FACULDADE ANHANGUERA DE SÃO CAETANO

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS – CÁLCULO II

São Caetano do Sul

Março de 2014

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS - CÁLCULO II

Trabalho apresentado à Faculdade Anhanguera de

São Caetano do Sul como requisito para obtenção

parcial da nota de P2 Cálculo II.

Orientador: Professor Robson

São Caetano do Sul

Fevereiro 2014

RESUMO

No presente trabalho, exploramos conceitos do cálculo diferencial, na prática tomando como

modelo aplicações na física e na engenharia.

SUMARIO

1. PRIMEIRA ETAPA

1.1 Primeiro passo

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o

significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o

conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a

derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço,

utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que

compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

1.1.1 O conceito de velocidade instantânea

Se entende por velocidade instantânea a velocidade que um móvel apresenta ao se

considerar um intervalo de tempo (∆ t ) desprezível, ou em outras palavras, quando o intervalo

de tempo é muito próximo de zero ∆ t →0

Por definição no MRUV a equação da aceleração é análoga à da velocidade no MRU; e a

equação de velocidade no MRUV é análoga à do espaço no MRU.

Para facilitar o estudo dos movimentos Newton desenvolveu a derivada, e para calcular a

velocidade instantânea de um corpo em certo instante é necessário usar limite:

v= lim∆t → 0

∆ s∆ t

=dsdt

Com auxílio da derivada podemos calcular a velocidade de um objeto a partir da equação de

espaço em função do tempo, esta fornece a inclinação da reta tangente ao ponto na curva

correspondente, sendo essa a velocidade instantânea. Do mesmo modo podemos obter a

aceleração pela segunda derivada da função de espaço:

d [S0+V 0 ∙ t +12

at 2]

dt=V =V 0+at

1.1.2 Exemplo mostrando a velocidade como derivada da função do espaço

Primeiro criamos uma função tendo como valor da aceleração o somatório do ultimo

algorismo do RA dos alunos que compõe o grupo:

∑ [8 , 0 , 8 ,5 ,3 ]=24

Montamos uma função:

S=S0+V 0∙ t +12

at 2

Atribuimos qualquer valor para a velocidade e posição inicial:

f (s )=10+30 t+ 24 t 2

2

Derivamos a função:

f ' (s)=30+24 t

Portanto a função de velocidade é: f (v )=30+24 t, se derivarmos novamente a função teremos

sua aceleração:

f ' (v )=30+24 t → 24

1.2 Segundo passo

Nesse passo construimos uma tabela que nos permite obsevar melhor os valores da velocidade

e espaço em função do tempo.

Tempo Espaço (mt) Velocidade (m/s)

Aceleração

(m/s²)

0 10 30 24

1 52 54 24

2 118 78 24

3 208 102 24

4 322 126 24

5 460 150 24

Tabela 1

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Espaço em função do tempo

Figura 1 - Gráfico de espaço em função do tempo

0 1 2 3 4 5 60

20

40

60

80

100

120

140

160

Espaço em função do tempo

Figura 2 - Gráfico da Velocidade em função do tempo

1.2.2 Cálculo da área da função de velocidade

∫0

5

(30+24 x )dx=30∫1 dx+24∫ x dx=(24 ⋅ x2

2¿¿¿)+(30 ∙1 )=12 x2+30¿¿¿

limx→(5−0)

f ( x )=12 x2+30=450

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

Gráfico da aceleração em função do tempo

Figura 3 - Gráfico da aceleração em função do tempo

1.3 Terceiro Passo

Na seção 1.1.1 demonstramos que a velocidade instantânea é a derivada da função espaço que

descreve o movimento de um corpo quando intervalo de tempo tende à zero.

Da mesma forma podemos compreender a aceleração como a segunda derivada da função

espaço (ou primeira derivada da função velocidade), quando o intervalo de tempo tende a

zero.

Na seção 1.1.2 a derivada da função velocidade ou a segunda derivada da função espaço,

retorna a aceleração:

f ' (v )=30+24 t → 24

Ou:

f ' ' (s )=10+30 t +24 t2

2→ 24

1.4 Quarto Passo

O gráfico da equação que descreve a aceleração em função (figura 3) do tempo se encontra na

subitem 1.2.

A área do gráfico:

∫0

5

24 dx=120