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Aula 12: Oscilações Eletromagnéticas
Curso de Física Geral III F-328
1o semestre, 2014
1
F328 – 1S2014 2
Oscilações eletromagnéticas (LC)
ω
Circuitos RC e RL: • q(t), i(t) e V(t): têm comportamento exponencial
Circuito LC: • q(t), i(t) e V(t): comportamento senoidal • Oscilações
• campo elétrico do capacitor • campo magnético do indutor
Oscilações eletromagnéticas
Vimos:
Veremos:
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energia totalmente elétrica
energia totalmente elétrica
Oscilações LC
F328 – 1S2014 3
energia totalmente magnética
energia totalmente magnética
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http://www.walter-fendt.de/ph14br/osccirc_br.htm
Simulação dos estágios
Oscilações eletromagnéticas (LC)
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Osciladores harmônicos simples Circuito LC Sistema massa-mola
cteUUUUU
mvU
kxU
cp
pc
c
p
==+
⇔
=
=
2
2
2121Potencial:
Cinética: (do bloco)
(da mola)
Total: cteUUUUU
LiU
CqU
BE
EB
B
E
==+⇔
=
=
2
2
2121Elétrica:
Magnética:
Total:
(do indutor)
(do capacitor)
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No sistema massa-mola , a energia total U é, em qualquer instante:
pc UUU +=Se não houver atrito, U permanece constante, isto é:
0)21
21( 22 =+= kxmv
dtd
dtdU
02
2
=+ xmk
dtxd
)cos( 0 ϕω += tXx mcuja solução é:
Analogia eletromecânica (massa-mola)
mk=0ω : Frequência angular natural
Xm : Amplitude
φ: Constante de fase
Movimento oscilatório
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ =
dtdxv
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CqLiUUU EB
22
21
21 +=+=
Analogia eletromecânica (oscilador LC)
Como não há resistência no circuito, temos:
022
22
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=CqLi
dtd
dtdU
012
2
=+ qLCdt
qd⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ =
dtdqi
)cos()( 0 ϕω += tQtqcuja solução é:
LC1
0=ω : Frequência angular natural
Q : Amplitude
φ: Constante de fase
Oscilações eletromagnéticas
Corrente: )(sen)(sen 000 ϕωϕωω +−=+−== tItQdtdqi
Energia total oscilante :
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Correspondências entre os dois
sistemas
xq→
kC
→1mL→
vi→
A amplitude e a constante de fase são determinadas pelas condições iniciais (no circuito LC, i(0) e q(0)).
Analogia eletromecânica Circuito LC Sistema massa-mola
Frequência angular:
Amplitude:
Constante de fase:
LC1
0 =ω
Q
φ
mk=0ω
Xm
φ
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A energia elétrica armazenada no capacitor em qualquer instante t é:
)(sen21
21
0222
02 ϕωω +== tQLLiUB
)(cos22 0
222
ϕω +== tCQ
CqUE
A energia magnética armazenada no indutor é, por sua vez:
Então, a soma (energia total) permanece constante.
CQUU BE 2
2
=+
Energias elétrica e magnética
)(sen2 0
22
ϕω += tCQUB ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=LC1
0ω
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Com um resistor R no circuito, a energia eletromagnética total U do sistema não é mais constante, pois diminui com o tempo na medida em que é transformada em energia térmica no resistor .
CqLiU22
1 22 +=
2RidtdU −=
2Ridtdq
Cq
dtdiLi −=+
012
2
=++ qLCdt
dqLR
dtqd ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ =
dtdqi
)0( <dtdU
Oscilações amortecidas (circuito RLC)
Energia eletromagnética
Potência dissipada
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Oscilações amortecidas: amplitude de q(t) decai exponencialmente com o tempo.
onde
Solução geral para o caso de amortecimento fraco : )cos()( 2
max ϕω +′=−
teQtqtLR
220 2
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−=′LRωω
LC1
0=≅′ ωω
ω’ aproxima-se da frequência angular natural
do sistema
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<
CLR 4
LCLR 12
2
<<⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
Oscilações amortecidas (circuito RLC)
Quando
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Um circuito RLC série possui indutância L = 12 mH, capacitância C = 1,6 µF, e resistência R = 1,5 Ω. a) em que instante t a amplitude das oscilações da carga no circuito será 50% do seu valor original?
b) quantas oscilações foram completadas neste intervalo de tempo?
LCtntnT
π2=⇒=
( )13
10.6,110.122
011,0
21
63≅
×=
−−πn
Neste caso, como , . Ou seja:
0ωω ≅′20
2
2ω<<⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛LR
ou
Queremos que: 5,0ln2
5,0 max2
max =−⇒=−
LRtQeQ
tLR
stRLt 011,05,0ln2 =⇒−=
O tempo para uma oscilação completa é o período . ωπ′
= 2T
daí:
Exemplo 1
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Oscilações forçadas (q(t), i(t) e V(t)) : • Frequência: Qualquer que seja ω0 (natural), essas grandezas oscilam com ω (frequência propulsora) • Corrente:
Oscilações forçadas (RLC com fem) Amortecimento
Fornecimento
Oscilações eletromagnéticas
ω ω0
ω’ As oscilações de um circuito RLC não serão totalmente amortecidas se um dispositivo de fem externo fornecer energia suficiente para compensar a energia térmica dissipada no resistor.
Gerador de tensão alternada (fem ca): )(sen tm ωεε =ω : frequência angular propulsora
)(sen)( ϕω −= tIti
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Um resistor ligado ao gerador de fem alternada: )(sen)(sen tVtv RmR ωωεε ===
Corrente iR no resistor: )(sen tRV
Rvi RR
R ω==
Por associação com a forma geral da corrente ac: )(sen ϕω −= tIi RR
0=ϕ
RVI R
R = RIV RR =
• Corrente e tensão (ddp) estão em fase no resistor:
Circuito resistivo (R)
• Relação entre as amplitudes da corrente e da tensão no resistor:
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)(sen)(sen tVtv CmC ωωε ==)(sen tVCvCq CCC ω==
)2
(sen)(cos πωωωω +== tCVtCVi CCC
Introduzindo a reatância capacitiva C
XC ω1=
)2
(sen πω += tXViC
CC
CCC XIV =
Carga:
Circuito capacitivo (C) Tensão:
2πϕ −=
• Corrente está adiantada de em relação à tensão:
• Relação entre as amplitudes da corrente e da tensão no capacitor:
2π
Corrente:
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)cos()(sen tLVdtt
LVi LL
L ωω
ω∫ −==
)2
(sen πω −= tXViL
LL
dtdiLtVtv L
LmL === )(sen)(sen ωωε
Circuito indutivo (L)
LLL XIV =
2πϕ =
• Corrente está atrasada de em relação à tensão:
• Relação entre as amplitudes da corrente e da tensão no capacitor:
2π
Introduzindo a reatância indutiva LXL ω=
Tensão:
Corrente:
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http://www.walter-fendt.de/ph14br/accircuit_br.htm
Simulações dos três circuitos simples
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Fonte: fem
Pontos essenciais
Em circuitos RLC com corrente alternada: Conservação da energia
Dissipação: R
Troca de forma entre magnética (L) e elétrica (C)
Impedância Z Grau de oposição à circulação da corrente alternada
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Os exercícios sobre Oscilações Eletromagnéticas estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328 Física Geral III
Lista de exercícios do capítulo 31
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Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)