aula 08 - projeto de filtros fir
DESCRIPTION
projeto FIRTRANSCRIPT
-
UFRN DCA
Processamento Digital de Sinais
Aula 08
Projeto de Filtros FIR
Prof. Felipe Silveira
-
Sumrio Filtros Digitais Tcnicas de Projeto Filtros FIR Projeto de Filtros FIR: Mtodo da Janela Funes Janela Efeito Espectral das Janelas Projeto de um FPB Projeto de Filtro FIR por Janela de Kaiser Projeto de Filtro FIR por Amostragem em
Freqncia
-
Filtros Digitais
O filtros estudados aqui so SLITs que possuem a propriedade de modificar freqncias especficas de um sinal
Quanto ao seu comportamento no domnio da freqncia, os filtros podem ser classificados como: Passa-baixa, passa-alta, passa-faixa, rejeita-faixa
-
Filtros Digitais
Os Filtros Digitais podem ser classificados ainda como: Filtros Recursivos (ou de Resposta ao Impulso Infinita)
Funo de transferncia na forma racional polinomial
Filtros No-Recursivos (ou de Resposta ao Impulso Finita) Funo de transferncia na forma polinomial
H(z) = B(z) = bkzkk=0
M
H(z) = B(z)A(z) =bkzk
k=0
M
1+ akzkk=1
N
-
Tcnicas de Projeto
As principais tcnicas de projeto de filtros digitais FIR e IIR esto listadas abaixo: Filtros FIR
Mtodo das funes-janela Mtodo por amostragem na freqncia
Filtros IIR Mtodo da transformao bilinear Mtodo da invarincia ao impulso
-
Tcnicas de Projeto
Em geral, o projeto de filtros digitais envolve cinco passos: Especificao Clculo dos coeficientes Realizao Anlise dos efeitos de quantizao Implementao
-
Especificao Filtro passa-baixa:
-
Filtros FIR Os filtros FIR so caracterizados pela seguinte
funo de transferncia:
Os filtros FIR tm a vantagem de serem sempre estveis e de poder ter fase linear.
H(z) = h[n]zkk=0
M
-
Projeto de Filtros FIR: Mtodo da Janela
Nessa tcnica, deseja-se determinar os coeficientes do filtro, h[n], tal que: A resposta H(ej) fornea uma boa aproximao para
uma resposta em frequncia desejada Hd(ej).
Uma medida da qualidade dessa aproximao pode ser o Erro Mdio Quadrtico entre as duas respostas.
E = 12 |Hd (ej ) H(e j ) |2 d
-
Pelo Teorema de Parseval:
Os coeficientes so obtidos pela minimizao da energia do erro atravs do uso de uma janela retangular, definida por:
Tal que:
Projeto de Filtros FIR: Mtodo da Janela
w[n] =1, 0 n M0, c. c.
E = 12 |Hd (ej ) H(e j ) |2 d
= | hd [n] h[n] |2n=
h[n] = w[n]hd [n]
-
Funes-Janela
Existem vrios tipos de janela diferentes, sendo as mais comuns: Retangular, triangular, Hamming, Hanning e
Blackman
-
Funes-Janela
-
Efeito Espectral das Janelas
Dois importantes parmetros de projeto so o comprimento e o formato da janela w[n].
Para compreender como esses parmetros influenciam o projeto observe que
Logo, no domnio da frequncia:
-
Efeito Espectral das Janelas
Os grficos abaixo exibem a operao de convoluo entre Hd() e W().
-
Efeito Espectral das Janelas
Analisando os grficos percebemos que: A largura do lbulo principal de W() afeta a largura da
faixa de transio de H().
Os lbulos laterais de W() provocam ondulaes na banda de passagem e na banda de corte do filtro H().
A banda de corte do filtro H() diferente de zero devido aos lbulos laterais de W().
-
Resposta em Freqncia de Funes-Janela
-
Algoritmo do Mtodo da Funo-Janela
O algoritmo segue os seguintes passos: Passo 1: Calcular a resposta ao impulso desejada, a
partir da DTFT inversa da resposta em freqncia desejada;
Passo 2: Escolher um tipo janela e o seu comprimento; Passo 3: Aplicar a janela selecionada:
Passo 4: Se necessrio, realizar um deslocamento no tempo para garantir a causalidade do sistema.
-
Projeto de um Filtro Passa-Baixa
Projetar um filtro passa-baixa com as seguintes especificaes:
-
Projeto de um Filtro Passa-Baixa
Consideraes sobre Magnitude e Fase: A magnitude constante (= K) na banda de passagem; A fase linear
A fase linear causada pelo atraso das amostras na resposta ao impulso do filtro.
Em um primeiro momento iremos desconsiderar esse atraso, ou seja, .
O atraso ser includo no estgio final do projeto.
-
Projeto de um Filtro Passa-Baixa
A resposta ao impulso do filtro pode ser obtida a partir da TDFT inversa:
Considerando , ao invs de temos:
Hd (e j ) = K
Hd (e j ) = Ke jl
hLPd [n] =12 Hd (e
j )e jnd
=Kn sin(nC ), n = 0,1,2,...
hLPd [n] =12 Ke
jnd c
c
-
Exemplo: Filtro FIR Passa-Baixa
Considere a seguinte especificao de projeto: Filtro passa-baixa ideal com ganho K = 1 e freqncia de
corte
Janela Retangular com N = 21 amostras, dada por:
Resultado do Projeto: Filtro no-causal dado por:
hLP [n] = hLPd [n]wR[n] =1n sin
n4
, n = 0,1,2,...,10.
wR[n] =1, se 10 n 100, c. c.
-
Exemplo: Passa-Baixa No-Causal
-
Exemplo: Filtro FIR Passa-Baixa
Para se obter um filtro causal passa-baixa, tem-se que atrasar a resposta ao impulso no-causal de M/2, em que M = N-1.
Logo, para o exemplo com N = 21, tem-se:
hLP [n] =1
(n 10) sin(n 10)
4
, n = 0, 1, 2,..., 20.
-
Exemplo: Passa-Baixa Causal
-
Exemplo: Resposta em Freqncia
A partir da Transformada de Fourier Discreta no Tempo, temos:
HLP (e j ) = hLP [n]e jnn=0
20
= h[0]+ h[1]e j + h[2]e j2 ++ h[10]e j10 ++ h[20]e j20
= e j10 h[0]e j10 + h[1]e j 9 ++ h[10]++ h[19]e j 9 + h[20]e j10[ ]
= e j10 2h[0]cos(10) + 2h[1]cos(9 ) ++ 2h[9]cos() + h[10][ ]
= G( )e j10
-
Exemplo: Resposta em Freqncia
Magnitude da Resposta em Freqncia do Filtro:
-
Parmetros de Funes Janelas
Parmetros de projeto por funes janela de ordem M:
-
Projeto por Janela de Kaiser
A tcnica de projeto estudada anteriormente s permite controlar a faixa de transio e as ondulaes atravs de uma escolha adequada da ordem M e do tipo de janela.
O projeto por Janela de Kaiser, ao contrrio, possibilita o projeto de filtros FIR que atendem a especificaes prescritas na freqncia Controle de ondulaes Largura da faixa de transio
-
Projeto por Janela de Kaiser
A janela de Kaiser descrita pela funo:
Em que a funo de Bessel modificada de primeira classe de ordem zero, dada por:
Os parmetros M e so usados para controlar a faixa de transio e as ondulaes.
-
Projeto por Janela de Kaiser
Janela de Kaiser: Domnio do Tempo (M=20)
-
Projeto por Janela de Kaiser
Janela de Kaiser: Domnio da Freqncia (M=20)
-
Janela de Kaiser: Domnio da Freqncia ( = 6)
Projeto por Janela de Kaiser
-
Algoritmo de Projeto por Kaiser 1. A partir da resposta na freqncia ideal que o
filtro deve aproximar, determine a resposta ao impulso desejada hd[n].
2. Se o filtro passa-baixa ou passa-alta deve-se fazer
Filtros passa-faixa e rejeita-faixa sero discutidos posteriormente.
-
Algoritmo de Projeto por Kaiser 3. Para satisfazer as especificaes prescritas para
as ondulaes, deve-se usar
4. Calcule em dB a atenuao na faixa de rejeio, usando:
5. Calcule a faixa de transio por
-
Algoritmo de Projeto por Kaiser
6. Calcule usando:
7. Determine a ordem M do filtro por:
Se usa-se uma janela retangular, ou seja:
-
Algoritmo de Projeto por Kaiser
8. Com M e determinados, calcula-se a janela de Kaiser usando a equao definida anteriormente.
9. Calcula-se a resposta ao impulso do filtro FIR por:
-
Algoritmo de Projeto por Kaiser
Se o filtro passa-faixa ou rejeita-faixa, deve-se realizar as seguintes modificaes:
negativa para filtros passa-faixa e positivo para filtros rejeita-faixa.
Determine as freqncias centrais como segue:
-
Projeto de Filtros FIR por Amostragem em Freqncia A resposta ao impulso de um filtro FIR pode
ser determinada atravs dos seguintes passos: Amostra-se a resposta em freqncia desejada
em N pontos
Tal que
Calcula-se a DFT inversa de para se obter .
-
Resumo da Aula
Definio de filtros seletivos em freqncia; Classificao dos filtros digitais em FIR e IIR; Estudo do mtodo da funo-janela para o
projeto de filtros FIR; Anlise do efeito espectral das janelas sobre a
resposta em freqncia dos filtros FIR; Projeto de um filtro FIR passa-baixa pelo mtodo
da funo-janela. Projeto por Janela de kaiser Projeto de Filtro FIR por Amostragem em
Freqncia
-
Bibliografia
Diniz, P. S. et al., Processamento Digital de Sinais: Projeto e Anlise de Sistemas, ed. Bookman, 2004.
Oppenheim, A. V., et al., Discrete-Time Signal Processing, ed. Prentice-Hall, 1998.
Proakis, J., Manolakis, D., Digital Signal Processing, ed. Prentice-Hall, 1996.