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Aula 12

29 Outubro 2019

EE-254 (Controle Preditivo) Aula 12 29 Outubro 2019 1 / 49

Aula passada

Uso de lei de controle terminal: “Dual mode predictive control”


Aula de hoje

Tratamento de problemas de (nao) factibilidade


Problemas de (nao) factibilidade

Como visto nas ultimas aulas, e possıvel formular a lei de controlepreditivo de modo a obter factibilidade recursiva e estabilidade assintoticada malha de controle.

Com isso, se o problema de otimizacao for factıvel no instante k = 0, afactibilidade sera mantida em todos os instantes de tempo posteriores e oestado x(k) convergira para a origem quando k →∞.


Contudo, pode ser necessario gerenciar problemas de nao factibilidade se:

(1) O problema de otimizacao nao for factıvel no instante k = 0, isto e, seo estado inicial x(0) estiver fora do domınio de atracao associado aocontrolador preditivo.

(2) A factibilidade for perdida durante a tarefa de controle. Isso podeocorrer devido a erros de predicao causados por:

Imperfeicoes do modelo

Perturbacoes externas

Ruıdo de medida

Adicionalmente, pode ocorrer perda de factibilidade se for usada uma leide controle preditivo sem os elementos necessarios para garantia defactibilidade recursiva.


Exemplo

Seja uma planta com dinamica descrita por

y(k + 1) = 2y(k) + u(k)

sendo u(k), y(k) ∈ R. Suponha que o valor inicial da saıda seja y(0) = 3,com u(−1) = 0.

Considere ainda que o controle a ser aplicado a cada instante k seja obtidocomo solucao do seguinte problema de otimizacao:

minu(k|k),y(k+1|k)∈R

J = [y(k + 1|k)− 10]2 + [∆u(k|k)]2

s.a.y(k + 1|k) = 2y(k) + u(k − 1) + ∆u(k|k)

y(k + 1|k) ≤ 11, −4 ≤ ∆u(k|k) ≤ 4


No instante k = 0, o problema de otimizacao a ser resolvido e

min∆u(0|0),y(1|0)∈R

J = [y(1|0)− 10]2 + [∆u(0|0)]2

s.a.

y(1|0) = 2y(0) + u(−1) + ∆u(0|0)

y(1|0) ≤ 11, −4 ≤ ∆u(0|0) ≤ 4

Se as restricoes nao estiverem ativas, a solucao do problema de otimizacaopode ser obtida da seguinte forma:

J = [2y(0) + u(−1) + ∆u(0|0)− 10]2 + [∆u(0|0)]2

dJ

d∆u(0|0)= 2[2y(0) + u(−1) + ∆u(0|0)− 10] + 2∆u(0|0)

= 2[2∆u(0|0) + 2y(0) + u(−1)− 10]


Aplicando-se o controle u(0) = u(−1) + ∆u∗(0|0) = 2, a saıda da plantano instante k = 1 torna-se

y(1) = 2y(0) + u(0) = 8

O novo problema de otimizacao a ser resolvido passa a ser

min∆u(1|1),y(2|1)∈R

J = [y(2|1)− 10]2 + [∆u(1|1)]2

s.a.y(2|1) = 2y(1) + u(0) + ∆u(1|1)

y(2|1) ≤ 11, −4 ≤ ∆u(1|1) ≤ 4

Analisemos o novo conjunto de restricoes com y(1) = 8 e u(0) = 2.


y(2|1) = 16 + 2 + ∆u(1|1) (1)

y(2|1) ≤ 11 (2)

−4 ≤ ∆u(1|1) ≤ 4 (3)

De (1) e (2), tem-se que 18 + ∆u(1|1) ≤ 11, isto e

∆u(1|1) ≤ −7 (4)

que e incompatıvel com as restricoes em (3).

Portanto, o problema de otimizacao era factıvel em k = 0, mas se tornounao factıvel em k = 1.


Verificacao de factibilidade

No exemplo apresentado, foi possıvel determinar por simples inspecao queo problema deixou de ser factıvel em k = 1.

De maneira geral, seria conveniente dispor de um procedimentosistematico para verificacao de factibilidade.

Considerando restricoes da forma S∆u ≤ b, com S ∈ Rr×M , b ∈ Rr averificacao de factibilidade consiste em responder a seguinte pergunta:

Existe ∆u ∈ RM tal que S∆u ≤ b ?

A resposta pode ser obtida resolvendo-se o seguinte problema deotimizacao:

min∆u∈RM ,ε∈R

ε s.a. S∆u ≤ b + 1rε



ε s.a. S∆u ≤ b + 1rε

Inicialmente, vale observar que este problema sempre e factıvel. Comefeito, basta tomar ∆u = 0M e ε = − min

i=1,2,...,rbi .

Supondo ainda que as restricoes incluam limitantes para ∆u da forma[∆umin]M ≤ ∆u ≤ [∆umax ]M , com ∆umin < 0 < ∆umax , pode-se mostrarque o problema sempre tera uma solucao otima (∆u∗, ε∗).

Se ε∗ ≤ 0, conclui-se que a restricao S∆u ≤ b + 1rε pode ser satisfeitacom ε = 0, ou seja, o problema original e factıvel.

Caso contrario, o problema original nao e factıvel.


O problema a ser resolvido para verificacao de factibilidade pode serreescrito como


[0T

M 1] [ ∆u

ε

]s.a.

[S − 1r ]

[∆uε

]≤ b

ou aindamin

z∈RM+1cT z s.a. Szz ≤ b

sendo

z =

[∆uε

], c =

[0M

1

], Sz = [S − 1r ]


minz∈RM+1

cT z s.a. Szz ≤ b

Custo Linear + Restricoes lineares ⇒ Problema de Programacao Linear(PPL)

Matlab Optimization Toolbox: Funcao LINPROG


Uso da funcao LINPROG

Sintaxe:x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)

minimiza f’*x

sujeito a A*x <= b, Aeqx = beq, LB <= x <= UB

Em nosso caso:xlp = ∆uflp = cAlp = Sz

blp = b


Exemplo de teste de factibilidade

Problema: Existe ∆u ∈ R tal que −∆u ≤ −3 e ∆u ≤ 1 ?

PPL a ser resolvido:min

∆u, ε∈Rε

s.a.

−∆u ≤ −3 + ε

∆u ≤ 1 + ε

ou, equivalentemente,

−∆u − ε ≤ −3 (i)

∆u − ε ≤ 1 (ii)


û1 2 3

1

2

3

-1

min∆u, ε∈R

ε

−∆u − ε ≤ −3

∆u − ε ≤ 1


û1 2 3

1

2

3(i) (ii)

-1

−∆u − ε ≤ −3 (i)

∆u − ε ≤ 1 (ii)


û1 2 3

1

2

3(i) (ii)

-1

min∆u, ε∈R

ε

Solucao: ε∗ = 1

Conclusao: Como ε∗ > 0,conclui-se que o problemaoriginal nao e factıvel.


Tratamento de problemas de (nao) factibilidade


Consideracoes iniciais

As restricoes podem ser divididas em dois tipos:

Restricoes Fısicas: nao podem ser relaxadas

Restricoes Operacionais: sao mais restritivas do que o estritamentenecessario, mas podem ser relaxadas

O segundo tipo inclui as restricoes terminais que tiverem sido impostaspara obter garantias (nominais) de factibilidade recursiva e estabilidade.

Vale salientar que restricoes sobre as variaveis manipuladas (u ou ∆u)sempre podem ser respeitadas (por definicao).

O mesmo nao se pode dizer das variaveis controladas (y).


Possıveis abordagens

1 Abordagens “simplistas”

2 Remocao de restricoes por ordem de prioridade

3 Abordagem codificada na funcao QUADPROG

4 Introducao de variaveis de relaxamento

5 Relaxamento do horizonte de restricoes

6 Modificacao no custo para penalizar violacoes (soft constraintsapproach)


Abordagens simplistas

Exemplos:

Calcular o controle otimo ignorando as restricoes, saturando ocontrole se necessario. No proximo instante de amostragem (k + 1), ovalor de u(k) a ser usado na lei de controle deve ser o valorefetivamente aplicado a planta no instante k.

Remover as restricoes de saıda, mantendo as restricoes de controle.

Fazer u(k) = u∗(k|k − 1).


Remocao de restricoes por ordem de prioridade

Procedimento:

1 Define-se a priori uma ordem de importancia para as restricoes.

2 Diante de um problema de nao factibilidade, as restricoes saoremovidas (ou relaxadas ate os limites fısicos) sequencialmente, deacordo com a ordem pre-estabelecida.


Abordagem codificada na funcao QUADPROG

Criterio adotado em caso de nao factibilidade: Minimizar a maior violacao(em termos da distancia as fronteiras definidas pelas restricoes).

Exemplo:

x11 2

1x2

(i)

(ii)

(iii)

x1 ≤ 0 (i)

x2 ≤ 0 (ii)

x2 ≥ −x1

2+ 1 (iii)


Abordagem codificada na funcao QUADPROG: Exemplo

2

1

d

d

d

θ = arctan1

2= 26,6◦


2 - d

d

d

2− d= tan 13,3◦ = 0,236

d = 0,472− 0,236d ⇒ 1,236d = 0,472

d = 0,382


Utilizando a funcao QUADPROG:

minx∈R2

xT

[1 00 1

]x

s.a. 1 00 1−1 −2

x ≤

00−2

Neste caso:

Hqp =

[1 00 1

], fqp =

[00

], Aqp =

1 00 1−1 −2

, bqp =

00−2


Limitacoes:

A solucao gerada pode nao ser implementavel, devido a restricoesfısicas nos atuadores.

Mesmo que o controle esteja dentro das limitacoes dos atuadores, asolucao pode envolver violacoes nas restricoes fısicas da saıda.


Introducao de variaveis de relaxamento

a) Mesmo relaxamento para todas as restricoes:

min∆u∈RM , ε∈R

ε

s.a.S∆u ≤ b + 1rε

Tendo-se obtido ε∗, resolve-se o problema de programacao quadraticaoriginal com restricoes relaxadas, isto e, S∆u ≤ b + 1rε

∗.

Desvantagem: Algumas restricoes podem ser relaxadas sem necessidade.


b) Relaxamento separado para cada restricao:

min∆u∈RM , ε∈Rr

dT ε

s.a.

S∆u ≤ b + ε

ε ≥ 0

ε ≤ εmax

em que:

εmax ∈ Rr corresponde ao maximo relaxamento permitido para cadauma das r restricoes.

d ∈ Rr (d > 0) e um vetor de pesos ajustado de modo a refletir aimportancia atribuıda a cada restricao.


c) Caso intermediario: Mesmo relaxamento ao longo de todo o horizonte,tratando-se separadamente cada variavel manipulada e controlada.

Exemplo (caso SISO): Suponha que o relaxamento seja introduzido nasrestricoes operacionais sobre a excursao da saıda y .


Nesse caso, o PPL seria formulado como

min∆u∈RM , ε1, ε2∈R

d1ε1 + d2ε2

s.a.

IM−IMTM

−TM

G−G

∆u ≤

1M∆umax

−1M∆umin

1M [umax − u(k − 1)]1M [u(k − 1)− umin]1N(ymax + ε1)− ff − 1N(ymin − ε2)

0 ≤ ε1 ≤ yfis

max − ymax

0 ≤ ε2 ≤ ymin − yfismin

em que yfismax e yfis

min correspondem as restricoes fısicas sobre os valoresmaximo e mınimo de y , respectivamente.


Para uso da funcao LINPROG, o PPL pode ser reescrito na forma

min∆u∈RM , ε1, ε2∈R

[0T

M d1 d2

] ∆uε1

ε2

s.a.

IM 0M 0M

−IM 0M 0M

TM 0M 0M

−TM 0M 0M

G −1N 0N

−G 0N −1N

0TM 1 0

0TM −1 0

0TM 0 1

0TM 0 −1

∆uε1

ε2

≤

1M∆umax

−1M∆umin

1M [umax − u(k − 1)]1M [u(k − 1)− umin]

1Nymax − ff − 1Nymin

yfismax − ymax

0ymin − yfis

min

0


MPC com relaxamento de restricoes sobre y (Caso SISO)

Informacao requerida sobre a planta:

Matrizes A,B,C do modelo no espaco de estados

Limitantes sobre os incrementos no controle: ∆umin,∆umax

Limitantes sobre a excursao do controle: umin, umax

Limitantes operacionais sobre a excursao da saıda: ymin, ymax

Limitantes fısicos sobre a excursao da saıda: yfismin, y

fismax

Parametros de projeto:

Peso do controle ρ

Horizonte de predicao N

Horizonte de controle M

Pesos das variaveis de relaxamento: d1 (associado a ymax ) e d2

(associado a ymin)


Inicializacao:

Fazer

A =

[A B

0Tn 1

], B =

[B1

], C = [C 0]

G =

C B 0 · · · 0

C AB C B · · · 0...

.... . .

...

C AN−1B C AN−2B · · · C AN−M B

, Φ =

C A

C A2

...

C AN


Fazer Hqp = 2(GTG + ρI ), Aqp =

IM−IMTM

−TM

G−G


Fazer

flp =

0M

d1

d2

, Alp =

IM 0M 0M

−IM 0M 0M

TM 0M 0M

−TM 0M 0M

G −1N 0N

−G 0N −1N

0TM 1 0

0TM −1 0

0TM 0 1

0TM 0 −1

Fazer k = 0, u(−1) = 0.


Rotina principal:

1 Ler x(k) (estado da planta) e yref (valor de referencia para a saıda)

2 Fazer r = [yref ]N3 Fazer

ξ(k) =

[x(k)

u(k − 1)

]4 Calcular f = Φ ξ(k) e fqp = 2GT (f − r)


5 Fazer

blp =

1M∆umax

−1M∆umin

1M [umax − u(k − 1)]1M [u(k − 1)− umin]

1Nymax − ff − 1Nymin

yfismax − ymax

0ymin − yfis

min

0

6 Resolver o PPL

z∗ = arg minz∈RM+2

f Tlp z s.a. Alpz ≤ blp


7 Extrair ∆u∗lp, ε∗1, ε∗2 da solucao z∗ do PPL:

z∗ =

∆u∗lpε∗1ε∗2

8 Fazer

bqp =

1M∆umax

−1M∆umin

1M [umax − u(k − 1)]1M [u(k − 1)− umin]1N(ymax + ε∗1)− ff − 1N(ymin − ε∗2)

9 Resolver o PPQ

∆u∗ = arg min∆u∈RM

1

2∆uTHqp∆u + f T

qp∆u s.a. Aqp∆u ≤ bqp


10 Calcular o incremento no controle ∆u(k) = [1 0 · · · 0]∆u∗

11 Atualizar o controle aplicado a planta: u(k) = u(k − 1) + ∆u(k)

12 Fazer k = k + 1

13 Aguardar o proximo instante de amostragem e retornar ao passo 1.


Implementacao no Matlab

matrizes_ss_du_restricoes_relaxamento.m

mpc_ss_du_restricoes_relaxamento.m

Exemplo: Controle do sistema de levitacao magnetica.

parametros_maglev_ss.m

levitador_mpc_ss_du_restricoes_relaxamento.mdl


Relaxamento do horizonte de restricoes

Ideia: Desconsiderar as restricoes de saıda na parte inicial do horizonte depredicao.

Problema: Qual o comprimento do trecho a ser desconsiderado naimposicao das restricoes ?


Relaxamento do horizonte de restricoes sobre a saıda

Algoritmo:

1 Resolver o PPQ desconsiderando (ou relaxando o maximo possıvel) asrestricoes de saıda ao longo de todo o horizonte de predicao,mantendo as restricoes de controle.

2 Seja {y (1)(k + i |k),i = 1,2, . . . ,N} a sequencia de valores preditos desaıda obtida como solucao do PPQ no Passo 1. Seja i0 (1 ≤ i0 ≤ N) omenor ındice tal que

ymin ≤ y (1)(k + i |k) ≤ ymax , i = i0, i0 + 1, . . . ,N

(Com i0 assim escolhido, o PPQ sera factıvel impondo-se as restricoesde saıda para i = i0, i0 + 1, . . . ,N, por construcao. Se nao existiri0 ≤ N para o qual as restricoes acima sejam satisfeitas, orelaxamento consistira em desconsiderar as restricoes de saıda aolongo de todo o horizonte de predicao)


3 Reestabelecer as restricoes de saıda para i = i0 − 1, i0, . . . ,N everificar se o PPQ resultante e factıvel.

4 Se o PPQ for factıvel, fazer i0 ← i0 − 1 e retornar ao Passo 3. Casocontrario, prosseguir para o Passo 5.

5 Resolver o PPQ com restricoes de saıda impostas parai = i0, i0 + 1, . . . ,N (Fim da rotina de tratamento de naofactibilidade).

Obs: Por hipotese, o PPQ e nao factıvel com restricoes de saıda impostaspara i = 1, 2, . . . ,N. Portanto, o algoritmo necessariamente terminara sei0 = 2.


Soft Constraint Approach: Penalizacao de violacoes

Ideia: Incluir as variaveis de folga na funcao de custo:

miny∈RN ,∆u∈RM , ε∈RN

J = (y − r)T (y − r) + ρ∆uT ∆u + µεT ε

s.a.y = G∆u + f

1M∆umin ≤ ∆u ≤ 1M∆umax

1Mumin ≤ u ≤ 1Mumax

u = TM∆u + 1Mu(k − 1)

1Nymin − ε ≤ y ≤ 1Nymax + ε

ε ≥ 0

sendo o peso µ > 0 um parametro de projeto a ser ajustado.


Resumo da aula de hoje

Verificacao de factibilidade

Gerenciamento de problemas de (nao) factibilidade:

1 Abordagens “simplistas”

2 Remocao de restricoes por ordem de prioridade

3 Abordagem codificada na funcao QUADPROG

4 Introducao de variaveis de relaxamento

5 Relaxamento do horizonte de restricoes

6 Modificacao no custo para penalizar violacoes (soft constraintsapproach)


Topicos da proxima aula

Robustez com respeito a incertezas de modelo


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