I

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

ANJA ĆUPURDIJA

ATOMSKI SPEKTRI

Završni rad

II

Osijek, 2014.

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

ANJA ĆUPURDIJA

ATOMSKI SPEKTRI

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

Radi stjecanja zvanja prvostupnice fizike

III

Osijek, 2014.

Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom doc. dr. sc. Denisa Stanić u sklopu״

Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja

Strossmayera u Osijeku. ״

IV

Sadržaj

1. UVOD

2.TEORIJSKI DIO

2.1. Problemi klasične mehanike

2.1.1. Zračenje crnog tijela

2.1.2. Planckov zakon zračenja crnog tijela

2.1.3. Fotoelektrični efekt

2.1.4. Einsteinovo objašnjenje fotoelektričnog efekta

2.2. Elektromagnetski valovi

2.2.1. Nastajanje elektromagnetskih valova

2.3. Difrakcija

2.4. Optička rešetka

2.4.1. Uporaba optičke rešetke

2.5. Linijski spektri

2.6. Bohrov model atoma

2.6.1. Bohrovi postulati

2.6.2. Objašnjenje spektralnih linija

2.7. Energijska stanja atoma vodika

3.EKSPERIMENTALNI DIO

3.1. Rezultati i rasprava

5.ZAKLJUČAK

6.ŽIVOTOPIS

V

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

ATOMSKI SPEKTRI

ANJA ĆUPURDIJA

Sažetak

Tema kojom se bavi ovaj završni rad su atomski spektri. Rad započinje povijesnim osvrtom

na početke nove kvantne teorije zbog problema s kojima se suočila tadašnja klasična teorija.

Teorijski dio rada obrađuje elektromagnetske valove kao općenitu cjelinu koja se kasnije

proteže na samo jedno usko područje spektra elektromagnetskih valova, a to je vidljivi dio

spektra. Fokus se stavlja na Balmerovu seriju, a potom se spušta na miskroskopsku razinu i

promatra se nastanak spektralnih linija kao i pojava emisijskog i linijskog spektra nakon

sudara elektrona s atomima plina što je usko povezano sa eksperimentalnim dijelom ovog

rada. U eksperimentalnom dijelu, primjenjujući jednostavan matematički aparat, izračunava

se konstanta optičke rešetke za vodikov i živin spektar, a u drugom dijelu se računaju

energijske razine atoma vodika. U pokusu je korištena i dušikova lampa, ali samo kako bi

razumjeli razliku između kontinuiranog i diskretnog spektra elemenata. Cilj rada je približiti

učenicima i studentima kvantni svijet i pomoći u razumijevanju atomskih spektara uz već

ranije usvojeno znanje iz ovog dijela fizike.

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: atomski spektar, elektromagnetni valovi, kvantizacija energije

Mentor: doc. dr. sc. Denis Stanić

Ocjenjivači:

Rad prihvaćen:

University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis

Department of Physics

VI

ATOMSKI SPEKTRI

ANJA ĆUPURDIJA

Abstract

Topic engaged in this final work is atomic spectra. The paper begins with historical reference

to the beginnings of the new quantum theory because of the problems faced by former

classical theory. The theoretical part deals with electromagnetic waves as general unit that

later extends to only a narrow range of the spectrum of electromagnetic waves and it is the

visible part of the spectrum. The focus is placed on Balmer's series, and then descends to

microscopic level watching the formation of spectral lines and the appearance of emission and

line spectrum after collision of electrons with atoms of gas which is closely associated with

the experimental part of this paper. In the experimental section, using simple mathematical

analysis, optical lattice constants of hydrogen and mercury spectrum are calculated. In the

second part energy levels of the hydrogen atom are calculated. Also, in the experiment a

nitrogen lamp was used, but only in order to understand difference between continuous and

discrete spectrum of elements. The aim is to help students in understanding theory of quantum

mechanics and atomic spectra with previously acquired knowledge from this part of physics.

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: atomic spectra, electromagnetic wave, quantization of energy

Supervisor: doc. dr. sc. Denis Stanić

Reviewers:

Thesis accepted:

VII

1. UVOD

U prošlosti se smatralo da se gibanje atoma i subatomskih čestica može objasniti klasičnom

mehanikom. Zakoni gibanja, predstavljeni od strane Isaaca Newtona, bili su iznimno uspješni

u opisu gibanja tijela i planeta. Međutim, krajem XIX. stoljeća, eksperimentalni dokazi su

pokazali da klasična mehanika nije dovoljna za rješavanje problema čestica mikroskopskih

dimenzija te se pojavila potreba za uvođenjem novih teorija. Jedna od pojava koju nije mogla

riješiti klasična mehanika je toplinsko zračenje tijela. Njemački fizičar Max Planck je

prikazao rješenje tog problema uzimajući pretpostavku da atomi imaju kvantizirana energijska

stanja i da emitiraju energiju u kvantima, prelazeći iz jednog stanja u drugo, za razliku od

klasične mehanike u kojoj se to odvijalo kontinuirano. Nova teorija koja se razvila je nazvana

kvantna mehanika.

2. TEORIJSKI DIO

2.1. PROBLEMI KLASIČNE MEHANIKE

2.1.1. Zračenje crnog tijela

Užarena tijela zrače elektromagnetske valove. Intenzitet i spektralni sastav izračene toplinske

energije tijela ovise o njegovoj temperaturi. Pri nižim temperaturama, tijela emitiraju

infracrveno zračenje dok pri visokim počinju zračiti i vidljivu svjetlost.

VIII

Slika 1. Spektri crnog tijela pri različitim temperaturama. [1]

Spektar ovisi o temperaturi tijela: što je temperatura veća, to je i izračena energija veća. Svaki

spektar ima maksimum na određenoj valnoj duljini. Porastom temperature, maksimumi se

pomiču prema manjim valnim duljinama. Odličnu aproksimaciju crnog tijela predstavlja

izotermna šupljina konstantne temperature iz čijeg otvora izlazi zračenje kontinuirane

raspodjele valnih duljina.

Slika 2. Zračenje crnog tijela. [2]

Opis zračenja crnog tijela predstavljao je veliki izazov klasičnoj mehanici XIX. stoljeća te je

premašio spoznaje dotadašnjih teorija. Fizičari Rayleigh i Jeans su primijenili zakone klasične

IX

mehanike na zračenje u izotermnoj šupljini zamišljajući elektromagnetsko polje kao skupinu

oscilatora svih mogućih frekvencija. Primjenjujući zakon o ekviparticiji energije prema kojem

na svaki stupanj slobode harmonijskog titranja otpada srednja energija kT, predstavljena je

Rayleigh-Jeansova formula za zračenje crnog tijela:

. (1)

Formula (1) je u suprotnosti s eksperimentalnim rezultatima za visoke frekvencije, dok je za

niske frekvencije slaganje teorije i eksperimenta vrlo dobro.

Slika 3. Usporedba Rayleigh-Jeansove formule sa eksperimentalnim rezultatima. [2]

Iako se Rayleigh-Jeansova formula za velike valne duljine uspješno podudara sa

eksperimentalnim podacima, to nije slučaj i za male valne duljine jer dolazi do velikog

odstupanja. Taj neuspjeh je nazvan ultraljubičasta katastrofa jer prema klasičnoj mehanici,

čak i hladna tijela zrače u vidljivom i ultraljubičastom spektru.

2.1.2. Planckov zakon zračenja za crno tijelo

Njemački fizičar Max Planck proučavao je zračenje crnog tijela sa stajališta termodinamike.

Pretpostavio je da energija pojedinog oscilatora može poprimiti samo određene vrijednosti,

odnosno možemo reći da je energija kvantizirana. Prema klasičnoj teoriji, svjetlost zrače

harmonijski oscilatori koji mogu poprimiti bilo koju vrijednost energije. Spektralnu gustoću

X

zračenja Planck je uspješno objasnio i došao je do zaključka da spektralnu gustoću opisuje

izraz

(2)

gdje je c brzina svjetlosti u vakuumu, k je Boltzmanova konstanta, h = 6,626 · 10-34

Js je

Planckova konstanta. Planck je ustvrdio da atom ne može primiti ili emitirati bilo kako

malenu količinu energije, već samo određene kvante energije. Pretpostavio je da se

elektromagnetsko zračenje emitira iz atoma u obliku kvanta energije čija je veličina

proporcionalna frekvenciji zračenja

. (3)

Planckova ideja diskontinuirane emisije i apsorpcije svjetlosti imala je ogroman utjecaj na

daljnji napredak fizike.

2.1.3. Fotoelektrični efekt

Heinrich Hertz je 1887. godine opazio da iskra preskače kroz zrak lakše ako se negativna

katoda obasja ultraljubičastom svjetlošću. Kasniji eksperimenti fizičara Wilhelma Hallwachsa

pokazali su da iz metala obasjanih svjetlošću odgovarajuće valne duljine izlaze elektroni.

Slika 4. Fotoelektrični efekt. [3]

Pojava da metali zbog utjecaja elektromagnetskih valova emitiraju elektrone zove se

fotoelektrični efekt. Neki metali emitiraju elektrone samo ako se upotrijebi ultraljubičasta

svjetlost, a neki drugi metali pokazuju ovaj učinak i pri vidljivoj svjetlosti. Vodljivi se

elektroni u metalima slobodno gibaju unutar kristalne rešetke, ali zbog kulonskih sila ne mogu

napustiti površinu metala. Da bi se iz metala izbio elektron, potrebna je određena energija,

XI

tzv. izlazni rad W. Ako je energija koju elektron dobije od upadne svjetlosti manja od izlaznog

rada, elektron neće izaći iz metala. Fotoelektrični efekt nastat će samo ako elektroni dobiju

energiju koja je veća od izlaznog rada.

Slika 5. Ovisnost broja emitiranih elektrona o jakosti svjetlosti. [4]

Za svaki metal postoji granična frekvencija svjetlosti, ispod koje nema fotoelektričnog efekta.

Ako je frekvencija svjetlosti veća od granične frekvencije, nastat će fotoefekt ma koliko

malena bila jakost svjetlosti. Jakost svjetlosti utječe samo na broj emitiranih elektrona: što je

jakost svjetlosti veća, broj fotoelektrona je također veći.

2.1.4. Einsteinovo objašnjenje fotoelektričnog efekta

Prema klasičnoj teoriji, energija koju bi elektromagnetski val predao elektronu ovisi o

intenzitetu svjetlosti. Međutim, eksperimenti su pokazali da energija ovisi o frekvenciji, a o

jakosti svjetlosti ovisi broj fotoelektrona. Einstein je pretpostavio da se svjetlost sastoji od

malih djelića energije nazvanih fotonima. Svoju hipotezu je utemeljio na radu Maxa Plancka.

Prema Einsteinu, iz izvora svjetlosti izlaze kvanti svjetlosti koji se zovu fotoni. Svaki foton

ima energiju E=h ·f . Kada foton upada na površinu metala, sudara se s elektronom, predaje

mu svu svoju energiju, foton nestaje, apsorbira se, a elektron, ako je dobio dovoljnu energiju,

izlazi iz metala. Dio energije fotona pritom se troši na oslobađanje elektrona u metalu, a

ostatak se pretvara u kinetičku energiju fotoelektrona:

h · f = W + ½ (mv2). (4)

XII

To je poznata Einsteinova relacija za fotoelektrični efekt. Fotoelektrični efekt je još jedan

dokaz kvantne prirode svjetlosti.

2.2.ELEKTROMAGNETSKI VALOVI

Najveće postignuće britanskog fizičara Jamesa Clercka Maxwella je bilo pokazati da je snop

svjetlosti putujući val koji se sastoji od dva polja, električnog i magnetskog – tzv.

elektromagnetski val.

Slika 6 . Elektromagnetski spektar. [5]

U Maxwellovo doba, u elektromagnetskom spektru bilo je poznato samo vidljivo, infracrveno

i ultraljubičasto zračenje. Kako vidimo na slici 6, danas nam je poznat širok spektar

elektromagnetskih valova. Sunce, čije zračenje utječe na život na Zemlji, je dominantan izvor

elektromagnetskih valova. Također, možemo detektirati mikrovalove, radio i televizijske

valove u našoj okolini. Mnogi objekti, kao što su žarulje, radioaktivni materijali, električki

uređaji zrače elektromagnetske valove. Pored toga, zračenja nam pristižu i sa zvijezda i drugih

objekata naše galaksije.

2.2.1. Nastajanje elektromagnetskih valova

Da bi se promjenljivo električno i magnetsko polje širilo prostorom u obliku

elektromagnetskog vala, potrebno je otvoriti titrajni krug. U ovom razmatranju ograničit ćemo

XIII

se na područje spektra gdje je valna duljina λ = 1 m i gdje je izvor zračenja makroskopskih

dimenzija.

Slika 7. Titrajni krug. [6]

Gornja slika nam pokazuje kako se generira elektromagnetski val. Najvažniji dio je LC

oscilator koji uspostavlja kružnu frekvenciju ω √ . Naboji prolaze kroz strujni krug

sinusoidalno. Vanjski izvor mora biti priključen kako bi se opskrbilo energijom i

kompenzirali termički gubici u strujnom krugu te kako bi se nadomjestila energija koja se

izgubi zračenjem. LC oscilator je povezan transformatorom i prijenosnom linijom za

električnu dipolnu antenu koja se sastoji od dvije tanke, čvrste, vodljive šipke. Sinusoidalno

izmjenična struja u oscilatoru uzrokuje osciliranje naboja sinusoidalno duž šipki antene

kružnom frekvencijom ω. Struja u šipkama povezana je s gibanjem naboja te je njihovo

gibanje opisano sinusoidalno uz stalnu kružnu frekvenciju ω. Antenu aproksimiramo

električnim dipolom koji se giba sinusoidalno po iznosu i smjeru duž antene. Kako se dipolni

moment mijenja po iznosu i smjeru, električno polje koje je uzrokovano dipolnim momentom,

također se mijenja po iznosu i smjeru. Također, kako se struja mijenja, tako se i magnetsko

polje mijenja po iznosu i smjeru. Međutim, promjene u električnom i magnetskom polju se ne

događaju svugdje trenutno; promjene putuju iz antene brzinom svjetlosti. Promjenljiva polja

zajedno formiraju elektromagnetski val.

Primijetimo:

1. Električno i magnetsko polje E i B uvijek su okomiti na smjer rasprostiranja vala.

Kažemo da je elektromagnetski val transverzalan.

2. Električno polje je uvijek okomito na magnetsko polje.

3. Vektorski produkt električnog i magnetskog polja daje nam smjer prostiranja vala.

XIV

4. Električno i magnetsko polje mijenjanju se sinusoidalno sa stalnom frekvencijom ω.

Slika 8. Sinusoidalni elektromagnetski val. [1]

Možemo zapisati električno i magnetsko polje kao sinusiodalne funkcije:

E=Em sin (kx – ωt) (5)

B=Bm sin (kx – ωt) (6)

gdje su Em i Bm amplitude električnog i magnetskog polja. Možemo uočiti da jednadžba (5)

daje električnu komponentu, a jednadžba (6) magnetsku komponentu elektromagnetskog vala.

Međutim, ove dvije komponente ne mogu biti nezavisne.

2.3.DIFRAKCIJA

Kada monokromatska svjetlost iz udaljenog izvora prođe kroz usku pukotinu, svjetlost se na

zastoru prikaže u obliku ogibnog uzorka kao što nam je pokazano na slici 9.

Slika 9. Ogibni uzorak. [6]

XV

Ovaj se uzorak sastoji od širokih i intenzivnih svijetlih linija te od užih i manje intenzivnijih

maksimuma sa svake strane. Između maksimuma se nalaze minimumi. Ovakav uzorak bi bio

neočekivan u geometrijskoj optici: ako svjetlost putuje pravocrtno, kroz pukotinu bi prošle

neke od zraka koje bi se na zastoru prikazali kao oštri i svijetli uzorak. Međutim, moramo

uočiti da je geometrijska optika samo aproksimacija. Difrakcija svjetlosti nije ograničena

samo na prolaz svjetlosti kroz pukotinu. Javlja se na malim otvorima i tankim preprekama

(tanka žica, vlakno, dlaka) , ali se može javiti i na većim tijelima koja imaju oštre rubove kao

što su tanki limovi (dijafragma u objektivu, nož, britva, žilet).

2.4.OPTIČKA REŠETKA

Jedan od najkorisnijih uređaja koji se koristi u proučavanju svjetlosti i objekata koji

apsorbiraju i emitiraju svjetlost je optička rešetka. Sastoji se od velikog broja N pukotina,

nekoliko tisuća na svaki milimetar.

Slika 10. Optička rešetka. [6]

Idealna optička rešetka na slici 10 prikazuje samo pet pukotina. Kada monokromatsko svjetlo

prođe kroz pukotinu, formiraju se uski interferencijski rubovi pomoću kojih se analizom

mogu odrediti valne duljine svjetlosti. Za određivanje položaja svijetlih linija na zastoru

moramo pretpostaviti da je zastor na dovoljnoj udaljenosti od optičke rešetke kako bi zrake

koje trebaju pasti u točku P bile paralelne kada prođu kroz pukotine. Udaljenost d između

XVI

pukotina zovemo još i razmak optičke rešetke. Razlika duljine puta između zraka je d· sinθ,

gdje je θ kut između centralne osi i udaljene točke P.

Slika 11. Zrake svjetlosti koje prolaze kroz optičku rešetku do udaljene točke P. [6]

U točki P bit će svijetla linija ukoliko je razlika optičkih putova zraka svjetlosti sa susjednih

pukotina cijeli broj valnih duljina λ, pa slijedi

; k = 0,1,2,.. (7)

Vidimo da za danu optičku rešetku, kut između centralne osi rešetke i određene linije, ovisi o

valnoj duljini svjetlosti koja prolazi kroz optičku rešetku. Nadalje, kada svjetlost nepoznate

valne duljine propustimo kroz optičku rešetku, znajući kut možemo odrediti valne duljine.

2.4.1. Uporaba optičke rešetke

Optičke rešetke se koriste za određivanje valnih duljina svjetlosti koja je emitirana iz izvora

kao što su na primjer spektralne lampe. Svjetlost koja je emitirana iz vodikove spektralne

lampe, u kojoj se nalazi plin vodik, ima četiri spektralne linije koje se mogu uočiti u vidljivom

dijelu spektra koristeći napravu koja se zove spektroskop.

XVII

2.5.LINIJSKI SPEKTRI

Atomi razrijeđenih plinova, pobuđeni električnom strujom ili grijanjem, emitiraju svjetlost

sastavljenu od valova određenih valnih duljina. Pobuđeni plin neon daje svjetlost narančasto –

crvene boje; ostali plinovi pobuđeni na ovaj način daju svjetlost neke druge boje.

Slika 12. Idealan spektroskop. [4]

Gornja slika prikazuje spektroskop – uređaj koji razlaže upadnu svjetlost, emitiranu od strane

plina koji je pobuđen električnom energijom, u različite frekvencije koje svjetlost sačinjava.

Svaka frekvencija pojavljuje se na zaslonu kao svijetla linija. Seriju svijetlih linija koje

dobijemo za rezultat nazivamo emisijskim spektrom. Emisijski spektar bitno se razlikuje od

kontinuiranog spektra, kao što je duga. Kontinuirani spektar sadrži sve frekvencije, dok

emisijski sadrži samo nekoliko. Još jedna vrsta spektra, apsorpcijski spektar, događa se kada

svjetlost iz užarenog izvora prođe kroz hladan plin prije nego prođe kroz spektroskop. Sam

izvor svjetlosti daje kontinuirani spektar, ali atomi plinova apsorbiraju određene frekvencije

svjetlosti koja prođe kroz njega. Hladni plin apsorbira neke od frekvencija koje emitira kada

je pobuđen. Kako linijski spektar svakog elementa sadrži frekvencije koje su karakteristične

za taj element, spektrometar je valjan uređaj koji se koristi u kemijskoj analizi. Pomoću njega

čak i najmanji tragovi nekog elementa mogu biti identificirani pomoću spektralnih linija koje

ga čine karakterističnim.

Za razmatranje linijskog spektra, uzet ćemo jedan od najjednostavnijih spektara – linijski

spektar vodika. Proučavanje ovog spektra dovelo je do značajnih spoznaja o strukturi atoma.

Švicarski fizičar Johann Balmer prvi je uočio vezu između pojedinih valnih duljina vodikova

spektra. Te linije se nalaze u vidljivom i ultraljubičastom dijelu spektra.

XVIII

Slika 13. Spektralne linije vodika u Balmerovoj seriji. [7]

Na slici 13 je pokazana Balmerova serija linija vodikova spektra; uočavamo da je spektar

diskretan i da su četiri linije jače izražene u vidljivom dijelu spektra. Ako želimo izračunati

valnu duljinu pojedine linije, to možemo učiniti prema formuli

1/λ = Rh ·(1 / 22 – 1 / n

2) (8)

gdje prve četiri linije dobijemo kada uvrstimo n = 3,4,5,6. Konstanta Rh zove se Rydbergova

konstanta i iznosi Rh = 1,097 · 107 m

-1 . Osim Balmerove serije, kojom se bavimo u ovom

razmatranju, postoje i druge serije: Lymanova, Paschenova, Brackettova i Pfundova serija.

1. Lymanova serija s ultraljubičastim linijama u području valnih duljina (od 122 nm do

91 nm)

1/λ = Rh (1/12 – 1/n

2). (9)

2. Balmerova serija s vidljivim i ultraljubičastim linijama (od 656 nm do 365 nm)

1/λ = Rh (1/22 – 1/n

2). (10)

3. Paschenova serija u infracrvenom području (od 1876 nm do 821 nm)

1/λ = Rh (1/32 – 1/n

2). (11)

4. Brackettova serija s infracrvenim linijama (od 4053 nm do 1459 nm)

1/λ = Rh (1/42 – 1/n

2). (12)

5. Pfundova serija s infracrvenim linijama u području valnih duljina (od 7462 nm do

2280 nm)

XIX

1/λ = Rh (1/52 – 1/n

2). (13)

Klasična fizika ne može objasniti nastanak linijskih spektara atoma. Spektre je 1913. godine

objasnio Niels Bohr pomoću kvantne teorije, svojim poznatim modelom atoma.

2.6.BOHROV MODEL ATOMA

Niels Bohr, danski fizičar, kroz svoja tri postulata uspio je objasniti strukturu elektronskog

omotača i procese emisije i apsorpcije svjetlosti. Bohr je primijenio tadašnju kvantnu ideju na

strukturu atoma i stvorio model koji uz određena ograničenja još uvijek dosta dobro služi za

razumijevanje procesa u atomu.

2.6.1. Bohrovi postulati

1. Atomski sustav se nalazi u pojedinim stanjima određene energije. U tim stanjima on

ne zrači. Elektron u atomu može kružiti oko jezgre bez gubitka energije samo po

određenim dopuštenim stazama. Gibajući se po njima, elektron se nalazi u

stacionarnom stanju i ne gubi energiju. Energija elektrona ovisi o stazi na kojoj se

nalazi. Elektron na stazi n = 1 ima najnižu energiju. Što je n veći, veća je i energija.

Slika 14. Bohrov model. [8]

2. Pri prijelazu iz jednog stacionarnog stanja u drugo, gubi se ili dobija energija u obliku

elektromagnetskog zračenja frekvencije

XX

f

(14)

gdje je E1 energija početnog stanja, a E2 energija konačnog stanja. Atom zrači ili

apsorbira zračenje samo kada njegov elektron prelazi iz jedne staze u drugu.

Slika 15. Emisija i apsorpcija. [9]

3. Stacionarna stanja elektrona u atomu su kvantizirana i određena uvjetom

(15)

gdje je L orbitalni moment količine gibanja, a ħ = h/2π reducirana Planckova

konstanta i iznosi ħ = 1,054 · 10-34

Js. Tim je izrazom Bohr kvantizirao gibanje

elektrona u elektronskom omotaču atoma. Prirodni broj n = 1,2,3 naziva se glavni

kvantni broj.

XXI

Slika 16. Kvantizacija gibanja elektrona. [8]

2.6.2. Objašnjenje spektralnih linija

Opažena činjenica da atomi emitiraju i apsorbiraju svjetlost samo određene frekvencije, koje

mi promatramo kao spektralne linije, savršeno odgovara Bohrovom modelu atoma. Elektron

na određenoj kvantiziranoj stazi može apsorbirati samo one fotone čija je energija dovoljna da

elektron „skoči“ s jedne kvantizirane staze na drugu, gdje ima višu energiju. Kada elektron

prijeđe s više staze na nižu (koja je bliža jezgri) gdje je niža energija, elektron emitira

zračenje. Razlika između energije dvije staze je hf, gdje je f frekvencija apsorbiranog ili

emitiranog zračenja.

Slika 17. Elektronske staze u Bohrovom modelu atoma vodika. [4]

Slika 17 nam pokazuje moguće dopuštene staze elektrona u atomu vodika. Staza koja je

najbliža jezgri predstavlja elektronsku stazu po kojoj se elektron kreće kada ima najmanju

XXII

moguću energiju. Tada kažemo da je atom u osnovnom stanju. Elektron će se naći na nekoj

od preostalih kvantiziranih staza ukoliko dobije dovoljno energije da prijeđe s niže staze na

višu. Pretpostavimo da je atom u osnovnom stanju. Ako mu dovedemo energiju, elektron će

skočiti na neku od staza gdje ima veću energiju. Tada atom apsorbira energiju. Dokle god je u

pobuđenom stanju, elektron će boraviti na toj stazi. No, kako su pobuđenja nestabilna, u

djeliću sekunde elektron se vraća na stazu na kojoj ima manju energiju i pritom zrači energiju.

Svaki skok elektrona daje foton koji ima karakterističnu frekvenciju i pojavljuje se u spektru

vodika u obliku svijetle linije. Ovisno o skokovima po kvantiziranim stazama, ovisit će i

frekvencija danih linija.

2.7. ENERGIJSKA STANJA ATOMA VODIKA

Bohr je pretpostavio da su staze elektrona kružnice, a kasnija istraživanja su pokazala da su

moguće i eliptične staze. Uzevši u obzir da kulonska sila između protona i elektrona uzrokuje

centripetalnu silu potrebnu za gibanje po kružnici, dobivamo:

mevn2/rn = (1/4πε0) · (e

2/rn

2).

Kombinirajući gornju jednadžbu sa jednadžbom L= nħ dobivamo polumjere dopuštenih

Bohrovih kružnica putanja elektrona:

rn = n2 · (ε0h

2/πmee

2) ; n = 1,2,... (16)

Iz gornje relacije može se izračunati polumjer prve Bohrove kružne staze

r1 = (ε0h2/πmee

2) = (8,854·10

-12 C

2N

-1m

-2 · 6,626·10

-34 Js) / (3,14·9,1·10

-31 · 1,6 · 10

-19)

= 0,053 nm

Nadalje, možemo izračunati i brzinu elektrona u n-toj stazi:

vn = (1/n) · (e2/2ε0h) = 2,19 · 10

6 m/s

Energija elektrona:

Ukupna energija elektrona se sastoji od kinetičke i potencijalne energije

E = Ek + Ep.

XXIII

Kinetička energija elektrona na n-toj stazi je

Ek = ½ (mevn2).

Kinetičku energiju možemo nadalje pisati u obliku

Ek = e2/(8πε0rn) = (mee

4/8ε0

2n

2h

2) . (17)

Potencijalnu energiju elektrona na n-toj kvantnoj stazi možemo odrediti tako da izračunamo

rad pri pomaku elektrona iz beskonačnosti na udaljenost r od jezgre:

∫

∫

.

Konačno dobivamo

Ep = - (mee4) / (4ε0

2n

2h

2). (18)

Ukupna je energija elektrona na n-toj kvantnoj stazi

En = - 1/n · (mee4/8ε0h

2) ; n = 1,2,.. (19)

Energija osnovnog stanja (n = 1) je

E1 = -13,6 eV

To je energija vezanja elektrona u atomu vodika ili energija koju treba uložiti da bi se elektron

oslobodio iz atoma i da bi se atom vodika ionizirao. Zato ju često zovemo energija ionizacije.

Energija prvog pobuđenog stanja (n = 2) je

E2 = -3,4 eV

Analogno tome, energija trećeg pobuđenog stanja (n = 3) je

E3 = -1,5 eV

Vezani elektron u atomu može imati samo diskretne, negativne energije, a slobodni elektron

može imati bilo koju pozitivnu, kinetičku energiju.

XXIV

3. EKSPERIMENTALNI DIO

Eksperimentalni dio sadržava izvođenje vježbe pod nazivom Balmerova serija u kojem smo

promatrali emisijske spektre određenih elemenata.

Slika 18. Izgled vježbe. [10]

Izgled postavljenog eksperimenta dan je na slici 18. U vježbi su korištene živina, vodikova,

argonova i dušikova spektralna lampa kao izvor svjetlosti koji se priključuje na izvor visokog

napona (1), dok žarulja (2) ne počne svijetliti (do 5 kV). Metarsku skalu (3) postavimo iza

spektralne lampe i pomoću nje ćemo očitavati vrijednosti za svaku pojedinu lampu. Optičku

rešetku (4) namjestimo na udaljenost od 30 cm od spektralne lampe i pazimo da bude

postavljena paralelno sa metarskom skalom. Kroz optičku rešetku promatramo spektar za

danu žarulju i očitavamo vrijednosti. Za uspješnije mjerenje, treba dodatno zamračiti

prostoriju u kojoj se eksperiment izvodi. Zadatak je odrediti konstantu optičke rešetke iz

živinog spektra i iz vidljivih linija Balmerove serije vodikova atoma, odrediti energijske

razine i Rydbergovu konstantu.

XXV

3.1.Rezultati i rasprava

Tablica 1. Živin spektar.

BOJA VALNA DULJINA λ (nm) DULJINA l (mm) sin α KONSTANTA OPTIČKE

REŠETKE d (μm)

žuta 578,0 180 0,51 1,13

zelena 546,1 170 0,50 1,09

plava 434,8 140 0,42 1,04

Tablica 2. Argonov spektar.

BOJA VALNA DULJINA λ (nm) DULJINA l (mm) sin α KONSTANTA OPTIČKE

REŠETKE d (μm)

žuta 603,0 210 0,57 1,06

zelena 550,6 185 0,53 1,04

plava 451,1 150 0,44 1,03

XXVI

Kako bismo započeli razmatranje, potrebno je uočiti pravokutan trokut iz kojeg ćemo

izračunati potrebne podatke.

Slika 19. Shematski prikaz pokusa.

Iz trokuta na slici 19 ćemo izračunati sinus kuta α prema eksperimentalno dobivenim

podacima iz tablice 1 za živin spektar prema formuli

l/ (√ ). (20)

Nadalje, možemo izračunati konstantu optičke rešetke prema formuli

; k = 1. (21)

Izračunate vrijednosti za sinus kuta α i konstantu optičke rešetke d nalaze se u tablici 1.

l

Lampa

α

XXVII

Tablica 3. Račun pogreške za živin spektar.

ARITMETIČKA

SREDINA

(d =

)

ODSTUPANJE OD

ARITMETIČKE

SREDINE

(Δd1 = d – d1)

RELATIVNA

NEPOUZDANOST

Δr =

· 100

STANDARDNA DEVIJACIJA

√ ̅ ( ̅) ( ̅)

1,077 μm

Δd1 = -0,053

Δd2 = -0,013

Δd3 = 0,037

Δdmax = 0,053

4,92 %

0,038 μm

d = (1,08 ± 0,04)3 · 10-6

m

Na kraju, možemo usporediti dobivenu vrijednost konstante optičke rešetke s pravom

vrijednosti (d=1,716 μm) i odrediti relativnu pogrešku

r = (stvarna vrijednost – izračunata vrijednost) / (stvarna vrijednost) · 100 = 37,23 %

Isti postupak možemo provesti i za argonovu spektralnu lampu te usporediti dobivene

vrijednosti za optičku rešetku.

Prema formuli (20) izračunamo vrijednosti za sinus kuta α, a prema formuli (21) izračunamo

konstantu optičke rešetke. Dobivene vrijednosti za sinus kuta α i konstantu optičke rešetke d

nalaze se u tablici 2.

XXVIII

Tablica 4. Račun pogreške za argonov spektar.

ARITMETIČKA

SREDINA

(d =

)

ODSTUPANJE OD

ARITMETIČKE

SREDINE

(Δd1 = d – d1)

RELATIVNA

NEPOUZDANOST

Δr =

· 100

STANDARDNA DEVIJACIJA

√ ̅ ( ̅) ( ̅)

1,043 μm

Δd1 = 0,017

Δd2 = -0,002

Δd3 = 0,015

Δdmax = 0,017

1,63 %

0,027 μm

d = (1,04 ± 0,03)3 · 10-6

m

I za argonov spektar možemo usporediti dobivenu vrijednost konstante optičke rešetke s

pravom vrijednosti (d=1,716 μm) i odrediti relativnu pogrešku

r = (stvarna vrijednost – izračunata vrijednost) / (stvarna vrijednost) · 100 = 39,39 %

Možemo uočiti da smo provodeći izračun za argonovu i živinu spektralnu lampu dobili

približno istu vrijednost za konstantu optičke rešetke. Valja napomenuti također da se

pojavljuju veća odstupanja od prave vrijednosti za obje lampe unatoč maloj relativnoj

nepouzdanosti (do 5%). Razlog velikog odstupanja je mogućnost promjene u kutu gledanja i

očitavanja vrijednosti sa metarske skale.

XXIX

Sljedeći zadatak nam je na osnovu vrijednosti dobivenih za vodikovu lampu, izračunati

Rydbergovu konstantu i energijske razine.

Tablica 5. Vodikov spektar.

BOJA VALNA DULJINA

λ (nm) DULJINA l (mm)

RYDBERGOVA

KONSTANTA (m-1

)

crvena 656,0 240 1,09 · 107

plava 434,0 180 1,22 · 107

ljubičasta 410,0 150 1,16 · 107

Rydbergovu konstantu računamo prema formuli

R = 1/(λ · (1/n2 – 1/m

2)) ; n = 2, m = 3,4,5. (22)

Izračunate vrijednosti se nalaze u tablici 5.

Tablica 6. Račun pogreške za Rydbergovu konstantu.

ARITMETIČKA

SREDINA

(R =

)

ODSTUPANJE OD

ARITMETIČKE

SREDINE

(ΔR1 = R – R1)

RELATIVNA

NEPOUZDANOST

Δr =

· 100

STANDARDNA DEVIJACIJA

√ ̅ ̅ ̅

1,156 · 107

m-1

ΔR1 = 6,6 · 105

ΔR2 = -6,4 · 105

ΔR3 = 4,0 · 104

ΔRmax = 6,6 · 105

5,7 %

5,31 · 105 m

-1

R = (1,16 ± 0,05)3 · 107

m

XXX

Usporedbom izračunate i stvarne vrijednosti Rydbergove konstante možemo izračunati

relativnu pogrešku

r = (stvarna vrijednost – izračunata vrijednost) / (stvarna vrijednost) · 100 = 5,74 %

Nakon što smo izračunali Rydbergovu konstantu, možemo prijeći na računanje energijskih

razina vodikova spektra. Formula po kojoj se računaju energijske razine je

E = - R · h · c · (1/n2). (23)

Tablica 7. Izračun energijskih razina za atom vodika i račun pogreške.

ENERGIJSKE RAZINE NEPOUZDANOST ENERGIJSKIH RAZINA

σE = √(

)

E1 = - 1,156 · 107 · 6,626 · 10

-34 · 2,99 · 10

8 ·

1 = - 2,29 · 10-18

J = -14,31 eV

σE1 = 1,05 · 10-19

J

E1 = (- 2,29 ± 0,11 ) · 10-18

J

E2 = - 1,156 · 107 · 6,626 · 10

-34 · 2,99 · 10

8 ·

(1/2)2 = - 5,725 · 10

-19 J = -3,58 eV

σE1 = 4,22 · 10-19

J

E2 = (- 0,57 ± 0,42 ) · 10-18

J

E3 = - 1,156 · 107 · 6,626 · 10

-34 · 2,99 · 10

8 ·

(1/3)2 = - 2,54 · 10

-19 J = -1,59 eV

σE1 = 9,49 · 10-19

J

E3 = (- 0,25 ± 0,01 ) · 10-18

J

Tablica 8. Usporedba sa stvarnom vrijednosti.

STVARNA VRIJEDNOST

(eV)

IZRAČUNATA VRIJEDNOST

(eV)

RELATIVNA

POGREŠKA

(eV)

E1 -13,6 - 14,31 5,22 %

E2 -3,4 - 3,58 5.29 %

E3 -1,59 - 1,59 0

XXXI

Možemo uočiti da smo kroz kratki matematički račun uspješno izračunali Rydbergovu

konstantu i energijske vrijednosti za vodikov spektar. Eksperimentalno dobiveni rezultati

dobro se slažu sa teorijski dobivenim rezultatima pa možemo reći da je eksperiment izveden

bez većih grešaka.

XXXII

ZAKLJUČAK

Kroz ovaj završni rad, možemo vidjeti kako su se ispreplele dvije teorije: klasična i kvantna.

Klasična teorija koja je objasnila elektromagnetske valove i optičku rešetku upotpunjena je

kvantnom teorijom koja je opisala spektralne linije i energijske razine vodikova atoma. Obje

teorije potkrijepljene su eksperimentalnim dijelom ovoga rada. Pri izračunu konstante optičke

rešetke za živin i argonov spektar, možemo vidjeti da smo dobili približno slične rezultate.

Međutim, oba rezultata pokazuju veliko odstupanje od stvarne vrijednosti konstante optičke

rešetke. Relativna nepouzdanost je u oba slučaja mala (do 5%) kao i standardna devijacija.

Svako uzastopno mjerenje iste fizikalne veličine za rezultat je imalo nejednake vrijednosti.

Kao uzrok tome navodim nesavršenost mjernog uređaja i mjeritelja. U računu za Rydbergovu

konstantu i energijske razine atoma vodika možemo vidjeti da su dobiveni rezultati vrlo bliski

pravim vrijednostima. Pogreške u mjerenju obje fizikalne veličine ne premašuju 6%, što je

vrlo dobro slaganje teorije i eksperimenta. Možemo zaključiti da je eksperiment izveden

ispravno uz pogrešku u očitavanju kuta koje je doprinijelo većem odstupanju u prvom dijelu

eksperimenta. Uočili smo da svaki element ima spektar koji je karakterističan za njega i da

spektroskopija ima vrlo važnu primjenu u kemijskoj analizi kao i brojnim drugim područjima.

Teoriju koja je potkrijepljena eksperimentom pomaže nam u razumijevanju kvantne prirode

svjetlosti te valno – čestične dualnosti.

XXXIII

LITERATURA

1. Henč-Bartolić V. i Kulišić P. (2004). Valovi i optika, udžbenik fizike za studente

Fakulteta elektrotehnike i računarstva, 3. Izdanje, Školska knjiga, Zagreb

2. Atkins P. i de Paula J. (2006). Physical Chemistry, eight edition, W. H. Freeman and

Company. New York

3. http://nedeljko-begovic.com/teorija/kf.html, preuzeto dana 12.04.2014.

4. Krauskopf K.B. i Beiser A. (2006). The physical Universe, eleventh edition, McGraw

Hill, Higher Education

5. http://glossary.periodni.com/glosar.php?hr=spektar+elektromagnetskog+zra%C4%8D

enja, preuzeto dana 12.04.2014.

6. Halliday D., Resnick R. i Walker J. (2003). Fundamentals od physics, 6 th edition.

Enhanced problems version, (John Wiley & Sons, New York)

7. http://universe-review.ca/F13-atom.htm, preuzeto dana 12.04.2014.

8. http://kolegij.fizika.unios.hr/kvm1/files/2014/02/Lecture_1_Nastanak_kvantne_teorije

.pdf, preuzeto dana 12.04.2014.

9. http://sh.wikipedia.org/wiki/Bohrov_model_atoma, preuzeto dana 12.04.2014.

10. http://kolegij.fizika.unios.hr/pof2/files/2011/02/prvih_pet_i_balmer1.pdf,

preuzeto dana 12.04.2014.

11. Kulišić P. i Lopac V. (2003). Elektromagnetne pojave i struktura tvari, Školska knjiga,

Zagreb

12. Liboff R. L. (1980). Introductory quantum mechanics, Addison-Wesley Publishing

Company, USA

13. Schiff L. L. (1968). Quantum Mechanics, third edition, McGraw Hill Company

XXXIV

ŽIVOTOPIS

Anja Ćupurdija rođena je 09.08.1991. godine u Osijeku, Republika Hrvatska. Pohađala je

Prvu Gimnaziju u Osijeku, klasa 2006./2010. Nakon završene srednje škole, upisuje

preddiplomski studij na Odjelu za fiziku Sveučilišta u Osijeku, smjer fizika - informatika gdje

trenutno studira.