Aula 2: Hidrodinâmica

UFABC – Fenômenos Térmicos – Prof. Germán Lugones

Escoamento laminar (ou constante). É quando cada partícula do fluido possui uma trajetória suave, de modo que as trajetórias de diferentes partículas não se cruzam. Neste tipo de escoamento, a velocidade do fluido em cada ponto permanece constante.

Definições

Dinamica dos fluidosDinamica dos fluidos; Princıpio de Bernoulli Problemas propostos

Aula 2 3 / 21

■ O fluxo ou escoamento de um fluido em movimento pode ser classificado emdois tipos principais:

◆ Escoamento laminar (ou constante). E quando cada partıcula do fluidopossui uma trajetoria suave, de modo que as trajetorias de diferentespartıculas nao se cruzam. Neste tipo de escoamento, a velocidade dofluido em cada ponto permanece constante.

Escoamento turbulento. É um escoamento irregular e caótico caracterizado por regiões de pequenos redemoinhos ➝ o fluxo é não-estacionário, a configuração do escoamento varia continuamente com o tempo.

Dinamica dos fluidosDinamica dos fluidos; Princıpio de Bernoulli Problemas propostos

Aula 2 4 / 21

◆ Escoamento turbulento. E um escoamentoirregular caracterizado por regioes de pe-quenos redemoinhos.

A fumaca da figura ao lado, quando sai do in-censo, tem um escoamento laminar, mas logopassa a ser turbulento.

■ A viscosidade do fluido e uma grandeza que caracteriza o grau de atritointerno do fluido. Ela surge por conta da forca viscosa, que atua nodeslizamento entre duas camadas do fluido, e tem carater nao–conservativo.

A fumaça da figura ao lado, quando sai do incenso, tem um escoamento laminar, mas logo passa a ser turbulento.

A viscosidade do fluido é uma grandeza que caracteriza o grau de atrito interno do fluido.

Ela surge por conta do atrito interno (ou força viscosa), que atua no deslizamento entre duas camadas do fluido. A força viscosa tem caráter não–conservativo.

Neste curso adotaremos um modelo idealizado de fluido, ao adotarmos quatro suposições:

• Fluido não viscoso. desprezaremos a força viscosa. • Fluido incompressível. A densidade do fluido permanece a mesma,

independentemente da pressão aplicada.

• Escoamento irrotacional. Em qualquer ponto do fluido, o momento angular é zero. Uma forma de visualizar isto é colocando uma pequena roda de pás. Se o escoamento for irrotacional, as pás não giram.

Fluido ideal

Dinamica dos fluidosDinamica dos fluidos; Princıpio de Bernoulli Problemas propostos

Aula 2 5 / 21

■ Neste curso introdutorio de dinamica dos fluidos, utilizaremos o modelo defluido ideal, ao consideramos quatro suposicoes:

◆ Fluido nao viscoso. Vamos desprezar a forca viscosa.

◆ Fluido incompressıvel. A densidade do fluido permanece a mesma,independentemente da pressao aplicada.

◆ Escoamento laminar. Conforme ja observado,a velocidade do fluido em cada ponto permanececonstante. Assim, podemos representar o fluxoatraves de um campo de velocidades, conformemostra a figura ao lado. Num dado ponto P , avelocidade e tangente as linhas de campo nesseponto.

v

◆ Escoamento irrotacional. Em qualquer ponto do fluido, o momentoangular e zero. Uma forma de visualizar isto e colocando uma pequenaroda de pas. Se o escoamento for irrotacional, as pas nao giram.

• Escoamento laminar. Conforme já observado, a velocidade do fluido em cada ponto permanece constante. Assim, podemos representar o fluxo através de um campo de velocidades, conforme mostra a figura. Num dado ponto P, a velocidade é tangente às linhas de campo nesse ponto (chamadas de linhas de corrente).

O campo de velocidades, introduzido anteriormente, é constituído de linhas de corrente, que são as trajetórias seguidas pelas partículas do fluido.

No regime laminar, as linhas não podem se cruzar, pois cada partícula do fluido tem uma trajetória bem definida, o que não ocorre quando passa por um cruzamento.

Chama-se tubo de correntes a superfície formada num dado instante por todas as linhas de corrente que passam pelos pontos de uma curva C, conforme mostra a figura ao lado.

As partículas do fluido não podem atravessar as paredes laterais do tubo.

O escoamento é denominado estacionário quando o campo de velocidade do fluido não varia com o tempo. Logo, v = v(r).

Linhas de corrente

Linhas de corrente e a equacao da

continuidade para fluidosDinamica dos fluidos; Princıpio de Bernoulli Problemas propostos

Aula 2 6 / 21

■ O campo de velocidades, introduzido na pag. anterior, e constituıdo de linhas

de corrente, que sao as trajetorias seguidas pelas partıculas do fluido.

◆ No regime laminar, as linhas nao podem se cruzar, pois cada partıcula dofluido tem uma trajetoria bem definida, o que nao ocorre quando passa porum cruzamento.

■ Chama-se tubo de correntes a superfıcie formada numdado instante por todas as linhas de corrente que passampelos pontos de uma curva C, conforme mostra a figuraao lado.

◆ As partıculas do fluido nao podem passar atraves dotubo.

v

C

■ O escoamento e dito estacionario ou regime permanente quando o campo develocidade do fluido nao varia com o tempo. Logo, v = v(r).

Considere um tubo de escoamento delimitado por duas seções retas estacionárias de áreas A1 e A2.

Nessas seções retas, as velocidades do fluido são v1 e v2, respectivamente.

Como dissemos, nenhum fluido pode escoar pelas paredes laterais do tubo. Num intervalo de tempo dt, o fluido que estava em A1 se desloca uma distância ds1 =v1dt .

⟹ um cilindro de fluido com volume dV = A1v1dt escoa para o interior do tubo através de A1.

Durante o mesmo intervalo dt, um cilindro com volume dV2 = A2v2dt escoa para fora do tubo através de A2.

Equação da continuidade

92 Física II

permanece constante, embora a velocidade da partícula possa variar em módulo, direção e sentido em pontos diferentes. Uma linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto dá a direção e o sentido da velocidade no respectivo ponto. Quando a configuração do escoamento de um fluido varia com o tempo, as linhas de corrente não coincidem com as linhas de escoamento. Consideraremos apenas situações com escoamento estacionário, nas quais as linhas de corrente e as de escoamento são idênticas.

As linhas de escoamento que passam através de um elemento de área imaginário, como a área A na Figura 14.18, formam um tubo chamado tubo de escoamento ou tubo de fluxo. Pela definição de linha de escoamento, em um escoamento esta-cionário nenhuma parte do fluido pode atravessar as paredes laterais de um tubo de escoamento.

Na Figura 14.19, da esquerda para a direita, vemos o escoamento de um fluido em torno de três tipos diferentes de obstáculos. Essas fotografias foram feitas injetando-se corante na água que escoava entre duas placas de vidro. Todas as configurações indicadas são típicas do escoamento laminar, no qual camadas adjacentes de fluido deslizam umas sobre as outras e o escoamento é estacionário. (Uma lâmina é uma folha fina.) Para taxas de escoamento suficientemente elevadas, ou quando um obstáculo produz variações abruptas de velocidade, o escoamento pode se tornar irregular e caótico. Neste caso, ele recebe o nome de escoamento turbulento (Figura 14.20). Em um escoamento turbulento não pode existir ne-nhuma configuração com escoamento estacionário; a configuração do escoamento varia continuamente com o tempo.

Figura 14.18 Um tubo de escoamento delimitado por linhas. Em um escoamento estacionário o fluido não pode cruzar as paredes desse tipo de tubo.

Linhas de escoamento

Tubo de escoamento

Área A

Equação da continuidadeA massa de um fluido não varia durante seu escoamento. Isso leva a uma relação

importante chamada equação da continuidade. Considere um tubo de escoamento delimitado por duas seções retas estacionárias de áreas A1 e A2 (Figura 14.21). Nessas seções retas, as velocidades do fluido são v1 e v2 , respectivamente. Como dissemos, nenhum fluido pode escoar pelas paredes laterais do tubo. Durante um pequeno intervalo dt, o fluido que estava em A1 se desloca uma distância ds1 ! v1 dt, de modo que um cilindro de fluido com altura v1 dt e volume dV1 ! A1v1 dt escoa para o interior do tubo através de A1. Durante esse mesmo intervalo, um cilindro com volume dV2 ! A2 v2 dt escoa para fora do tubo através de A2 .

Inicialmente, vamos considerar o caso de um fluido incompressível, de tal forma que a densidade r possua o mesmo valor em todos os pontos do fluido. A massa dm1 que flui para o interior do tubo através da área A1 no tempo dt é dada por dm1 ! rA1v1 dt. Analogamente, a massa dm2 que flui para fora do tubo através da área A2 no mesmo tempo é dada por dm2 ! rA2 v2 dt. No escoamento estacionário, a massa total no tubo permanece constante, logo, dm1 ! dm2 e

rA1v1 dt ! rA2 v2 dt ou

A1v1 = A2v2 (14.10)Equação da

continuidade para um fluido incompressível

Seção reta do tubo de escoamento em dois pontos (ver Figura 14.21)

Velocidade de escoamento nos dois pontos

Tons escuros seguem caminhos de escoamento laminar (o fluxo é da esquerda para a direita).

Figura 14.19 Escoamento laminar em torno de um obstáculo.

Figura 14.20 O escoamento da fumaça erguendo-se dessa vareta de incenso é laminar até certo ponto e, depois, torna-se turbulento.

Fluxo turbulento

Fluxo laminar

Figura 14.21 Um tubo de escoamento com seção reta de área variável.

= v2 dt

Quando o fluido é incompressível, o mesmo volume de fluido dV que entra na parte inferior sai do tubo na extremidade superior.

Quando o fluido é incompressível, o produto Av (área do tubo vezes velocidade) tem o mesmo valor em todos os pontos ao longo do tubo.

= v1 dt

ds2

ds1

dV

dV

v1

v2

A1

A2

Book_SEARS_Vol2.indb 92 02/10/15 1:49 PM

Inicialmente, vamos considerar o caso de um fluido incompressível (mesma densidade 𝜌 em todos os pontos do fluido).

• A massa dm1 que flui para o interior do tubo através da área A1 no tempo dt é dada por:

dm1 = 𝜌 dV = 𝜌 A1v1dt.

• Analogamente, a massa dm2 que flui para fora do tubo através da área A2 no mesmo tempo é dada por:

dm2 = 𝜌 dV = 𝜌 A2v2dt.

92 Física II

permanece constante, embora a velocidade da partícula possa variar em módulo, direção e sentido em pontos diferentes. Uma linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto dá a direção e o sentido da velocidade no respectivo ponto. Quando a configuração do escoamento de um fluido varia com o tempo, as linhas de corrente não coincidem com as linhas de escoamento. Consideraremos apenas situações com escoamento estacionário, nas quais as linhas de corrente e as de escoamento são idênticas.

As linhas de escoamento que passam através de um elemento de área imaginário, como a área A na Figura 14.18, formam um tubo chamado tubo de escoamento ou tubo de fluxo. Pela definição de linha de escoamento, em um escoamento esta-cionário nenhuma parte do fluido pode atravessar as paredes laterais de um tubo de escoamento.

Na Figura 14.19, da esquerda para a direita, vemos o escoamento de um fluido em torno de três tipos diferentes de obstáculos. Essas fotografias foram feitas injetando-se corante na água que escoava entre duas placas de vidro. Todas as configurações indicadas são típicas do escoamento laminar, no qual camadas adjacentes de fluido deslizam umas sobre as outras e o escoamento é estacionário. (Uma lâmina é uma folha fina.) Para taxas de escoamento suficientemente elevadas, ou quando um obstáculo produz variações abruptas de velocidade, o escoamento pode se tornar irregular e caótico. Neste caso, ele recebe o nome de escoamento turbulento (Figura 14.20). Em um escoamento turbulento não pode existir ne-nhuma configuração com escoamento estacionário; a configuração do escoamento varia continuamente com o tempo.

Figura 14.18 Um tubo de escoamento delimitado por linhas. Em um escoamento estacionário o fluido não pode cruzar as paredes desse tipo de tubo.

Linhas de escoamento

Tubo de escoamento

Área A

Equação da continuidadeA massa de um fluido não varia durante seu escoamento. Isso leva a uma relação

importante chamada equação da continuidade. Considere um tubo de escoamento delimitado por duas seções retas estacionárias de áreas A1 e A2 (Figura 14.21). Nessas seções retas, as velocidades do fluido são v1 e v2 , respectivamente. Como dissemos, nenhum fluido pode escoar pelas paredes laterais do tubo. Durante um pequeno intervalo dt, o fluido que estava em A1 se desloca uma distância ds1 ! v1 dt, de modo que um cilindro de fluido com altura v1 dt e volume dV1 ! A1v1 dt escoa para o interior do tubo através de A1. Durante esse mesmo intervalo, um cilindro com volume dV2 ! A2 v2 dt escoa para fora do tubo através de A2 .

Inicialmente, vamos considerar o caso de um fluido incompressível, de tal forma que a densidade r possua o mesmo valor em todos os pontos do fluido. A massa dm1 que flui para o interior do tubo através da área A1 no tempo dt é dada por dm1 ! rA1v1 dt. Analogamente, a massa dm2 que flui para fora do tubo através da área A2 no mesmo tempo é dada por dm2 ! rA2 v2 dt. No escoamento estacionário, a massa total no tubo permanece constante, logo, dm1 ! dm2 e

rA1v1 dt ! rA2 v2 dt ou

A1v1 = A2v2 (14.10)Equação da

continuidade para um fluido incompressível

Seção reta do tubo de escoamento em dois pontos (ver Figura 14.21)

Velocidade de escoamento nos dois pontos

Tons escuros seguem caminhos de escoamento laminar (o fluxo é da esquerda para a direita).

Figura 14.19 Escoamento laminar em torno de um obstáculo.

Figura 14.20 O escoamento da fumaça erguendo-se dessa vareta de incenso é laminar até certo ponto e, depois, torna-se turbulento.

Fluxo turbulento

Fluxo laminar

Figura 14.21 Um tubo de escoamento com seção reta de área variável.

= v2 dt

Quando o fluido é incompressível, o mesmo volume de fluido dV que entra na parte inferior sai do tubo na extremidade superior.

Quando o fluido é incompressível, o produto Av (área do tubo vezes velocidade) tem o mesmo valor em todos os pontos ao longo do tubo.

= v1 dt

ds2

ds1

dV

dV

v1

v2

A1

A2

Book_SEARS_Vol2.indb 92 02/10/15 1:49 PM

No escoamento estacionário, a massa total no tubo permanece constante, logo, dm1 = dm2 e:

92 Física II

permanece constante, embora a velocidade da partícula possa variar em módulo, direção e sentido em pontos diferentes. Uma linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto dá a direção e o sentido da velocidade no respectivo ponto. Quando a configuração do escoamento de um fluido varia com o tempo, as linhas de corrente não coincidem com as linhas de escoamento. Consideraremos apenas situações com escoamento estacionário, nas quais as linhas de corrente e as de escoamento são idênticas.

As linhas de escoamento que passam através de um elemento de área imaginário, como a área A na Figura 14.18, formam um tubo chamado tubo de escoamento ou tubo de fluxo. Pela definição de linha de escoamento, em um escoamento esta-cionário nenhuma parte do fluido pode atravessar as paredes laterais de um tubo de escoamento.

Na Figura 14.19, da esquerda para a direita, vemos o escoamento de um fluido em torno de três tipos diferentes de obstáculos. Essas fotografias foram feitas injetando-se corante na água que escoava entre duas placas de vidro. Todas as configurações indicadas são típicas do escoamento laminar, no qual camadas adjacentes de fluido deslizam umas sobre as outras e o escoamento é estacionário. (Uma lâmina é uma folha fina.) Para taxas de escoamento suficientemente elevadas, ou quando um obstáculo produz variações abruptas de velocidade, o escoamento pode se tornar irregular e caótico. Neste caso, ele recebe o nome de escoamento turbulento (Figura 14.20). Em um escoamento turbulento não pode existir ne-nhuma configuração com escoamento estacionário; a configuração do escoamento varia continuamente com o tempo.

Figura 14.18 Um tubo de escoamento delimitado por linhas. Em um escoamento estacionário o fluido não pode cruzar as paredes desse tipo de tubo.

Linhas de escoamento

Tubo de escoamento

Área A

Equação da continuidadeA massa de um fluido não varia durante seu escoamento. Isso leva a uma relação

importante chamada equação da continuidade. Considere um tubo de escoamento delimitado por duas seções retas estacionárias de áreas A1 e A2 (Figura 14.21). Nessas seções retas, as velocidades do fluido são v1 e v2 , respectivamente. Como dissemos, nenhum fluido pode escoar pelas paredes laterais do tubo. Durante um pequeno intervalo dt, o fluido que estava em A1 se desloca uma distância ds1 ! v1 dt, de modo que um cilindro de fluido com altura v1 dt e volume dV1 ! A1v1 dt escoa para o interior do tubo através de A1. Durante esse mesmo intervalo, um cilindro com volume dV2 ! A2 v2 dt escoa para fora do tubo através de A2 .

Inicialmente, vamos considerar o caso de um fluido incompressível, de tal forma que a densidade r possua o mesmo valor em todos os pontos do fluido. A massa dm1 que flui para o interior do tubo através da área A1 no tempo dt é dada por dm1 ! rA1v1 dt. Analogamente, a massa dm2 que flui para fora do tubo através da área A2 no mesmo tempo é dada por dm2 ! rA2 v2 dt. No escoamento estacionário, a massa total no tubo permanece constante, logo, dm1 ! dm2 e

rA1v1 dt ! rA2 v2 dt ou

A1v1 = A2v2 (14.10)Equação da

continuidade para um fluido incompressível

Seção reta do tubo de escoamento em dois pontos (ver Figura 14.21)

Velocidade de escoamento nos dois pontos

Tons escuros seguem caminhos de escoamento laminar (o fluxo é da esquerda para a direita).

Figura 14.19 Escoamento laminar em torno de um obstáculo.

Figura 14.20 O escoamento da fumaça erguendo-se dessa vareta de incenso é laminar até certo ponto e, depois, torna-se turbulento.

Fluxo turbulento

Fluxo laminar

Figura 14.21 Um tubo de escoamento com seção reta de área variável.

= v2 dt

Quando o fluido é incompressível, o mesmo volume de fluido dV que entra na parte inferior sai do tubo na extremidade superior.

Quando o fluido é incompressível, o produto Av (área do tubo vezes velocidade) tem o mesmo valor em todos os pontos ao longo do tubo.

= v1 dt

ds2

ds1

dV

dV

v1

v2

A1

A2

Book_SEARS_Vol2.indb 92 02/10/15 1:49 PM

O produto Av é a vazão volumétrica dV/dt, ou seja, a taxa com a qual o volume do fluido atravessa a seção reta do tubo:

A vazão mássica é a taxa de variação da massa por unidade de tempo através da seção reta do tubo. Ela é dada pelo produto da densidade 𝜌 pela vazão volumétrica dV/dt.

A equação de continuidade mostra que a vazão volumétrica possui sempre o mesmo valor em todos os pontos ao longo de qualquer tubo de escoamento. Quando a seção reta de um escoamento diminui, a velocidade aumenta e vice-versa.

Vazão

Capítulo 14 – Mecânica dos fluidos 93

O produto Av é a vazão volumétrica dV/dt, ou seja, a taxa com a qual o volume do fluido atravessa a seção reta do tubo:

(14.11)Velocidade de escoamento

Seção reta do tubo de escoamentoVazão volumétrica de um fluido = Av

dtdV

A vazão mássica é a taxa de variação da massa por unidade de tempo através da seção reta do tubo. Ela é dada pelo produto da densidade r pela vazão volumétrica dV/dt.

A Equação 14.10 mostra que a vazão volumétrica possui sempre o mesmo va-lor em todos os pontos ao longo de qualquer tubo de escoamento (Figura 14.22). Quando a seção reta de um escoamento diminui, a velocidade aumenta e vice--versa. A parte mais profunda de um rio possui uma seção reta maior e correntes mais lentas que as partes rasas, mas a vazão volumétrica é a mesma nos dois casos. Essa é a essência da máxima “Águas profundas ainda correm”. Quando um tubo com diâmetro de 2 cm é ligado a um tubo com diâmetro de 1 cm, a velocidade do escoamento no tubo de 1 cm é quatro vezes maior que a velocidade do escoamento no tubo de 2 cm.

Podemos generalizar a Equação 14.10 para o caso do escoamento de um fluido que não é incompressível. Se r1 e r2 forem as densidades nas seções 1 e 2, então

r1A1v1 ! r2A2v2 (equação da continuidade, fluido compressível) (14.12)

Se o fluido for mais denso no ponto 2 que no ponto 1 (r2 > r1), a vazão volumé-trica no ponto 2 será menor que no ponto 1 (A2v2 < A1v1). Deixamos os detalhes desta demonstração como um exercício. No caso do fluido incompressível, como r1 e r2 são sempre iguais, a Equação 14.12 se reduz à Equação 14.10.

Um óleo incompressível de densidade igual a 850 kg/m3 é bom-beado através de um tubo cilíndrico a uma taxa de 9,5 litros por segundo. (a) A primeira seção do tubo tem 8,0 cm de diâmetro. Qual é a velocidade do óleo? Qual é a vazão mássica? (b) A se-gunda seção do tubo tem 4,0 cm de diâmetro. Quais são os valores para a velocidade e vazão volumétrica nessa seção?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: como o fluido é incompressível, a vazão volumétrica tem o mesmo valor (9,5 L/s) nas duas seções do tubo. A vazão mássica (o produto da densidade e da vazão volumétrica) também tem o mesmo valor nas duas seções. (Esta é a mesma afirmação de que nenhum fluido é perdido ou acres-centado em qualquer ponto ao longo do tubo.) Usamos a defi-nição da vazão volumétrica, Equação 14.11, para encontrar a velocidade v1 na seção de 8,0 cm de diâmetro e a equação da continuidade para escoamento incompressível, Equação 14.10, para encontrar a velocidade v2 na seção de 4,0 cm de diâmetro.EXECUTAR: (a) pela Equação 14.11, a vazão volumétrica na primeira seção é dV/dt ! A1v1, onde A1 é a área da seção reta do tubo de diâmetro de 8,0 cm e raio de 4,0 cm. Assim,

v1 =dV>dt

A1=

19,5 L>s2 110-3 m3>L2

p 14,0 * 10-2 m2

2 = 1,9 m>s

A vazão mássica é r dV/dt ! (850 kg/m3) (9,5 " 10–3 m3/s) ! 8,1 kg/s.(b) Pela equação da continuidade, Equação 14.10,

v2 =A1

A2 v1 =

p 14,0 * 10-2 m2

2

p 12,0 * 10-2 m2

2 11,9 m>s2 = 7,6 m>s = 4v1

As vazões volumétrica e mássica são as mesmas daquelas na parte (a).AVALIAR: a segunda seção do tubo tem a metade do diâmetro e um quarto da área de seção reta da primeira. Logo, a velo-cidade deve ser quatro vezes maior na segunda seção, o que é exatamente o que nosso resultado mostra.

EXEMPLO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL

TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 14.4 Uma equipe de manutenção está traba-lhando no trecho de uma estrada de três pistas, deixando apenas uma pista aberta ao trá-fego. O resultado é um tráfego muito mais lento (um engarrafamento). Os carros na estrada se comportam como (i) moléculas de um fluido incompressível ou (ii) moléculas de um fluido compressível? ❙

Figura 14.22 A equação da continuidade, Equação 14.10, ajuda a explicar a forma de um fluxo de mel despejado de uma colher.

v1

v2

À medida que o mel cai, sua velocidade de escoamento v aumenta...

... e a seção reta A do fluxo diminui.

A vazão volumétrica dV>dt = Av permanece constante.

Book_SEARS_Vol2.indb 93 02/10/15 1:49 PM

Exemplo: Fluxo de mel despejado de uma colher.

Exemplo: Quem nunca colocou o polegar na extremidade de uma mangueira para que a água consiga atingir uma distância maior?

De acordo com a equação de continuidade. diminuindo-se a área, o fluido aumenta a velocidade, visto que a vazão é constante (toda a quantidade que vem da torneira por um certo intervalo de tempo sai pela outra extremidade).

Linhas de corrente e a equacao da

continuidade para fluidosDinamica dos fluidos; Princıpio de Bernoulli Problemas propostos

Aula 2 8 / 21

■ Observe que o produto da area com a velocidade tem dimensao de volume portempo,

[A][∆x]

[∆t]=

L3

T=

volume

tempo

portanto o chamamos de vazao ou fluxo volumar.

■ No nosso dia–a–dia, utilizamos a equacao dacontinuidade na pratica. Quem nunca colocou opolegar na extremidade de uma mangueira paraque a agua consiga atingir uma distancia maior?Diminuindo-se a area, o fluido aumenta a ve-locidade, visto que a vazao e constante (toda aquantidade que vem da torneira por um certointervalo de tempo sai pela outra extremidade).

Exemplo:RegandoumJardim

Umamangueiracom2,5cmdediâmetroencheumbaldede30litrosem1min.

Umbicodeseçãotransversalde0,5cm2 éentãoconectadoàmangueiraeestapassaaprojetaraáguahorizontalmentedeumaalturade1metro.Aquedistânciahorizontalaáguapodeserprojetada?

▹ Exemplo04:RegandoumJardimUmamangueiracom2,5cmdediâmetroencheumbaldede30litrosem1min.Umbicodeseçãotransversalde0,5cm2 éentãoconectadoàmangueiraeestapassaaprojetaraáguahorizontalmentedeumaalturade1metro.Aquedistânciahorizontalaáguapodeserprojetada?

Ponto1→ dentrodamangueira Ponto2→ saídadobico

A1 = πr12 → A1 = π

d 2

4= π × 2,52

4→ A1 = 4,91cm2

A1v1 = 30L/min = 30×103cm3

60s→ A1v1 = 500cm3/s

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ v1 =500cm3/s4,91cm2 = 1,02m/s

Velocidadedentrodocano

A1v1 = A2v2 ⇒ v2 =A1v1

A2

→ v2 =500cm3/s

0,5cm2 → v2 = 1000cm/souv2 = 10m/s

Vertical: y = y0 + v0yt + at2 / 2 → 0 = 1− 9,8t2 / 2 → tqueda = 0,452s

Horizontal: x = x0 + vt → x = 0+10× 0,452 → x = 4,52metros

⎧⎨⎪

⎩⎪

Podemos generalizar a Equação de continuidade para o caso do escoamento de um fluido que não é incompressível.

Se 𝜌1 e 𝜌2 forem as densidades nas seções 1 e 2, então:

Se o fluido for mais denso no ponto 2 que no ponto 1 (𝜌2 > 𝜌1), a vazão volumétrica no ponto 2 será menor que no ponto 1 (A2v2 < A1v1).

Fluido compressível

Capítulo 14 – Mecânica dos fluidos 93

O produto Av é a vazão volumétrica dV/dt, ou seja, a taxa com a qual o volume do fluido atravessa a seção reta do tubo:

(14.11)Velocidade de escoamento

Seção reta do tubo de escoamentoVazão volumétrica de um fluido = Av

dtdV

A vazão mássica é a taxa de variação da massa por unidade de tempo através da seção reta do tubo. Ela é dada pelo produto da densidade r pela vazão volumétrica dV/dt.

A Equação 14.10 mostra que a vazão volumétrica possui sempre o mesmo va-lor em todos os pontos ao longo de qualquer tubo de escoamento (Figura 14.22). Quando a seção reta de um escoamento diminui, a velocidade aumenta e vice--versa. A parte mais profunda de um rio possui uma seção reta maior e correntes mais lentas que as partes rasas, mas a vazão volumétrica é a mesma nos dois casos. Essa é a essência da máxima “Águas profundas ainda correm”. Quando um tubo com diâmetro de 2 cm é ligado a um tubo com diâmetro de 1 cm, a velocidade do escoamento no tubo de 1 cm é quatro vezes maior que a velocidade do escoamento no tubo de 2 cm.

Podemos generalizar a Equação 14.10 para o caso do escoamento de um fluido que não é incompressível. Se r1 e r2 forem as densidades nas seções 1 e 2, então

r1A1v1 ! r2A2v2 (equação da continuidade, fluido compressível) (14.12)

Se o fluido for mais denso no ponto 2 que no ponto 1 (r2 > r1), a vazão volumé-trica no ponto 2 será menor que no ponto 1 (A2v2 < A1v1). Deixamos os detalhes desta demonstração como um exercício. No caso do fluido incompressível, como r1 e r2 são sempre iguais, a Equação 14.12 se reduz à Equação 14.10.

Um óleo incompressível de densidade igual a 850 kg/m3 é bom-beado através de um tubo cilíndrico a uma taxa de 9,5 litros por segundo. (a) A primeira seção do tubo tem 8,0 cm de diâmetro. Qual é a velocidade do óleo? Qual é a vazão mássica? (b) A se-gunda seção do tubo tem 4,0 cm de diâmetro. Quais são os valores para a velocidade e vazão volumétrica nessa seção?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: como o fluido é incompressível, a vazão volumétrica tem o mesmo valor (9,5 L/s) nas duas seções do tubo. A vazão mássica (o produto da densidade e da vazão volumétrica) também tem o mesmo valor nas duas seções. (Esta é a mesma afirmação de que nenhum fluido é perdido ou acres-centado em qualquer ponto ao longo do tubo.) Usamos a defi-nição da vazão volumétrica, Equação 14.11, para encontrar a velocidade v1 na seção de 8,0 cm de diâmetro e a equação da continuidade para escoamento incompressível, Equação 14.10, para encontrar a velocidade v2 na seção de 4,0 cm de diâmetro.EXECUTAR: (a) pela Equação 14.11, a vazão volumétrica na primeira seção é dV/dt ! A1v1, onde A1 é a área da seção reta do tubo de diâmetro de 8,0 cm e raio de 4,0 cm. Assim,

v1 =dV>dt

A1=

19,5 L>s2 110-3 m3>L2

p 14,0 * 10-2 m2

2 = 1,9 m>s

A vazão mássica é r dV/dt ! (850 kg/m3) (9,5 " 10–3 m3/s) ! 8,1 kg/s.(b) Pela equação da continuidade, Equação 14.10,

v2 =A1

A2 v1 =

p 14,0 * 10-2 m2

2

p 12,0 * 10-2 m2

2 11,9 m>s2 = 7,6 m>s = 4v1

As vazões volumétrica e mássica são as mesmas daquelas na parte (a).AVALIAR: a segunda seção do tubo tem a metade do diâmetro e um quarto da área de seção reta da primeira. Logo, a velo-cidade deve ser quatro vezes maior na segunda seção, o que é exatamente o que nosso resultado mostra.

EXEMPLO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL

TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 14.4 Uma equipe de manutenção está traba-lhando no trecho de uma estrada de três pistas, deixando apenas uma pista aberta ao trá-fego. O resultado é um tráfego muito mais lento (um engarrafamento). Os carros na estrada se comportam como (i) moléculas de um fluido incompressível ou (ii) moléculas de um fluido compressível? ❙

Figura 14.22 A equação da continuidade, Equação 14.10, ajuda a explicar a forma de um fluxo de mel despejado de uma colher.

v1

v2

À medida que o mel cai, sua velocidade de escoamento v aumenta...

... e a seção reta A do fluxo diminui.

A vazão volumétrica dV>dt = Av permanece constante.

Book_SEARS_Vol2.indb 93 02/10/15 1:49 PM

402 CHAPTER 14 FLUIDS

Figure 14-19 Fluid flows at a steady ratethrough a length L of a tube, from theinput end at the left to the output end atthe right. From time t in (a) to time t ! "tin (b), the amount of fluid shown inpurple enters the input end and theequal amount shown in green emergesfrom the output end.

p1

L

Input

v1

y1

(a)

(b)

y

v2

p2

y2

y

x

t

t+ ∆t

x

Output

*For irrotational flow (which we assume), the constant in Eq. 14-29 has the same value for allpoints within the tube of flow; the points do not have to lie along the same streamline. Similarly,the points 1 and 2 in Eq. 14-28 can lie anywhere within the tube of flow.

If the speed of a fluid element increases as the element travels along a horizontalstreamline, the pressure of the fluid must decrease, and conversely.

colored green in Fig. 14-19, emerges at the right (or output) end. The emergingvolume must be the same as the entering volume because the fluid is incompress-ible, with an assumed constant density r.

Let y 1, v 1, and p1 be the elevation, speed, and pressure of the fluid entering atthe left, and y 2, v 2, and p2 be the corresponding quantities for the fluid emergingat the right. By applying the principle of conservation of energy to the fluid, weshall show that these quantities are related by

(14-28)

In general, the term is called the fluid’s kinetic energy density (kinetic en-ergy per unit volume).We can also write Eq. 14-28 as

(Bernoulli’s equation). (14-29)

Equations 14-28 and 14-29 are equivalent forms of Bernoulli’s equation,after Daniel Bernoulli, who studied fluid flow in the 1700s.* Like the equation ofcontinuity (Eq. 14-24), Bernoulli’s equation is not a new principle but simply the reformulation of a familiar principle in a form more suitable to fluid mechanics. As a check, let us apply Bernoulli’s equation to fluids at rest, by put-ting v 1 # v 2 # 0 in Eq. 14-28.The result is Eq. 14-7:

p2 # p1 ! rg( y 1 $ y 2).

A major prediction of Bernoulli’s equation emerges if we take y to be aconstant ( y # 0, say) so that the fluid does not change elevation as it flows. Equation14-28 then becomes

(14-30)which tells us that:

p1! 12rv 2

1 # p2 ! 12rv 2

2,

p ! 12rv 2 ! rgy # a constant

12rv 2

p1 ! 12rv 2

1 ! rgy 1 # p2 ! 12rv 2

2 ! rgy 2.

Put another way, where the streamlines are relatively close together (where thevelocity is relatively great), the pressure is relatively low, and conversely.

The link between a change in speed and a change in pressure makes senseif you consider a fluid element that travels through a tube of various widths.Recall that the element’s speed in the narrower regions is fast and its speed in thewider regions is slow. By Newton’s second law, forces (or pressures) must causethe changes in speed (the accelerations). When the element nears a narrow re-gion, the higher pressure behind it accelerates it so that it then has a greaterspeed in the narrow region. When it nears a wide region, the higher pressureahead of it decelerates it so that it then has a lesser speed in the wide region.

Bernoulli’s equation is strictly valid only to the extent that the fluid is ideal. Ifviscous forces are present, thermal energy will be involved, which here we neglect.

Proof of Bernoulli’s EquationLet us take as our system the entire volume of the (ideal) fluid shown in Fig. 14-19.We shall apply the principle of conservation of energy to this system asit moves from its initial state (Fig. 14-19a) to its final state (Fig. 14-19b). The fluidlying between the two vertical planes separated by a distance L in Fig. 14-19 doesnot change its properties during this process; we need be concerned only withchanges that take place at the input and output ends.

A equação de Bernoulli

Em um intervalo de tempo, suponha que um volume de fluido ��V (azul) entre no tubo na extremidade esquerda (ou entrada) e que um volume idêntico (verde) apareça na extremidade direita (ou saída).

O volume emergente deve ser o mesmo que o volume de entrada, porque o fluido é incompressível, com densidade constante 𝜌.

• y1, v1 e p1 são a elevação, velocidade e pressão do fluido que entra à esquerda

• y2, v2 e p2 são as quantidades correspondentes para o fluido emergindo à direita.

Aplicando o princípio de conservação de energia ao fluido, é possível mostrar que essas quantidades estão relacionadas pelo teorema de Bernoulli:

ou

p1 +12

ρv21 + ρgy1 = p2 +

12

ρv22 + ρgy2

p +12

ρv2 + ρgy =  constante 

Exemplo: Afundando o barco Um mergulhador fazendo caça submarina acidentalmente dispara o arpão contra seu iate transatlântico, furando o casco a uma profundidade h = 10 metros abaixo da superfície da água. Com qual velocidade a água entra no barco através do furo?

Exemplo05:AfundandoobarcoUmmergulhadorfazendocaçasubmarinaacidentalmentedisparaoarpãocontraseuiatetransatlântico,furandoocascoaumaprofundidadeh = 10metrosabaixodasuperfíciedaágua.Comqualvelocidadeaáguaentranobarcoatravésdofuro?

▹Ponto1foradonavionasuperfíciedaágua: y1 = 0 e v1 = 0▹Ponto2dentrodonavioondeaáguaestáentrando: y2 = −h e v2 = v▹ Apressãodentrodonavioéapressãoatmosférica: P1 = P2 = P0

▹EquaçãodeBernouilli:12ρv2

2 + ρ g y2 + P2 =12ρv1

2 + ρ g y1 + P1

12ρv2 − hρ g+ P0 = P0 → v = 2gh → v = 2× 9,8×10 → v = 14m/s

Exemplo: O Tubo de Venturi O tubo afunilado mostrado ao lado é conhecido como "Tubo de Venturi". Ele é usado para se medir a velocidade de escoamento de um fluido incompressível. Determine a velocidade de escoamento no ponto 2 da figura se a diferença de pressão P1−P2 é conhecida.

Bernoulli:

Continuidade:

y1 = y2 ⇒ P1 +12

ρv21 = P2 +

12

ρv22

v1 =A2

A1v2 ⇒ P1 +

12

ρ ( A2

A1 )2

v22 = P2 +

12

ρv22

P1 − P2 =12

ρ [1 − ( A2

A1 )2

] v22 =

12

ρA2

1 − A22

A21

v22 ⇒ v2 = A1

2 (P1 − P2)ρ (A2

1 − A22)