Aula 7Aula 7Sobreposição de ondasSobreposição de ondas

Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);Óptica moderna – Fundamentos e Aplicações S. C. Zílio (e-book)-Internet-Artigos RBEF, The Physics Teacher, Physics Education, American Journal of Physics, European Journalof Physics, etc...

Os fenômenos de polarização, interferência e difração, que serão estudados nos próximos encontros, têm uma base conceitual comum pois abordam, na sua essência, aspectos diversos do mesmo processo.

Um dos aspectos mais importantes da equação de onda é a sua linearidade. Se ψi (i =1,2,....) é solução, qualquer combinação linear destas funções também será solução.

Esta propriedade é conhecida como principio da superposição.

MESMA DIREÇÃO E MESMA FREQUÊNCIAMESMA DIREÇÃO E MESMA FREQUÊNCIAADIÇÃO DE AMPLITUDES COMPLEXAS ADIÇÃO DE AMPLITUDES COMPLEXAS

Uma amplitude complexa é descrita através do seu módulo e da sua fase

Eo ∠ α

Considere-se duas perturbações descritas por: E1 = E01 sen(ωt + α1) → E01 ∠ α1

E2 = E02 sen(ωt + α2) → E02 ∠ α2I

E02

R

E01

E1 α1ωt

E02

E2

α2

I

E

E02 = E012 + E022 + 2E01 E02 cos(α2 - α1)

R

E01E1 α1ωt

E02

E2

α2

E0

α

E

I

E = E0 ∠α = Re(E) + i Im(E)

E0 = [Re(E)2 + Im(E)2 ]1/2

α = tg-1 [Re(E) ÷Im(E)}

E0Im(E)

RRe (E)

α

Duas ondas na mesma direção

ONDAS ESTACIONÁRIASONDAS ESTACIONÁRIAS

ONDAS COM MESMA FREQUÊNCIA EM SENTIDOS OPOSTOSONDAS COM MESMA FREQUÊNCIA EM SENTIDOS OPOSTOS

E1 = E0 sen(kx +ωt )

E2 = E0 sen(kx - ωt )

E = E0 {sen(kx +ωt )+ sen(kx - ωt )}E = E0 {sen(kx +ωt )+ sen(kx - ωt )}

senα+ senβ = 2 sen[1/2 (α+β)] cos[1/2 (α-β)]

E = 2E0 sen(kx) cos (ωt) → onda estacionária

Ondas em sentidos opostos – onda estacionária

ADIÇÃO DE ONDAS DE FREQUÊNCIAS DIFERENTES (BATIMENTOS)ADIÇÃO DE ONDAS DE FREQUÊNCIAS DIFERENTES (BATIMENTOS)

E1 = E0 cos(k1x - ω1t )

E2 = E0 cos(k2x - ω2t )

E = E0 {cos(k1 x - ω1t)+ cos(k2x - ω2t )}

cosα+ cosβ = 2 cos[1/2 (α+β)] cos[1/2 (α-β)]

E = 2E0 cos[1/2(k1 – k2)x – (ω1 - ω2)t] cos[1/2(k1 + k2)x – (ω1 + ω2)t]E = 2E0 cos[1/2(k1 – k2)x – (ω1 - ω2)t] cos[1/2(k1 + k2)x – (ω1 + ω2)t]

<ω> = (ω1 + ω2)/2 ωm =(ω1 - ω2)/2

<k> = (k1 + k2)/2 km = (k1 - k2)/2

E = 2E0 cos[kmx – ωmt] cos[ <k>x – <ω>t ]

E 0(x,t)

A perturbação pode ser considerada como uma onda que se propaga com uma amplitude variável no tempo.

batimentos

A PARTÍCULA LIVREA PARTÍCULA LIVRE

fase

vtxik

vEE

v

p

E

kv

E

kp

Aetx

222

),( )(

===

==

=

=

= −

ω

ω

ψ

h

h

faseclássica vp

E

m

Ev 2

22===

∆x =∞

dkekAtx

dxAdx

tkxi∫

∫∫∞+

∞−

−

+∞

∞−

+∞

∞−

=

∞+==

)(2

1),( )(

2*

πψ

ψψ

ω

Não normalizável→ a partícula livre não pode existir com energia bem definida!

dxexkA

dkekAx

ikx

ikx

∫

∫∞+

∞−

−

∞+

∞−

∞−

=

=

)0,(2

1)(

)(2

1)0,(

ψπ

πψ

∆p

Região acessível

Região proibida

∆x∆p=ħ/2

∆x∆p≥ħ/2

∆x

x

ψ (x)

∆x

p

A(p)

∆p

p

x

p

Trajetória clássica

p

x

∆x

∆p Trajetória quântica

ONDAS PERIÓDICS NÃO HARMÔNICAS ONDAS PERIÓDICS NÃO HARMÔNICAS –– ANÁLISE DE FOURIERANÁLISE DE FOURIER

As ondas senóidais puras não têm significado físico.

Teorema de Fourier: “qualquer função f(x), de período λ pode ser representada como a soma de funções harmônicas de comprimentos de onda iguais a submúltiplos de λ (λ , λ/2, λ/3, etc..)

∑∑∞∞A

∫

∫

∑∑

=

=

++=∞

=

∞

=

λ

λ

λ

λ

0

0

11

0

)()(2

)cos()(2

)()cos(2

)(

dxmkxsenxfB

dxmkxxfA

mkxsenBmkxAA

xf

m

m

m

m

m

m

ONDAS NÃO PERIÓDICAS – INTEGRAIS DE FOURIER

LARGURAS DE BANDAS ÓTICASLARGURAS DE BANDAS ÓTICAS

Lâmpada de vapor de sódioLâmpada de vapor de sódio

Espectro de raias

Largura de banda ∆ν

Estados estacionários : ∆E = 0

Meta estado : ∆E ≠ 0 → ∆t ≅ ħ/∆E

E2

Estados estacionários : ∆E = 0∆t = ∞

E1

Efóton = hν = E2 – E1

“Principio da incerteza” : ∆E∆t≅ħ

As transições atômicas responsáveis pela geração de luz ocorrem durante intervalos de tempo da ordem de 10-8 - 10-9 s

tempo

∆t

frequência

∆ν

FLUORESCÊNCIA xFLUORESCÊNCIA x FOSFORESCÊNCIAFOSFORESCÊNCIA

Singleto↑↓

Tripleto ↑↑

Fóton UV Singleto↑↓

absorção

fluorescência

Tripleto ↑↑

Fóton visívelFóton visível

FluorescênciaFluorescência

fosforescênciafosforescência

fosforescênciafosforescência

Tempo de coerência: ∆t ~1/∆ν

Comprimento de coerência: ∆x = c∆t

(distância ao longo da qual uma onda se pode considerar senoidal (fase constante)

Lasers → alguns metros ≤ ∆x ~ 100.000 m ou até mais