aula 06 - funções ii
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Bniocontradomí)fIm( =
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MATEMÁTICAAula 6
FUNÇÕES
TÓPICOS
- Sobrejetora, Injetora e Bijetora- Função Composta- Função Inversa
FUNÇÃO SOBREJETORA
Definição:
“Não sobram elementos no contradomínio B”.
A f B
.y)x(fquetalAxexiste,Byasobrejetoréf
BA:f
=
ŒŒ"¤
Æ
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FUNÇÃO INJETORA
Definição:
“Elementos diferentes se associam a imagens diferentes”.
A f B
)x(f)x(fxxse
Ax,xinjetoraéf
BA:f
2121
21
≠fi≠
Œ"¤
Æ
)x(f)x(fxx:injetoraf 2121 ≠fi≠
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FUNÇÃO BIJETORA
Definição:
i) É sobrejetora A B f
ii) É injetora A B f
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.injetoraeasobrejetoréfbijetoraéf
BA:f
¤
Æ
Bniocontradomí)fIm( =-
)x(f)x(fxxSe 2121 ≠fi≠-
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A B f
FUNÇÃO COMPOSTA
Função h capaz de levar diretamente de A para C, sem passar por B, isto é,numa única etapa. B
f(x) •A c f g
x • • g(f(x)) h
Notação: )x)(fg())x(f(g)x(h o== lê-se “g” de “f” de x ou g bola f(x).
InjetoraaSobrejetor:bijetoraf
-
-
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Exemplo: B 2 •
4 •
f(x)=2.x g(x)=3.x 6 •
A C
1• • 6
2• • 12
3• • 18 h(x)
Obtenção da composta: g(x) = 3.x g(f(x)) = 3.f(x) g(f(x)) = 3.2x g(f(x)) = 6.x x.6)x(h =fi
FUNÇÃO INVERSA
Seja f uma função bijetora de A em B.Existe uma função capaz de nos levar de B para A. Essa função é a inversa.
A B A B f f-1
bijetoraf
BA:f Æ Notação: AB:f 1 Æ-
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Observações:
A B A B f f-1
D = A D = B Im = B Im = A
Exemplo:
A B A B
1 2 1 2
2 4 2 4
“Se a função dobra um número do domínio, a inversa dividi por dois”.
• •
x.2yxBA:f
=
Æ
a
2
xyx
AB:f 1
=
Æ-
a
Obtenção formal da inversa:
Seja a função y = 2.x
I) Trocar x por y e y por x: x = 2.y
II) Isola-se o y: 2.y = x fi y = 2
x
INVERSA f-1
Graficamente verifica-se uma simetria entre o gráfico da função e o gráficoda inversa. São simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares,isto é, a reta y=x.
y y = x y = 2.x
2
1
x1 2
2
xy =
Exercícios:
1)Dadas as funções f e g de ¬ de ¬ , sendo g(x) = 4x – 5 ef(g(x)) = 13 – 8x, obter f(x).
2)Obtenha a inversa da função bijetora y = 2.x – 3, e represente nummesmo diagrama função e inversa.
Resoluções:
1)
x.23)x(f
)x(g.23))x(g(f
10)x(g.213))x(g(f
]5)x(g.[213))x(g(f
4
5)x(g.813))x(g(f
x.813))x(g(f
-=
-=
--=
+-=
˙˚
˘ÍÎ
È +-=
-=
2)
x f y
0 -4
2 0 2
x -4 2
-4
4
5)x(gx
5)x(gx4
x45)x(g
5x4)x(g
+=
+=
=+
-=
2
4xf
2
4xy
4xy.2y.24x)II4y.2x)I4x.2y
1 +=
+=
+=
=+
-=
-=
-