aula 2 de fenômemo de transporte ii -...
TRANSCRIPT
Aula 2 de Fenômemo de
transporte II
Cálculo de condução
Parede Plana
Parede Cilíndrica
Parede esférica
Cálculo de condução • Vamos estudar e desenvolver as equações da condução
em nível básico para regime permanente, unidimen-
sional em parede plana.
• Equação de Fourier.
A = área
2
1
1 2
0
1 2
Separando as variáveis, temos:
integrando
Fazendo T = e x = L, temos:
T T T ou ainda
xx
x
x
TL
x x
T
x x
dTq kA
dx
q dx kAdT
T Tq dx kA dT q kA
L
T T
q kA qL
kA kA
Cálculo de condução • Resistência Térmica.
• Circuito térmico. A “força motriz” que gera a taxa de transf. de calor
é o potencial térmico.
• Analogia com circuito elétrico.
• Na transferência de calor.
:
= intensidade da corrente elétrica.
U= = diferença de potencial elétrico.
resistência elétrica.
A B
e e
A B
e
V VUi
R R
Sendo
i
V V
R
A B Re
i
T1 T2
,
,
x
t c
t c
T T Tq
L x R
kA kA
L xR
kA kA
Cálculo de condução • Perfil de temperatura da parede plana.
• Após ter sido calculada a taxa de transferência de calor, pode-se
calcular o perfil de temperatura no sólido, em vez de integrar de 0 a
L e de T1 a T2. Agora se faz:
• Para x = 0 T = T1 e para um valor definido de x, T=T(x).
• Condição de regime permanente.
( )
1
( ) 1 ( ) 1
0
( ) 1
"
( ) 1
Portanto, temos:
q ou em termos de fluxo de calor, q"= , então:
Perfil de Temperatura (equação linear),
do ti
x
x
Tx
xx x x x
T
xx
x
q xq dx kA dT q x kA T T T T
kA
qT T x
kA A
qT T x
kA
po y = a - bx
Cálculo de condução • Parede Cilíndrica.
qr
Área = 2rL = dL
k
2r r
dT dTq kA q k rL
dr dr
Cálculo de condução. Parede cilíndrica
2 2
1 1
1 1
2 2
22 1
1
2 separando as variáveis, temos:
2 integrando nas CC.
1 para r = r T = T
r = r T = T
2 ln 2 ( )
r r
r
r T
r r
r T
dT dTq kA q k rL
dr dr
drq k LdT
r
CC
rdrq k L dT q kL T T
r r
q
1 2 1 2
2 2
1 1
2 1 2,
1 2
1
2 ( ) ( ) ou ainda então
1ln ln
2
( )1R ln em f(d)
2 1ln
r r
t
t cilindrica d
kL T T T T Tq
Rr r
r kL r
r T Tq
kL r d
kL d
Cálculo de condução • Perfil de temperatura da parede cilíndrica.
• Novamente vamos integrar passando os limites:
• Para r = r1 T = T1 e para r qualquer, tal que, r1 ≤ r ≤ r2 T = T(r).
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 ln 2 ( )
1( ) ln
2
ln fazendo q =2
ln perfil de temperatura2
r T
r r r
r T
r
r rr r
rr
dr rq k L dT q kL T T
r r
rT T q
kL r
q qrT T
kL r L
q rT T
k r
Cálculo de condução • Parede Esférica.
• Perfil de temperatura.
qr
A(r) = 4r2
2 2
1 1
2
2
1 2
2 1
,
1 2
4
integrando com os limites, temos:
4
1 14 ( )
1 1 1
4
r r
r T
r
r T
r
r
t esf
dT dTq kA q k r
dr dr
drq k dT
r
q k T Tr r
T Tq
R
k r r
( ) 1
1
1 1
4
rr
qT T
k r r
Cálculo de condução • Paredes Compostas.
• Circuito térmico – Analogia com circuito elétrico.
• Primeiramente vamos determinar a resistência térmica de
convecção.
• Circuito térmico.
,
,
( )( ) ou
1
Neste caso a resistência térmica de convecção é
1
p f
p f
t conv
t conv
T T Tq hA T T q
R
hA
RhA
Valores típicos do coeficiente de transferência de calor por
convecção.
Cálculo de condução • Parede Parede Plana em Série.
• Circuito térmico – Analogia com circuito elétrico.
• Vamos aplicar a equação:
Para quaisquer dois pontos que formam um trecho do circuito
térmico dado.
t
Tq
R
Circuito Térmico equivalente para uma parede composta em série
,1 ,4x
t
T Tq
R
1 4
1 1 1C totA Bt tot
A B C
L RL LR R
A h k k k h A
,t c
L xR
kA kA
Circuito Térmico equivalente para uma parede composta série-paralela.
a) Considera-se que
as superfícies
normais à direção
x sejam
idotérmicas.
b) Supõem-se que
as superfícies
paralelas à
direção x sejam
adiabáticas.
Resistência de Contato
• Em sistemas compostos, a queda de temperatura entre
as interfaces dos vários materiais podem ser
considerável.
• Essa mudança de temperatura é atribuída ao que é
conhecido por Resistência térmica de contato (Rt,cont).
,A B
tcx
T TR
q
t ct c
c
RR
A
,,
Resistência térmica de contato
depende:
Rugosidade superficial;
propriedades dos materiais;
pressão de contato e
tipo de fluído nos vazios.
Resistência térmica de contato para (a) interfaces metálicas sob condições de
vácuo e (b) Interface de alumínio (rugosidade superficial de 10 mm, 105 N/m2)
com diferentes fluídos interfaciais.
Resistência térmica em interfaces sólido/sólido representativas
Associação em série para parede cilíndrica
• A distribuição de temperatura associada à condução radial através
de uma parede cilíndrica é logarítmica, não linear.
2,
1
1R ln
2t cilindrica
r
kL r
t
Tq
R
Exercícios:
1) Considere uma parede plana composta constituída por dois materiais com
condutividade térmicas kA = 0,1 W/(m.K) e kB = 0,04 W/(m.K) e espessuras
LA = 10 mm e LB = 20 mm. A resistência de contato na interface entre os
dois materiais é conhecida, sendo 0,30 m2.K/W. O material A está em
contato com um fluído a 200 C com h = 10 W/(m2.K) e o material B está
em contato com um fluído a 40 C, no qual h = 20 W/(m2.K).
a. Descreva o circuito térmico do sistema.
b. Qual a taxa de transferência de calor para uma parede de 2 m de altura por
2,5 m de comprimento.
c. Calcule as temperaturas nas interfaces esboce a distribuição de
temperatura.
b) Calculando a resistência total do circuito térmico e q, temos:
c) Calculando as temperaturas nas interfaces, temos:
2) Na figura abaixo é mostrada um conjunto de paredes planas
composta.
a. Calcule o fluxo de calor unidimensional, permanente.
b. Determine a temperatura em todas a s interfaces.
Considere: Ab = Ac e ka = 170 W/(m.K), kb = 40 W/(m.K), kc = 55
W/(m.K) e kd = 80 W/(m.K).
a
b
c
d
2,5 cm 7,5 cm 5,0 cm
T = 370 C
q”
T = - 10C
3) Um aquecedor elétrico delgado é enrolado ao redor da superfície
externa de um longo tubo cilíndrico cuja superfície interna é mantida
a uma temperatura de 5 C. A parede do tubo possui raios interno e
externo iguais a 25 e 75 mm, respectivamente, e um condutividade
térmica de 10 W/(m.K). A resistência térmica de contato entre o
aquecedor e a superfície externa do tubo (por unidade de
comprimento do tubo) é R’t,c = 0,01 m.K/W. A superfície externa do
aquecedor está exposta a um fluído com T = - 10 C e com um
coeficiente convectivo de h = 100 W/(m2.K).
a. Esboce o circuito térmico do sistema.
b. Determine a potência do aquecedor, por unidade de comprimento
do tubo, requerida para mantê- lo a T0 = 25 C.
Resolução:
a) O Circuito térmico será:
b) A potência (q’) do aquecedor será: