aula 2_propriedades dos fluidos
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8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos
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Aula 2
Introdução:
Propriedades dos Fluidos
Prof. Guilherme José de CastilhoDEPro – Departamento de Engenharia de Processos
FEQ/Unicamp
EQ541 - FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
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Na última aula...
05/03/2015 09:07 21 - Apresentação
• Sinônimo de Fenômenos de Transferência de Quantidade deMovimento (ou Transferência de Momentum);
(faz parte da “família de Fenômenos de Transporte”, que ainda
inclui Transferência de Calor e Transferência de Massa)
• Também referenciado como “Mecânica dos Fluidos”.
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Disciplinas básicas vs. de aplicação
F T I
Transferênciade Quantidadede Movimento
F T I I
Transferênciade Calor F
T I I I
Transferênciade Massa
05/03/2015 09:07 31 - Apresentação
O P I
SistemasFluidodinâmicos
e Particulados O P I I
SistemasEnergéticos O
P I I I
Operações deTransferência de
Massa
Fenômenos deTransporte
OperaçõesUnitárias
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O que é um fluido? (Definição formal para engenheiros)
• Sólido: resiste à tensão de cisalhamento aplicada deformando-se. A
tensão é proporcional à deformação.
05/03/2015 09:07 41 - Apresentação
F
A
Solid
F V
A h
Fluid
• Fluido: deforma continuamente sob ação de tensões de cisalhamento. Atensão é proporcional à taxa de deformação.
O sólido para de deformar-se
num certo ângulo
O fluido nunca para de
deformar-se
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O que é um fluido?
05/03/2015 09:07 51 - Apresentação
• O Fluido se deforma continuamentedevido à Tensão de Cisalhamento, por
menor que ela seja;• À uma tensão de cisalhamentoconstante, o fluido nunca para dedeformar;
• Taxa de Deformação éFunção da Tensão.
F = A
Taxa de Deformação = u/y
= µ (u/y)
µ = viscosidade
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O que é um fluido?
05/03/2015 09:07 61 - Apresentação
Condição de não-escorregamento (Princípio da Aderência)
O fluido em contato direto com umsólido “gruda” na superfície devido aos
efeitos viscosos e não háescorregamento.
Propriedade responsável: viscosidade
Responsável pelo desenvolvimento doperfil de velocidade.
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Na aula de hoje:
05/03/2015 09:07 71 - Apresentação
1. Conceito e definições (2 horas) •Introdução•Fluido e continuum•Propriedades em um ponto
Massa específica Tensão Pressão em um fluido estático
•Unidades•
Revisão Matemática2. Estática dos fluidos (4 horas) 3. Descrição de um fluido em movimento (2 horas) 4. Conservação da massa (4 horas) 5. Segunda Lei de Newton (4 horas) 6. Conservação da energia (8 horas)
7. Tensão nos fluidos (4 horas) 8. Equações diferenciais do escoamento de fluidos (10 horas) 9. Análise dimensional e similaridade (6 horas) 10.Escoamento em tubos (10 horas) 11.Teoria da camada limite (4 horas) 12.Escoamento turbulento (4 horas)
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O Fluido como um Contínuo (continuum)
Estamos familiarizados com os fluidos e os tratamos como
sendo “lisos e suaves”
• A matéria é constituída de átomos, que são amplamenteespaçados na fase gasosa;
• É conveniente desconsiderar a natureza atômica de uma
substância;• Considerar que as propriedades variam continuamente
no espaço sem saltos de descontinuidade = contínuo.
05/03/2015 09:07 82 - Propriedades dos Fluidos
É válido quando o menor volume de fluido de interesse contém um número
suficiente de moléculas que torna as médias estatísticas significativas.
“A massa específica da água num copo é a mesma em qualquer ponto”
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Qual é o mínimo volume, δV, que um “ponto” C deve ter, deforma a podermos falar sobre propriedades de fluido
contínuo, tal como a massa específica de um ponto?
05/03/2015 09:07 92 - Propriedades dos Fluidos
O Fluido como um Contínuo (continuum)
Ar
d d
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05/03/2015 09:07 102 - Propriedades dos Fluidos
Propriedades em um PontoMassa específica
(kg/m³)
O conceito de massa específica em um ponto matemático (ΔV→ 0) é irreal, masconsiderando o elemento δV muito pequeno, podemos escrever δV → δV’ → 0. Essa éuma aproximação bastante útil, pois nos permite descrever o escoamento dos fluidos
em termos de funções contínuas.
d d
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• a massa específica varia grandemente, mas acima de umvolume δV’, a massa específica torna-se estável .
05/03/2015 09:07 112 - Propriedades dos Fluidos
Propriedades em um PontoMassa específica
(kg/m³)
P i d d P
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05/03/2015 09:07 122 - Propriedades dos Fluidos
Propriedades em um PontoMassa específica
(kg/m³)Massa específica
Densidade(ou densidade relativa ou gravidadeespecífica)
SG mercúrio = 13,6
Peso específico N/m³ γH2O = 9,81 kN/m³
ρH20 = 1000 kg/m3
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Forças atuando em um fluido
• Forças de superfície
– Geradas pelo contato com outras partículas ou comsuperfícies sólidas
• pressão e tensão cisalhante são originadas por forças desuperfície normal e tangencial, respectivamente.
•
Forças de campo
– Agem através das partículas, sem contato físico.
• Força de campo gravitacional, eletromagnética
05/03/2015 09:07 132 - Propriedades dos Fluidos
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Tensão em um Meio Contínuo
Considere a força δF atuando sobre o elemento δA de um corpo:
05/03/2015 09:07 142 - Propriedades dos Fluidos
A força por unidade de área ou tensão num ponto, édefinida por:
δA → menor área possível para ahipótese do continuum
lim→0
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Tensão em um Meio Contínuo
A força δF, agindo sobre δA, pode ser decomposta em duas
componentes, uma normal e a outra tangente à área
05/03/2015 09:07 152 - Propriedades dos Fluidos
Tensão normal:
Tensão tangencial ou de cisalhamento:
= lim→0
= lim→0
n → vetor unitário
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Tensão em um Ponto
05/03/2015 09:07 162 - Propriedades dos Fluidos
ã = ç íá çã ç
Notação:
Duplo índice:
τxy x = plano o qual a tensão atuay = direção na qual a tensão atua
Ex: τxy → tensão de cisalhamento que agena direção y em um plano perpendicular a x(plano yz)
grandezatensorial
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Tensão em um Ponto
Um número infinito de planos pode passar pelo ponto C.
05/03/2015 09:07 172 - Propriedades dos Fluidos
O estado de tensão pode ser completamente descrito pela especificação dastensões atuantes em três planos quaisquer ortogonais entre si que passam
pelo ponto C.
Especificada por 9
componentesTensor tensão
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Tensão em um Ponto
05/03/2015 09:07 182 - Propriedades dos Fluidos
Tensões
Positiva: o seu sentido e o do plano no qual atua
são ambos positivos ou ambos negativos;
Negativa: quando seu sentido tem sinal opostoao sinal do plano no qual atuam.
Convenção de sinais:
Planos: positivos ou negativos de acordocom sua normal em relação ao eixocoordenado.
Ex: O plano superior, é um plano y :
O plano posterior é um plano z:
positivo
negativo
Ex : τyx = 5lbf/in2
Plano y (+), sentido x (+)
Plano y (-), sentido x (-)
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Pressão em um Ponto em um Fluido Estático
• Pressão: é a força de compressão por unidade deárea.
05/03/2015 09:07 192 - Propriedades dos Fluidos
= 0
• a pressão em qualquer ponto de um fluido é igual em
todas as direções → grandeza escalar.
Pressão num ponto em um fluido estático ou em repouso :
Aplicação da 2ª lei de Newton:
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Pressão em um Fluido Estático
05/03/2015 09:07 202 - Propriedades dos Fluidos
Fluido estático → não há tensões de cisalhamento ou forças tangenciais
As únicas forças que atuam no elemento de volume de fluido da figura sãonormais. O elemento de fluido em repouso está sob ação da gravidade e de
tensões ou forças normais.
Consideremos um elemento de fluido e vamos tomar o limite quando esse
elemento de fluido tende a zero.
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Pressão em um Ponto em um Fluido Estático
05/03/2015 09:07 212 - Propriedades dos Fluidos
Peso do elemento de fluido: ∆∆∆
2
Dividindo por ΔyΔz e tomando o limite quando ΔV →0
− + = 0
=
Decomposição das forças na direção x:
−∆ + ∆ = 0
−∆ + ∆ ∆∆ = 0
=∆
∆
= 0
lim∆→0 −∆∆∆ +
∆∆∆ = 0
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Pressão em um Ponto em um Fluido Estático
05/03/2015 09:07 222 - Propriedades dos Fluidos
Decomposição das forças na direção y: = 0
Δ − Δ − Δ Δ Δ
2 = 0
=Δ
Δ
lim∆→0 ∆∆∆ −
∆∆∆ −
Δ2 = 0
Tomando o limite para ΔV→ 0 da equação e dividindo por ΔxΔz
− = 0
=
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Pressão em um Ponto em um Fluido Estático
05/03/2015 09:07 232 - Propriedades dos Fluidos
=
=
o ângulo θ não aparece nas equações, então a tensão normal em um ponto emum fluido estático é independente da direção, sendo, portanto, umaquantidade escalar, σ.
= = =
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Pressão em um Ponto em um Fluido Estático
Medindo a F/A atuando num elemento submerso, teremos
um valor denominado pressão, P.
05/03/2015 09:07 242 - Propriedades dos Fluidos
= −1
33
= −
A pressão em um ponto de um fluido tem a mesmaintensidade em todas as direções
Para um fluido em movimento as tensões normais não são independentes dadireção, sendo:
≠ ≠
= −1
3 + + A pressão é definida por:
Para um fluido em repouso:
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Revisão Sobre Unidades
Dimensões e Unidades
• Dimensões: quantidades físicas tais como comprimento,tempo, massa e temperatura;
05/03/2015 09:07 252 - Propriedades dos Fluidos
Primárias ou fundamentais: massa (m), comprimento (L),
temperatura (T), tempo (t); Secundárias ou derivadas: velocidade (V), energia (E), volume (V).
• Unidades: nomes arbitrários dados às dimensõesprimárias adotadas como padrões de medidas.
Ex.: a dimensão primária de comprimento pode ser medida emunidades de metros, pés, jardas ou milhas.
(1 milha = 5280 pés = 1609 metros)
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Sistema de
Dimensões Sistema de Unidades
Força
F
Massa
M
Comprimento
L
Tempo
t
Temperatura
T
a. MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI) (N) kg m s K
b. FLtT Sistema Gravitacional Britânico (GB) lbf (slug) ft s °R
c. FMLtT Sistema Inglês de Engenharia lbf lbm ft s °R
Revisão Sobre Unidades
05/03/2015 09:07 262 - Propriedades dos Fluidos
Sistema Internacional – SI (a) - MLtT:É uma extensão e um refinamento do sistema métrico tradicional (+ de 30 países)A força é uma unidade secundária e a sua unidade, o Newton (N) é definida pela 2ªlei de Newton:
1 ≡ 1 ∙ /2
Sistema métrico absoluto: grama, centímetro, segundo, Kelvin
1 ≡ 1 ∙ /2
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Sistema de
Dimensões Sistema de Unidades
Força
F
Massa
M
Comprimento
L
Tempo
t
Temperatura
T
a. MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI) (N) kg m s K
b. FLtT Sistema Gravitacional Britânico (GB) lbf (slug) ft s °R
c. FMLtT Sistema Inglês de Engenharia lbf lbm ft s °R
Revisão Sobre Unidades
05/03/2015 09:07 272 - Propriedades dos Fluidos
Sistema Gravitacional Britânico - GB (b) - FLtT:Como a massa é uma dimensão secundária, a sua unidade, o slug, édefinida em termos da 2ª lei de Newton
1 = 1 ∙
2
/
Sistema Gravitacional: kgf, utm, m, s, Kutm = unidade técnica de medida
é a massa que submetida a 1kgf
adquire a aceleração de 1 m/s 2
Slug
é a massa que submetida a 1lbfadquire a aceleração de 1 ft/s 2
1 = 1 ∙ 2/
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Sistema de
Dimensões Sistema de Unidades
Força
F
Massa
M
Comprimento
L
Tempo
t
Temperatura
T
a. MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI) (N) kg m s K
b. FLtT Sistema Gravitacional Britânico (GB) lbf (slug) ft s °R
c. FMLtT Sistema Inglês de Engenharia lbf lbm ft s °R
Revisão Sobre Unidades
05/03/2015 09:07 282 - Propriedades dos Fluidos
Sistema Inglês de Engenharia - EE (c) - FMLtT:Posto que ambas, força e massa, foram escolhidas como unidades primárias, a 2ª leide Newton é escrita como:
=
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Revisão Sobre Unidades
05/03/2015 09:07 292 - Propriedades dos Fluidos
Sistema Inglês de Engenharia (c) - FMLtT:
A libra-força (1 lbf) é a força que dá à massa de um libra-massa (1 lbm) umaaceleração igual à aceleração-padrão da gravidade na Terra, 32,2 ft/s2.
1 =1 × 32,2 /2
= 32,2 ∙ ( ∙ 2)
1 = 32,2
=
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Exercício
05/03/2015 09:07 302 - Propriedades dos Fluidos
O rótulo em um pote de pasta de amendoim indica que o seu peso líquido é de 510 g.
Expresse sua massa e peso em unidades SI, GB e EE.
Dados : g = 9,81 m/s2 = 32,2 ft/s2
gc = 32,2 ft.lbm/(lbf.s2)1 lbm = 0,454 kg1 slug = 32,2 lbm
Sistema de
DimensõesSistema de Unidades
Força
F
Massa
M
Comprimento
L
Tempo
t
Temperatura
T
a. MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI) (N) kg m s K
b.
FLtT Sistema Gravitacional Britânico (GB) lbf (slug) ft s °R
c. FMLtT Sistema Inglês de Engenharia lbf lbm ft s °R
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Revisão Matemática
05/03/2015 09:07 312 - Propriedades dos Fluidos
z
P
O
x
yJ
r
k
i
Considere o seguinte sistema cartesiano:
O vetor posição do ponto P, de coordenadas(x, y, z) é definido por:
a) Vetor posição
, sendo O elemento de volume dV corresponde auma variação elementar (dx , dy , dz ):
k z j yi x P Or
k dz jdyidxr d
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Revisão Matemática
05/03/2015 09:07 322 - Propriedades dos Fluidos
z
P
O
x
yJ
r
k
i
r
b.1) Gradiente: Seja um escalar, que é umafunção contínua da posição.
b) Operadores Vetoriais:
O gradiente de α é um vetor, tal que :
k z
j y
i
x grad
z
v
y
v
x
vvv
z y x
.div
b.2) Divergente: Dada a função , a divergência deé um escalar:
r v
v
á
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Revisão Matemática
05/03/2015 09:07 332 - Propriedades dos Fluidos
z
P
O
x
yJ
r
k
i
Para
k v jvivv z y x
b.3) O rotacional de é:v
b.4) O laplaciano de é:
k y
v
x
v j
x
v
z
vi
z
v
y
vvv
x y z x y z
rot
2
2
2
2
2
22 graddivlap
z y x
ã á
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Revisão Matemática
05/03/2015 09:07 342 - Propriedades dos Fluidos
Dada a função vetorial , o grad será um tensor , com componentescartesianas:
r v
v
G~
c) Gradiente de um vetor:
z v
yv
xv
z
v
y
v
x
v
z
v
y
v
x
v
G
z z z
y y y
x x x
~
i ã á i
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Revisão Matemática
05/03/2015 09:07 352 - Propriedades dos Fluidos
d) Divergência de um tensor:
Seja um tensor com componentes cartesianas r T ~
Tzz TzyTzx
Tyz TyyTyx
Txz TxyTxx
T
~
k z
T
y
T
x
T j
z
T
y
T
x
T i
z
T
y
T
x
T T T
zz zy zx yz yy yx xz xy xx
~.
~ div
R i ã M á i
-
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Revisão Matemática
05/03/2015 09:07 362 - Propriedades dos Fluidos
Dados os vetores u, v e o escalar ϕ:
Algumas identidades
R i ã M á i
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Revisão Matemática
05/03/2015 09:07 372 - Propriedades dos Fluidos
Para sistemas em coordenadas cilíndricas e esféricas,consultar a “ Apostila Vetores Operadores”.
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Bibliografia utilizada
05/03/2015 09:07 382 - Propriedades dos Fluidos
Fox, Robert W.; Alan T. McDonald; Philip J. Pritchard, Introdução àmecânica dos fluidos, 7.ed., Rio de Janeiro, RJ: Livros Técnicos eCientíficos, 2010.
Welty, James R. Welty et al., Fundamentals of momentum, heat, and masstransfer , 5.ed., Hoboken, NJ: John Wiley, 2008.
E í i
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Exercício
A distribuição de velocidade para o escoamento laminardesenvolvido entre placas paralelas é dada por:
á = 1 −
2ℎ
2
Na qual h é a distância que separa as placas, e a origem estásituada na linha mediana entre as placas. Considere umescoamento de água a 15 °C, com umáx = 0,10 m/s e h = 0,1 mm.
Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seusentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numaseção transversal do canal.