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90
Aula 3 Aula 3 – Introdução à Robótica Móvel Introdução à Robótica Móvel Cinemática Cinemática Cinemática Cinemática Prof. Dr. Prof. Dr. Marcelo Becker Marcelo Becker EESC - USP

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Aula 3 Aula 3 –– Introdução à Robótica MóvelIntrodução à Robótica Móvel

CinemáticaCinemáticaCinemáticaCinemática

Prof. Dr.Prof. Dr. Marcelo BeckerMarcelo Becker

EESC - USP

•• Introdução Introdução

• Cinemática

• Manobrabilidade e Workspace

Sumário da AulaSumário da Aula

EESC-USP © M. Becker 2008 2/90

• Manobrabilidade e Workspace

• Controle

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática

– Descrição do comportamento mecânico do robô para poder melhor projetá-lo e controlá-lo.

EESC-USP © M. Becker 2008 3/90

– Similar à cinemática de Manipuladores Robóticos.

– É necessário verificar as similaridades e diferenças entre a modelagem de manipuladores robóticos e robôs móveis.

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Espaço de trabalho

• Para manipuladores, define as posições que podem ser atingidas por seus atuadores em

EESC-USP © M. Becker 2008 4/90

podem ser atingidas por seus atuadores em relação à sua posição fixa no ambiente.

• Para robôs móveis, define as possíveis atitudes que ele pode atingis em seu ambiente.

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Controlabilidade

• Para manipuladores, define o modo pelo qual o acionamento dos motores pode ser empregado

EESC-USP © M. Becker 2008 5/90

acionamento dos motores pode ser empregado para mudar de atitude no espaço de trabalho.

• Para robôs móveis, define os possíveis caminhos no espaço de trabalho. Deve considerar aspectos de Dinâmica, p.e.: um CG alto restringe o raio de curvatura admissível para se evitar capotamento.

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Estimativa de Posição

• Manipuladores Fixos possuem uma posição no ambiente definida. Desse modo, dados dos

EESC-USP © M. Becker 2008 6/90

ambiente definida. Desse modo, dados dos sensores fornecem boas estimativas da posição.

• Robôs móveis movem-se em seu ambiente, logo a posição não pode ser estimada apenas observando os dados dos sensores. São necessários algoritmos dedicados para essa (não trivial) tarefa.

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Passos necessários para a Modelagem

Cinemática: 1. Adotar uma notação com um sistema de

referências global {I} e outro acoplado no Robô

EESC-USP © M. Becker 2008 7/90

referências global {I} e outro acoplado no Robô Móvel {P};

2. Empregar um modelo simples de cinemática de locomoção:� Locomoção do robô é uma função de sua geometria

e dos comportamentos de suas rodas;

3. Limitações cinemáticas do robô são expressas em função das limitações individuais das rodas.

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Observa-se então que:

• O Robô pode mover-se no ambiente:– Não há como medir a exata posição dele– As posições tem de ser estimadas ao longo do tempo

EESC-USP © M. Becker 2008 8/90

– As posições tem de ser estimadas ao longo do tempo– Sujeito a erros (grande desafio...)

• Robô com rodas → entender como o comportamento das rodas influencia o comportamento do robô...

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Tem-se:

• Robô modelado como corpo rígido– DoFs internos são desprezados (rodas, juntas, etc.)!

• Adota-se um ponto P no chassis onde o sistema

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)P

EESC-USP © M. Becker 2008 9/90

• Adota-se um ponto P no chassis onde o sistema de coordenadas solidário ao robô é posicionado

• O robô opera em um plano horizontal definido por um sistema de coordenadas globais {I}

• Postura do robô: Tyx ][ θξ =

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Matriz de Rotação:

• Mapeia as transformações ao longo das coordenadas globais {I} e locais do robô {P}

• Assim:

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)P

EESC-USP © M. Becker 2008 10/90

• Assim:

ξθξ ).(Rr =

−=

100

0

0

)( θθ

θθ

θ cs

sc

R

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Estabelecer a velocidade do robô

como uma função da velocidade das rodas do ângulo de esterçamento , da velocidade de esterçamento e dos parâmetro geométrico do robô

Tyx ],,[ θξ &&&& =

iϕ&

iβ&

EESC-USP © M. Becker 2008 11/90

robôi

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Cinemática Direta

),...,,,...,,,...,( 111 mmnfy

x

ββββϕϕξ &&&&&

&

& =

=y

xr

yrv(t)

θ

S(t)y

xr

yrv(t)

θ

S(t)

EESC-USP © M. Becker 2008 12/90

– Cinemática Inversa:

),...,,,...,,,...,( 111 mmnfy ββββϕϕ

θ

ξ &&&&

&

&& =

=

x{I} x{I}

),,(],...,,,...,,,...,[ 111 θββββϕϕ &&&&&&& yxfT

mmn =

),...,,,...,( 11 mnfy

x

ββϕϕ

θ

=

?

IntroduçãoIntrodução

• Cinemática Direta: – Dadas as posições dos atuadores,

computa-se a posição e orientação do robô no espaço de trabalho

• Cinemática Inversa:

EESC-USP © M. Becker 2008 13/90

• Cinemática Inversa:– Dadas as posições e orientações do robô

no espaço de trabalho, qual deve ser a movimentação dos atuadores para atingi-la?

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Representação da posição do robô:

• Sistema Inercial {x, y}• Sistema Solidário ao Robô {xr, yr}• Posição do robô: T

yx ][ θξ =

y

xr

yrv(t)

θ

S(t)y

xr

yrv(t)

θ

S(t)P

EESC-USP © M. Becker 2008 14/90

• Posição do robô:

• Assim, nos 2 sistemas de coordenadas:

x{I} x{I}

[ ]Tr yxRR θθξθξ &&&&& ).().( ==

−=

100

0

0

)( θθ

θθ

θ cs

sc

R

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Exemplo: Robô alinhado com o eixo y

y

xr

θ

0θθ sc

EESC-USP © M. Becker 2008 15/90

x

y

{I}

yr

−=

−==

θθ

ξπξ&

&

&

&

&

&

&& x

y

y

x

Rr .

100

001

010

).2(

−=

100

0

0

)( θθ

θθ

θ cs

sc

RP

IntroduçãoIntrodução

• Modelagem Cinemática– Exemplo: Robô alinhado com o eixo y

=→

= 0

5

5

0

ξξ &&y

xr

θ

y

xr

θ

EESC-USP © M. Becker 2008 16/90

=→

=

0

0

0

5 rξξ &&

x

y

{I}

yr

P

x

y

{I}

yr

P

x

y

{I}

xr

yr

θ

P

x

y

{I}

xr

yr

θ

P

−=→

=

0

2

2

0

2

2

rξξ &&

•• Introdução Introdução

•• CinemáticaCinemática

• Manobrabilidade e Workspace

Sumário da AulaSumário da Aula

EESC-USP © M. Becker 2008 17/90

• Manobrabilidade e Workspace

• Controle

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

CinemáticaCinemática

• Modelagem Cinemática– Seja o robô:

y

xr

yrv(t)

θ

S(t)y

xr

yrv(t)

θ

S(t)P

EESC-USP © M. Becker 2008 18/90

– Como obter:

x{I} x{I}

),,,,( 21 ϕϕθ

θ

ξ rlfy

x

=

=&

&

&

& ?

CinemáticaCinemática

• Modelagem Cinemática– Modelagem da roda: condições de contorno...

• Movimento em um plano horizontal• Contato pontual• Rodas não se deformam

y

xr

yrv(t)

θ

EESC-USP © M. Becker 2008 19/90

• Rodas não se deformam• Rolamento Puro

v = 0 no ponto de contato

• Não há escorregamento• Ângulo de esterçamento é ortogonal

à superfície do piso• Corpos rígidos

x

y

{I}

v(t)

r.ϕ&

CinemáticaCinemática

• Modelagem Cinemática– Assim:

• Determina-se a contribuição de cada roda no sistema de referência local {P}. Obtém-se: rξ

EESC-USP © M. Becker 2008 20/90

• Determina-se a locomoção do robô no sistema de referências global {I} a partir do sistema loca {P}:

• Obter o modelo cinemático direto da velocidade do robô:

rR ξθξ && .)(1−=

[ ] ),,,,( 21 ϕϕθθξ rlfyxT

== &&&&

CinemáticaCinemática

• Exemplo:– Dadas as condições de contorno abaixo,

determine a velocidade de deslocamento do robô com acionamento diferencial no sistema inercial.

EESC-USP © M. Becker 2008 21/90

inercial.

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)P

x = 2 m

y = 3 m

θ = π/2

Posição: srad

srad

/2

/4

2

1

=

=

ϕ

ϕ

&

&

Velocidade:

xr

P

2.l

rϕ1

.

CinemáticaCinemática

• Solução do Exemplo – 1/5– Movimento no eixo xr

xr

P

r .

ϕ2=0.

2

. 1

1

ϕ&&

rxr =

EESC-USP © M. Becker 2008 22/90

2.l

rϕ1

.

xr

P

2.l

rϕ1

.ϕ2

.

21r

2

.

2

. 21

2

ϕϕ &&&

rrxr +=

2

.

2

. 21 ϕϕ &&&

rrxr +=

CinemáticaCinemática

• Solução do Exemplo – 2/5– Movimento no eixo yr

xr A rotação das rodas não

EESC-USP © M. Becker 2008 23/90

P

2.l

rϕ1

.ϕ2

.

A rotação das rodas não produz movimento no sentido do eixo yr:

0=ry&

CinemáticaCinemática

• Solução do Exemplo – 3/5– Movimento no eixo θr

xr

P

r .

ϕ2=0.

l

r

.2

. 1

1

ϕϖ

&=

EESC-USP © M. Becker 2008 24/90

2.l

rϕ1

.

xr

P

2.l

rϕ2

.

l.21

l

r

.2

. 2

2

ϕϖ

&−=

l

r

l

rr

.2

.

.2

. 21 ϕϕθ

&&& −=

ϕ1=0.

CinemáticaCinemática

• Solução do Exemplo – 4/5– Assim:

• Velocidade no sistema do robô:

+

=

=rr

rr

y

x

r

r

r 022

21

ϕϕ

ϕϕ

θ

ξ&&

&&

&

&

&

&

EESC-USP © M. Becker 2008 25/90

• Inversa da Matriz de Rotação:

l

r

l

rr

.2.2

21 ϕϕθ

&&&

=−

100

0

0

)(1 θθ

θθ

θ cs

sc

R

CinemáticaCinemática

• Solução do Exemplo – 5/5– Assim:

• Velocidade no sistema global:

+

=

== −

r

rrscxsc

2200

21

1

ϕϕ

θθ

θθ

θθ

θθ

ξθξ

&&

&

&&

EESC-USP © M. Becker 2008 26/90

• Numericamente:

=

== −

r

r

rr

l

r

l

rcsycsR

.2.2

022

.

100

0.

100

0.)(

21

1

ϕϕθθ

θ

θθξθξ&&

&

&&&

=

=

=

lr

ry

x

lr

r

y

x

.3

0

0

.3

.

100

001

010

θθ

ξ&

&

&

&

&

&

&

• Quais são as restrições existentes?– Cada tipo de roda impõe diferentes restrições ao

movimento;– Modelando as restrições, pode-se combiná-las

de modo a compreender o movimento do robô

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 27/90

de modo a compreender o movimento do robô como um todo.

• Hipóteses:– O plano da roda permanece sempre vertical e

há apenas 1 ponto de contato com o solo;– Não há escorregamento lateral no ponto de

contato.

• Roda Padrão Fixa– Movimenta-se sobre seu eixo horizontal.– Não tem eixo vertical de rotação.– Existe rolamento puro no ponto de contato.yr

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 28/90

xr

αααα [ ] ϕξθ&& ..

111rkkk ryx =

[ ] rodarobôyx VVkkk =.111 θ

αααα

Na direção do plano da roda:

• Roda Padrão Fixa

yr

[ ] 0.).(.)()( =−−+−+ ϕξθββαβα && rRclcs

CinemáticaCinemática

ξθξ && ).(Rr =[ ] ϕξθ&& ..

111rkkk ryx =

EESC-USP © M. Becker 2008 29/90

xr

[ ] 0.).(.)()( =−−+−+ ϕξθββαβα && rRclcs

Na direção do plano da

roda: Rolagem pura!!αααα

αααα

• Roda Padrão Fixa

yr

[ ] 0).(.)()( =++ ξθββαβα &Rslsc

CinemáticaCinemática

[ ] 0.222

=ryx kkk ξθ&Na direção ortogonal ao plano da roda:

EESC-USP © M. Becker 2008 30/90

xr

[ ] 0).(.)()( =++ ξθββαβα &Rslsc

Na direção ortogonal ao

plano da roda.αααα

αααα

• Roda Padrão Fixa

– Para α = 0 e β = 0: se θ = 0:

001 && xx

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 31/90

xr

yr

[ ] [ ] 0.001.

100

010

001

.001 =

=

θθ &

&

&

&

&

&

y

x

y

x

v

Não ocorre escorregamento

lateral!!

• Roda Padrão Esterçável– Quando comparada à roda padrão fixa, há a

adição de um grau de liberdade. • A roda gira em torno do eixo vertical que passa pelo

centro da roda e o ponto de contato com o chão (βvaria com o tempo...).

yr

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 32/90

varia com o tempo...).

xr

αααα

ββββ(t)

• Roda Padrão Esterçável

yr

[ ] 0.).(.)()( =−−+−+ ϕξθββαβα && rRclcs

[ ] 0).(.)()( =++ ξθββαβα &Rslsc

Na direção do plano da

roda: Rolagem pura!!

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 33/90

xr

[ ] 0).(.)()( =++ ξθββαβα &Rslsc

Na direção ortogonal ao

plano da roda.

αααα

ββββ(t)

• Rodas Pivotadas– Capaz de girar sobre o eixo vertical que não

passa pelo ponto de contato com o solo.– O corpo rígido AB conecta a roda ao chassis.– β e β variam com o tempo...

yr

CinemáticaCinemática

.

EESC-USP © M. Becker 2008 34/90

– β e β variam com o tempo...

xr d

ϕϕϕϕ, r

αααα

ββββ(t)

• Rodas Pivotadas– Configuração altera as restrições quanto ao

escorregamento.– Força lateral na roda atua no ponto A (chassis).

• Devido ao “off-set” a restrição de que o movimento yr

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 35/90

• Devido ao “off-set” a restrição de que o movimento lateral é nulo, não é válida!

xr d

ϕϕϕϕ, r

αααα

ββββ(t)

• Rodas Pivotadas

yr

[ ] 0.).(.)()( =−−+−+ ϕξθββαβα && rRclcs

[ ] 0).(.)()( =++++ βξθββαβα && dRsldsc

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 36/90

xr

[ ] 0).(.)()( =++++ βξθββαβα dRsldsc

ααααd

ϕϕϕϕ, r

ββββ(t)

• Rodas Pivotadas– Todo movimento ortogonal ao plano da roda é

compensado com um movimento equivalente e oposto

• Qualquer movimento lateral é permitido... yr

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 37/90

• Provoca movimento do chassis...

xr

ααααd

ϕϕϕϕ, r

ββββ(t)

yr

CinemáticaCinemática

• Rodas Omni-direcionais (Suecas)– Não possuem eixo de rotação vertical

• Possuem 1DoF adicional nas rodas• Roda fixa padrão com roletes montados nos perímetros

das rodas em um ângulo γγγγ com o plano da roda• Dependendo do ângulo γγγγ, os movimentos no eixo

EESC-USP © M. Becker 2008 38/90

xr

αααα

• Dependendo do ângulo γγγγ, os movimentos no eixo principal e o eixo das rodas podem ser acoplados...

γ = 0º γ = 45º

• Rodas Omni-direcionais (Suecas)

yr

[ ] 0..).()(.)()( =−+−++−++ γϕξθγβγβαγβα crRclcs &&

[ ] 0.).()(.)()( =−−+++++ swswrsrRslsc ϕγϕξθγβγβαγβα &&&

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 39/90

xr

αααα

γ = 0º γ = 45º

• Rodas Esféricas– Não apresenta restrições diretas à locomoção– Não têm eixo principal de rotação (nenhuma

restrição ao rolamento e escorregamento)– É omni-direcional e não estabelece restrições à yr

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 40/90

– É omni-direcional e não estabelece restrições à cinemática do chassis.

xr

αααα

BallBot - CMU

• Rodas Esféricas

yr

[ ] 0.).(.)()( =−−+−+ ϕξθββαβα && rRclcs

[ ] 0).(.)()( =++ ξθββαβα &Rslsc

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 41/90

xr

[ ] 0).(.)()( =++ ξθββαβα Rslsc

αααα

BallBot - CMU

CinemáticaCinemática

• Restrições Cinemáticas– Dado um robô com m rodas

• Cada roda (dependendo do tipo) pode ou não impor alguma restrição cinemática ao movimento do robô.

EESC-USP © M. Becker 2008 42/90

movimento do robô.• A posição das rodas no chassis do robô deve

ser levada em conta para verificar as restrições impostas

• Dica: atenção com as rodas padrão e esterçáveis!

Fixa Esterçável

• Restrições Cinemáticas– Qual é a manobrabilidade do robô

considerando a combinação da diferentes rodas?

• Supondo que se tem: N = N + N

CinemáticaCinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 43/90

• Supondo que se tem: N = Nf + Ns

– βs(t) é o ângulo de esterçamento das Rodas Ns

– βf(t) é o ângulo de orientação das Rodas Nf

– Ambas rodas têm posições rotacionais ϕf(t) e ϕs(t) em torno do eixo horizontal que variam em função do tempo:

=

)(

)()(

t

tt

s

f

ϕ

ϕϕ

• Restrições Cinemáticas– Quanto ao Rolamento:

CinemáticaCinemática

0.).()( 21 =− ϕξθβ && JRJ s

EESC-USP © M. Becker 2008 44/90

• J1(βs): matriz com as projeções para todas as rodas de suas locomoções sobre os planos individuais

• J2: matriz diagonal N x N dos raios das rodas

=

)()(

1

1

1

ss

f

sJ

JJ

ββ

1 – Semelhante às equações obtidas para uma única roda.2 – Ao invés de valores, matrizes são empregadas...

• Restrições Cinemáticas– Quanto ao Escorregamento (mov. lateral):

CinemáticaCinemática

=

)()(

1

1

1

s

f

sC

CC

ββ0).()(1 =ξθβ &RC s

EESC-USP © M. Becker 2008 45/90

• C1f e C1s: matrizes (Nf x 3) e (Ns x 3) cujas colunas são os 3 termos kx, ky e kθ para todas as rodas fixas e esterçáveis.

)(1 ssC β1 s

1 – Semelhante às equações obtidas para uma única roda.2 – Ao invés de valores, matrizes são empregadas...

• Restrições Cinemáticas– Assim:

CinemáticaCinemática

0.).()( 21 =− ϕξθβ && JRJ s

EESC-USP © M. Becker 2008 46/90

0).()(1 =ξθβ &RC s

=

0

.).(

)(

)(2

1

1 ϕξθ

β

β &&

JR

C

J

s

sNa forma matricial

• Restrições Cinemáticas– Exemplo: Robô Omni-direcional

CinemáticaCinemática

yyr

EESC-USP © M. Becker 2008 47/90

Palm Pilot Robot Kit - CMU x{I}

xr

CIR

•• Introdução Introdução

•• CinemáticaCinemática

•• Manobrabilidade e Manobrabilidade e WorkspaceWorkspace

Sumário da AulaSumário da Aula

EESC-USP © M. Becker 2008 48/90

•• Manobrabilidade e Manobrabilidade e WorkspaceWorkspace

• Controle

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

ManobrabilidadeManobrabilidade

• Manobrabilidade– É uma combinação de:

• Restrições ao movimento• DoFs adicionais obtidos através do esterçamento

– 3 rodas são suficientes para estabilidade

EESC-USP © M. Becker 2008 49/90

– 3 rodas são suficientes para estabilidade estática

• Rodas adicionais devem ser sincronizadas

– Equacionada através das equações anteriores:

• Grau de Mobilidade (δm), Grau de Esterçamento (δs) e Manobrabilidade (δM = δm + δs)

ManobrabilidadeManobrabilidade

• Grau de Mobilidade– Para se evitar escorregamento lateral o

vetor tem que satisfazer as seguintes condições:

ξθ &).(R

EESC-USP © M. Becker 2008 50/90

0).(1 =ξθ &RCf

0).()(1 =ξθβ &RC ss

=

)()(

1

1

1

ss

f

sC

CC

ββ

0).()(1 =ξθβ &RC s

ManobrabilidadeManobrabilidade

• Grau de Mobilidade– Matematicamente:

• deve pertencer ao espaço nulo da matriz de projeção

• Ou seja: para um vetor n em N, o espaço nulo

ξθ &).(R)(1 sC β

EESC-USP © M. Becker 2008 51/90

• Ou seja: para um vetor n em N, o espaço nulo de no espaço N é:

– Geometricamente: • Centro Instantâneo de Rotação (CIR)

0).(1 =nC sβ

)(1 sC β

ManobrabilidadeManobrabilidade

• Centro Instantâneo de Rotação (CIR)

EESC-USP © M. Becker 2008 52/90

Ângulos de Arckeman Bicicleta

CIR

CIR

ManobrabilidadeManobrabilidade

• Grau de Mobilidade:– A cinemática do chassis do robô é uma função

do conjunto de restrições independentes → rank(C1(βs))

• Quanto maior o rank, mais limitada é a mobilidade!!

EESC-USP © M. Becker 2008 53/90

• Quanto maior o rank, mais limitada é a mobilidade!!

– Matematicamente:

• Sem rodas padrão: rank(C1(βs)) = 0

• Restrição em todas direções: rank(C1(βs)) = 3

[ ] [ ])(3)(dim 11 ssm CrankCN ββδ −==

ManobrabilidadeManobrabilidade

• Grau de Esterçamento– DoF “indireto”

– O controle do ângulo de esterçamento impõe

[ ])(1 sss Crank βδ =

EESC-USP © M. Becker 2008 54/90

– O controle do ângulo de esterçamento impõe uma restrição cinemática, porém aumenta o grau de manobrabilidade!

ManobrabilidadeManobrabilidade

• Grau de Manobrabilidade

– Dois robôs (veículos) com o mesmo δM não são necessariamente iguais!

smM δδδ +=

EESC-USP © M. Becker 2008 55/90

necessariamente iguais!

Pygmalion – Acionamento Diferencial

Piaggio – Triciclo

ManobrabilidadeManobrabilidade

• Grau de Manobrabilidade– Para um robô com δM = 2, o CIR move-se ao

longo de uma linha– Para um robô com δM = 3, o CIR pode estar em

qualquer lugar no plano

EESC-USP © M. Becker 2008 56/90

qualquer lugar no plano– Ex.: Robô com acionamento Síncrono

δM = δm + δs = 1 + 1 = 2

ManobrabilidadeManobrabilidade

• Exemplo:– Acionamento Síncrono

EESC-USP © M. Becker 2008 57/90

ManobrabilidadeManobrabilidade

• 5 tipos básicos de Configuração de Rodas

EESC-USP © M. Becker 2008 58/90

Omnidirecional Diferencial Triciclo Duplo EsterçamentoOmnidirecional

WorkspaceWorkspace

• Graus de Liberdade– Manobrabilidade é equivalente a DoF ?– Mas, qual o DoF no ambiente?

• Exemplo: Carros

EESC-USP © M. Becker 2008 59/90

– Workspace: área de trabalho• Como o robô pode se mover em sua área de

trabalho ?

– Differentiable Degrees of Freedom (DDoF): relacionado com a Mobilidade do Robô (δm)

WorkspaceWorkspace

• Graus de Liberdade– DoF: habilidade do robô atingir várias

posições– DDoF: habilidade do robô executar várias

trajetórias

EESC-USP © M. Becker 2008 60/90

trajetórias

– Exemplo:• Bicicleta: δM = δm + δs = 1 + 1 = 2 → DDoF = 1 e DoF = 3

• Omni-drive: δM = δm + δs = 1 + 1 = 2 → DDoF = 3 e DoF = 3

DoFDDoF m ≤≤ δ

WorkspaceWorkspace

• Robôs com acionamento Omnidirecional– Rodas fixas (esterçáveis ou não) impõem

restrições não-holonômicas.y

EESC-USP © M. Becker 2008 61/90

x

{I}

0

1=2

3

0

DDoF = 3 DoF = 3

WorkspaceWorkspace

• Robôs com Duplo-esterçamento

y

EESC-USP © M. Becker 2008 62/90

0

1=2=3=4

5

x{I}

DDoF = 3 DoF = 3

0

•• Introdução Introdução

•• CinemáticaCinemática

•• Manobrabilidade e Manobrabilidade e WorkspaceWorkspace

Sumário da AulaSumário da Aula

EESC-USP © M. Becker 2008 63/90

•• Manobrabilidade e Manobrabilidade e WorkspaceWorkspace

•• ControleControle

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

ControleControle

• Controle de Movimentação

– Objetivo: seguir a trajetória descrita pela posição e/ou perfis de velocidade em função do tempo.

EESC-USP © M. Becker 2008 64/90

–– Não podeNão pode--se empregar cinemática inversa em se empregar cinemática inversa em robôs nãorobôs não--holonômicosholonômicos.

– Muitos controladores não consideram a dinâmica do sistema → pequenas velocidades de locomoção.

ControleControle

• Sistemas Não-holonômicos– Equações diferenciais não são

integráveis para se obter a posição final.

– Apenas a medida do y

x1,y1

S1e

S1

EESC-USP © M. Becker 2008 65/90

– Apenas a medida do deslocamento de cada roda não é suficiente para obter a posição final. É necessário saber como o movimento foi executado em função do tempo!

x{I}

x2,y2S2e

S1

S2

S1d

S2d

ControleControle

• Sistemas Não-Holonômicos –Interpretação Matemática– Robô móvel move-se ao longo da

trajetória S(t). A cada instante de tempo a velocidade é:

EESC-USP © M. Becker 2008 66/90

tempo a velocidade v(t) é:

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)P

θθ sincos)(t

y

t

x

t

Stv

∂+

∂=

∂=

θθ sincos dydxdS +=

ControleControle

• Sistemas Não-Holonômicos –Interpretação Matemática– A função v(t) é dita integrável

(holonômica) se há uma função trajetória que pode ser descrita

EESC-USP © M. Becker 2008 67/90

trajetória S(t) que pode ser descrita apenas por valores de x, y e θ.

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)P

),,()( θyxStS =

ControleControle

• Sistemas Não-Holonômicos –Interpretação Matemática– Assim:

θθθθ ∂∂

∂=

∂∂

∂∂

∂=

∂∂

∂∂

∂=

∂∂

y

S

y

S

x

S

x

S

xy

S

yx

S222222

;;

EESC-USP © M. Becker 2008 68/90

– Com:

– Obtém-se para dS:

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)P

),,()( θyxStS =

θθθθ ∂∂=

∂∂∂∂=

∂∂∂∂=

∂∂ yyxxxyyx;;

θθ

dS

dyy

Sdx

x

SdS

∂+

∂+

∂=

Controle Controle

• Sistemas Não-Holonômicos –Interpretação Matemática– No caso de um robô onde: θθ sincos dydxdS +=

SSS ∂∂∂

EESC-USP © M. Becker 2008 69/90

– Comparando com:

– Encontra-se:

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)

x

y

{I}

xr

yrv(t)

θ

S(t)P

θθ

dS

dyy

Sdx

x

SdS

∂+

∂+

∂=

0;sin;cos =∂

∂=

∂=

θθθ

S

y

S

x

S

Controle Controle

• Sistemas Não-Holonômicos –Interpretação Matemática– Observando a condição para holomicidade:

∂∂∂∂∂∂ SSSSSS222222

EESC-USP © M. Becker 2008 70/90

– Verifica-se que o 2º e o 3º termo na equação não são satisfeitos!!

0cos0sin ==− θθ e

θθθθ ∂∂

∂=

∂∂

∂∂

∂=

∂∂

∂∂

∂=

∂∂

y

S

y

S

x

S

x

S

xy

S

yx

S222222

;;

Controle Controle

• Controle em Malha Aberta

y� Trajetória dividida em segmentos definidos em função de seu formato

• Segmentos de reta

EESC-USP © M. Becker 2008 71/90

x{I}

• Segmentos de reta• Arcos de circunferência

� Controle: calcular previamente uma trajetória suave baseada em segmentos de reta e arcos de circunferência

Controle Controle

• Controle em Malha Aberta

y� Desvantagens:

• Não é uma tarefa fácil obter uma trajetória pré-definida possível;

EESC-USP © M. Becker 2008 72/90

x{I}

definida possível;• É necessário considerar as limitações e restrições do robô com relação a velocidades e acelerações;•Não pode ser empregada em ambientes dinâmicos;•Em geral, as trajetórias obtidas não são exatamente “suaves”.

Controle Controle

• Controle em Malha FechadaDeseja-se encontrar uma matriz de controle K:

=131211 kkk

Kxr

yr

xr

yr

EESC-USP © M. Becker 2008 73/90

=232221

131211

kkkK

início

fim

einício

fim

e Para que o controle de v(t) e ω(t)

reduza o erro e a zero

==

r

r

r

y

x

KeKt

tv

θω

..)(

)(

0)(lim =∞→

tet

yg = y

gol

ControleControle

• Controle de Posição - Cinemática

EESC-USP © M. Becker 2008 74/90

xr

yr

xg = xgol

∆x

∆y

Modelo Cinemático de um Robô com Acionamento Diferencial

=

ωθ

θ

θ

vy

x

10

0sin

0cos

&

&

&

ControleControle

• Controle de Posição – Cinemática– Coordenadas Polares: – Sistema:

),(2tan

22

θα

ρ

−∆∆=

∆+∆=

xya

yx

α

ρ

0cos

&

EESC-USP © M. Becker 2008 75/90

xr

yr

yg = y

xg = xgol

∆x

∆y xr

yr

yg = y

xg = xgol

∆x

∆y

)(

),(2tan

αθβ

θα

+−=

−∆∆= xya

−=

ω

ρ

α

ρ

α

β

α

ρv

0sin

1sin

&

&

&

Para α ∈ I1: (-π/2, π/2]

ControleControle

• Controle de Posição – Cinemática– Coordenadas Polares: – Sistema:

),(2tan

22

θα

ρ

−∆∆=

∆+∆=

xya

yx

α

ρ

0cos

&

EESC-USP © M. Becker 2008 76/90

xr

yr

yg = y

xg = xgol

∆x

∆y xr

yr

yg = y

xg = xgol

∆x

∆y

)(

),(2tan

αθβ

θα

+−=

−∆∆= xya

−=

ω

ρ

α

ρ

α

β

α

ρv

0sin

1sin

&

&

&

Para α ∈ I2: (-π,-π/2] ∪ (π/2, π]

Controle Controle

• Controle de Posição – Cinemática– Conclusões:

• A transformação de coordenadas é indefinida para x = y = 0. Nesse ponto o determinante da

EESC-USP © M. Becker 2008 77/90

para x = y = 0. Nesse ponto o determinante da Matriz Jacobiana da transformação é indefinido.

• Para α ∈ I1, a orientação do robô móvel aponta para a posição desejada (gol) e para α ∈ I2, a orientação é oposta à direção do gol.

Controle Controle

• Controle de Posição – Cinemática– Conclusões:

• Definindo-se adequadamente a orientação do robô em sua configuração inicial, sempre é

EESC-USP © M. Becker 2008 78/90

do robô em sua configuração inicial, sempre é possível ter-se α ∈ I1 para t = 0. Entretanto isso não significa que α ∈ I1 para todo instante t de tempo.

Controle Controle

• Controle de Posição – Cinemática– A Lei de Controle - Exemplo

• Sendo: ρρkv =

βαω βα kk +=

EESC-USP © M. Becker 2008 79/90

• O sistema de controle em malha fechada:

• Irá movimentar o robô para: (ρ,α,β)=(0,0,0)

−−

=

α

βαα

αρ

β

α

ρ

ρ

βαρ

ρ

sin

sin

cos

k

kkk

k

&

&

&

βαω βα kk +=

Controle Controle

• Controle de Posição – Cinemática– A Lei de Controle - Exemplo

• Premissas:

EESC-USP © M. Becker 2008 80/90

1 – O sinal de Controle v tem sempre o mesmo sentido (+ ou -);

2 – A direção de movimento é mantida positiva ou negativa durante o trajeto

3 – A manobra de aproximação final (“estacionar”) é realizada sempre sem inverter o movimento (não há “balizas”, etc.)

ControleControle

• Controle de Posição – Cinemática

Trajetória do robô Trajetória do robô

EESC-USP © M. Becker 2008 81/90

X [mm] X [mm]

Y [m

m]

Y [m

m]

ControleControle

• Controle de Posição – Cinemática– Estabilidade

• O sistema de controle em malha fechada é localmente estável se:

0;0;0 >−<> kkkk

EESC-USP © M. Becker 2008 82/90

• Prova: para x pq → cos x = 1 e sin x = x

0;0;0 >−<> ραβρ kkkk

−−

=

α

βαα

αρ

β

α

ρ

ρ

βαρ

ρ

sin

sin

cos

k

kkk

k

&

&

&

−−−

=

β

α

ρ

β

α

ρ

ρ

βρα

ρ

.

00

)(0

00

k

kkk

k

&

&

&

ControleControle

• Controle de Posição – Cinemática– Estabilidade

• Sendo a matriz A:

−−−

=

00

)(0

00

ρ

βρα

ρ

k

kkk

k

A

EESC-USP © M. Becker 2008 83/90

• O polinômio característico da matriz A:

• Tem soluções têm partes reais negativas, pois:

( )( )βρραρ λλλ kkkkk −−++ )(.2

0;0;0 >−>−> ραβρ kkkk

ControleControle

• Controle de Posição – Cinemática– Estabilidade

• Para um Controle RobustoControle Robusto de Posição do Robô, é recomendável aplicar uma condição forte de estabilidade que garanta que o robô

EESC-USP © M. Becker 2008 84/90

forte de estabilidade que garanta que o robô não alterará sua direção na aproximação final:

02

3

5;0;0 >−+<> ρβαβρ

πkkkkk

ControleControle

• Controle de Posição – Cinemática– Estabilidade

• Assim:

02

3

5;0;0 >−+<> ρβαβρ

πkkkkk

EESC-USP © M. Becker 2008 85/90

• Assim:

22

11

)0(,

)0(,

ItI

ItI

∈∀∈

∈∀∈

αα

αα

quedesdepara

quedesdepara

•• Introdução Introdução

•• CinemáticaCinemática

•• Manobrabilidade e Manobrabilidade e WorkspaceWorkspace

Sumário da AulaSumário da Aula

EESC-USP © M. Becker 2008 86/90

•• Manobrabilidade e Manobrabilidade e WorkspaceWorkspace

•• ControleControle

•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados

EESC-USP © M. Becker 2008 87/90

•• Introdução Introdução

•• CinemáticaCinemática

•• Manobrabilidade e Manobrabilidade e WorkspaceWorkspace

Sumário da AulaSumário da Aula

EESC-USP © M. Becker 2008 88/90

•• Manobrabilidade e Manobrabilidade e WorkspaceWorkspace

•• ControleControle

•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados

•• Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

LIVROS

• Siegwart, R. and Nourbakhsh, I.R., 2004, Introduction to Autonomous Mobile Robots, 1st Edition, MIT Press, ISBN 0-262-19502-X

• Sandin, P. E., 2003, Robot Mechanisms and Mechanical

EESC-USP © M. Becker 2008 89/90

• Sandin, P. E., 2003, Robot Mechanisms and Mechanical Devices Illustrated, McGraw-Hill, ISBN 0-07-141200-X

SITES

• http://www.cs.cmu.edu/~pprk/• http://www.mobilerobots.org

Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

NOTAS DE AULA

• Siegwart, R. (ETHZ - Suíça): http://www.mobilerobots.org

EESC-USP © M. Becker 2008 90/90

http://www.mobilerobots.org

• Simões, A. S. (UNESP - Brasil):http://www.sorocaba.unesp.br/professor/assimoes/rm/index.html

• Zufferey, J-C. (EPFL - Suíça):http://moodle.epfl.ch/course/view.php?id=261