aula 02 e 03 coeficientes binomiais e fórmula do binõmio - 2ano

8/15/2019 Aula 02 e 03 Coeficientes Binomiais e Fórmula Do Binõmio - 2ano

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FATORIALUnidade 1 – 2º Médio

2º Bimestre



O produto dos n primeiros naturais positivos é denotado com

n! e denomina-se n-fatorial . Assim, para obtermos 7-fatorial, ou7!, multiplicamos os 7 primeiros naturais positivos:

Também:

Defnição

7654321!7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

4032087654321!8

50407654321!7

720654321!6

12054321!5

244321!4

6321!3

221!2

1!1

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅==⋅⋅=

=⋅=

=



Definiço!

Se#ue n e p números naturais com . O "oefi"iente #inomia$ denotado com definido por . $%emplos:

Coefcientes binomiais

( )

( )

( )

( )

( )

( ) 10

!1!9

10!9

!910!9

!10

9

10

1!10!0

!10

!010!0

!10

0

10

1!0!10

!10

!1010!10

!10

10

10

161700321

1009998

!3!97

1009998!97

!97100!97

!100

97

100

161700321

1009998

!97!3

1009998!97

!3100!3

!100

3

100

1264321

9876

!5!4

9876!5

!49!4

!9

4

9

=⋅

⋅=

−=

=⋅

=−

=

=⋅=−=

=⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅=

−=

=⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅=

−=

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅⋅=

−=



Definiço!

Os coeficientes binomial e di&em-se "omp$ementares se %

'or e%emplo, coeficientes binomiais, tais como e s(ocomplementares) note ue . Além disso, como vimosanteriormente, . "a*, a propriedade ue se#ue.

Propriedade!

Se os coeficientes binomiais e s(o complementares, istoé, , ent(o ele s(o iguais.

Coefcientes binomiaiscomplementares



Demonstraço!

Sejam e coeficientes binomiais complementares. Sendo ,temos:

Se#ue da* ue , isto é, coeficientes binomiaiscomplementares s(o i#uais.

Coefcientes binomiaiscomplementares



$nvolvendo os coeficientes binomiais, + uma rela(o ue é

importante na resolu(o de problemas sobre tais coeficientes. a Re$aço de &tiffe$, apresentada a se#uir.

'ara os naturais n e p, , temos:

Relação de Stiel

++

=

+

+

1

1

1 p

n

p

n

p

n



Demonstraço!

Relação de Stiel

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )membro2º

1

1

!!1

!1

!!1

1!

!!1

1!

!!1

!!1

!1!1

!

!!

!

1 membro1º

=

++

=−⋅+

+=

−⋅++⋅

=

=−⋅+ −++⋅=−⋅+ ⋅−+⋅+=

=−−⋅+

+−⋅

=

+

+

=

p

n

pn p

n

pn p

nn

pn p

pn pn

pn p

n pnn p

pn p

n

pn p

n

p

n

p

n



A Re$aço de &tiffe$ nos permite escrever, por e%emplo:

Relação de Stiel

+=

+

−

= +

=

+

p

n

p

n

p

n 1

1

1

4

1

3

0

3

3

5

3

4

2

4



/alculando os valores dos coeficientes binomiais, obtemos o ue

se costuma c+amar de Tri'n()$o Aritméti"o de Pas"a$:0

0 0

0 1 0

1 2 2 0

0 3 4 3 0

0 5 06 06 5 0

2 4 05 16 05 4 0............................................

O triângulo aritmético de Pascal



$sse trin#ulo foi descrito em 0452 por Blaise Pascal . ele, a

partir da lin+a 2, ualuer elemento 8e%ceto o primeiro e o último,ambos i#uais a 09 é obtido somando-se dois elementos da lin+aanterior: o elemento imediatamente acima e o anterior a esse

elementos.

00 0

0 1 0

0 2 2 0

0 3 4 3 0

0 5 06 06 5 0

ote ue essa propriedade do Trin#ulo d um método para asua constru(o.

O triângulo aritmético de Pascal



A se#uir, apresentamos al#umas das mais importantes

propriedades do Trin#ulo de 'ascal.0;9 Em uma linha, as extremidades (primeiro e último

coeficientes) são iguais a 1

1;9 Em uma mesma linha, os coeficientes euidistantes dos

extremos são iguais

ote ue os coeficientes euidistantes dos e%tremos s(o

complementares.

Propriedade do Triângulo de Pascal

1

6

6

6

5

6

15

4

6

20

3

6

15

2

6

6

1

6

1

0

6

6Linha



2;9 " partir da linha #, ualuer elemento (exceto as

extremidades) $ igual a soma de dois elementos da linha anterioro elemento imediatamente acima e o anterior a esse elemento (%

esuerda). $ssa propriedade, utili&ada na constru(o do trin#uloé uma e%press(o da Re$aço de &tiffe$:

3;9 " soma dos elementos da linha n $ & n

'inha 1 &

'inha 1 1 * 1 & 1

'inha & 1 * & * 1 & &

'inha # 1 * # * # * 1 & #

'inha + 1 * + * * + * 1 & +




'ara todo natural n, temos:


n

n

nnnn2...

210=

++

+

+



A notação

Dada uma sequência ... Podemos escrever a soma dosseus n primeiros termos usando a notação de somatória

ou a notaçãosigma. A notação é assim usada:

O lado esquerdo da igualdade é lido; ”A soma de para de! até n.” A letra é c"amada !ndice de somatória; a

ideia é su#stituir na e$pressão pelos inteiros !% &%'%(%...%n e somar as e$press)es que assim resultam%o#tendo o lado esquerdo da igualdade.



A *+rmula do #in,mio

-nicialmente% o#serve o desenvolvimento de para alguns valores de.

O que acontece se separarmos ordenadamente os coecientes dossucessivos desenvolvimentos/

O#temos o 0ri1ngulo de Pascal



A *+rmula do #in,mio

< 2e dese3amos o#ter o desenvolvimento de % utili4ando oteorema anterior% #asta *a4er 5 e o#teremos:

<



O 0ermo geral



6$erc7cios

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