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Atom-, Molekül- und FestkörperphysikAtom-, Molekül- und Festkörperphysik
Transport, von 1D zu 2 & 3D, BandstrukturFermienergie, Zustandsdichte
9. Vorlesung, 20. 6. 2013
für LAK, SS 2013 – Peter Puschnigbasierend auf Unterlagen von
Prof. Ulrich Hohenester
Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?
Gruppengeschwindigkeit
Elektrisches Feld F, Energieänderung in Zeit δt
andererseits gilt
Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper – ähnlich wie 2. Newtonsches Gesetz
Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?
Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper … Dispersion freies Teilchen
Ohmsches Gesetz … Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional zu angelegter Spannung
Was ist falsch ?
Was müssen wir noch zusätzlich berücksichtigen ?
Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?
Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper … Dispersion freies Teilchen
Ohmsches Gesetz … Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional zu angelegter Spannung
Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)
Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?
Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)
F
Beschleunigung
Streuung
Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?
Beispiel: ein Atomzustand, ein Elektron pro Atom
besetzte Zustände
unbesetzte Zustände
Nur Zustände bis zur Hälfte des Bandes sind besetzt
Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?
Beispiel: ein Atomzustand, zwei Elektronen pro Atom
besetzte Zustände
Alle Zustände des Bandes sind besetzt
Was passiert, wenn man elektrisches Feld anlegt ?
Isolator versus Metall
Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche, die sich nach rechts bewegen … kein Nettostrom
Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen
Isolator versus Metall
Mit Feld : alle Endzustände sind besetzt, es kann kein Strom fließen… Isolator
Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen
alle Endzustände besetzt … keine Umbesetzung
Isolator versus Metall
Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche, die sich nach rechts bewegen … kein Nettostrom
Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen
besetzte Zustände
unbesetzte Zustände
Isolator versus Metall
Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen
Mit Feld : mehr Elektronen, die sich nach rechts als links bewegen… Metall
F
Elektronen werden angeregt
Isolator versus Metall
Isolator, Halbleiter und Metall unterscheiden sich durch die vollständige bzw. teilweiseBesetzung der Energiebänder
Isolator, Halbleiter: Unterstes Energieband (Valenzband) vollständig besetzt
Metall: Unterstes Energieband (Leitungsband) nur teilweise besetzt
Von 1D zu 2D und 3D
Zustände unbesetzt
Beispiel Grapheneeine einzelne Schicht von Graphit Brillouinzone
Zustände besetzt
Kann man Bandstruktur E(k) messen ?
ARPES Angle Resolved Photon Emission Spectroscopy
K
Photon überträgt Energie und Impulsan Elektron im Festkörper
3D Bandstruktur E(k)
Brillouinzone
In 3D (Beispiel GaAs) trägt man üblicherweise die Bandstruktur E( kx, ky, kz ) entlang bestimmter Symmetrielinien (L – Γ – ∆ – X) auf
Zustandsdichte und Fermienergie
Die höchste in einem Festkörper besetzte Elektronenenergie bezeichnet man als„Fermienergie“
Fermienergie
Zustandsdichte und Fermienergie
Wie zählt man (unendlich) viele Zustände ?
Zustandsdichte … Zahl bzw. Dichte der Zustände pro Energieintervall
Gesamtzahl der Zustände muß N ergeben
Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E
2D Zustandsdichte
Zahl der Zustände im Intervall [ E, E + δE ]
Beispiel: Dispersion eines freien Teilchens
Zustandsdichte und Fermienergie
Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E
Bestimmen Sie N2D(E) und N3D(E) für freies Teilchen
Zustandsdichte und Fermienergie
Bestimmen Sie EF für N = 1023 Atome pro cm-3 und m=m0
Zahl der Elektronen pro Bohr3
Fermienergie
Zustandsdichte und Fermienergie
Bestimmen Sie EF für N = 1023 Atome pro cm-3 und m=m0
Temperatureffekt
Fermienergie
Thermische Energie
Fermienergie, -geschwindigkeit, -wellenvektor
Elektronengasparameter rs, Fermienergien E
F,
Fermivektoren kF, und Fermigeschwindigkeiten v
F für typische Metalle.
Freie Elektronen im fcc-Gitter
1. Brillouin Zone
Wellenvektor 1. Brillouin Zone Reziproker Gittervektor
Bandstruktur Gold
Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitter-konstante (~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleichzu dem Festkörper – Wellenzahlvektor
… die Übergänge erfolgen „senkrecht“
Bandstruktur Palladium
Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitter-konstante (~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleichzu dem Festkörper – Wellenzahlvektor
… die Übergänge erfolgen „senkrecht“
Fermifläche für 2D und 3D
Fermienergie
3D … Fläche konstanter Energie EF
liegt ≈ auf einer Kugeloberfläche2D … „Fläche“ konstanter Energie EF
liegt ≈ auf einem Kreis
3D Fermifläche
Silber Palladium
Ein Energieband bei Fermienergie Mehrere Energiebänder bei Fermienergie
Bandstruktur Diamant
Diamant ist Halbleiter bzw. Isolator undabsorbiert nicht im sichtbaren Bereich.
Farben entstehen durch Einlagerung vonFremdatomen.