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EM 461 – Prof. Eugênio Rosa

Aula #19

Exemplos e aplicações em perda de

carga distribuída


Perda de altura e perda

de carga distribuída

- recapitulação -


Balanço forças esc. desenvolvido, tensão na parede, fator de atrito & perdas por atrito

2w

2w f

f 8 Darcy

C 2 Fanning

V

V

Na aula passada foi visto:

2

wf 2

f

f mD 2g

H 4 = D g

4 C mD 2g

V

V

(Perda altura c/ f)

(Perda altura c/ Cf)

Perda de altura, Hf, distribuída

e s we s

P P 4z z m

g g g D

Do balanço de

quantidade mov.:

e se s L

P P wz z H + m

g g g

Do balanço da equação

da energia :

L f fP gH h A queda de pressão devido às perdas:


1.111 D 6,9

1,8Log3,7 Ref

Haaland, interpola o diagrama de Moody aproximadamente, fórmula é explícita para f e ‘’ é a rugosidade equivalente ao grão de areia.

Blasius,

tubo liso,

Re 1050,25

0,316f

Re

Correlações para fator de atrito Darcy em regime turbulento

1 D 2,512,0Log

3,7f Re f

Colebrook-White, interpola diagrama de Moody, fórmula é implícita em f e ‘’ é a rugosidade equivalente ao grão de areia.


12log

3.7

D

f

regime turbulento &

‘hidraulicamente rugoso’,

14

0,316

Ref

•Relação de Blasius, válida

para tubos lisos & Re < 105

•Laminar, Re < 2000

64

Ref

• regime turbulento &

‘hidraulicamente liso’,

1 2.512log

Ref f

Fu

ja!

1 2.512log

3.7Re

D

f f

regime turbulento, geral


Exemplos e Aplicações


Exemplo 1 - Considere um tubo liso (/D =0)

com um escoamento desenvolvido e Re = 40600.

Calcule o fator de atrito f de Darcy utilizando a

equação de Colebrook.

2

old

newfRe

51,2Log2f

10

1 D 2.512log

3.7f Re f

Re 40600

fold fnew

0.0001 0.0512

0.0512 0.0197

0.0197 0.0222

0.0222 0.0219

0.0219 0.0219

O cálculo só pode ser realizado de maneira

iterativa.

1) chuta um valor inicial de f, fold = 0,0001

2) calcula fnew:

3) faça fold = fnew e retorne ao passo (2) até que a

diferença fnew – fold seja menor que uma

tolerância...

Compare o resultado com

a eq. de Blasius, eq.8.38 14

0,3160.0223 ou 1.8%

Re f f


Respostas:(i) (2)-(3) -> altura elevação bomba He = -w/g = -(P3-P2)/g =31,6 m(ii) (2)-(3) -> energia específica bomba w = gHe =310 J/kg(ii) (2)-(3) -> potência W = w..Q = 17,5 KW (eficiência bomba 100%)(iii) (3)-(4) -> vel. média Q/A =V= 3,12 m/s; Re = 473292 (turbulento, =1); (iv) perda altura elevação HL = (P3-P4)/g+V3

2/2g+(z3-z4) HL= 35,2+0,50-27,4= 8,3m

Exemplo 2 - Água é bombeada a razão de 0,0566

m3/s de um reservatório (1) cujo nível está a 6,1m

acima da sucção da bomba para uma descarga livre a

27,43m acima da bomba (4) . A pressão na admissão

da bomba (2) é de 34485 Pa e na descarga (3) é de

344850 Pa, ambas manométricas . Os tubos são de

aço comercial com 0,152 m de diâmetro. Determine:

i) Altura de elevação suprida pela bomba He (2)-(3) ;

ii) Energia específica da bomba e sua potência;

iii) Perda altura elevação bomba /descarga, (3) a (4).

2 2

2 2 3 3 eixo2 3 L

p V p V wz z H

g 2g g 2g g

Propriedades:D = 152 mm = 998 kg/m3

= 0,001 Ns/m2


Exemplo 3 – Uma furadeira de ar comprimido requer 0,25 kg/s de ar a 650 kPa manometrico na broca. A mangueira do compressor até a furadeira possui um diâmetro interno de 40 mm e é lisa. Despreze variações na massa específica e quaisquer efeitos devido a curvatura da mangueira. Calcule o máximo comprimento da mangueira se a pressão do compressor é de 690 kPa manométrico a 40oC.

2L P f

D 2

V

Propriedades:

Rar = 287 J/kgK

ar = 1,91x10-5 kg/m.s

ar = P/RT = 8,805 kg/m3

D = 40mm

A = D2/4 = 1,257x10-3 m2

Resposta - Fórmula de trabalho:

P = 40 kPa

V = m/(.A) = 22,6 m/s

ReD = 4,2x105 (não dá para usar Blasius)

Colebrook-White (=0); f = 0,0136

Lmax = 52,4 m

2L P D 2 f Vmax

2 2

e e s s eixoe s L

p V p V wz z H

g 2g g 2g g


Diâmetro hidráulico

Como calcular fator de atrito em regime turbulento para tuboscom seção não circular: quadrados, retangular, triangular etc?

NSTEEL

http://www.nsteelsh.com/carbon-alloy-pipe-tube/hollow-section-tube.php


Hf tubos de seção não-circular, regime turbulento

O fator de atrito e o diagrama de Moody podem ser

utilizados para tubos de seção não circular

introduzindo-se o conceito de diâmetro hidráulico: h

4 ÁreaD

Perímetro

Uso diâmetro hidráulico é útil para regime turbulento, f = 15% .

Seu uso em escoamentos em regime laminar tipicamente f = 40%. Não use Dh para regime laminar.

a

a

a

Canal seção

quadrada ‘a’

Canal seção

triangular ‘a’Duas placas paralelas

espaçadas de ‘a’

Dh = a Dh = a . (4/3)0.5 Dh = 2a

a a


Para um escoamento pressurizado,em regime permanente ecompletamente desenvolvido deum fluido incompressível atravésde um canal retilíneo decomprimento L, podemos definir aresistência hidráulica Rhid = Δp/Q(em analogia com a resistênciaelétrica Relét = ΔV/I, em que ΔV éa queda de potencial elétrico e I é acorrente elétrica). A tabela ao ladoapresenta a resistência hidráulicade canais com diferentes formas deseção transversal, veja ‘Bruus, H.,Theoretical Microfluidics (OxfordUniversity Press, 2007)’.

Forma do duto

Resistência hidráulica

Para regime laminar utiliza-se Resistência Hidráulica


Cálculo com diâmetro hidráulico equivalente

A perda de altura de elevação, HL e a queda de pressão, PL;

h

2

f w

2

L

h

hf

4H f m

g 2g

P gH f Pa

D D

D 2

V

V

h

h

h hD

D

V1 2,512,0Log e Re

3,7f Re f

D D

O cálculo do fator de atrito, f = F(ReDh, /Dh):

O cálculo da velocidade média deve ser

baseado na área da seção do tubo!

QV

Area seção tubo


Exemplo 4 – Escoamento de ar padrão 35m3/min. Compare a queda de pressão por unidade de comprimento para um duto de seção circular contra dutos de seção retangular de razão de aspecto 1:1, 1:2 e 1:4. Admita que todos os dutos possueam área transversal de 0,1 m2 e possuem paredes lisas.

2

h

2

h

LP f

D 2

P 1f

L D 2

V

V

Fórmula de trabalho:

A

(m2)

0,1

0,1

0,1

0,1

Dados:

Ar padrão: 15oC & 101,3 kPa

Rar = 287 J/kg/K

= ?

= 15E-06, m2/s


Sabendo-se que a vazão e a área transversal dos dutos são constantes, tira-se que a velocidade

média para qualquer duto é: Vmédia = Q/A = 5,83 m/s

O diâmetro do círculo d = (4A/)0,5, já para as outras seções de lado a e b, sendo b um

múltiplo de ‘a’ dado pela razão de aspecto, pode-se facilmente encontrar a e b

O diâmetro hidráulico, Dh = 4A/P onde A é a área do tubo, 0,1 m2 e P o seu perímetro

molhado.

O gradiente de pressão: P/L = (f/Dh).V2/2 onde f é o fator de atrito de Darcy.

Para tubo liso vamos utilizar a fórmula de Blasius (eq. 8.38), como primeira aproximação pq

é válida para ReDh < 105 . Na sequencia usa C-W até convergir.

A seção com menor gradiente P é a circular.

Seção área a Dh V ReDhchute

BlasiusC-W C-W C-W gradP

(m2) m m m/s (---) f f1 f2 f3 Pa/m

circular 0,1 0,357 0,357 5,833 1,43E+05 0,0163 0,0168 0,0167 0,0167 0,97

(1:1) 0,1 0,316 0,316 5,833 1,26E+05 0,0168 0,0172 0,0171 0,0171 1,13

(2:1) 0,1 0,224 0,298 5,833 1,19E+05 0,0170 0,0174 0,0173 0,0174 1,21

(4:1) 0,1 0,158 0,253 5,833 1,01E+05 0,0177 0,0180 0,0179 0,0179 1,47


Diagrama de Moody e fatores de atrito

Colebrook White1 e 2.51

2log3.7Df Re f

1.11

Haaland Explícita 2%

1 6.9 / D1.8log

Re 3.7f

5

1/4

Blasius 4000<Re<10 f 0,316 Re


0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4 5 6 7

Q (m3/s)

H (

mm

CA

)

ventilador

Exemplo 5 - Ponto Operação Ventilador - A curva de altura de elevação em função da vazão volumetrica para um certo ventilador é aproximada pela equação H = 762- 11,40.Q2, onde H é a altura de elevação na saída expressa em mm de água e Q é a vazão volumétrica de ar em m3/s. As dimensões da saída do ventilador são 8x16 pol.

Determine a vazão de ar liberada pelo ventilador em um duto retangular de 8x16 pol com 200 pés de comprimento.

2H mmCA 762 11 40 Q ( ) ,

Área = 0,08258 m2

Perímetro = 1,2192 mDh = 4A/P = 0,271 mL = 60,96 mL/Dh = 225

8”

16”

duto


Da

do

s d

o P

rob

lem

a

8”

16”

duto

Tubulação:

A = 0,08258 m2

P = 1,2192 m

Dh = 4A/P = 0,271m

L/Dh = 225

= 0 (liso)

Ar 20oC

ar = 1,23 kg/m3

ar = 1,46E-05 m2/s

2 2

e e s se s f

p V p V wz z H

g 2g g 2g g

e sf

p pH

g

Aplicando somente no duto, w = 0, ze = zs e Ve = Vs logo:

onde Hf é em metros

de coluna de ar.


Ex. 8.145 Curvas do ventilador e tubulação

O ponto de operação do ventilador é aprox. 4,6 m3/s e 520mmCAr.

Pergunta: H é calculado em mm coluna de ar como se expressa em mmCAgua?

Pergunta: se o tubo é liso porque não foi utilizado a eq. de Blasius?

Excel Ex. 8145

Q V ReDh Haaland Colebrook erro relativo Hf tubo H tubocurva

ventilador

m3/s m/s (---) f f % m (ar) mmCAgua mmCAgua

1.0 12.1 2.25E+05 0.0152 0.0153 0.9% 26 32 751

1.5 18.2 3.37E+05 0.0140 0.0142 0.9% 54 66 736

2.0 24.2 4.49E+05 0.0133 0.0134 0.8% 90 111 716

2.5 30.3 5.62E+05 0.0128 0.0129 0.7% 136 167 691

3.0 36.3 6.74E+05 0.0124 0.0125 0.7% 189 233 659

3.5 42.4 7.87E+05 0.0121 0.0121 0.6% 250 308 622

4.0 48.4 8.99E+05 0.0118 0.0119 0.6% 319 394 580

4.5 54.5 1.01E+06 0.0116 0.0116 0.5% 396 488 531

5.0 60.5 1.12E+06 0.0114 0.0114 0.5% 480 592 477

5.5 66.6 1.24E+06 0.0112 0.0112 0.5% 572 705 417

6.0 72.7 1.35E+06 0.0110 0.0111 0.4% 670 826 352

Exercicio 8-145.xlsx


Exercício 1 - Uma bomba de água pode gerar uma diferença de pressão dada por P(kPa) = 1000 - 800Q2, onde Q (m3/s). Ela alimenta um tubo de 500mm de diâmetro, rugosidade de 10mm e comprimento de 750m. i. Determine a vazão volumétrica; ii. A diferença de pressão; iii. A potência de acionamento da bomba se sua eficiência é de 70%.

(1) (2)

Dicas: A curva da bomba mostra que a vazão varia entre 0,1 a 1,1 m3/s;

Calcule nesta faixa de vazão os Re correspondentes;

Verifique se nesta faixa o escoamento está na região totalmente rugosa;

Veja o diagrama de Moody;

D = 500mm

L = 750m

L/D = 1500

= 10mm

/D = 0,020

= 998 kg/m3

= 1,01E-06 m2/s

Curva da bombaDados do problema


Análise da faixa de vazão e Re

12log

3.7

D

f

regime turbulento &

‘hidraulicamente rugoso’,

Rugosidade relativa /D = 0,020

Para a faixa de vazão 0,1 a 1,2 m3/s encontra-se 2,5x105<Re<3,0106. O regime é completamente rugoso e o f = 0,049 e constante!

Vazão x Re


Q V ReD f0 f H DP

(m3/s) m/s mCA kPa

0 0 0

0.1 0.51 252127 0.049 0.049 0.97 9.5

0.2 1.02 504253 0.049 0.049 3.86 37.9

0.3 1.53 756380 0.049 0.049 8.69 85.2

0.4 2.04 1008507 0.049 0.049 15.44 151.5

0.5 2.55 1260633 0.049 0.049 24.13 236.7

0.6 3.06 1512760 0.049 0.049 34.74 340.8

0.7 3.57 1764886 0.049 0.049 47.28 463.8

0.8 4.07 2017013 0.049 0.049 61.75 605.8

0.9 4.58 2269140 0.049 0.049 78.15 766.7

1 5.09 2521266 0.049 0.049 96.48 946.5

1.1 5.60 2773393 0.049 0.049 116.74 1145.2

1.2 6.11 3025520 0.049 0.049 138.93 1362.9

agua LP gH

2

LH fD 2g

V

Curva da tubulação H x Q

Excel

exemplo 7

exemplo 7.xls

exemplo 7.xls


Dica: para levantar a curva da tubulação NÃO É NECESSÁRIO resolver a equação para diversos Q, bastam 2 Qs espaçados. O tipo da curva para regime turbulento é: P = kQ2.

Cu

rva

da

Tu

bu

laç

ão

y = 948x2

y = -800x2 + 1000

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8

m3/s

kP

a

• O ponto de operação da bomba será, aproximadamente, Q = 0.75

m3/s e P = 550 kPa.


Exercícios recomendados

u/U 0.140 0.152 0.221 0.221 0.264 0.300 0.318 0.313 0.343

y/R 0.0030 0.0034 0.0041 0.0051 0,0055 0.0061 0.0071 0.0075 0.0082

(1) A velocidade média próxima à parede no escoamento turbulento completamente desenvolvido de ar em um tubo, para Re = 50.000 (U = 3 m/s e D = 246 mm) é :

sendo que y é a distância da parede e R é o raio do tubo, 0yR u é a velocidade média em y e U é amáxima velocidade que ocorre no centro do tubo (3 m/s). Note a maior distância da parede é 0,8% do raiodo tubo enquanto que a velocidade média é 34% da velocidade máxima!

Trace um gráfico com os dados e obtenha a inclinação de melhor ajuste, dU /dy. Use isso para estimar a tensão de cisalhamento na parede a partir de τw = μ du /dy. Compare o valor estimado com aquele obtido a partir do fator de atrito f calculado com:

(a) a fórmula de Colebrook-White para paredes lisas e (b) a correlação de Blasius: f = 0,316 . Re-1/4 para 4.103 < Re < 105.

(2) A heat exchanger consists of multiple parallel-plate passages. The availablepressure drop is 2 kPa, and the fluid is water at 20°C. If the desired total flow rate is 900 m3/h, estimate the appropriate number of passages. The plate walls are hydraulically smooth.


(3) A rectangular heat exchanger is to be divided into smaller sections usingsheets of commercial steel 0,4 mm thick. The flow rate is 20 kg/s of water at20°C. Basic dimensions are L =1 m, W = 20 cm, and H = 10 cm. What is theproper number of square sections if the overall pressure drop is to be no morethan 1600 Pa?

(4) Ar nas condições ´standard´ escoa com uma vazão de 0,198 m3/s num duto de ferro galvanizadohorizontal com seção retangular com 0,305 m por 0,152m. Se o tubo possui 60,7 m de comprimento, estimea perda de pressão. Pesquise na web o que é ‘standard conditions’.

(5) Ar nas condições ´standard´ escoa num duto de madeira com seção transversal retangular (0,31m x0,46m). O comprimento do duto é 152,4 m e a vazão de ar no duto é 2,36 m3/s. Determine a perda de carga(J/kg), a queda de pressão e a potência que é transferida ao fluido pelo ventilador que promove esteescoamento. Considere que o duto descarrega o ar a Patm = 101,7 kPa.


FIM

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