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Aula 1

Sistemas Analógicos vs Sistemas Digitais

Sistema: conjunto de dispositivos e/ou componentes interligados que desempenha uma função complexa Sistema digital: constituído por vários blocos, que no conjunto desempenham determinada função. Ex: Processador = memória + controladores + unidade lógica aritmética + ... Dispositivo: circuito composto por vários componentes que desempenha uma função simples. Ex: contadores, somadores, registos, ... Componente: cada uma das partes que constituem um dispositivo Ex: resistências, transistores, circuitos integrados Circuito integrado (chip): circuito em que os diversos componentes estão integrados sobre uma mesma base (substrato ou plataforma)

Definições

Sistemas analógicos vs Sistemas digitais

Sistemas analógicos: trabalham com grandezas representadas por semelhança (analogia) entre outras grandezas diferentes, de forma proporcional entre elas. Exs: • num termómetro, uma coluna de mercúrio representa a temperatura (grandeza física) • numa balança, a posição do ponteiro representa a massa a medir • num gráfico de barras, a altura das barras representa os valores medidos ou calculados Sinal analógico: a representação das grandezas faz-se de forma contínua, podendo assumir uma infinidade de valores – por exemplo, a coluna de mercúrio do termómetro pode ocupar qualquer posição ao longo da escala. Circuito analógico: é aquele que processa sinais analógicos (em termos de entradas e saídas).


f

(E)

Entrada

analógica

(S)

Saída

analógica

S = f (E) , função analógica

Temperatura ºC

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Sinal analógico Circuito analógico


Sistemas digitais: trabalham com grandezas representadas através de dígitos (algarismos, números) que simbolizam quantidades numéricas (inteiras ou fraccionárias) Exs: • num termómetro, a temperatura é dada por um valor numérico no mostrador • numa balança, o valor medido é indicado por algarismos • num gráfico de barras, o valor medido ou calculado aparece junto à respectiva barra sinal digital: a representação das grandezas faz-se de forma discreta (por saltos), podendo assumir apenas assumir um número finito de valores discretos – por exemplo, nos termómetros a temperatura é habitualmente indicada apenas até ao décimo de grau Celsius [ex. a temperatura pode passar de 28.3ºC para 28.4ºC, não sendo mostrados valores intermédios]. Circuito digital: é aquele que processa sinais digitais (em termos de entradas e saídas).


Sinal digital Circuito digital

Temperatura ºC

-4

-2

0

2

4

6

8

10

F

(E)

Entrada

digital

(S)

Saída

digital

S = F(E) , função digital

Computação

NOTAS Computar significa somar, que é uma das quatro operações aritméticas elementares.

Embora os computadores actuais realizem outras operações, as operações aritméticas permanecem como um núcleo importante de operações a executar.

Vamos ver que é possível realizar estas operações usando sistemas analógicos ou digitais.

O processo analógico é aqui apresentado apenas a título informativo, sendo o processo digital aquele que vai ser usado ao longo da disciplina.

A ideia é realizar as operações aritméticas usando objectos de uso corrente.

Computação analógica Realizada por circuitos analógicos. exemplo : operação de multiplicação → sistema de som doméstico O microfone produz um sinal eléctrico fraco, proporcional à intensidade do som captado, o qual é amplificado um certo número de vezes para produzir um sinal equivalente mas de maior intensidade que é aplicado a um altifalante. O amplificador funciona como um multiplicador saída = entrada * factor amplificação

microfone amplificador altifalante

Entrada: som fraco (ex:voz) Saída: som forte (amplificado)

Computação digital

Ao contrário do caso anterior, no sistema digital trabalha-se directamente com valores numéricos, a questão que se coloca é quais valores? No sistema decimal usamos dez algarismos representados por [0, 1, 2, … , 9], que se tornam fáceis de reconhecer e de tratar pelo homem. Se os quiséssemos usar no sistema digital, os circuitos eléctricos teriam de ser capazes de reconhecer e de trabalhar com dez valores diferentes de corrente (ou tensão), o que tecnologicamente é complicado. Mas porque usamos dez algarismos? Porque não vinte? Ou doze? Ou cinco? Ou apenas dois? (já agora, será que podia ser apenas um?). Mais à frente veremos que é possível trabalhar apenas com dois algarismos [0, 1] e ainda assim é possível realizar as mesmas operações que realizamos com os dez algarismos decimais.


Sendo assim, os circuitos digitais apenas precisam de distinguir dois estados, designados por bit (binary digit) e que podem ser designados do seguinte modo: “0” = bit zero, Falso(False), Nada, Baixo(Low/L), OFF bit “1” = bit um, Verdade(True), Tudo, Alto(High/H), ON Vejamos como são representados os bit’s e porque assumem aquelas designações. Havendo apenas dois bit [0,1] dizemos que há apenas dois estados que é preciso distinguir. Para tal, o mais simples é considerar uma situação de tudo/nada ou ainda de existe/não existe ou em termos eléctricos, ligado/desligado. Note-se que não é importante quantificar quanto vale “tudo” ou quanto vale “existe” ou ainda quanto vale “ligado” ou “desligado”, importa apenas distinguir a situação de existir ou não existir, estar ligado ou não estar ligado, etc. Isto simplifica muito a construção dos circuitos electrónicos.

Em termos práticos foi necessário determinar um valor concreto para o valor da tensão a usar nos circuitos, tendo sido seleccionado o valor de 5V. Assim fez-se a seguinte atribuição (há outras possibilidades que serão abordadas mais tarde):

+5.0V

+2.0V

+0.8V

0V

valores nesta faixa [+2.0V ↔ +5.0V] correspondem ao bit “1”

valores nesta faixa [ 0V ↔ +0.8V] correspondem ao bit “0”

valores nesta faixa [ +0.8V ↔ +2.0V] são indeterminados, não

devendo ser usados em circuitos digitais (zona proibida)


“0” = bit zero, Falso(False), Nada, Baixo(Low/L), OFF bit “1” = bit um, Verdade(True), Tudo, Alto(High/H), ON

“1” = 5v

“0” = 0v

Convenções possíveis: Lógica positiva: O símbolo “1” está associado ao nível de tensão mais elevado(5v) e o símbolo “0” está associado ao nível de tensão mais baixo(0v) situação mais usada. Lógica negativa: O símbolo “1” está associado ao nível de tensão mais baixo(0v) e o símbolo “0” está associado ao nível de tensão mais elevado(5v).

Lógica Positiva Versus Lógica Negativa

A tecnologia digital tem várias vantagens sobre a analógica:

• Circuitos mais simples de projectar e de entender • Maior imunidade ao ruído (ou seja, a interferências externas) • Maior precisão nos cálculos efectuados • Mais fácil de armazenar a informação (apenas 2 bit)

Porém, as grandezas do mundo real são praticamente todas analógicas (tal como os exemplos indicados atrás), pelo que a utilização dos computadores digitais implica a conversão entre analógico para digital e vice-versa.


Conversão analógico <-> digital

O diagrama a seguir ilustra o processo de introdução do computador digital num mundo essencialmente analógico.

mundo real analógico

ex: temperatura, som,

luminosidade, velocidade ...

obter sinal

analógico

(sensores) digital

digital

actuar

(actuadores)

Conversor A/D

Analógico→Digital

Conversor D/A

Digital→Analógico

Processamento

Digital

Conversão A/D (analógico digital) Trata-se de converter sinais que variam de forma contínua ao longo do tempo, em sinais discretos. Para isso, são tomadas amostras a intervalos de tempos regulares do sinal analógico de entrada, as quais são convertidas para valores numéricos e armazenadas em forma de bit´s (0’s e 1’s). É um processo conhecido por digitalização. O número de amostras a tomar está relacionado com o tipo de sinal analógico a digitalizar. Ex: digitalizar um tema musical e guardar o resultado num certo formato (ex:MP3)

A/D

entrada saída

analógica digital

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 tempo

n6

n7

n5

n1

n0

som

0 t0 n0 (10011001)

1 t1 n1 (11000110)

2 t2 n2 (00110100)

3 t3 n3 (10101101)

. … ……………..

amostra tempo valor(exemplo)

(ex: ficheiro MP3)

Conversão D/A (digital analógico) Trata-se de converter valores numéricos discretos (armazenados em formas de bit’s), num sinal que varia continuamente ao longo do tempo. A precisão da conversão está relacionada com o número de amostras disponíveis. Ex: reproduzir o tema musical anteriormente digitalizado e cujas amostras foram guardadas num ficheiro de um certo formato (ex:MP3)

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 tempo

n6

n7

n5

n1

n0

som

0 t0 n0 (10011001)

1 t1 n1 (11000110)

2 t2 n2 (00110100)

3 t3 n3 (10101101)

. … ……………..

amostra tempo valor (exemplo)

(ex: ficheiro MP3)

D/A

entrada saída

digital analógica

Aula 2

Álgebra de Boole

Álgebra de Boole

Em 1854, o matemático Inglês George Boole desenvolveu um conjunto de regras algébricas durante a sua investigação sobre as leis fundamentais da mente humana associadas ao raciocínio Álgebra de Boole Em 1938, Claude Shannon dos Bell Laboratories, adaptou a Álgebra de Boole à utilização em circuitos digitais.

Variáveis Lógicas e Funções Lógicas • São apenas usados dois valores: 1(verdade) e 0(falso)

• As variáveis são designadas por variáveis lógicas , variáveis de Boole, variáveis boolenas ou binárias;

• Uma variável lógica é uma variável cujo domínio compreende 2 valores lógicos, representados pelos símbolos 0 e 1;

• Uma função lógica, função de Boole, função boolena ou função binária é uma função cujos domínio e contradomínio (entradas/saídas) são constituídos pelo conjunto formado pelos símbolos 0 e 1.

George Boole (1815-1864)

Claude Shannon (1916-2001)

Fonte: José Augusto Baranauskas, Departamento de Computação e Matemática – FFCLRP-USP

• As tabelas de verdade podem representar qualquer função lógica;

• Uma tabela de verdade é um quadro formado por tantas colunas quantas as variáveis de uma dada função (variáveis de entrada ou independentes) mais a coluna correspondente à função (variável de saída ou dependente);

• Tipicamente as funções lógicas comportam diversas variáveis de entrada para apenas uma variável de saída (embora estas também possam ser várias);

• Nas linhas da tabela de verdade representam-se todas as combinações binárias possíveis das variáveis da função: N variáveis de entrada, originam M=2N combinações possíveis;

Tabelas de Verdade

Ex: Tabela de Verdade N=2 variáveis de entrada: A, B combinações possíveis → M=2N=22=4 S : função ou variável de saída

entrada saída

4 combinações possíveis

As funções lógicas elementares são:

• identidade (igualdade)

• negação, complementação, inversão: NÃO → NOT

• conjunção, intersecção, produto lógico: E → AND

• disjunção, reunião, soma lógica: OU → OR

A partir destas funções elementares é possível definir outras funções básicas:

• NÃO E / NOT AND → NAND

• NÃO OU / NOT OR → NOR

• OU EXCLUSIVO / EXCLUSIVE OR → XOR

Funções Lógicas Elementares

As funções NÃO E (NAND) e NÃO OU (NOR) dizem-se completas (universais) devido ao facto de

ser possível construir qualquer função lógica com base numa destas duas funções.

Função Identidade (Igualdade)

S(A) = A : saída igual à entrada

Tabela de Verdade/Símbolo

Funções Lógicas Elementares

Função Intersecção (Produto Lógico, E)

S(A, B) = A.B → AND : verdade se e só se todas as entradas forem verdade


Função Reunião(Soma Lógica, OU)

S(A, B) = A+B → OR : verdade desde que uma ou mais entradas sejam verdade


A S

A S

A S

A

S B

A

S B

Função Negação (Complementação ou Inversão)

S(A) = A → NOT : saída é o inverso da entrada


Funções Lógicas Básicas

Função OU EXCLUSIVO (EXCLUSIVE OR) → XOR:

saída é verdade se o nº de entradas verdade for ímpar

A

S B

A

S B

A

S B

Função NÃO E → NAND: S(A, B) = A.B

corresponde à negação da função AND

Função NÃO OU → NOR: S(A, B) = A + B

corresponde à negação da função OR

Funções Lógicas – interpretação física

Convenções

interruptor aberto = 0 interruptor fechado = 1

lâmpada apagada = 0 lâmpada acesa = 1

Funções Lógicas - interpretação física : AND

Função AND : S(A, B) = A.B A

S B


Função AND : S(A, B) = A.B A

S B

Funções Lógicas - interpretação física : AND (cont.)


Funções Lógicas – interpretação física: OR

Função OR : S(A, B) = A+B A

S B


Funções Lógicas – interpretação física: OR (cont.)

Função OR : S(A, B) = A+B A

S B


Funções Lógicas – interpretação física : NOT

A S Função NOT): S(A) = A


Resumo das Funções Lógicas


Expressões Lógicas Equivalentes, Complementares e Duais

Duas expressões lógicas são duais quando se pode obter uma a partir da outra, nomeadamente: • transformando todos os “.” em “+” e todos os “+” em “.” • transformando todos os “0” em “1” e todos os “1” em “0” • mantendo as ocorrências das variáveis

ex: a expressão lógica 1.A + B.C + 0 é dual de (0+A) . (B+C) . 1

Duas expressões lógicas (S1,S2) são complementares quando para todas as combinações possíveis nas respectivas tabelas de verdade (linhas), se tem S1=S2 (S1=0/S2=1, ou, S1=1/S2=0), ou seja, todas as linhas são complementares.

Uma expressão lógica é um conjunto de variáveis lógicas e constantes lógicas (0, 1) associadas entre si pelas funções lógicas elementares (“.” e “+”). A existência de uma variável ou do respetivo complemento é designada por ocorrência ou literal. ex: S = A.B + B.1 + C.0

Duas expressões lógicas (S1,S2) são equivalentes quando para todas as combinações possíveis nas respectivas tabelas de verdade (linhas), se tem S1=S2 (S1=S2=0, ou, S1=S2=1), ou seja, todas as linhas são iguais. Se S1≠S2 em pelo menos uma linha, então S1 e S2 não são equivalentes.

Formas Canónicas

forma canónica (geral): de uma função booleana é qualquer produto de somas ou soma de produtos em que cada um dos termos envolve todas as variáveis, em forma directa ou complementada. As formas canónicas são úteis na análise de circuitos lógicos, nomeadamente para a simplificação de funções lógicas, usando métodos gráficos ou numéricos. forma canónica soma de produtos: quando a expressão de uma função lógica é constituída por somas lógicas de produtos lógicos que contêm todas as variáveis lógicas da função. Esta forma canónica é também designada por primeira forma canónica, sendo os produtos (parcelas) designados por mintermos.

Exemplo: S(A,B,C) = A . B . C + C . B . A + B . A . C forma canónica produto de somas: quando a expressão de uma função lógica é constituída por produtos lógicos de somas lógicas que contêm todas as variáveis lógicas da função. Esta forma canónica é também designada por segunda forma canónica, sendo os factores designados por maxtermos.

Exemplo: S(A,B,C) = (A+B+C ) . ( A +B+C) . ( A +B+C )

Formas Mínimas

forma mínima: aquela em que o somatório do número de termos/factores e de literais é mínimo. São usadas para implementar os circuitos da forma o mais simples possível. forma mínima soma de produtos: quando a função lógica é constituída por uma soma de produtos tal que o somatório do número de produtos e do número de literais é mínimo.

exemplo: S(A,B,C) = A . B . C + B . C

forma mínima produto de somas: quando a função lógica é constituída por um produto de somas tal que o somatório do número de somas e do número de literais é mínimo.

exemplo: S(A,B,C)= (B+C).(B +C).(A +C) Notas: 1) a forma mínima de uma função lógica não é necessariamente única nem conduz necessariamente à implementação mais simples. 2) a engenharia de sistemas digitais tem por objectivo a implementação de circuitos que executem as funções desejadas a um custo mínimo. 3) a minimização (obtenção das formas mínimas) da implementação de funções lógicas constitui uma fase importante do projecto de sistemas digitais.

Aula 3

Álgebra de Boole – axiomas e teoremas

Axiomas e Teoremas da Álgebra de Boole

Axioma: afirmação aceite como óbvia e verdadeira, que não é provada ou demonstrada, sendo considerada ponto de partida para a construção ou aceitação de uma teoria. Teorema: afirmação que pode ser provada como sendo verdadeira através de outras afirmações já demonstradas, como outros teoremas, ou através de axiomas.

Provar é o processo de mostrar que um teorema está correto. Princípio da dualidade: aplica-se tanto a axiomas como a teoremas. Se tivermos um axioma/teorema relacionando variáveis lógicas, pode obter-se um outro axioma/teorema fazendo as trocas de símbolos e sinais associados (“0”↔”1” , “.”↔”+”)

Os dois axiomas/teoremas são designados por axiomas/teoremas duais.


Propriedades 1) A+B = B+A ; A.B = B.A (comutatividade OR/AND) 2.1) A.(B+C) = (A.B)+(A.C) (distributividade em relação ao produto) 2.2) A+(B.C) = (A+B).(A+C) (distributividade em relação à soma, inválida em álgebra convencional) 3) (A+B)+C = A+(B+C) ; (A.B).C = A.(B.C) (associatividade OR/AND) NOTA: as funções NAND, NOR e XOR não são associativas ( ex: A.B.C ≠ (A.B) . C ) (ex. A=0,B=0,C=1) Precedências: o produto tem precedência sobre a soma, ex: A+B.C = A+(B.C) alterar precedência usar parêntesis, ex: (A+B).C

1) Seja A uma variável lógica A=0 ou A=1 (A=0 se A≠1 , A=1 se A≠0)

2) 0.0 = 0 ; 0.1 = 1.0 = 0 ; 1.1 = 1 (produto lógico, AND) 3) 1+1 = 1 ; 1+0 = 0+1 = 1 ; 0+0 = 0 (soma lógica, OR) 4) 0 = 1 ; 1 = 0 (complemento, negação, NOT)


1) A+A = A ; A.A = A (idempotência)

2) A+0 = A ; A.1 = A (0=elemento neutro soma lógica; 1=elemento neutro produto lógico)

3) A+1 = 1 ; A.0 = 0 (1=elemento absorvente soma lógica ; 0=elemento absorvente produto lógico)

4) A = A (involução)

5) A+A = 1 ; A.A = 0 (complementos)

6) A+A.B = A ; A.(A+B) = A (absorção) [prova: A+A.B = A.(1+B) = A.1 = A]

7) A.B+A.B = A ; (A+B).(A+B) = A (adjacência) [prova: A.B+A.B = A.(B+B) = A.1 = A]

8) A+A.B = A+B ; A.(A+B) = A.B (redundância)

NOTA: existem outros teoremas para além dos apresentados a seguir

Leis de DeMorgan

O Teorema de DeMorgan estabelece um procedimento para complementar funções lógicas:


A . B = A + B A + B = A . B ou A . B = A + B A + B = A . B

Extensão a 3 (ou mais) variáveis

AND: S(A, B, C) = A.B.C = (A.B).C

OR: S(A, B, C) = A+B+C = (A+B)+C

A

B B S C

A

B S C

A

B S

C

A

B S

C

A.B.C = A + B + C A . B . C= A + B + C A + B + C = A . B .C A + B + C= A . B . C

Leis de DeMorgan

=

=

NOT a partir de NAND / NOR

A S Função NOT): S(A)= A

A

S

NAND: S(A, B)= A.B , se B=A A.A = A

NOR: S(A, B)= A + B , se B=A A+A = A

A

S

A S

A

S

A

S

= =

AND/OR a partir de NAND / NOR

= A

S B

A

S B

A

S B

A

S B

AND: S(A, B)= A.B = A.B

= A

S B

A

S B

A

S B

A

S B

OR: S(A, B)= A+B = A+B

Análise de circuitos digitais

Análise: processo de decomposição de uma substância ou tópico complexo nos seus diversos elementos constituintes, a fim de se obter uma melhor compreensão do seu funcionamento. • A todo o circuito digital corresponde uma expressão booleana.

• Um circuito, por mais complexo que seja, é composto pela interligação de blocos lógicos básicos.

• Para obter a expressão lógica nas saídas de um circuito digital, parte-se das entradas em direção às saídas, escrevendo na saída de cada porta lógica a expressão equivalente.

Análise de circuitos digitais

Ex: obter as expressões booleanas e a tabela de verdade geradas pelo seguinte circuito lógico:

A

C S

D

= A . (C + D)

Tabela de verdade Tabela de verdade simplificada

Síntese de circuitos digitais

Síntese: reunião de vários elementos que formam um todo unificado e coerente. • Síntese de um circuito digital: obter um circuito lógico, dada uma expressão booleana.

• As expressões boolenas são obtidas a partir do enunciado do problema a resolver, regra geral em forma de tabelas de verdade.

Problema: controlo do limpa-pára-brisas (LPB) de um automóvel

Um automóvel tem um sistema de LPB controlado por uma alavanca de comutador (C) junto ao volante ou por um sensor de chuva (S) colocado no vidro. O LPB deve actuar sempre que estando ligada a chave da ignição (I), o condutor tenha ligado o comutador ou o sensor detecte chuva.


Tabela de Verdade: contém todas as combinações possíveis de I, C e S, além da saída LPB N=3 variáveis M = 2N = 23 = 8 casos possíveis

Variáveis lógicas Entrada Saída I : chave ignição 0=desligada 1=ligada LPB: escovas do limpa-pára-brisas C : comutador manual 0=desligado 1=ligado 0=parado 1=a funcionar S : sensor de chuva 0=não chove 1=chove


Extracção da expressão do circuito mintermos : extracção pelos “1’s” da função (combinações aonde a função vale “1”) → obtém-se uma expressão canónica do tipo AND-OR (soma de produtos)

I . C . S

Regras para extracção dos termos

0) cada termo(linha) vai ser um produto

1) considerar apenas termos(linhas) aonde a função vale “1”

2) para cada variável de entrada:

2.1) se essa variável vale “1” entra directamente no termo

2.2) se a variável vale “0” então negada no termo

I . C . S I . C . S

Tabela de Verdade

Circuito resultante directamente da expressão... bastante complexo!

LPB = I . C . S + I . C . S + I . C . S (forma canónica)


Circuito digital correspondente (muito mais simples que o anterior) LPB = I . ( S + C )

Simplificar a expressão obtida: obtenção de uma forma mínima

LPB = I . C . S + I . C . S + I . C . S (forma canónica)

I . ( C . S + C . S + C . S ) (p.distributiva)

I . ( C . S + C . (S + S) ) (p.distributiva)

I . ( C . S + C . 1 ) = I . ( C . S + C) (redundância)

I . ( S + C )

Aula 4

Simplificação de funções lógicas

Síntese de circuitos digitais(cont.)

Extracção da expressão do circuito

maxtermos extracção pelos “0’s” da função (combinações aonde a função vale “0”) obtém-se uma expressão canónica do tipo OR-AND (produto de somas)

Regras para extracção dos termos 0) cada termo vai ser uma soma (OR) 1) considerar cada linha aonde a função vale “0” 2) para cada variável de entrada: 2.1) se essa variável vale “0” então entra directamente 2.2) se a variável vale “1” então entra negada

I + C + S

I + C + S

Tabela de Verdade

Circuito resultante directamente da expressão... bastante complexo!

I + C + S I + C + S

I + C + S

LPB = (I + C + S) . (I + C + S) . (I + C + S) . (I + C + S) . (I + C + S)


Circuito digital correspondente (igual ao obtido anteriormente) LPB = I . ( S + C )

Simplificar a expressão obtida: obtenção de uma forma mínima

LPB = (I + C + S) . (I + C + S) . (I + C + S) . (I + C + S) . (I + C + S) (forma canónica)

(I + C) . (I + C) . (I + C + S) (adjacência) [ (A+B).(A+B)=A ]

I . (I + C + S) (redundância)

I . (C + S) = I . (S + C) igual à anterior

Simplificar

• reduzir o número de termos

• reduzir as variáveis em cada termo

• (converter para um único tipo de porta lógica, ex: AND,OR,NAND,NOR,...)

Métodos 1) Algébrico: a simplificação algébrica (por aplicação das regras da Álgebra de Boole) é trabalhosa e morosa, requerendo alguma “arte”; 2) Gráfico: permitem chegar rapidamente a expressões mais simples, embora não garantam de imediato a forma mínima;

2.1) Mapa de Karnaugh: aplicável facilmente para funções de até 4 variáveis (embora seja válido para outro nº de variáveis) 2.2) Mapa da Quine-McCluskey: para mais de 4 variáveis (embora seja válido para menos)

Métodos de simplificação

Mapa de Karnaugh

Tabela de Verdade original Tabela de Verdade reagrupada

trocar as linhas de modo que só se altere uma variável em linhas adjacentes

I . C . S I . C . S I . C . S

I . C . S

I . C . S

I . C . S

LPB = I . C . S + I . C . S + I . C . S LPB = I . C . S + I . C . S + I . C . S

• Equivalente à Tabela de Verdade → duas formas de representar a mesma realidade

• Baseia-se na aplicação sucessiva do teorema da complementação: A + A = 1

Exs. a) X . Y + X . Y = X (Y + Y) = X . 1 = X

b) X . Y . Z + X . Y . Z + X . Y . Z + X . Y . Z = X . Y (Z + Z) + X . Y ( Z + Z) = X (Y + Y) = X

Problema do LPB

Mapa de Karnaugh

I . C . S + I . C . S = I . C (S + S) = I . C

I . C . S + I . C . S = I . S (C + C) = I . S

Tabela de Verdade reagrupada

I . C . S

I . C . S

I . C . S

termos diferem em S S é eliminada

termos diferem em C C é eliminada

LPB = I . C + I . S

= I (C + S)

(expressão anterior)

Algebricamente

LPB = I . C . S + I . C . S + I . C . S

= I . C . S + I . C . S + [I . C . S] + I . C . S (idempotência) - [I.C.S] vai pertencer a dois grupos

= I . C (S + S) + I . S (C + C) (absorção)

= I . C + I . S = I (C + S) (distributividade)

Mapa de Karnaugh

Tabela de Verdade

I . C . S

I . C . S

I . C . S

LPB = I . C + I . S (não é forma mínima)

I . (C + S) (forma mínima)

LPB = I . C . S + I . C . S + I . C . S

I . ( C . S + C . S + C . S)

I . ( C ( S + S) + C . S)

I . ( C + C . S )

I . ( C + S )

Mapa de Karnaugh

S = 1

I = 1

I . C . S I . C . S I . C . S I . C . S

I . C . S I . C . S I . C . S I . C . S

0 1 1 1

0 0 0 0

C = 1

Mapa de Karnaugh Construção do mapa

1) desenhar um quadrilátero com M=2N células, tantas quantas as linhas da tabela de verdade (N=nº de variáveis independentes) 2) numerar as células de modo correspondente às diferentes combinações das variáveis independentes, de tal forma que entre duas células adjacentes apenas varie uma delas (quadriculas adjacentes são aquelas com uma aresta comum, incluindo as dos lados exteriores do quadrilátero pois na realidade a figura é um toro)

N=2 , M=4 N=3 , M=8 N=4 , M=16

A

B

A

B

C A

B

C

D

Convenção: nas células abrangidas pelo traço, a correspondente variável toma o valor “1” , nas restantes toma o valor “0”

A=0 A=0 B=0 B=1 A=1 A=1 B=0 B=1

A=0 B=1 C=0

A=1 B=0 C=1

A=0 B=1 C=0 D=1

A=1 B=0 C=0 D=1

A B

A=1 A=0 B=0 B=1 A=1 A=0 B=0 B=1

Mapa de Karnaugh

Regras do mapa 1) em cada célula do mapa coloca-se o correspondente valor da tabela de verdade;

2) agrupam-se o maior número possível de valores “1” (ou “0”) adjacentes, em grupos de 2n (1, 2, 4, 8, 16) células, até todos estarem agrupados; diz-se que um grupo é primário se não está totalmente incluído noutro grupo maior;

2.1) devem considerar-se o menor número possível de grupos, desde que todos os “1” (ou “0”) estejam englobados;

2.2) cada “1” (ou “0”) pode participar em mais de um grupo;

2.3) considerar apenas os grupos primários, não devendo ser considerados grupos dentro de grupos (pois são termos redundantes que não interessam para a simplificação);

3) Cada grupo dá origem a um termo do qual são eliminadas as variáveis que estão simultaneamente dentro e fora do grupo. Por cada grupo de U=2V células, são eliminadas V variáveis na expressão do grupo:

Mapa de Karnaugh

Exemplo: N=4 variáveis , M=24=16 combinações

A

B

C

D

1

1

1 1

1 1 1

Tabela de Verdade Mapa de Karnaugh

Extracção da expressão do circuito, pelos mintermos:

• extracção pelos “1’s” da função (combinações aonde a função vale “1”) • obtém-se uma expressão canónica do tipo AND-OR [soma de produtos: A.B + C.D +...] • marcar no mapa as células em que a função vale “1” – agrupar segundo as regras indicadas

A

B

C

D

1

1

1 1

1 1 1

Mapa de Karnaugh

grupo mais favorável, elimina 2 variáveis

X = A . B

células adjacentes elimina 1 variável

Y = B . C . D

grupo menos favorável, não elimina variáveis

Z = A . B . C . D

F = X + Y + Z = A . B + B . C . D + A . B . C . D (a expressão pode ainda ser simplificada)

grupo redundante: os seus 1’s já estão

agrupados em outros grupos

errado! células não adjacentes

errado! nº de 1’s não é potência de 2

Em cada célula do grupo:

• se uma variável muda de valor será eliminada • se uma variável tem o valor “1” (a célula está abrangida pelo traço dessa variável) então entra

directamente • se toma o valor “0” (está fora do traço) então entra negada

Mapa de Karnaugh - exemplos

A

B

A

B

S = A . B + A . B = A B + + S = A . B + A . B = A B

A

C

B

S = B . C + B . C = B C +

S = B . C + B . C = B C +

A

C

D

B

Funções XOR / NXOR

XOR → S(A, B)= A B = A . B + A . B

NXOR → S(A, B)= A B = A . B + A . B

+

+

Aula 5

Simplificação de funções lógicas

Mapa de Karnaugh Funções incompletamente especificadas

não é fornecida informação sobre todos os casos possíveis de acontecer;

determinadas combinações das entradas não estão previstas ou são impossíveis;

• nestas situações o resultado da função considera-se como indiferente (don’t care), sendo representado por X na tabela ou mapa de Karnaugh;

• o valor X não é um valor lógico válido, significa apenas que de momento é um valor indiferente e que mais tarde terá de assumir um valor válido (“0” ou “1”); no mapa de Karnaugh, X será substituído pelo valor que conduzir a uma maior simplificação;

Ex: uma barragem tem uma comporta que permite despejar a água quando em demasia. Para tal dispõe de dois sensores: C(barragem cheia) e V(barragem vazia). Pretende-se projetar um circuito para controlar o estado da comporta.

Tabela de Verdade

C

V

0 0

1 X

Opção1 : X=0 → Comporta = C . V

Opção 2: X=1 → Comporta = C

Mapa de Karnaugh

C

V

com

po

rta

Entradas: C , V 0=sem água 1=com água Saída: Comporta 0=fechada 1=aberta

√

Codificação ↔ Descodificação

Codificação

• fazer corresponder a informação a tratar a um conjunto de sinais digitais (“0” e “1”) • representação de dados em formato binário

ex: valores numéricos , caracteres alfanuméricos → valores binários

Descodificação

• traduzir valores binários para outras representações

ex: valores binários → valores numéricos , caracteres alfanuméricos

Processamento Sistema Digital

Interpretação ???

??? descodificação

codificação

http://www.google.pt/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCLzvhe3Jv8gCFQTbGgodIP0LeA&url=http://www.freepik.com/free-photos-vectors/human-icon&psig=AFQjCNEWq2StzGRur8Ztcgou_xVN2AJI_A&ust=1444830124823781

Sistemas de Numeração

Um valor N pode ser representado em decimal pela expressão:

N = ∑ Ai Bi = An Bn + An-1 Bn-1 + ... + A1 B1 + A0 B0 + A-1 B-1 + A-2 B-2 + ...

B – base do sistema de numeração (ou radix = nº de algarismos da base, incluindo o zero)

Ai – algarismos da base

i – índice posicional do algarismo

Bi – peso ou significância do algarismo Ai

Notas

1) Numa base B o algarismo de maior valor é B-1 (ex. decimal: B=10, maior algarismo 9)

2) Se B > 10, usam-se letras para representar os algarismos de valor maior que 9

Exemplos de Sistemas de Numeração

(valores inteiros) Decimal: B = 10 ; Ai = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

ex: 12810 = 1 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100 = 100 + 20 + 8 = 128 Binário: B = 2 ; Ai = 0 , 1

ex: 1012 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 X 20 = 4 + 0 + 1 = 5 Octal: B = 8 ; Ai = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

ex: 248 = 2 x 81 + 4 x 80 = 16 + 4 = 20 Hexadecimal(hexa): B = 16 ; Ai = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E , F

ex: 7CD16 = 7 x 162 + 12 x 161 + 13 x 160 = 1792 + 192 + 13 = 1997

Números em diversas bases

TABELA – correspondência de números

Note-se que para um certo número n de bits o maior valor decimal representado é 2n-1 Ex: n = 4 bits , maior valor = 24-1 = 15

Conversão de Bases

I : parte inteira → divisões inteiras sucessivas por 2 - parar quando o quociente for zero - tomar restos por ordem inversa da sua obtenção

N = I.F F: parte fraccionária → multiplicações sucessivas por 2 - parar quando se atingir nº casas decimais pretendido - tomar parte inteira dos resultados por ordem da sua obtenção

Decimal(10) → Binário(2)

Conversão de Bases Exemplo Parte inteira = 37 → converter por divisões inteiras sucessivas por 2 Converter para binário N = 37.41 Parte decimal = 0.41 → converter por multiplicações sucessivas por 2

Parte inteira

37 2 1 18 2 0 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1 2 1 0

1 7

(LSB)

(MSB)

Parte decimal

37 = 1 0 0 1 0 1 (MSB) (LSB)

0.41 * 2 0 .82 * 2 1 .64 * 2 1 .28 * 2 0 .56 * 2 1 .12

(MSB)

(LSB)

tom

ar desd

e MSB

até LSB

0.41 = 0 . 0 1 1 0 1 (MSB) (LSB)

N = 37.41 = 100101.01101

Verificação 100101.01101 = 1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3 + 0x2-4 + 1x2-5 = = 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 + 0.125 + 0 + 0.031 = 37.406

em cada divisão tomar nota do resto

parar de dividir quando quociente

for zero

em cada multiplicação a parte inteira é

retirada

parar de multiplicar quando der zero, ou

atingir a precisão pretendida

Conversão de Bases (cont.)

Binário(2) → Decimal(10) : aplicar a expressão dos sistemas de numeração

Exemplo: 1101.110002 =

Decimal(10) → Hexadecimal(16) : divisões sucessivas por 16

Hexadecimal(16) → Decimal(10) : aplicar a expressão dos sistemas de numeração

Exemplo: 7CD16 =

• parar quando o quociente for zero • tomar restos por ordem inversa da sua obtenção (converter cada resto para hexa)

1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 = 13 + 0.75 = 13.75

7 x 162 + C x 161 + D x 160 = 7 x 162 + 12 x 161 + 13 x 160 = 1792 + 192 + 13 = 1997

1997 = 7CD16

MSB LSB

(MSB)

Exemplo: 1997 = B16 ?

1997 16 13 124 16 12 7 16 7 0

7

D

C (LSB)

Conversão de Bases

Ex1: hexadecimal → binário

A5216 = 1010 0101 00102 = 1010010100102

Hexadecimal(16) ↔ Binário(2) • como cada algarismo hexa (0,1,...,F) é constituído por 4 bits (0000, 0001,..., 1111) basta

converter em grupos de 4 bit

Ex2: binário → hexadecimal

11110011112 = 0011 1100 11112 = 3CF16

Conversão de Bases

Decimal(10) → Binário(2) : conversão por base intermédia • a conversão por divisões sucessivas por 2 pode originar muitas iterações • converter primeiro para uma base intermédia (ex. hexadecimal) e depois para binário

Ex: 37 = B2 ?? →

usando 1º) decimal → hexa 37 = 2516 hexadecimal como base intermédia 2º) hexa → binário 2516 = 0010 01012

37 2 1 18 2 0 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1 2 1 0

1 7

(LSB)

(MSB)

37 16 16 5 2 0 2

37 = 1 0 0 1 0 12 = 0010 01012 (MSB) (LSB)

Conversão de Bases

Ex: 10110101012 = 0010 1101 01012 = 2D516 = 2x162 + 13x161 + 5x160 = 512+208+5=725 2 D 5

Binário(2) → Decimal(10) : conversão por base intermédia a aplicação da expressão dos sistemas de numeração pode originar muitas iterações Ex: 10110101012 = 1 x 29 + 0 x 28 + 1 x 27 + .....

Base intermédia hexadecimal(16) – começando da direita para a esquerda, separar em grupos de 4 bits, convertendo cada grupo para o algarismo hexadecimal correspondente e depois mutiplicar pela potência de 16 de modo a obter o valor decimal

Conversão de Bases

P1) 317 = binário ?

R1) usando a base hexadecimal como intermédia:

1º) converter o valor decimal para hexadecimal

Outros exemplos

(LSB) (MSB)

317 16 157 19 16 13 3 1 16 1 0

D 3 1

317 = 13D16

317 = 13D16 = 0001 0011 11012

P2) 100001110 2 = decimal ?

R2) usando a base hexadecimal como intermédia:

1º) separar em grupos de 4 digitos binários convertendo cada grupo para hexadecimal 100001110 2 = 0001 0000 1110 2 = 10E16

2º) converter o valor hexadecimal para decimal 10E16 = 1x162 + 0x161 + Ex160 = 1x162 + 0x161 + 14x160 = 256 + 0 + 14 = 270

2º) converter o valor hexadecimal para binário, convertendo cada algarismo hexadecimal em grupos de 4 digitos binários

Métrica Binária

Agrupamentos de n bits

Decimal (base 10) → prefixo K significa 1000 = 103 (potência inteira de 10)

Binário (base 2) → prefixo K significa 1024 = 210 (potência inteira de 2)

Métrica Binária

Agrupamentos de n bytes

Métrica Binária

A norma IEC 80000-13: Quantities and units – Part 13: Information science and technology , publicada em 2008 define os seguintes prefixos binários:

Consultar: Prefixes for binary multiples - http://physics.nist.gov/cuu/Units/binary.html

Exemplo: 1 KByte = 103 Byte = 1000 Byte (Kilo Byte) 1 KiByte = 210 Byte = 1024 Byte (Kibi Byte)

http://physics.nist.gov/cuu/Units/binary.html

http://physics.nist.gov/cuu/Units/binary.html

Aula 6

Aritmética Binária

Aritmética Binária As operações aritméticas em binário (soma, subtracção, mutiplicação, divisão) realizam-se de forma idêntica à decimal

SOMA

decimal

1(vai um)

7 + 6 ------- 1 3 uma volta à

base 10

sobrou para 10 3 bits a somar

binário

1 1(vai um)

0 1 1 1 + 0 1 1 0 ----------- 1 1 0 1

Tabuada da Soma 1

0 0 1 1 +0 + 1 + 0 + 1 ---- ---- ---- ---- 0 1 1 1 0

Carry=uma volta à base 2 Sum=sobrou para a base 2

“vai um“ transporte

ou Carry

a soma é feita coluna a coluna tendo em conta o Carry resultante da coluna anterior.


Soma: S=a+b

1(vai um)

a 0 0 1 1 + b +0 + 1 + 0 + 1 ---- ---- ---- ---- ---- C S 0 1 1 1 0

Carry Sum

semi somador

½ +

a

b

S

C

Tabela de Verdade

Half - Adder

semi-somador porque não tem em consideração o Carry da soma anterior

Função com duas saídas: C e S

a

b

S = a . b + a . b = a b + a

b

C = a . b

LogiSim

Somador completo

em cada coluna somam-se 3 bit: um por cada parcela a somar + Carry da soma anterior (Ci = Carry in) por sua vez há saída de um bit de Carry para a coluna seguinte (Co = Carry out) , o qual pode ser 1 ou 0

somador completo

a

b

S

Co (Carry out)

(Carry in) Ci

Full - Adder

1 1 0 0

0 1 1 0 (a) + 1 1 1 1 (b) ------------------------------ 1 0 1 0 1

Co Co

Co

Somador completo com dois semi-somadores

semi somador

½ +

a

b

S

C

semi somador

½ +

a

b

S

C

Co

Ci

a

b

S

Co

Ci =0

Somador completo

somador completo

a

b

S

Co (Carry out)

(Carry in) Ci

Full - Adder

LogiSim

N = 4 bit

Somador de N bit

somador completo

a

b

S

Co

Ci somador completo

a

b

S

Co

Ci somador completo

a

b

S

Co

Ci somador completo

a

b

S

Co

Ci

Ci=0

Co

S3 S2 S1 S0

1 1 0 0

0 1 1 0 (a) + 1 1 1 1 (b) ------------------------------ 1 0 1 0 1

Co Co

Co

Co

Ci =0

S3 S2 S1 S0


SUBTRAÇÃO Tabuada da Subtração

0 1 0 1 - 0 - 0 1 - 1 - 1 ---- ---- ----- ---- 0 1 - 1 0

resultado negativo – como representar? Borrow

decimal

4 6 4 16 - 2 7 - 2+1 7 ------- --------- ? 1 9

binário

1 0 1 1 1 0 - 0+1 1 1 0+1 1+1 1 ------------------------------ 0 1 0 0 1 1

decimal

6 - 7 ---- -1

binário

0 1 1 0 - 0 1 1 1 ---------- 1 1 1 1 1

como representar valores negativos em binário?

operação complexa!

Caso 1 Caso 2

Números relativos Subtração: conduz ao aparecimento de números negativos, mas como os representar?

Existindo apenas os símbolos “0” e “1”, terá de ser usado um deles para representar o sinal

Hipótese 1: representar o sinal pelo bit mais à esquerda(bit de sinal) “0” = nº positivo os restantes bits representam o valor (magnitude) “1” = nº negativo

Soma : 5+2

5 0 101 +2 + 0 010 ---- -------- 7 0 111 ok!

Subtração : 5-2 = 5+(-2)

5 0 101 - 2 + 1 010 ---- -------- 3 1 111 ???

Duas representações para o zero??? Zero é um valor positivo, devendo ter apenas uma representação

números relativos com 4 bits (sinal+magnitude)

Aula 7

Aritmética Binária (cont.)

Códigos de representação

Código dos complementos Código dos complementos em decimal

Subtração → A – B = A + (10n – B) – 10n 10n : potência de 10 imediatamente acima de B (10n – B) : complemento para 10 de B (quanto falta a B para chegar à potência de 10 imediatamente acima)

Código dos complementos em binário

A – B = A + (2n – B) – 2n 2n : potência de 2 imediatamente acima de B = A + [(2n –1)– B] + 1 – 2n [(2n –1)– B] : complemento para 1 de B → obtém-se invertendo B bit a bit

[(2n –1)– B] + 1 : complemento para 2 de B → obtém-se invertendo B bit a

bit e somando 1 (fácil de calcular)

Ex: 5 - 2 = 5 + (-2) = 3

A=5 → 0 1 0 1 0 1 0 1 B=2 → 0 0 1 0 1 1 0 1 + 1 1 1 0 + 1 ---------- --------- 1 0 0 1 1 = 3 - 2 = 1 1 1 0

obter complemento para 2 inverter bit a bit e somar 1

não muda

desprezar o bit mais à esquerda = subtrair 2n

Ex: 75 – 46 = ? 75 75 – 46 → 75 + (102 – 46) - 102 = → + 54 ?? 54 129 – 102→ 129 : método complexo não usado na prática

Números relativos Hipótese 2 “0” = nº positivo → restantes bits representam o valor em binário sinal é dado pelo

bit mais à esquerda “1” = nº negativo → valor representado em código de complemento para 2

números relativos com 4 bits (código complementos)

Positivos → representados em código binário ex: 2 = 0010

Negativos → representados em código de complementos

obter o negativo de N em código complementos: N → (inverter bit a bit) e (somar 1) → – N ex: 2 = 0010 → 1101 + 1 → 1110 = – 2

Regra prática: começando no bit mais à direita, manter todos os bits até encontrar o primeiro “1” inclusivé; a partir daí inverter todos os restantes bit ex: 2 → – 2 ; 2 = 0 0 1 0 → 1 1 1 0 = – 2

invertidos mantidos

NOTA: a mesmas regras aplicam-se à obtenção de N a partir de –N ex: – 2 → 2 ; – 2 = 1 1 1 0 → 0 0 1 0 = 2

Números relativos Notas • Em código de complementos a n bits, se um valor começa por “0” trata-se de um positivo e

o seu valor é dado directamente pelos restantes bits ex(4 bits): 0110 → 0x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = + 6 • Se começa por “1” trata-se de um valor negativo, estando codificado em código de complementos para 2 ex(4 bits): 1010 → trata-se de um valor negativo, qual?

Exemplos (N=8bits, byte)

01110110 = ?(decimal) → 0x27 + 1x26 + 1x25 + 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 118

10011101= ?(decimal) → 01100011 = 0x27 + 1x26 + 1x25 + 0x24 + 0x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = 99 → –99

19 = ?(binário) → 19 : 2 = 9 : 2 = 4 : 2 = 2 : 2 = 1 : 2 = 0 → 00010011 restos 1(LSB) 1 0 0 1(MSB)

-19 = ?(binário) → 19 = 00010011 → 11101101

MSB LSB

0101 + 1 -------- 0110 = 6 → - 6

regra prática: 1 0 1 0 → 0 1 1 0 invertidos mantidos

regra prática

Adição / Subtração

Soma de N bits: começando da direita para a esquerda (i.e, do menor para o maior peso), somam-se dois a dois os bits de cada coluna tomando em consideração o bit de Carry proveniente da soma da coluna anterior (Ci) e propagando um bit de Carry para a coluna Seguinte (Co).

Exemplo: N = 4 bits : A = a3 a2 a1 a0 , B = b3 b2 b1 b0 ← c4 c3 c2 c1 c0 ←

A a3 a2 a1 a0 + B + b3 b2 b1 b0 ------ ------------------------ C S C4 S3 S2 S1 S0

para a soma seguinte proveniente da soma anterior (0 se primeira soma)

Ex: A = 2 B = 7

0 1 1 0 Ci=0

2 0 0 1 0 + 7 + 0 1 1 1 ---- ----------------------------- 9 0 1 0 0 1

somador completo

a

b

Co

S

Ci somador completo

a

b

Co

S

Ci somador completo

a

b

Co

S

Ci somador completo

a

b

Co

S

Ci 0

a0

b0

a1

b1

a2

b2

a3

b3

c4

S3 S2 S1 S0

c3 c2 c1


Exemplo de CI somador

74LS283 , 4bit binary full adder

Adição / Subtração Subtração de N bits:

• usando as regras da adição binária, somar o aditivo com o complemento para 2 do subtrativo, desprezando o último bit de carry → A – B = A + (-B) = A + [(2n –1)– B] + 1 – 2n

complemento para 2 de B corresponde a desprezar (inverter B bit a bit e somar 1) o bit mais à esquerda

Ex: A - B → 5 - 2 = 5 + (-2) = 3 1 = Ci

A=5 → 0 1 0 1 0 1 0 1 5 0 1 0 1 B=2 → 0 0 1 0 1 1 0 1 + 1 1 1 0 2 → 0 0 1 0 1 1 0 1 + 1 --------- ----------- ---------- 1 0 0 1 1 = 3 1 0 0 1 1 = 3 - 2 = 1 1 1 0

inverter bit a bit e somar 1

não muda

desprezar desprezar

inverter

bit a bit

somar 1

ou:

não muda

somador completo

a

b

Co

S

Ci somador completo

a

b

Co

S

Ci somador completo

a

b

Co

S

Ci somador completo

a

b

Co

S

Ci 1

a0

b0

a1

b1

a2

b2

a3

b3

c4

S3 S2 S1 S0

c3 c2 c1


a3

a2

a1

a0

b3

b2

b1

b0

Ci

S3

S2

S1

S0

C0

b3

b2

b1

b0

a3

a2

a1

a0

“1”(Sub) : A-B = A + [(2n –1)– B] + 1 – 2n Op “0”(Sum) : A+B

somar 1

+

a3

a2

a1

a0

S3

S2

S1

S0

C0

a3

a2

a1

a0

+

0

b3

b2

b1

b0

Ci

b3

b2

b1

b0

Sum: A+B [Op=0]

a3

a2

a1

a0

S3

S2

S1

S0

C0

a3

a2

a1

a0

+

1

b3

b2

b1

b0

Ci

b3

b2

b1

b0

Sub: A-B = A + (-B) [Op=1]

Através de um bit de controlo (o qual pode ser comandado por software) pode seleccionar-se a operação a executar:

ALU – Arithmetic and Logic Unit ALU : circuito digital usado para efectuar operações lógicas (and, or, not, xor,...) e aritméticas (sum, sub, mul, ...). É um dos principais blocos constituintes de um processador.

Exemplo de ALU : 74LS181 , 4bit arithmetic logic unit

H(HIGH)=“1” L(LOW)=“0” M controla o tipo de operação : M=1→lógica M=0→aritmética S3-S0 : controlam a operação a executar (segundo a tabela)

ALU – Arithmetic and Logic Unit

Operandos : valores sobre os quais as operações são executadas (dados)

Resultados : valores obtidos após a execução das operações – podem servir

como dados para outras operações

Y = operação(A,B)

Status : indicam a existência de determinadas condições, por exemplo se um valor é negativo ou zero, ou se houve um erro (ex:divisão por zero)

Opcode(operation code) : determina a operação a executar; corresponde às instruções de um programa.

Estrutura dos Processadores (CPU)

ALU

Unidade De

Controlo

(circuito digital)

Registos (memória)

Dados

Endereços

Controlo

Barramentos para

comunicação com o

exterior

Aula 8

Aritmética Binária (cont.)

Códigos de representação (cont.)

Gama de representação

2n-1 positivos : 0 ↔ 2n-1 -1 2n-1 negativos : - 2n-1 ↔ -1

Usando-se n bits para representar números relativos em código de complementos tem-se a seguinte gama de representação:

n bits permitem codificar 2n números sendo metade positivos e metade negativos [ 2n / 2 = 2n * 2-1 = 2n-1 ]

Ex: n = 4 → 2n = 24 = 16 ; 24-1 = 8

8 positivos : 0 ↔ 23 -1 = 7 8 negativos : - 23 = -8 ↔ -1

números relativos com 4 bits (código complementos)

Overflow Exemplos de operações a n=4bits

A=5 0101 + B=3 + 0011 ----- ---------- 8 1000 = -8 → somaram-se dois positivos e obteve-se um negativo ???

OVERFLOW

em ambos os casos excedeu-se a gama de representação

soma de dois valores positivos → resultado negativo Overflow ou soma de dois valores negativos → resultado positivo

Solução ?

A=-6 1010 + B=-3 + 1101 ----- ---------- - 9 1 0111 = 7 → somaram-se dois negativos e obteve-se um positivo ? ??

Overflow

Overflow → soma de dois operandos de n bits mas o resultado tem n+1 bits

Solução = acrescentar o número de bits necessários para permitir o resultado; Nos exemplos anteriores os operandos A e B tinham n=4 bits mas o resultado precisava de n=5 bits, assim basta acrescentar mais um bit, passando a usar-se n = 5bits.

NOTAS • a subtração A-B nunca origina overflow pois o resultado está compreendido entre os dois operandos • na soma A+B se os operandos forem de sinal contrário (A>0 , B<0) ou (A<0 , B>0) nunca há overflow

porque o resultado está compreendido entre os dois valores (corresponde a uma subtração)

bit sinal

A=5 00101 + B=3 + 00011 ----- ---------- 8 01000 = 8

bit sinal

A=-6 11010 + B=-3 + 11101 ----- ---------- - 9 1 10111 → = 01001 → -9

usando 5 bits:

Código BCD – Binary Coded Decimal

Código largamente usado em calculadoras que trabalham com numeração decimal

Codifica-se directamente cada algarismo decimal em código binário a 4 bits

Conversão decimal → BCD

ex: 457 → 0100 0101 0111 4 5 7

Soma em BCD

Quando se somam dois dígitos BCD o resultado pode ser: (a) dígito válido e não há Carry : resultado correcto, nada a fazer; (b) dígito inválido e não há Carry : somar 6 e gerar um Carry para o dígito seguinte; (c) dígito válido e há Carry : somar 6 e manter Carry para o dígito seguinte; ex: (a) (b) (c) 1

3 0011 8 1000 9 1001 + 4 + 0100 + 3 + 0011 + 8 + 1000 ------- -------- ---- ------- ---- -------- 7 0111(ok) 11 1 1011 17 1 0001 + 0110 + 0110 -------- ---------- 0001 0001 0001 0111 1 1 1 7

Código de Gray Código binário em que entre cada configuração adjacente só varia um bit Importante para os circuitos sequenciais (com memória)

G0 = B0 B1

G1 = B1 B2

G2 = B2 B3

.....................

Gn = Bn

+

+

+

B0 = G0 G1 ... Gn

B1 = G1 G2 ... Gn

B2 = G2 G3 ... Gn

...........................................

Bn-1 = Gn-1 Gn

Bn = Gn

+

+

+

+ +

+

+ +

+ +

Binário → Gray

Gray → Binário

Comparador

Um comparador permite determinar se dois valores numéricos binários A e B de n bits são iguais, ou qual deles é maior.

A n bits B n bits

A>B A<B A=B

S0

S1

S2

Ex: comparador de 1 bit

activa a saída que corresponde ao resultado da comparação

A

B

S0 = A . B A

B

S1 = A . B

A

B

S2 = A . B + A . B = A B +

Comparador Exemplo: 74HCT85 – 4 Bit Magnitude Comparator

- comparador de 2 números de 4 bits (A3..A0 ; B3..B0);

- entradas adicionais para agrupamento em cascata (IA>B , IA<B , IA=B);

- saídas activas a “1” (OA>B , OA<B , OA=B);

Aula 9

Codificadores / Descodificadores

Codificadores / Descodificadores Codificador c/prioridade

• Circuito que apresenta nas suas saídas o código binário correspondente ao número de ordem da entrada que estiver activa;

• Havendo mais de uma entrada activa o circuito dá prioridade (valida) a de maior número de ordem; • Um codificador com M=2N entradas terá N variáveis de saída;

Ex: Entrada: M=8=23 → A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A0 Saída: Q2 Q1 Q0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

.

.

.

.

.

.

M = 2N entradas Codificador N saídas

(podem estar

várias activas)

Q0 Q1

QN-1

A0

A1

A2

A2N-1

Código binário da tecla actuada

Exemplo: codificador de teclado

https://www.google.pt/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiPm-bT7rDQAhUI6xoKHagODfwQjRwIBw&url=https://www.quora.com/Why-are-letters-on-most-keyboard-buttons-printed-on-the-top-left&psig=AFQjCNHzzKpU0asxZhLVZ-aX_0G6YiWqXA&ust=1479508982459630

Codificador c/prioridade Codificador c/prioridade

• Ex: entrada→M=2N= 4 , saída→N=2

Codificador

A0

A1

A2

A3

Q0

Q1

GS

GS = Group Select indica que há alguma entrada activa GS = A0 + A1 + A2 + A3

Q1=A2+A3

Q0=A1.A2+A3

Tabela de Verdade

O código binário na saída (Q1, Q0), é igual ao número da entrada activa (A3...A0)

Codificadores / Descodificadores

Descodificador

• Realizam a operação inversa dos Codificadores;

• Activam a saída correspondente ao código binário presente à entrada;

• Um descodificador com N variáveis de entrada tem M=2N variáveis de saída;

• Os descodificadores podem ter uma entrada adicional de “enable” (EN) ou “strobe” (G) que permite controlar (activar/desactivar) a função de descodificação;

.

.

.

.

.

.

N entradas Descodificador M = 2N saídas

(código binário)

Q0 Q1

Q2N-1

A0 A1

AN EN

Descodificador Descodificador

Ex: entrada→N=2 , saída→M=2N= 4

Descodificador

A0

A1

Q0

Q1

Q2

Q3

Q3 = A0 . A1

Q0 = A0 . A1 Q2 = A0 . A1

Q1 = A0 . A1

Tabela de Verdade

Fica activa a saída (Q3...Q0) que corresponde ao código binário da entrada (A1,A0)

Codificador / Descodificador : Logisim

Aula 10

Codificadores/Descodificadores (cont.) Comparadores

Multiplex / Demultiplex

Descodificador BDC – 7 segmentos

1

1

0 0 0

0 0 0

Permitem representar os algarismos de 0..9 (ou 0...F)

https://www.google.pt/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCJvitaWRhMkCFcPNFAodeT4O3Q&url=https://eletronicadonorte.wordpress.com/display-de-sete-segmentos-com-8051/&psig=AFQjCNFJkmP1xZA7yrpGc0BmINNPqPyabg&ust=1447185781900383

Multiplex / Demultiplex

saída

I0

I1

Q

MULTIPLEX

SM

entr

adas

Q0

Q1

I

DEMULTIPLEX

SD

saíd

as

entrada

Multiplex

Multiplexer (MUX)

• Envia para a única saída (Q), uma de várias entradas possíveis(I0, I1, ... , IN-1), em função de uma palavra binária de controlo (ou selecção) – em cada instante apenas uma entrada está ligada à saída;

• Havendo N entradas → são necessários n bits de selecção, tal que N=2n

• É comum existir uma entrada de enable (EN), que permite activar/desactivar o circuito

I0

I1

. .

. .

IN-1

EN

Q

Sn-1 ... S1 S0

Entr

adas

(N

)

saíd

a

selectores

Multiplex

Exemplo Entradas : N = 4 Selectores : n = 2 ( N=2n , 4 = 22 )

Q

I0

I1

I2

I3

EN active low

S1 S0

Tabela de verdade

Demultiplex

Demultiplexer (DEMUX)

• Envia a única entrada(I) para uma de N saídas(Q0, Q1, ... , QN-1), seleccionada em função de uma palavra binária de controlo (ou selecção) – em cada instante a entrada está ligada a uma única saída;

• Havendo N saídas → são necessários n bits de selecção, tal que N=2n

• É comum existir uma entrada de enable (EN), que permite activar/desactivar o circuito

I

EN

entr

ada

Saíd

as (

N)

selectores

Q0

Q1

. .

. .

QN-1

Sn-1 ... S1 S0

Demultiplex

Exemplo Saídas: N = 4 Selectores : n = 2 ( N=2n , 4=22 )

Tabela de verdade

I

EN active low

Q0

Q1

Q2

Q3

S1 S0

Multiplex Implementação de funções lógicas com multiplex

• Qualquer função de n variáveis pode ser implementada por um multiplex de N=2n entradas.

• As variáveis independentes da função são ligadas aos selectores do multiplex e a saída deste corresponde à saída da função.

Exemplo: circuito do LPB = I . (C + R) → n=3, N=23=8

0

1

2

3

4

5

6

7

EN

M

I C R

0

0

0

0

0

1

1

1

0

(S2 S1 S0)

Aula 11

Circuitos sequenciais

Circuitos Sequenciais

• Circuitos Sequenciais: os valores das saídas dependem dos valores das entradas mas também das condições anteriores a que o circuito esteve sujeito (variável de estado). Pressupõe que o circuito guarda informação sobre o passado → implica a existência de memória.

• Circuitos Combinatórios: os valores das saídas dependem apenas da combinação dos valores das entradas. Os estados anteriores não influenciam o estado actual.

entradas saídas ex: LPB = I . ( S + C )

Circuito combinatório

Flip-Flop

• Os circuitos de memória são obtidos a partir de células de memória unitárias, designados por circuitos bi-estáveis, pois podem permanecer em um de dois estados (0 ou 1), sendo também chamados Flip-Flop (F-F);

• O estado de um F-F é o valor que num determinado instante este apresenta na sua saída (se num determinado instante o F-F apresenta o valor 0 na saída então está no estado 0, caso contrário está no estado 1;

• Um F-F armazena um bit de informação (0 ou 1), uma vez que pode tomar em permanência qualquer um desses estados;

• Os F-F constituem o elemento base de estruturas de grande importância no projecto de sistemas digitais. Entre estas estruturas destacam-se os contadores e os registos(memória).

Exemplo (não usado na prática)

A S

O valor da entrada A é mantido indefinidamente na saída S

A S

Flip-Flop D Latch

Q

I0

I1

S

D

E

Q

Q

Usando Multiplex

D Q E Q

F-F Tipo D Latch (trinco)

D Q E Q 0

X D anterior

D Q E Q 1

0 1

0 1

1 0

Q

I0

I1

S

Q

Q Q

I0

I1 S

D

CLK

(clock)

z

F-F Tipo D edge-trigger (transição ascendente)

F-F Tipo D edge-trigger (transição descendente)

D Q CLK Q

D Q CLK Q

Flip-Flop D edge-trigger

X = indeterminado (estado inicial) Q = assume o valor de D no momento da transição ascendente de CLK

Registos

• O registo é um elemento que pode armazenar (registar) uma palavra constituída por n bits.

• É caracterizado por ter uma entrada de dados de n bits, uma saída de dados de n bits, e uma entrada de controlo que quando activada regista os n bits presentes na entrada de dados e exibe-os na saída, só voltando a alterar o valor registado quando se activar novamente a entrada de controlo.

E=1 Qn = Dn (estado transparente)

E=0 Qn = valores registados

CLK= 0 ou 1 Qn = valores anteriores registados

CLK= Qn = Dn novos valores registados

baseado em F-F latch baseado em F-F edge-trigger

Registos: exemplo no LogiSim

Flip-Flop T (Toggle)

FF T : muda de estado a cada impulso ascendente do clock

D Q CLK Q

0 1

D Q CLK Q

1 0

D Q CLK Q

0 1

...

Contadores

Contadores

• as saídas representam num certo código(ex.binário) o nº de impulsos aplicados na entrada

• “estados” são os valores que podem ser apresentados nas saídas

• “capacidade” é o maior valor que as saídas podem representar nesse código

• “módulo” é o número de estados que podem obter-se (igual à capacidade mais um)

exs: módulo = 4 → capacidade = 3 → estados = 0, 1, 2, 3

módulo = 16 → capacidade = 15(F) → estados = 0, 1, 2,...,F • quando a contagem atinge a capacidade(valor máximo possível) , começa um novo ciclo

• a contagem pode ser ascendente(crescente, UP) ou descendente(decrescente, DOWN)

• [podem ser assíncronos ou síncronos (iremos ver apenas os assíncronos)]

Exemplo: contador binário assíncrono crescente (UP counter) de módulo 4 (capacidade=3)

D Q CLK Q

D Q CLK Q CLK

Q0 Q1

Contadores

D Q CLK Q

D Q CLK Q CLK

Q0 Q1

0 0

1 1

Contadores

D Q CLK Q

D Q CLK Q CLK

Q0 Q1

1 0

0 1

D Q CLK Q

D Q CLK Q CLK

Q0 Q1

1 1

0 0

D Q CLK Q

D Q CLK Q CLK

Q0 Q1

0 1

1 0

estado 00 estado 01

estado 11 estado 10

CLK estado Q1 Q0

↑ 0 0 0

↑ 1 0 1

↑ 2 1 0

↑ 3 1 1

↑ 0 0 0

Exemplo: contador binário assíncrono decrescente (DOWN counter) de módulo 4 (capacidade = 3)

D Q CLK Q

D Q CLK Q CLK

Q0 Q1

Contadores

Contadores reais

• A maioria dos contadores reais dispõem de uma entrada de Reset (ou Clear) que permite parar a contagem e levar o contador ao estado 0;

• Podem também existir entradas (ou combinações de entradas) que permitem: • definir o sentido da contagem crescente ou decrescente (UP / DOWN); • definir o valor inicial da contagem (Preset); • permitir/bloquear a contagem (Enable);

Exemplo: MC14516B - Binary Up/Down Counter

saíd

as

RESET = 1 → estado 0 (Q3=Q2=Q1=Q0=0) UP/DOWN: 1=UP 0=DOWN CLOCK: sinal de clock [↑]

Contador módulo N

módulo N → capacidade = N -1 → o contador deverá contar de 0,1,2,...,N-1

• ex: A) módulo 16 → capacidade = 15 → contagem 0,1,2,...,15(F)

• B) módulo 6 → capacidade = 5 → contagem 0,1,2,3,4,5

Q3 Q2 Q1 Q0

CLK CLR 0 MCLK

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ... ... ... ... 1 1 1 1

(A – módulo 16)

Enquanto o estado do contador for menor que limite, CLR=0 → contador em contagem crescente Logo que o estado do contador ultrapasse limite, CLR=1 → contador volta a zero, recomeçando a contagem

Q3 Q2 Q1 Q0

CLK CLR MCLK

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 estado

momentâneo

0 1 0 1

A B

A>B A=B A<B

limite

(B – módulo 6)

Contador módulo N=6 Realização no LogiSim

[ contador módulo N – exemplo ]

Solução possível para módulo 6 → capacidade = 5 → contagem 0,1,2,3,4,5

Enquanto o estado do contador for menor que 5 os bits Q2 e Q1 nunca são simultaneamente 1 (*) CLR=0 → contador em contagem crescente Quando o estado do contador atinge 6, os bits Q2 e Q1 tornam-se simultaneamente 1 CLR=1 → contador volta a zero, recomeçando a contagem (*) embora isso possa acontecer em determinadas circunstâncias

Q3 Q2 Q1 Q0

CLK CLR MCLK

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 estado

momentâneo

Aula 12

Registos de Deslocamento

Registo de Deslocamento

São constituídos por um conjunto de células de memória (F-F), interligadas de modo que os valores das saídas sofrem um deslocamento(shift) em cada impulso de entrada (clock);

Ex: registo de deslocamento à direita (shift right) de 3 bits (Logisim)

Registo de Deslocamento

Para além da função de deslocamento, os registos de deslocamento existentes apresentam várias funções adicionais, nomeadamente: - carregamento em paralelo : para conversão de dados série-paralelo e paralelo-série - deslocamento nas duas direcções (“bi-directional shift registers”); - inibição da operação de deslocamento (enable); - “clear” (reposição a zero)

Ex: registo de deslocamento à direita (shift right) de 3 bits com carregamento paralelo (Logisim)

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