Faculdade UNINOVAFAPICurso de Graduao em Engenharia Civil

ClculoSries e Equaes Diferenciais

Prof. Mestre Jos Brito Neto

Equaes Diferenciais de 1 OrdemSo aquelas que se apresentam na formady/dx=f(x,y) ou m(x,y)dx+n(x,y)dy=0, onde m,n so contnuas no intervalo (-x, x).

Os principais tipos de equao so:Equaes de Variveis Separveis;Equaes de Variveis Separveis;Equaes Homogneas;Equaes Diferenciais que se Transformam

em Equaes Homogneas;Equaes Diferenciais Exatas;Equaes Diferenciais Lineares.

Equaes de Variveis SeparveisSo aquelas que podem ser escritas na forma:

Soluo:

Exemplo 01:

( ) ( ) 0m x dx n y dy+ =

( ) ( ) 0m x dx n y dy+ =

0y dx x dy =Exemplo 01:

Exemplo 02:

Exemplo 03:

0y dx x dy =

2 24 ( 1) 0xy dx x dy+ + =

sec sec 0tg x y dx tg y x dy =

Equaes HomogneasUma funo z=f(x,y) denominada homogneade grau n, se existe kR tal que f(kx,ky)=kn.f(x,y).

Uma funo z=f(x,y) homognea de grau 0 se,para todokR, vale a relao f(kx,ky)=f(x,y).

Exemplos: 2 2( , ) Homognea de grau 2f x y x y= + 2 2

2

2

( , ) Homognea de grau 2( , ) Homognea de grau 0

( , ) Homognea de grau 0

f x y x yyg x yx

xh x yy

= +

=

=

Uma forma simples de observar ahomogeneidade de uma funo polinomial constatar que todos os monmios da funopossuem o mesmo grau. No caso de umafuno racional, os membros do numeradordevem ter um mesmo grau m e os membros do

Equaes Homogneas

devem ter um mesmo grau m e os membros dodenominador devem tambm ter um mesmograu n, sendo que o grau da expresso dodenominador pode ser menor ou igual que ograu da expresso do numerador.

Exemplos: 2 2 22e

dy x y dy xdx xy dx y

+= =

So aquelas que se apresentam na forma:

onde m e n so funes homogneas de mesmograu.Exemplo 01:

( , ) ( , ) 0m x y dx n x y dy+ =

Equaes Homogneas

Exemplo 01:

Exemplo 02:

2 2

2 2

( ) 2 0 Homognea de grau 2( , ) e ( , ) 2

x y dx xy dym x y x y n x y xy

=

= =

2

2

(2 ) 2 0 Homognea de grau 1( , ) 2 e ( , ) 2x y dx x xy dy

m x y x y n x y x xy

=

= =

Soluo fazemos y=xt, donde dy=xdt+tdx esubstitumos na equao ou x=yt, dondedx=ydt+tdy e substitumos na equao. Ainteno deste procedimento transformaruma Equao Diferencial Homognea emuma Equao de Variveis Separveis:

Equaes Homogneas

uma Equao de Variveis Separveis:( ) ( ) 0m x dx n y dy+ =

Exemplo 01:

Exemplo 02:

( )2 2 2 0x y dx xy dy =( ) ( )2 4 0x y dx x y dy + =

Equaes Homogneas

Equaes Diferenciais que se Transformam em Equaes HomogneasSo as equaes que mediante determinadatroca de variveis se transformam em equaeshomogneas. Se apresentam na forma:

1 1 1, onde , e so ctei i i

a x b y cdy F a b cdx a x b y c

+ +=

+ + Exemplo:

Para este tipo de equao tem 2 casos aconsiderar.

2 2 2

, onde , e so ctei i iF a b cdx a x b y c=

+ +

2 3 13 2

dy x ydx x y

=

+

1 Caso:

Seja o sistema:

1 1

2 2

0a ba b

1 1 1

2 2 2

00

a x b y ca x b y c

+ + =

+ + =

Equaes Diferenciais que se Transformam em Equaes Homogneas

cuja soluo dada pelas razes x= e y=. Emseguida fazemos a substituio:

Assim sendo, a equao transformada ser:

2 2 2

x u dx duy v dy dv

= + =

= + =

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

a u b v a b cdv Fdu a u b v a b c

+ + + +=

+ + + +

Como e so razes do sistema:

Exemplo:

1 1

2 2

a u b vdv Fdu a u b v

+=

+

2 3 1dy x y

Equaes Diferenciais que se Transformam em Equaes Homogneas

Exemplo:2 3 13 2

dy x ydx x y

=

+

2 Caso:

Neste caso os coeficientes de x e y soproporcionais. Assim podemos escrever:

1 1

2 2

0a ba b

=

=

Equaes Diferenciais que se Transformam em Equaes Homogneas

Logo:

2 12 21 2 2 1

2 11 1

a m aa ba b a b m

b m ba b=

= = = =

( )1 1 1

1 1 2

a x b y cdy Fdx m a x b y c

+ += + +

Fazendo a1x+b1y=t, e sendo t=f(x), temos:

( )1 11 1

1

1 1dy dty t a x ab dx b dx

t cdy F

= =

+=

Equaes Diferenciais que se Transformam em Equaes Homogneas

Ento:

que uma equao de variveis separveis.

1

2

t cdy Fdx mt c

+=

+

11 1 1

1 2

1 ( )t cdt dta F a b g tb dx mt c dx

+ = = +

Exemplo: 2 16 3 1

dy x ydx x y

+=

Equaes Diferenciais que se Transformam em Equaes Homogneas

Equaes Diferenciais ExatasSo aquelas da forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, taisque:

Exemplo:

M Ny x

=

( )2 2

2 2

2 0

( , ) 2

x y dx xy dyMM x y x y y

=

= =

Obs.: dizer que M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 significadizer que existe uma funo Z=f(x,y) tal quee , isto , .

2 2( , ) 2

( , ) 2 2

MM x y x y yy

NN x y xy yx

= =

= =

z Mx

=

z Ny

=z zdz M dx N dy dx dyx y

= + = +

Equaes Diferenciais ExatasEnto:

Para obtermos a sua soluo Z=f(x,y)deveremos integrar, por exemplo, a expressoda derivada em relao varivel x, da qual

( , ) ( , )z zM x y e N x yx y

= =

da derivada em relao varivel x, da qualteremos:

Derivando parcialmente em relao a yteremos:

( , ) ( , ) ( )f x y M x y dx g y= +

( , )'( )

M x y dxf g yy y

= +

Equaes Diferenciais ExatasEm seguida igualamos a expresso anteriorcom , vista anteriormente:

Resolvendo este procedimento chegaremos a

( , )z N x yy =( , )

'( ) ( , )M x y dx

g y N x yy

+ =

Resolvendo este procedimento chegaremos auma expresso de g(y). Como queremosencontrar g(y), integramos esta expresso emrelao a y:

Exemplo:

( ) '( )g y g y dy c= +

( ) ( )2 2 2 0yx x y dx y e xy dy + =

Equaes Diferenciais Exatas Fator Integrante

Caso M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 no seja exata, isto ,, ento podemos encontrar um fator

I(x,y) tal que I(x,y).[M(x,y)dx+N(x,y)dy]=0 sejaexata.

A funo I(x,y) chamada de Fator Integrante.

M y N x

A funo I(x,y) chamada de Fator Integrante.Ento, como encontrar o fator integrante sendo

. Temos 2 modos:i.

ii.

( )1 ( ), ento ( , ) g x dxM NSe g x I x y eN y x

= =

M y N x

( )1 ( ), ento ( , ) g y dyM NSe g y I x y eM y x

= =

Exemplo 01:

Exemplo 02:

( )2 1 0y dx xy dy+ + =

( )2 2 2 0x y dx xydy + =

Equaes Diferenciais Exatas Fator Integrante

Equaes Diferenciais LinearesSo aquelas da forma:

onde P e Q so funes de x ou constantes.Para este caso de equao diferencial existem

dy P y Qdx

+ =

Para este caso de equao diferencial existemdois mtodos de soluo a saber: o mtododa substituio (mtodo de Lagrange) e omtodo do Fator Integrante.

Equaes Diferenciais Lineares1 Mtodo: Substituio ou de Lagrange

O mtodo consiste na substituio de y por zt naequao, ou seja, y=z.t. Derivando y em relaoa x, tem-se:

( )( )

P f xdy P y Q Q g xdx=

+ = =

dy dt dza x, tem-se:

Substituindo essa derivao na equao original,vamos obter:

dy dt dzz t

dx dx dx= +

dt dz dt dzz t P zt Q z P t t Q

dx dx dx dx

+ + = + + =

Equaes Diferenciais Linearesi. Clculo de t:Vamos impor que o coeficiente de z seja nulo:

0 0

0 ( )

dt dtz P t P t

dx dxdt P t dx dt P t dx t

+ = + =

+ = = 0 ( )1 ln

P dx

dt P t dx dt P t dx t

dt P dx t P dxt

t e

+ = =

= =

=

Equaes Diferenciais Linearesii. Clculo de z:

Porm t=ePdx. Ento:

dzt Q t dz Q dx

dx= =

Porm t=e . Ento:P dx P dx

P dx

e dz Q dx dz e Q dx

z e Q dx c

= =

= +

Equaes Diferenciais LinearesSoluo da equao:

Exemplo 01:

Pdx Pdx

y z t

y e Q dx c e=

= +

dy yExemplo 01:

Exemplo 02:

2dy y xdx x

=

dy y tg x sen xdx

=

Equaes Diferenciais Lineares2 Mtodo: Fator IntegranteEste mtodo consiste na transformao de umaequao linear em uma do tipo diferencial exata.

dy P y Qdx

+ =

Vamos reescrever esta equao sob a forma:

Multiplicando ambos os membros por ePdx (FatorIntegrante), obtemos a expresso:

dx

( ) 0P y Q dx dy + =

( ) 0P dx P dxe P y Q dx e dy + =

Equaes Diferenciais LinearesAqui, identificamos as funes M e N:

Derivando M com relao a y e N com relao

( )PdxPdx

M e P y Q

N e

=

=

Derivando M com relao a y e N com relaoa x, obtemos:

Assim, a equao transformada umaequao diferencial exata.

P dx P dxM NP e e P ey x

= =

Equaes Diferenciais LinearesExemplo 01:

Exemplo 02:

2dy y xdx x

=

dy y tg x sen xdx

=y tg x sen xdx

=