, vt vid5.Tcrtio .Comnrunem vtriufque-produ&i merifuraminquire, quam

inuenies?. quo &vtrumque diuides prodibuntque quotii6 &* s

9 ma'*r 8

qua: cum fit proportio Semitqnij maiFis > feqijutur'n.c,ceflari6, tertiam 4S }4 *

minorem cxccdere tonum maiorcm femitonio maiore. Communis diuifior

X:::: . :\ . |

,;

.. .

-' \: oap-*; ~ ., . .-T -TTPropouao II.

U Senrit. maius \6-

SfVerdfcirevdiscx^JJum.iquotertiaminorfuperei

.;":..' tonrnnmmorenU.

Primo. Djfponaturterminiproportionum minimi, Exemplumeo modo qiio vidcs

.

6 5 tertia minorSecundo. DecuflatimmultipIicentur,&producla_. Jv^l

dabunt 54. 50. quae proportio fiiperbipartiens 25 ,fbr- ^^ma eft femitonjj maioris

,&commatis; quipercom- JO 9 tonusminormunem aliquammenfuraminminimosnumeros,v.g. ""

pe/ adiuifi dabunt.27. as. proporrionem fuperbipar- **tientem 2S.quae eft proportio, Vtdiximus femitoni;fhaioris>& cbmmat1sr,exceflus videlicet,quo tertia mi- 27Mormmorem tonum ilipcrat > quaefitus

,

50 Semir.maius cunicommate .

zs ideminmin.term:

.

1

a:

Pro-

Ijb. 111. De Harmcnicorum Numerorum Doflrina . 105

Propofitio III.

Exceffum , quo Tertia maior minoremfuptrat , imenire .

Primb ponatur prpportiones vtriufquc tertia in minimistcrminis.

SecundbdeculTatim infeducantur , &prouenient2s &24proportio fefquiuigcfimaquarta,in qua confiftitfcmito- ^jniummirms, excefiusquomaiortertia minoremfuperat, Jjrqusfitus.

Exemplum.

4. Tertia maior.

S Tcrtiaminor.

zs 24. Semitom minus

Propofkio IV.

Exceffum, quo Quinta TritQnum fuperal, inuenire

.

POnanturproporrionestritoni,&quin'ca: in minimis terminis, quos (I decuiTatim_.multipliccs, habebis96. 90. terminos maioris Scmitonij in numeris maioribus

iiue compodtis ; Hos fi iterum per communem aliquam menfuram diuiferis videli-cet pcr 6 prodibunt 16. is.proportio fefquidecirnaquinta,fub qua confidcraturfemi-toniummaius, inminimis terminis exprefTum.

I

- V XExemplum .

_ Quinta.

4? 3a Tritonus.'

j 90 96 Semiton. maius fub term. maior. iS 16 Sem ; t. ma ; us fub term. minimis.

Propofitio V.

Excefsum quo Qutntafemidiapentefuperat , inuenire .

POnatur, vtpriiisquinta, & icmidiapente in minimis terminis, quosdcinde decuf-fotim muItiplices,prodibitque 138. i_8.fuper 7partiens i_8,in qua proportionc

confiftit femitonium minuscum commate, cxccfTus quxfitus.Exemplum

,

X64 4S Scmidiapente.

iz8 i3s Scmit. min. cumcommate

Pro.

?o6* Artis Magm Conjoni , f$ Difoni

Propofitio V

I

.

Subtractione minorisjeptim* a waiori , reliquum dabitfemi-tomum minus

.

Exemplum

.

15 8 Scptimamaior. Dueanturnumeri ir> fe decufTat-Jn quorum prolJ ducia 72.75 perdint!brcrn ,'tngueco nmunem^^ videlicet 3 dmifadabuiit z+.zs rehquii qu^iitu

9 5 Septima minor

.

J7z 7S Scmitonium minus in numeris maioribus.

3! 24 25 Semitonium minus innumerisradicalibus.

Propositio VII.

Subtractione terti* mtnoris h maiori rema.net femhonmm minus.

Exemplum.

5 4 Tertia rnaior fefquiquarta . Ducantur numeriinKy| fedeculfatirn,& p-o-

,|^>| uenient 24.25. femi--

6 ? Tertia minor fefquiquinta . tonium min.reliquu

24 25 Semitanium minus. Sefquiuigefimaquarta.

Propositio VIII,SubtHttione toni maioris h fexta minore remanetfemtdiapente

.

Exemplum.5 Scxtaminor. Ducanturnumeriinfe decufia-

tim, & quod prouenit dabit re-liquum quod qusrebatur fe-

8 Tonusmaior. midiapente45.64.

45 64 Semidiapente

.

^

*...

'

-

Propositio IX.'" v ''..:

Subtrattione maioris femitonij a quinia remanet ritomsy QT conireltritonoa quintafubtracio remanet tonu smaior.

Exemplum I . Exemplum II.3 z Quinta. 3 2 Quinta.

X X16 is Semitonium maius

.

16 15 Semit. maius32 45 Tritonus. 32 4S Tritonus.

Pro-

Lib. fll. De Harmonkorum Num&orutn Doflrin. 1 07

Propositio X,

Subtraflione tertU maioris a quarta remanetfemitonium maius

.

Exemplum

. \

4 3 Quarta

.

x5 4 Tertla maiorj

15 16 Semitonium maius.

E

Propositio X I.\x additione toni maioris ad minoremfummam colligere .

SI velis fcire quid refultet cx tom's maiore& minore additis: ponantur di&orum in-terualbmminimi termini. vtfequirur deindemultiplica numerosperpendiculari-ter, ideft inferiorescufuperioribus, Scprodudri 9&-7Z dabuttertiam maiore in copofl-tisnu nens.quosnumerosfi percomunem aliquam menuVa iterumadminimos ter-minosredux^ris.inuenietur s &4proportiofeiquiquart4,qu.e tertie maiori competit;Exadditioneergotonimaiorisadminoremnafcitur tertia maior fiue ditonus,

Exemplum.

9 8 Tonusmaior. fen^r

io 9 Tonusminor.

p9o yz Tertia minorfiuefefquiquar.in majorib.

.1 s 4 Tertiamaiorinminoribustermin. H~~i

Propositio X I I.Quarta componitur ex Tertia minore %$ ex tono minore .

POnantur proportioncs tertis minoris & toni minoris , deinde 6 ducantur in_j10 & producuntur 60 > $ vero dufta in 9 producent 45 , qnx infra pones

vt patet ; Si enim hofce numeros pcr communem aliquam menfuram videlicet1 s diuiferis prodibunt 4 &; 3. proportio fefquitertia , cx qua videlicet quartacon-ftituitur vti notula; quoque demonftrant

.

O 2 Exem-

tt>X Arus Magng Confoni, & Di{joni

Exemplum.

10.

6. 5 Tertiaminor.o Tonusminor.

15

f6o, 45 Qyartain terminis.

t 4. 3 Quartain tcrm.min.u-ZT.E_3_=

jA-

*=

Mirum tamcn eft hanc eandem proportionem prodire , fi tertiam maiorem, 5emi-tonio maiori coniunxeris, vtfequitur.-ponantur pi-oportiones tertia maioris & femi-tonij maioris in minimis terminis , deJHde addantur vt prius, poftea fumma? per com-muncm aliquam menfuram, videlicet 20 diuidantur, & prodibunt vt prius 4& 3 pro-portio fefquitertia qua; quartam fiue diatefiaron conftituit

.

:

Propositio X II I.Exsmglum Genejis quarte ex tertia maiore ^femitonio maiore *

'...'."' ''--

- '

I :'" 11' )

5 140 Tertia maibr fiu&Ditonus. r E.*Z!T=r

;

.:$; &16 15 Semitoniummaius,

f3o 60 QuaftaintermrnismaioribusiTuecompofitis.^-* ;

>b

20 S^43 Quartain tenninis minimis. jPf *

Ex quibus patet, quafdam partes,quibus modernf Mufiei fuis in Concentibus fub-

inde vti folenr.non effe pcrfe&as & veras, fed falfas, ciim veras com mate fuperent,co=ftentque duobus tonis maioribus,& vno femitonio maiore; ita autem huiufmodi falfasquartasexprimunt.

Propositio XIV.Quinta tonjiitmtur ex tertia maiori& tertia minori .

POnantur proportiones tertix- maioris& tertia; minoris in minimis terminisj deindeaddantur, producenturque 30 & 20, que fi per communem aliquam menfuram

v.g._odiuidantur 3 prodibunt 3 & 2 proportiofefquialtera, quaa veram quintarh-.conftituit.

Exem-

fah. 111. Ds tiartnonkorum Nummrum^Doflrina . 1 09

Exemptotrt.

GeneJ/s Quinte fiue diapente .

.1

Vt-

5 4 Te-rtia maior.6 S Tertiaminor.

f30 .20 Quinta in numeris compofitis.

\i~ z Qyinta innumerisfimplicibus&iradicalib. g:$:

:$:

Propositio V.

Eadem Quinta componitur ex quaru & tono maiorevtfequitur in exemplo .

Exemplum.

4 3 Quarta fiue I^iatefTaron.9 8 Tonus maior.

f 36 34 Quintainnumcriscompofitis.

L 3 2 Quinuinftiirneris radicalibus.

Ek ciuo patet.quintas his notulis expreflWalfasJmb SflTonantes^contracprau.

ne practoum iudicium . Habent enim proportionem dinerfam, yidehcet ,fuper 1

3

partientem 27. vt JExemplum Afequenspatcfacit.

ilA

Exemplum . zSl=55= r.nzs^fqpL

4 3 Quarta;10 9 Tonusminor.

4*Jfici-40 27 Formafupertripartientis27- H~a'

Propositio XVI.QUMA& tertia minorfimuladditafaciunt baxacbordum minus

fmejextam minorem-*

Exemplum

.

4 3 Quarta.6 5 Tertia minor

,

f jT^TTHcxachordum fiue fexta minorin maior. num

.

jl,

3l 8 5 Hexachordumminusfubminimisterminis. fcfczfc

Propo-

-*

no 4^k Magn

Lib. 111. De Harmonicorum Numerorum Doftrina .

Propositio XXI.De Compositione feptim^

.

Quinta addita Teriu minori daifeptimam minorenu .

II i

Exemplum

.

3 2, Quinta .6 5 Tcrtiaminor.

/ 1 s " io Scptima minor in numeris maioribusli 9 S Septimaminonnnumcrisradicalibus }j

fePropositio XXII.

AdditionefexU maioris tffcmitonij maioris Heptachordunt-

minus producere

.

Exemplum

.

5 3 Sexramaior

.

16 i? Scmitonium maius

.

1 8o 45 Hcptachordum minui in maioribusnumeris

.

*\ 16 9 Hcptachordumminusinnumensradicalibus.

Ex quo patet Heptachordum Vetcrumcommatcexcederc fcpci mam minorem_

Propositio XXII I.Additione duarum quartarum producitur quoque

beptachordum minus

Exemplum.

4 3 Quartafefquitertia.

4 3 Quaitafefquitcrtia.

16 9" MinusHcptachordum. ._

Propositio XXIV.Addifione quinu& teriu maioris emanatfeptima maior

Exemplum.

Quinta.

te3 2

5 4 Teitiamaior.

is 8 Septima maior

.

V Propo-

lll Artis Magn* Confoni , tf Dijfoni .

Propositio XXV.4dditionefexte maioris& toniminoris nafciturfuper 1 3 partientes ty,

j

Exemplum. fcSzp1=5 3 Scxtamaior. *-*

10 9 Tonusminor. 14l50 27 Super 23 parti9ntes27 quxmaiorefeptimafupcratconaatc. r~T~i"~;

;

Propositio XXVI.De Compositione o&auae siue Diapafbn

.

Additione Quint*ad quartam refuttat oclauafue Diapafon^ ;

Exemplum

.

3 a Quinta fiuc Diapente .4 3 Qyarta fiue DiateiTaron .

nafcitur iterum oftaua-j.

Exemplum

.

16 9 Heptachordum minus

.

9 8 Tonusmaior.

.

Lih. III. Dc HArmonkorum Numcrorum Dottrim i 113

Exemplum

.

4.$ 64. Semidiapente.32 4S Tntonus.

^.1440 2880 inmaioribustcrminist^ 1 440 1 446

1 2 o&aua

.

Iterum oftauainfeptimam maiorem qui eft,vt s ad 9, & tonum minorcm , vt 9 ad1 o, vel in fcptimam minorem , & tonum maiorem diuidi potcft . Nota fccundo to-nusmaior, quoquinta excedit quartam vfui erat apud Gr*cos in feparatione tetra-chordorum, vt poftea videbitur, ncque alium prxter hunc narrant Pythagorici : Semi-tonium maius cumnibilaliud fit quam exceifus , quo quarta fuperat tcrtiam maio-rem, maxime necefiarium cft Muficas,- huius enim ope diuerfae fpecies Quartf, Quinta,Octauae ftabiliuntur

.

TONVS MINOR exduobus femitonijs maiorc cVminore compofitus , feruit adcompofitionem tcrtia; maioris , nequealiustonusingenerediatonicohabetur praeterhunc maiorcm &minorem, &cumquartai;scoiiftet, fufficit is ad totius Muficaedia- Tripiexfetonica? intelligentiam . Ponunt hoc loco ad meliorem rerum explicationem nonnulli mitoniumtriafemitoniamaximum,medium,maius;Max;mum, vt2S ad27 fuperatmedium_,vno commate > Secundum fiue medium,vt 1 28 ad 1 3 s cominate fupcrat maius. Ter-tium cft paulo minus medio, cftque diffl-rentia iater Quirtam & duos tonos maiores

, pjthagori.diciturq;LimmaPythagoricum. eftq; vt243 ad z$6. cuius vfuscrat.ad complcndam cum_-,quartam poft duos tonos maiores, fupcraturque a miori femitonio commatc, ali; ahasfubdiuifionesfaciunt.

Verumcumdehifcealibitracliemus , fuperuacaneum efle ratus fum in negotioin-tricatifllmo, & ad propofitum noftrum non ira faciente, tempus tcrere . Ad propofi-tum igitur STONVS MAIOR, additus ad quartam conftituitquintamexceflufqueeft,quo

quinta quartam fuperat.TONVS MINOR exccfliiseft, quo quarta fuperat tertiam minorem .SEMITONIVM, med'i intcr maius & minus,fenabet vt 135 ad i28jeftq,-cxccflus,

quofuperattonusmaiorSemitonium maius ; Semitonium verominus fuperatcom-mate, occurritque.cum tritonus 5 quieftmotusexF/i, vtia b .fupcratquartamexVfa, tvt in bfa . hoc femitonio medio

.

Verum, vtdifFerentias interuallorum minimorum vidcas, hic tabulam apponimus,jnqua, quscunque hucufquediftafunt.clarevelutiinfynopfiquadamintuearis.

Vt igitur habea^ exceflum,qtio duo quslibet interualla fe mutuo fuperant, forma>eoruminfcducesderuiTatim,& habebisexceflum , quo fe mutuofuperant, vtipatetinnumerisvnicuiquefubfcriptis. V. g. tonusmaior9. 8. & tonus minor9> ioinfe__dudi decuflatim producunt 80 & 81 comma ,quo fefe excedunt 5 Idem ftatucndum-dereliquisexeruplis

.

V inttt

Guidc

Muenit

.

B

Lib. III. De f/artnonicorum Numerorum DoflriH.x . n iQuas nunc frequentiorc verbo appellanr (Tgna.fTgno pro re fignifTcata vtentesjfedes

autem harum vocumClaues nominanr, diftinctas linea ac fpacio in cantibus, acaequis quidem dimenfTonibus Iinearum parallelarum ad oculum , cum voces tamen_interfc non omnes arquointeruallo diftent,,- Quos igitur Veteres neruos fTue chordas ,has, voces appellauit Aretinus ; quibus & vlus eft loco chordarum, dum in ordinem_.tanquam infcalam quandam ad rJccam olim tetrachordorum difpofitionemredegit,qucm tota pofteritas deinceps fecuta eft; ita autem procefTTt

.

In infTmo gradu in linea pofuit vocem ^r.pramotata tertia Grscorum litera r, vt exGntcorum monumentis MuiTcam fc inftaurafie oftenderet; ProxTme deinde infpa-ciofupra linea prima pofuit vocem re, pra;po(Tta Iitera A; rurfus deindc in fecunda lineavocem mi, cum littera B praspofTta

,quam nonnulli ad difTerentiam B rotundi quadra-

tuponiithacratione b.Et fTcdeincepsordinein fcala pofuit reliquas voces vt in fTgu-ra apparet, Pofterioies vero Mufici.omnia hsc ingeniolb fane compendioin_

ee

dd

cc

bb

aa

gfe

dc

ba

G F

F

D folG iavtB miA rer vt

iic- dilpo-Ctioneni

>

vocu ch-uium per-fecle exhi-bens,

manucxhibucrunt.quamhicIngratiamcunofT leiftorisquoque apponendam duxi-

mus. Vcrum, vthxevocum clauiumquc ingeniofa difpofniocum Grscorum fyfte-mate'meliuscompareat;hic typum vniuerfalem quoque apponere voluimus.vt ficcu-

riofuslcftor vna velutifynopfi vtriufque fyftemacis fcalam, coram intueretur

.

Typub

n6 Artis M&gn* Confim , & DijfomTypus Generalis Scalse Guidonianae iuxta mentem

Veterum Graecorum in genere diatonico

.

a.

a 2

JProport.| Clau. ; Inteiuall

o3C

Q IH)1.

j 1 1 Niir T/e^si/j^iVau,1 aol=V Isl

5 Slg t ^Tf/T fiigtvyftitait

f*s a-tf

I I*

o

/hI-Z C

rt CL

Q 14J

-o

QJ c

t

T*futwth fj.i

Lib, 111. De Harmonkorum Numerorum Doclrma. uy

Explicatio Figura.

IN pnma columnafunt nomina tumchordarum ,tum terrachordorum i In fecun-darationumerorumvnicuiquecompetentium. Tertia claues Guidoniana: ner-

uiscorrefpondentes. Quartainteruallorumdenominationes. Quinta vocum variam

d:ipofitionem_,

.

Sunt autem claues natura diftincke feptem, ac totidem literis a, b, c, d, e, f, g, nota-ts, per repetitionem vero 20 fiunr, hoc difcrimine a Muficis pite, maiufculis quidemformispnmasfeptempoft r A-feqaentcsdeinde feptem minufculis; Porro extremxquinquegeminatis,- atqucindedicimus A magnum fiuegraue, aparuum fiue acutii,Aa geminatum, & ficde reliquisclauibuseodem modo,- Diftantia quoque clauiurru.maximecofideranda eft; Na ucuti clauis a proxima diftat fecQda,a tertia tertia,a quar-ta quarta, & fic deinceps, ita vt in vniuerfum eiufdem fpecieilittera quaeuisa proxima

,

oftaua diftet,vcluti r vt . aGfol. re vt; A ab ala. mi. re, ac inde de reliquis eodem con-leftandum modo,- de odlauis enim idem eft iudicium. quod cu.ro de vocibus, tum nonminusdenaturacantusintelligitur. Quaecunque enim voces in Gfah re, funt , in_,r -yt, etiam rede cantari polTunt.Et quae in A la mi >v,eedem in A re, quae in Bfa h mi

,

cxitidem in mi, nec difiimiliter de extremis iudicandum . Poterat enim haec clauiudifpofitio in infimrum extendi, ea feruata lege.quam di&aiam regula innuit,necefle_>tamen erat,vt alicubi efTet initium, alicubi finis, ita Ci notula aliqua infra r vt, ponere-tur.dico refpiciendum elTe ab ea oftauam claucm,- vti enim infra Gfolre vt,ctt ?fa, vt,ita infra r vt, immediate ponenda eflet Ffa vt.ta.mctti humana vox hofce Iimites nonegrediatur; fed iam ad explicationem fyftematis propriam accedamus.

Qirnque igitur tetrachorda in toto fyftemate fcal* ordinantur ; Primum tetrachor-, id eft principalium chordarum incipit poft *to

;ii' Artis Magn hi^ivyt^tm ideftextremadifiunfliaru fignatur e. vox eius la,mi,re.SecundachordaTf(Ti!T4f(8^/^idefttertia excellentium fignatur f. voxeiusy,'

Lib. 111. De Harmonicorum Numerorum Docirina . 1 1 prem amandandum duximus; Cur vcro proportiones interuallorum non in minimis,&radicalibus terminis, fed maximis exhibeantur, ideo faitum eft, vt commodius mino-res toni partcs, vt funt,commata,fchifmata, diafchifrnata, aflignaret Guido; Ita vide-bis numcrum 4608 mefe adfcriptum,ad numcrum 43 74 trite fynncmenon adfcnptu

,

rcferrc proportionem diefeos fiue fcmitonij minoris, hunc vero ad numerum paramefgadfcriptum4096 Apotomes rationem habere, ideftcommatiscumdiefi, &flcdt_>cceteris,- Qusomniafyftemaexaminanti clarius patcbunt.

Ds tribus modulandi generibus

,

TRipIexmoduIandigenusab Autoribus aflignatur, quo, quicquid in vniuerfbmuficaeambitu eft,contintur,cftquc Diatonicum, Chromaticum, Enharmonicum,

DIATONICVM eft ilIudquodpcrduostonos,&femitoniumrmnus, id eft furlmsincedit. CHROMATICVM acoloribusdiclum,quod Vcteres hoc adiatonicodiuer-fis coloribus contra diftinguebant, proccditquc pcr femitonium, & femitonium , &fe-miditonum . Tertium ENARMONICVM eft,quodperDicfin & diefin,&Ditonumprocedit > Verum ciim de hifce tribusgeneribusinfequentibusfufiusflmusratiocina-turi , nihil aliud hic prasftare vifum cft , nifi vt locofufioris difcurfus totius fufceptinc*jgotijtypum cxhibeamus.

Typus Tetrachordi Diatonico-Chromatico-Enarmonici

,

6144 6144. 6144-

E hypate mcfon

GOGCO-O

Su

^arhyDate hypat.

Hypate hypaton

Parhypate hypat.

-.-

b1

Hvpate hvpaton l ,r< Hypatehypatoa'

819- |DIATONICVM 1

8192Chromaticum

8192.Enarmonicum |

CA:

1 _

o

4Uk Magna Conjorii , ($ Dffoni

CAPVT, I X.:::

DeAlgorithmo Harmonico characleriftco,fiueZyphratoac primo quidem de vocum in fcala vtraquo

per numeros ordinatione

.

Cum Muficam Arithmeticae fubalternatam in primo libro oftenderimus,- eafdem_.quoque Arithmeticae leges eam feruare necelfe efti & quamuis multi hanc tra-

c_iuerint,vtIordanus,Boe'tius,Stiphelius &c,Nos tameneoriidem veftigijsinfiftentescandem & maiori methodo, & reconditiori vfuique aptiori do&rina eam hoc loco tra-vj ,

&

molfi fiue quod idem eft vera, &fi.ta,artificium no-flrum arithmetico-harmonicum exhibebimus *& quoniam multi irrationalesnumeriinhuitifmodi trad.atibus pafiim occurrer.efolent,eoscomrr:unihoc / fi?no Cofficorunumerorum fignaculo indigitabimus ; ne quicquam

,quod lecrorem prima fronte of-

fendere poffit,proferatur

.Sed antequam vlterius progrediamur primo de fyftematis

fiue fcalis trac"tabimus ; vt fequentia in offenfo pede perfequi poffimus .Supponimusautem Primofcalam muficam duplicem, duram

, &moIlem,quam_,nonulli veram quoque & n\ftam muncupant , de vtriufque difpofiuonc nobis ne-gotium eft.

Quicunque igitur progrefljonem Muficam d fponere voluert iuxta priorem fcala,isaduplaprima fimpliciflimaqueconfonantiarum omnium fuaenumerationis ducatexordium: eft enim hsc, vtfupraqiroqueoftenfumftnt,prima proportionum omniu

,

ii earum ex numerisconfideres prtum , . Eiusenim termmiproprij inter numeros mi-nimi funt t Binariusenim relatusad vnitatem ^duplam conftituitproportionem ,fubquainteruallumipfiusdiapafohinuenitur, vthic vides.

G. Sol.revt. i d fapakhjV Vf. _ f

;

Diapafon Eftque hoc icteruallum fcalae perfecriflimurrj omniareliqua interualla complicans.omresco- ita vt quicquid vltra ipfftm inueniturinfcala nihil aliudcffe cenfeatur,quam rcpetitiojfonantias e0rum .quae intra ipfam funt reppfltaj Sic enim vpces hominum, & inftrumentamu-ias infc_," ^cff iucundo aurium iudicip ______ nurnej-prum refpondent

.

complicat Pprro fi vterque terminusproportionisdupleturjinterduplatosterminuscadetter-naritis,qui diapafbn in diapente,& diatefTaron diuidit.Atque ha? duae confonantis omnium relquarum, qux in fcala confiderari poffunt,

& -fatef! interualIorum metrafunt j Mirumquefaneeft, proportionemin fua fpecie omniurru.faron om- minimam, in proportiones duas, quse in fua fpecie fint maximae , diuidi , & quantum_,mum reli- attinet ad fcalam , efle pcrfecffimi interualli pr*cipuas partes diuifionis . Veriinta-maximx. mcn, vt.admirftpuem hpius rtegotiiproceflum lijculentius videamus , ommaordih e_j

dernonftrandaduxi. |

:

;

: -'

,r

' -' '.'.,,..' no:gq^r! i i,

Lib, II1. De Harmonicorum Numerorum DocJrina . i * r

Propositio I,

Diapafon in Diapente, & Diatejjaron diuidere .Cumdiapafonin dupla confiftatproportione.duplentur termini minimi hums

proportionis r. & 2. nafcenturque 2. & 4, quorum intermedius ternanus dabitquiiitum, ftabitque excmplum ita

,

G :C 3

i, diapente

r 4 J. diateflaron.

vbi vides 2 ad 3 fefquialteram,hoc eft diapente, 3 vero ad 4 fefquitertiam,id eft diatel-

faronproportionem conftituere,- Atque exhifceproportionibusomnia reliqua fcalae

interualla nullopene negotiojndagabis ea, quaefcquitur,ratione.

Propofitio I I.

Locum diateffaronfupra C fol,fa> vt, infcalainuenire.

PRimo multiplica imparem numerum prscedentisdifpofuionis , videlicet ter-nariuminter z& 4 medium ,infe,&prouenient 9 , cui m fcala refpondet F.

DiateiTaronfupraC.qua^tu. Reliquosnumerosclambus r.C.&G. relpondentes ita

inuenies:priorisdifpoGtionisnumeros intcrfe multiplica, v. g.qui m priore d fpohtio-

neG&r adfcripta funt, duccs in fe, fc.licet z in 4 & prouenient 8 pro G. itecum 3. C.adfcriptiducantur in r 4&prouenient xaproCIauiC.den-qj r .mfeducanturpro-uenientque 16 r adfcribenda, ftabitque exemplum , vtfequitur.

G s > Tonns. 8 j. Tonus.J.

Diateflaron.C 12r 16

\. Diateflaron

Propofitio III.Locum diapente infra F. 9. paulb ante inuentam Clauem

reperirc^ .

SI itaquediapenteinfraF.inueniredefideres, itaage:duc 3.maiorem fefquialte-raeproportionisterminuin9.paul6anteinuentunumerum imparem,claui F ad- 3 ^fcfq

fcnptum,& prouenient 27. qus refpondent B. molh ; Vt iam reliquarum clauium pro-

portioneshabeas, ita operare . Multiplica fingulos prccedenris difpofitioms numeros

per2. f.except0 9.quinumerusiam inuentus cft 27.,) ideft G 8,F9,C i2,& r,

1 Diateflaron.

> Tonus

Ul

era

G 16F 18C 24Bmolle 27 Semiditonus.*r 32 f

O Pro.

. . i ii . . . Artn Magn* Confoni^ $ DijfoniPropofitio IV.

Clauem D.fiprar vt,fiue quod idem eji , diapen^fupra r vt }in->jcalareperire

.

MVltiplica32 r adfcriptaper sminimum fefquialterasproportionis terminum,& prodibunt 64 qua? refpondet daui D. diapcnte qiiaeutae, vt verb reliquarum

,

l ,; . ium proportioaes habeas, per maiorem proportionis fefquialterae numcrum, vidc-

licet 3,finoulospr32cedentis difpo(itionisnumcros (. excepto 27 . ) multiplicabis , &prodibunt.numeri clauium iuxta difpolitionem, qus feqmtur

,

3

j ! ! :

G 4 SF 54D 64.C 72B ra 81r 96

}>. Toniis

,

| Semiditonus,r> Tonus. Semiditonus,

j . .,

rropotitio v

,

lnfra D. alauem paulb ante inuentam, diateffaron ajjignare

PAuI6anteinuentaclauis,& numerusfuitD.

Lib.Ill. Del^Atfmnkorum^timerorumDoclrinti. i^jdifpofitionis numerosduxcris, vt exeplum docct, ita 3 du&ain 243 quasinpraeccdentifyftemateB, refpondent, producunt rj, in hpc fyftcmatc fequenti; hocpa&0 3 inC,2i6duftadantC, 648. Iterum3in D. i9^duda dabunt D, 576. &ficdc cccteris .

4JJ Tonus._

r

..

. .

i i 4 Artis MagHA Confom > {$ Dijfom

$cala mufica

,

*j .-

C>51296

[l 14; 8,ee 1536dd 1718;cc 1944bb 2048bb 2187aa *34

f259*2916

c 37*d 34;6c 3888f> 40.96

b 4374a 4608G J4F 5832E 6144D 6912C 7776b 8192A 9216r

10368

Lib. 111. De Harmonkomm Numerorum DoHrtna. t* $Qutmadmodu veropcr 8, & 9 tonusprobatur,ita & teliqua interualla perappropria-tos Nbinumeros&proportiones, vtfequitur.; proport:

SemitoniummaiusSemitonium minusScmiditonnsDitonusDiitefTaron

iTritonus

SemidiapenceDiapenceSermtonium cum diapenreiTonusSem.ditonus cum diapenteDitonus cum diapenteSemidiapafonDiapafon

Vcrurntotamhancoperatione vnicafynopfiin fequenti figura oboculosponimus

Schema interuallorum

.

1. onbb Z187

Z3041591291 d3O7Z34*63888.4096

4374

bbaa

gfe

dc

b

b

femidiapafon fiue

iC

cum diapentc aa femiditonus cum1 C-

3'w

3B'

>-

1 1 cum diapente p fem ; tooiuin cumO

-o

3c

|5

pentee

femidia ;3rt

1

tonus dtonus c

diatc

femidi

114-. *t

O53

nSrtO

r

3*

n

f

S Tonus bqub

fem.3.

O3Cm

In hac figura deprehendcs ex bb, in b, diapafon, fiue oftmam , ex aa , ad b, ditonucumdiapentcex g in b tonum cum diapente; ex f in b diapente; exe in b tritonum_jex d in b ditonum ; cx c dcniquc in b tonum j Fx altcra vero parte ex b quadrato ad c{cmitoniumminusjexbquadrato ad dfemiditonum,ex bquadratoin cd:atefiaron_.jex b quadrato m f femidiapcnte ; ex b quadrato in g femitomum cum diapente* ex

b

quadr. in aa ferniditonum cum diapente; ex b quadr. denique in bb fernidiapafon_^.

Vidcs igitur quam pulchre fibi ca qu x hucuuifquc dicta funt in hac figura confentiaf.

A

j 2,6 Arth Magn Conjoni , tf Dijfonl

C A P V T X..

,

De progreiTione quae fit iuxta fcalam Muficae fidae fmo

,

vt vulgo loquuntur accidentalem

.

t

PRogreffiQ quae flt iuxta fcalam Muficae fiftae , eadem prorfus habet qu* fuperiorillaMuficae vera? fcala : fcilicet,fcala Muficae vcrae, progreditur iuxta progreffio-

ncm tctrachordorum in dauicord Semitonium maius'} Semitonium minu^y Sernitonium minus}> Semitonium maius

iSemitonium minus

j- Semitonium maius> Semitonium minus .> Semitonium minus1-Semitonium maius .

* Semitonium minus*

} Semitonium maius> Semitonium minus

Lib. 111. De Harmcmkorum Numcrorum Doclrina . i 7diipofitioncm . Itaque fi fyllabasfeu voces refpicias,ficT:io efle videtur: at fi rationemnumerorum fpcftcs , res cft, & ars , qua: muficis rcgulis ncquaquam aducrfatur

,qua

eflet Ci fl&io rci non exiftentis

.

Vides etiam cx ratione numerorum, tonum nou efle tonoduriorem autmolliorem,ncquc vllum aliud interuallumaltcrointeiuallo: quod numerorum ratio indicatfibiefie aequale, nifi forte duritiem , velmollitiem iudices penes attenuationem vocis.Ratio verohaec numerorum graue, & actitu n indicat. Sicut autem alia iationt_jnumerorum inter voces longas & breues

,itaalia ratione aumerorum iudicamus

intervocemgrandem&attenuatam , ctnihil horumeftquod non habeatrationerrLjfuam ex numeris. Saris autem conftat graciliores chordas cytharre,no tantu acutioresgroflioribus rcddcre fonos, fed etiam magis tcnues , Huiiis autem digrefiTonis occafio-nem praeftitirmihi muficorum diuifio illa , qtia fex voces muficales diuiduntin tresdiatoflaron, hoc modo

.

la b dur.

fol natur

fa b molmi b dur.re natur

vt b molre mi

Vocantautemfcmitonij minorisvoccm acutiorem,mollem : grauiorem verb vocecius vocant duram. Et quaujs nulla clauis diftio, quae la habet, admittat voccmfa autvt, admittit tamenvocem mi . Item nulla dic-tio qux vocem , -vt habet , admit-tit voccm mi ,aut/? , cum admittaty^. Hac ratione cenfuerunt la efie vocem dura,coquod videarurquandam cognationem habere cum voce w/,quemadmodum vox, alia diuifo diapafon in commata, ^femitonia^jminoY&y ex Stifelio deprompta .

gg i*47J>8 j. comma430467*1 , c^ 7 T

> Semitonium minus-rjjt? ?

Y SeiTutomum minus47775 44 t, Semkonium minus

ce 50331*48 CommaJ I OI S 3 36 C7

' k Semitonium minus>

y 3 747711 ' ~tl

iifr'', Semitonmm minus

dd y 66131 04 r ,-,J' T t Comma

57395618 *0466 176 i

Semitonium minusSemiconium minus scm ;_

ii8 Artis Magn* Confoni, & Djfoniec 6 3 7009 9 * }> Scmitoniurn minu5bdu. 67 08864 h Comma

680M44 V scmiconiumminusbb 7 16636 16 Semicomum minus3a

^4974

^ >Con

?,na

^**" 7 *

t ^ Semitonmm minusii 8u5ai j6 8 - r1

J t, Semicomum nynasg S49346J6 ?

Potesetiam, & hanc progreffionem commatum-, & femitoniorum mirtorum ex-Recifaha tendere, vfque ad r vt , perduplationem fingulorum nuv.erorum.monica^ Eft autem Comma differentia qua femitonium maiuifuperat femitoniutn minusjqnid

? Pofles iam etiam facere progreffionem Recifarum, ,\ Commatum , Sunt autem tri-piiciarecifa. qua:damfuntprima

,quasdam funtfecunda, &qu.Ttdam funt tertia_,.

Eft autem recifum primum dirTerentia femicoai; minoris fapra comma, vti

:

1341177*8119140163

Et rccifum fecundum eft differentia, qua recifum primum fuperat comma, vti

j

1%99942.$&S79 qua recifum fecundum fuperat comma, vti

:

9961 17x5 570869978716498475909*384791211881

Exhispatet, quodadhucalias,progreffiones muficae poffentponi, videlicet cora-matum, &femitoniom: item commatum.&reciforum pwmorum ; item commatmn& reciforum fecundorum, jtem commatum , & rcciforum tertiorum

.

Habentaute hajomnesvnum ,& eundem moduminuentionis, fcilicet progreflio>commatum & femitoniorum recipitur a progreflionefemitoniorum minorum, &maiorum , & fumitur principium a aumero impari , & remittitur diapente , vt facile_vides. Diapente autem nunquamintenditur, nifidumprogrefliotonorum, &femitoniorum inquiritur, fcilicetdum fcala muficajveras conftruitur;ficdi ,-tefiaron_nunquam remittitur , nifi dum illa tonorum , & femitoniorum progreflio inquiritur

.

Icem a numero pari nunquam fit inchoatio, nifi in illa prima progreffione tonorum-. *& femitoniorum . Item facile videbis vbique quando remittendum fit , & quando initendendum, vt nihil fit vkerius, quod in huiufmodi operationibus poffit dcfiderari.

CA-

Lib. 1 11. De H&rmomcoYum Numerorum Doflrina. i_p

G A P V T. X I.De praxi Arithmeticce musicas siue de confonantium-

numerorum Algorithmo

.

I

,

Propositio I .

PtAdditione.

_ Ordanus & Bo-ftfus luiae Algorithmum quidem a-tant, fed ita obfcure , & diffi-J_ .culter, vt vix-fit, qm cx difticilinegotiofcfc explicare pofljt > ita diateflarpn fqua:conftat quinque diefibus, aut femitoni;s minoribus & duobus commatis^ad modum_laboriofa multiplicationc referunt> dum 5 diefes&zcommatafeorfim hoc ordine diiponunt.

.

Quinque femitonia minora fic difponuntur

;

M

? 3 . \ v

'

4?i$ Magnt Confoni , {$ Diffbni

Cbarafleres,quihus interuallajjngula notamus

, hifum

,

Tonus rrrsrDitonus Triconus _

TKfc

Semitonium minus fiue diefisSemiJiconus

.

._

DiacefTaron conftans ex duobus conis &femiconiominoreDiapence ex tribus tonjs conftans & femiconio minoreDiapafon ex quincj; tonis & duobus femitonijs minoribusCom ma nona pars toni ica figuatur _. .Se^niconiu maius ex femitomo minore & comace

fic notatur

conftans1

I

'II

III

ll\R111

r

Quandoquidem verb Mufici de proportionibus quoque irrationalibus ioquuntur( vt de Schifmate & Diafchifmate, & nonnullis ali;'s^ eas fic fignamus

.

Schifmacomrhatisdimidium_i- r-

- ODiafchifriiaferhit;min. dimidmm_. i

1 \ .. . ,.- 7

Dimidiumtoni exfchifmate &femitoniominore conftat, eftque proportioirrationalis & ita fignatur . ' " ' :

j T^"Dimidium verQXemitoni; maioris ex fchifmate & diafchifmate confians

itafignabitur%,,, : , '

'

,

_j ! . 1Dimidium vnius diapafbn conftansex diateffaron & tono dimidiatoita ,,

fignabtur

Videsigiturquam appofite interualla fingula refcrri pofllnt , hifce chara&cribus atfumptis. Hisitaque vtentes ohmesarithmetica:soperationesexpediemus. fint v.gr.'addenda 5. femitoni^it&ojcojijmata, habebis quaefitum fi p o addas adH vtfcquitur_=i. ita^commataadditatritono, faciunt \ j j, commaadditumfemidit.facit ^p.66 ' '"'-" -" ! -' 0009 ,Iterumfi velisdiapente addere. ad diatcffaTqn, habebis quajfitum fi JJ|addasajd

_[[hoc pafto LLLL!, qua; nota correfpondet confonantiae diapafon* denique fi vrlis addere_ja$fli

Lib. 1 II. De HAYmomcorum Numeyorum Doflrma . i j ihotis, & vnius diafchifmatis , atque tertia partc diafchifmatis & vnius fchifmatis,relin-quittonipartcm tertiam . Videsigiturquam fubtili ratiocinio, &quamhacmerhodofacili omncs operationcs harmqnicc expediantur

,

Propositio III.De multiplicatione mufica .

Sltprimb multiplicanda Semiditonuscum Schifmate & Diafchifmatcpcr4.Sicfta- , muia:bitexemplum. Deindc multiplicaquodlibethorumfeorflm per^, & cmanabit ~plicada

figurarumordoquifequitur. jn|& H & rr rr & u o u o ^Sp.Hoc eft^Semitor.iaminoracum 4fchifmaribus faciunt 2 ronos,quifumpti cum 4 cans.

tonis & 4 diafchifmatibus fcil. duobus femitonijs minoribus , faciunt bis diapentc , vt __ ,

.

habet propofitio. Irerum Scmitonium minus cum Schifmatemulriplicataper6faciar ~^icandatrironum; ita ftabit exemplum , Dcir.de multiplica ilngulas figuras & u per 6. & e multipli.proueniet fumma vtfequirur. Gans :

p u o o (j u u . Summamuitiplicandorurn per6. hoc cft tresllltoni.Faciunc enim tres toni refoluti in 6 diefes & totidem fchifmata,3 tonos . Iterum 1!

fcmidiapente cum lchifmate multiplices pcr 4,habebis bifdiapafbn,ita ftabit exemplu.Duc itaque 4 in fingulas figuras & prouenient figurx vt fequitur

.

it

IllUIIl||o u u u u u u 6 |p .JL_Hsc refoluta conftiruent bifdiapafon, id eft quadruplam proportionem fic . W

*c

Propofitio I V.i> diutfone mufica

.

SI diuidatur bildiapente per 4 , prouenient femiditonus cum Schifmate & Dialchif-mate : diuidendus ita ftabit ML diuide igitur feorfim 6 per 4 proueniet 1-7- fefquitonus, hoc eft ~. deinde: duofemitoniaminoradiuifi per^faciunt-j- femitonij mino-ris, hoc eftdiafchifnahoc fignonotatum i ,ita& tritonus diuifus per 6 producit Xi ".

hoc cft-rtoni;non fecus bifdiapafbn per 4 diuifa producit femidiapente cum fchifma-tc.primo 10. toniper^diuifafaciunt 2 ton. hocefl -il deinds relinquum fcil. 4fc-mit. min. per 4 diuifa faciunt fcmitonium minus . Summa omnium facit, IJL

.

Propofitio V.Dt multiplicatione per numerosfraflos

.

Slvclismultiplicareper vnafemidiapente,tunc produciturfemiditonus cum fe-

mitonio minore , * fchifmate, &diafchifmate,hoc eft == ira auteprocediro , ii_ femid;xemplo vt in marg. ftabilito primoduos tonosmultiplica per numerarorcm 3 &"5'P"-Lprodu&um diuide per denominarorem id eft per 4 , & producirur i~t ron. hoccft i , fccundo z. femitonia minora mulriplica per numeratorem & produ&umdhiideperdenominatorem ,fientque i-j-Semiton. minus cum diafchiftnate

.Qubd

ft probarc velis, ira agito, primo mulriplicario produ&i hoc eft = per 4 facit 4tonos & 8 femiton. minora, 4 diaichifmara & 4 diafchifmata , u hxc in vnamfummam colle&a , faciunt 6 tonos & 6. femiton. min. quae diuifa per 3 > faciunt2 tonos & 2 femicon. min. hoc eft L femidiapente. Ex quibus omnibus patet

R 2 vnius

i g * Artis Magn* Confoni , gf Dijfoni-3- vniusfemiton. minoris cum vnodiafchifmate>atque -y-vnius diafchifmatis & vqa>fchifmate, atque tertia parte vnius ichifmatis, --partes vnius toni conftituerejpa-tct quoquc4 tonos per 3. diuifos.item 8.femitoniamin.per triadiuifa producere _j_iQyod Ci a quotientibus iftis fubtrahas 17-ton.cum z. femiton.minoribusrclinqui femiton. min&-|-diafchifmatis & ~ fchifmatisj Quaequidem omnia

-j id eft dua-bus tertijsyniustoniaeqiiantur . quod itaoftendo, fienim ~ Toni addantur adt-j-toni, ' tunc duo toni perfede ititegrantur qui cum 2. femiton. minoribus faciunt femi-diapente . Sed ha?c clariusexprajcedentibus innotefcunt.

Propositio V I.De Diuijtone mujica perfraclos ,

Slnt V. G.diuidendi8 toni&3 femiton, min. per s-feu quodidem eftper T jprq-dibuntque s toni, &1 femit. min. Ex quo clare patet -f- femitonio minori

adperfeftionediapafbqde 8 effej Vides igitur quam pulchre& artificioseirrationa-Ies per rationales numeros fupputcntur . Et non dubito, quin ex hifce fagacia ingeniainnumerabilem nouarum inuentionum circa refolutionem huiufmodi nurnerqrurrL,materiam fint inuenturi , Sed vti non cuilibet licitum eft, adire Corinthum, ita_.profundioribus tantum ingeni/s hasc deguftanda proponere voluimus

.

G A P V T. X I I.De Diuisione toni

.

M: Agna inter Authores nullo non tempore de diuifione toni fuit controuerria_ JJneque quifquam adhuc inuentus eft, qui Jitem prorfus deciderit; Boetius, Ior-Tonuscet danus,Stapulenfis id ficri pofle negant: nonulli verb ex Recentioribus id facili negotio

tutomime fieripoflepiitant> Nos vt litem componamus dicimus ,tonum bifariam diuidi , certosro bifaria conftitutoque numero^ $$-* efTe, attamen tonii diuidi pofle (vt\ & omnes reliquaspotef},"

" con^nantias^affumptis quibufdam rationalem numerum conftituentibus particulis._

! v5 Atqucprioremquidemfententiamitidemonftramus

.

Propositio I,

^Tonus certo& conttituto nnmero bifariam diuidi non potefi ( id eft. )$i medium extremitatum tonifpacium bifariam diuidatury non

ideb quoque tonus in duas squas partes diuidttur.

1 mnopqrfta I1-..-.1 |--1 j11 | | b

c d efghiKSltigiturfpacium a binteruallum toni in 9 asquas partes diuifum , manifeftum eft

a b& c b efTe toni extremitates; ciim tonus in proportione fit qua 9 ad 8 . Diui-daturitem vnumquodq;nquem partium fparium bifariam in 1, m, n, o, p, q &e.

Dicofpaeiq a cper 1. bifariam diuifo, non ideo ronurn quoqua squaliter diuidi. Quo-niam enimfonusab&l b non asquatur I b &c b; eftenimlbparstotiusab; ergoraa-ior eftproportio a b ad I b, quam 1 b & c b 5 eft enim haec fefquidecima fextajilla fefqui-

decima

Arifloxeni

Lib. 11 1. Di Htrmonicorum Numerorum Doflrina. 135decim .1 ieptima jNam vt rcctedemonftratlordanusfpacioquolibet per quotlibet _-qua fpacia diuifo,- totius ad totam proximajfeftionis partem minorem efle proportio-nem,quam eiufdem partisad totam rcliquam proximsfe&ionispartem; crgoperhaccitatam propofitionem minor eft proportio a b ad 1 b, qnam I b ad c b. eft; (eque habetvtfefquidecimafcptima adfcfquidecimamfextam

, noneftergo tonus hoc pa&o in__quadiuifus,erutq,-confequenter toni _ b, lb,& 1 b, cb. ad inuicem inasquales. Sonusergo in duas _quas partes diuidi nequit

,quod erat demonftrandum_.

.

Prajterea cum ca fit foni adfonum proportio, quseft jfpacioruminteruallipropor-tio,- interuallum autem toni fit in proportione fuperparticulari ; quod ficuti bifariam_.diuidi iMvw demonftratur ab Arithmetieis , ita & tonus, dictam proportionem vidc-licet fefquiofrauam conftituens, bifariam diuidinequit. Imoneque inplura asqua-lia vt 3 aut 4 diuidi poteft, vt patuit ex di&is , & patcbit fufius in fequentibus

.

CO ROLLARIVM.EXquofacile cognofcitur Ariftoxenum aurium iudicio omnia committentem_,

,

grauiter hallucinatum, dum femitonia fecus, quam pythagotici, integra tonoru j "oo duputatefTe dimidia . Huncfecqtus Martianus Felix turpiori adhuc errore lapfus depre- uidedora,.henditur, qui non modotonum in duns _quales,fedin 3 & ^.dirimit atq,-fecat partes,- tl0-Secatauccir in primistonum in duojequalia, qu_ ideo femitonia vocat; Secundo in3 & earum partiii tertiaru quamlibet diefin tritemeriam nuncupat. Tertio in 4 & hancquartam tonipartem vocatdiefin tetratemeriam; atquchasdiefesnunctettias, nuncquartas diefispartes conftituit.

Propofitio 1

1

,

^tonum irrationahbus numeris in duo /1 i- j- j- rr . r- r -\ ^ tonusirra-aggrcgato,id elt irratronah numero diuidi poliit ? Certc qui rem tagacius examinant, tjonalibusisluculenter videbit non aliade caufaSchifma & Diafchifmaa Philolaoeflc pofita,ni- n ' erisfi vt horum ope toni fieret bife&io . Probaturque hoc fyllogifmo . u Jhlr '

Quicunque commatis ponit dimidium, toni dimidium negare non poteft \ fcd Boe-tiusPhilohum feeucus ponit Schifma, ( quod nihil aliud, quam commatis dimidiumjcrgo, &tonidimidium affignare debet , Maiorem probo. Quicunqueponit comma-tis dimidium cum fcmitonio minore, isponit toni dimidium ; Sed qui ponit Schifinacum femiconio minori, ponit comma cum femitonio minori , Ergoaffignat ton