aula 3 - quant de mov e eq de energia
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A EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE
MOVIMENTO LINEARA grandeza a ser diferenciada é a quantidade de movimento linear, m V.
Portanto nossa variável é B = m V, β = d B/ d m = V e a aplicação de TTR
fornece a relação de quantidade de movimento linear para um VCdeformável.
Aonde:
1. A grandeza V é a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial(não acelerado).
2. O termo ΣF é a soma vetorial de todas as forças atuantes no VC material.
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Para um VC fixo, a velocidade relativa Vr = V, é
*
Se o VC tem apenas entradas e saídas unidimensionais, a Eq. * se reduz á:
Esta Eq. estabelece que o vetor da força resultante sobre um VC fixo é igual àtaxa de variação da quantidade de movimento dentro do VC mais a soma
vetorial dos fluxos de quantidade de movimento de saída menos a somavetorial dos fluxos de entrada.
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Força de pressão resultante sobre uma superfície de
controle fechada
Lembre-se que a força de pressão externa sobre uma superfície é
normal à superfície, no sentido para dentro. Sendo o vetor
unitário n definido no sentido para fora, uma maneira de escrever
a força de pressão é
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Exemplo
Um jato de água a velocidade V j incide normalmente sobre uma placa plana que se
move para a direita à velocidade Vc, como mostra a Fig. Encontre a força necessária
para manter a placa movendo-se a uma velocidade constante, se a massa específica
da água é 1000 kg/m3, a área do jato é 3 cm2, e V j
e Vc
são 20 e 15 m/s,
respectivamente. Despreze o peso do jato e da placa, e admita o escoamento
permanente em relação à placa móvel, com o jato se dividindo em dois semijatos
iguais, um para cima e outro para baixo.
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TEOREMA DA QUANTIDADE DEMOVIMENTO ANGULAR
O caso mais geral do teorema da quantidade de movimento angular ocorre
para um VC deformável associado a um sistema de coordenadas não
inercial.
Para um VC não deformável isto se reduz a:
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Se há somente entradas e saídas unidimensionais, os termos do fluxo dequantidade de movimento angular sobre a superfície são dados por
Esta Eq. tem aplicação direta em muitos problemas importantes de
escoamento de fluidos envolvendo torques e momentos. Um caso
particularmente importante é a analise de dispositivos rotativos com
escoamento de fluidos, usualmente chamados de turbomaquinas.
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A EQUAÇÃO DA ENERGIAVamos aplicar o TTR a primeira lei da termodinâmica. A variável B torna-se a
energia E, e a energia por unidade de massa é β = d E/ d m = e . A Eq. de
energia pode ser escrita para um VC como segue:
Q (+) = Calor adicionado ao sistema eW(+) = trabalho realizado pelo sistema
A energia do sistema por unidade de massa (e), pode ser de vários tipos:
e = einterna + ecinetica + epotencial + eoutras
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Vamos considerar somente os três primeiros termos:
Dividiremos o termo trabalho em três partes:
O trabalho de eixo isola aquela porção de trabalho que é deliberadamente
realizada por uma maquina (rotor de uma bomba, pistão, etc). O trabalho de
pressão é igual ao produto da força de pressão sobre um elemento desuperfície d A pelo componente normal da velocidade entrando no VC.
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O trabalho de cisalhamento devido as tensões viscosas, pode desaparecer ou
ser desprezível, de acordo com o tipo particular de superfície.
Em resumo o resultado do termo de taxa de trabalho consiste essencialmente em:
O termo de trabalho de pressão pode ser combinado com o termo de fluxode energia.
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Como a entalpia h = u + pv. A forma geral final da equação da energia para
um VC fixo fica:
Termos de fluxo de energia unidimensional
Se o VC tem uma serie de entradas e saídas unidimensionais, a integral desuperfície na Eq. anterior, se reduz a uma soma de fluxos de saída menos
outra de fluxos de entrada:
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Exemplo
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A Equação de energia no escoamento permanente
Para escoamento permanente com uma entrada e uma saída
(unidimensionais), a equação de energia se reduz a uma celebre relação
usada em muitas análises de engenharia.
A partir da Eq. da continuidade podemos rearrumar:
Onde q = d Q/ d m é o calor transferido por unidade de massa, analogamente awe = d We/ d m e wv = dWv/dm.
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A ultima Eq. estabelece que a entalpia de estagnação a montante, H1 =
(h+1/2V2+gz), se difere do correspondente valor a jusante, H2, se houver
transferência de calor e trabalho na passagem dos fluidos entre as seções 1
e 2.
Cada termo da Eq. tem dimensão de energia por unidade de massa, sendo
comumente utilizado por Eng. Mecânicos. Se dividirmos todo por “g”, cada termo
torna-se uma altura ou comprimento, preferida pelos Eng. Civis.
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Perdas por atrito em escoamentos a baixa velocidade
Para escoamentos a baixas velocidade, sem trabalho de eixo e
trabalho viscoso desprezível, como ocorre em escoamentos de tubos,
a Eq. de energia pode ser escrito como:
O termo entre parênteses é chamado de altura útil ou altura disponível
ou altura total . O ultimo termo da direita é a diferença entre as alturasdisponíveis a montante e a jusante, representa a perda de altura ou
perda de carga .
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Portanto o escoamento a baixas velocidade pode se escrevercomo:
Os termos de h são todos positivos, ou seja, a perda por atrito
é sempre positiva em escoamentos reais (viscosos), uma
bomba adiciona energia e uma turbina extrai energia do
escoamento.
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Escoamento sem atrito: a equaEscoamento sem atrito: a equaçção de Bernoullião de Bernoulli
Existe uma relação entre pressão, velocidade e elevação para um
fluido sem atrito relacionado à equação de energia conhecida como
Eq. de Bernoulli, (1738).
Para usar corretamente esta equação devemos restringi-la aregiões de escoamento aproximadamente sem atrito. Deve-se
estar atento, já que todos os fluidos são viscosos e, portanto,
todos os escoamentos apresentam algum atrito.
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Considera-se na Fig, um VC formado por um tubo de corrente
elementar, fixo, de área variável A (s) e comprimento d s, onde s é
uma coordenada natural na direção das linhas de corrente.
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A conservação de massa para esse volume elementar conduz a:
Onde m = ρAV e dv = A ds. Logo a forma desejada para conservação de massa é:
Agora, a relação de quantidade de movimento linear na direção das linhas de
corrente:
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Se desprezarmos a força cisalhante nas paredes (escoamento sem
atrito), as forças se devem a pressão e gravidade.
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A força de pressão é mais facilmente visualizada na Fig.
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Substituindo os dois termos de força na relação de quantidade de movimento:
O primeiro e ultimo termo da direita se cancelam , em virtude darelação de continuidade.
Dividindo se o que resta por ρA e rearrumando, obtêm-se a relação final
desejada:
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Essa é a Eq. de Bernoulli para escoamento sem atrito, não
permanente, ao longo de uma linha de corrente.
Integrando sobre dois pontos:
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Para avaliar as duas integrais restantes, devemos estimar o efeito não
permanente e a variação da massa especifica com a pressão. A esta
altura consideramos apenas o caso do escoamento permanente e
incompressível, para o qual a Eq. anterior fica:
Essa é a Eq. de Bernoulli para escoamento sem atrito, permanente,
incompressível ao longo de uma linha de corrente.
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Relação entre a Eq. de Bernoulli e as Eqs. de energia para o
escoamento permanente.
A relação mais geral da Eq. de Bernoulli que leva em conta o atrito,
troca de calor, trabalho de eixo e trabalho viscoso é:
Se comparamos a Eq. de Bernoulli com a Eq. da Energia, vemos
que a Eq. de Bernoulli contem ainda mais restrições do que se
poderia imaginar no inicio:
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1. Escoamento permanente – uma hipótese comum, aplicável a muitos
escoamentos.
2. Escoamento incompressível – aceitável, se o número de Mach do
escoamento for menor que 0,3.3. Escoamento sem atrito – muito restritiva, as paredes solidas introduzem
efeitos de atrito.
4. Escoamento ao longo de uma linha de corrente – linhas de corrente
diferentes podem ter diferentes “ constantes de Bernoulli” w0 = p/ ρ + V2/2 +
gz, dependendo das condições do escoamento.
5. Ausência de trabalho de eixo entre 1 e 2 – sem bombas ou turbinas sobre a
linha de corrente.
6. Ausência de troca de calor entre 1 e 2 – seja calor adicionado, seja calor
removido.
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Portanto, tome cuidado com o uso incorreto da equação de Bernoulli.
Apenas certo conjunto limitado de escoamentos satisfaz a essas seis
hipóteses.
Algumas limitações praticas:
Para o testes do modelo emtúnel de vento. A Eq. de
Bernoulli é valida no núcleo,
mas não nas camadas limite das
paredes do túnel, da superfíciedo modelo e nem na esteira do
modelo.
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O escoamento a traves do propulsor da Hélice. A equação é valida
tanto a montante como a jusante, mas com diferentes constantes
em virtude do trabalho transferido pelo propulsor. A equação não é
valida nas proximidades das pás do propulsor nem nos vórtices
helicoidais.
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Para o escoamento na chaminé é valida antes e depois da fornalha,
mas com uma mudança na Eq. causado pela adição de calor. A Eq.
não é valida na zona de combustão, nem nas camadas limite das
parede das chaminé.
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A moral da historia é aplicar a Eq. de
Bernoulli apenas quando todas as 6
restrições puderem ser satisfeitas .
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Medidores de vazão e a Eq. de Bernoulli
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