aula de redes 7
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conteúdo das aulas de comunicação e redes da ufabcTRANSCRIPT
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1Aula 7 Propriedades Estruturais de Grafos(continuao)
BC0506 - Comunicao e Redes
David Correa Martins [email protected]
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2Na aula passada
Propriedades estruturaisCoeficiente de clusterizao/agrupamento.Densidade do grafo.Distribuio de grau.Distribuio complementar cumulativa.Distncia mdia e dimetro.
Gephi
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3Propriedades Estruturais
t1 t2 t3
t5 t6 t7
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4Propriedades Estruturais
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5Gephi
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6Arquivo 'grafo-teste.gdf' (Tidia)nodedef> name VARCHAR, label VARCHAR, group VARCHAR0 , Carlos H. , Professor1 , Joo E. , Professor2 , Junior B. , Professor3 , Marcel P. , Professor4 , Nina S. , Professor5 , Roberto H. , Professor6 , Roberto M. , Professor7 , Ronaldo F. , Professor8 , Jess P. , Colaborador9 , Andra B. , Alunoedgedef> node1 VARCHAR, node2 VARCHAR, weight DOUBLE2 , 4 , 2.0 2 , 5 , 1.0 2 , 6 , 3.0 2 , 7 , 1.0 4 , 5 , 3.0 4 , 7 , 1.0 5 , 6 , 4.0 6 , 7 , 2.0 6 , 8 , 10.0 6 , 9 , 1.0 8 , 9 , 2.0
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7Arquivo 'grafo-teste.gdf'
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8Gephi
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9Gephi
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I. Coreness
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Coreness
O k-core de um grafo um subgrafo obtido da eliminao de todos os vrtices com grau menor ou igual a k.
O coreness de um dado vrtice, o mximo k tal que o vrtice ainda esteja presente no k-core, mas eliminado do (k+1)-core.
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Coreness
Grafo original
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Coreness
0-coreGrafo original
0
0
0
2
2
5
3
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Coreness
1-coreGrafo original
0
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Coreness
2-coreGrafo original
0
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0
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Coreness
3-coreGrafo original
0
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Coreness
CorenessGrafo original
0
0
0
2
2
5
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3
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0
0
0
1
1
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Coreness
CorenessGrafo original
0
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0
2
2
5
3
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3
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2
2
2
2
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Coreness
O coreness de um grafo o valor mdio dos coreness de todos os ns existentes no grafo.
O coreness do grafo seria = 13/10 = 1,3
0
0
0
1
1
2
2
2
2
3
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Coreness
Exerccio: Determine o coreness de todos os vrtices dos seguintes grafos.
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Coreness
Exerccio: Determine o coreness de todos os vrtices dos seguintes grafos.
2
2
2 2
k-1 corek-0 core k-1 core
k-2 core k-3 core
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Coreness
Exerccio: Determine o coreness de todos os vrtices dos seguintes grafos.
0
1
2
22
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k-0 core k-1 corek-0 core k-1 core
k-2 core k-3 core
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Coreness
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II. Clube Rico (Rich club)
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Clube Rico
O clube rico (CR) de um grafo refere-se a um subgrafo que contm os vrtices com maior grau.
Geralmente o nmero de vrtices do CR limitado por uma porcentagem (e.g. 20%) dos vrtices com maior grau.
O coeciente de CR quantica quo perto um subgrafo, que contm os vrtices com maior grau, est de formar um clique.
Este coeciente a proporo do nmero de arestas no subgrafo, dividido pelo nmero mximo de arestas possveis no subgrafo.
O coeciente de clube rico pode variar de um mnimo de 0 (se no existem arestas) a um mximo de 1 (se o subgrafo for completo).
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Clube Rico
Clube Rico (~50%)Grafo original
0
0
0
2
2
5
3
2
3
3
4
CR = 8/10 = 0,8
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Clube Rico
Uma Rede Nacional de Pesquisa.
Ordem = 2456Tamanho = 13.868
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Clube Rico
Uma Rede Nacional de Pesquisa.
Ordem = 2456Tamanho = 13.868
Clube Rico (~20%)Ordem = 491Tamanho = 659
CR = 0.005478199
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Clube Rico
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III. Centralidade
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Centralidade
Intuitivamente, os vrtices mais centrais so aqueles que a partir dos quais podemos atingir qualquer outro com mais facilidade ou rapidez.
Diferentes medidas (locais):Centralidade de grau.Centralidade de proximidade.Centralidade de eficincia.Centralidade de intermediao de percursos aleatrios.
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Centralidade de Grau
A centralidade de Grau de um vrtice medida pelo nmero de vizinhos que ele possui.
Uma pessoa que se encontra em uma posio que permite o contato direto com muitos outros vista pelos demais como um canal maior de informaes, razo pela qual dizemos ser mais central.
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Centralidade de Grau
Suponha dois grafos, G e H:
Ordem G = 8di = 6
Ordem H = 25dj = 6
Os vrtices i e j tero o mesmo potencial de controle em termos absolutos com relao ao prprio grafo.
O vrtice i poder dominar mais que a metade do sistema de comunicao do grafo G, enquanto j, apenas uma pequena porcentagem.
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Centralidade Relativa de Grau
Seja G um grafo qualquer com n vrtices.
A centralidade Relativa de grau de um vrtice k ser dada por:
Essa medida reflete a proporo dos vrtices adjacentes a k em relao ordem do grafo
Porque (n-1) no denominador?
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Centralidade Relativa de Grau
Centralidade Relativa de GrauCentralidade de grau
0
0
0
2
2
5
3
2
3
3
4
0
0
0
0,550,33
0,33
0,33
0,22
0,22
0,44
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Centralidade Relativa de Grau
claro que para um mesmo grafo,as medidas de centralidade absoluta e relativa produziro sempre a mesma ordenao para os vrtices em escala de importncia, uma vez que diferem apenas em funo da constante de normalizao.
0
0
0
2
2
5
3
2
3
3
4
0
0
0
0,550,33
0,33
0,33
0,22
0,22
0,44
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Centralidade de Proximidade
Medida baseada na soma das distncias de um vrtice em relao aos demais vrtices do grafo.
Centralidade de Proximidade do vrtice k
A centralidade de proximidade para um vrtice de um grafo completo de ordem n?
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Centralidade de Proximidade
Medida baseada na soma das distncias de um vrtice em relao aos demais vrtices do grafo.
Centralidade de Proximidade do vrtice k
A centralidade de proximidade para um vrtice de um grafo completo de orden n?
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Centralidade de Proximidade
Exerccio: Calcule a Centralidade de Proximidade de cada vrtice do seguinte grafo.
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Centralidade de Proximidade
2
3
6
4
1
5
7
Maior componente conexa1-2: 11-3: 21-4: 11-5: 21-6: 21-7: 1
2-1: 12-3: 12-4: 12-5: 12-6: 12-7: 2
3-1: 23-2: 13-4: 23-5: 23-6: 13-7: 3
4-1: 14-2: 14-3: 24-5: 14-6: 24-7: 1
5-1: 25-2: 15-3: 25-4: 15-6: 25-7: 1
6-1: 26-2: 16-3: 16-4: 26-5: 26-7: 3
7-1: 17-2: 27-3: 37-4: 17-5: 17-6: 3
1/9
1/11
1/7
1/8
1/9
1/11
1/11
-
41
Centralidade de Proximidade
Centralidade de ProximidadeCentralidade de Grau
0
0
0
2
2
5
3
2
3
3
4
1/9
1/11
1/7
1/81/9
1/11
1/11
-
42
Centralidade Relativa de Proximidade
Sabemos que:
Centralidade de Proximidade do vrtice k
Assim, podemos definir:
Centralidade Relativa de Proximidade do vrtice k =
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43
Centralidade Relativa de Proximidade
Centralidade Relativa
6/9
6/11
6/7
6/86/9
6/11
6/11
Centralidade de Proximidade
1/9
1/11
1/7
1/81/9
1/11
1/11
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Centralidade de Eficincia
Em Pesquisa Operacional, alguns problemas de localizao consistem em se determinar um local de modo que minimize o tempo mximo de viagem entre o mesmo e todas as demais localizaes.
Estes problemas possuem diversas aplicaes prticas, como por exemplo, a instalao de um hospital, cujo objetivo minimizar o tempo mximo de atendimento de uma ambulncia a uma possvel emergncia.
neste sentido que HAGE e HARARY, em 1995, propuseram uma medida chamada centralidade de eficincia, baseada no conceito de excentricidade de um vrtice.
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45
Centralidade de Eficincia
Seja G um grafo conexo com n vrtices.
A Centralidade de Eficincia do vrtice k definida por:
onde
Esta medida indica que um vrtice mais eficiente quanto menor for a sua excentricidade.
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Centralidade de Eficincia
2
3
6
4
1
5
7
Maior componente conexa1-2: 11-3: 21-4: 11-5: 21-6: 21-7: 1
2-1: 12-3: 12-4: 12-5: 12-6: 12-7: 2
3-1: 23-2: 13-4: 23-5: 23-6: 13-7: 3
4-1: 14-2: 14-3: 14-5: 14-6: 24-7: 1
5-1: 25-2: 15-3: 25-4: 15-6: 25-7: 1
6-1: 26-2: 16-3: 16-4: 26-5: 26-7: 3
7-1: 17-2: 27-3: 37-4: 17-5: 17-6: 3
1/2
1/3
1/2
1/2
1/2
1/3
1/3
-
47
Centralidade de Eficincia
2
3
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1
5
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1/2
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1/2
1/2
1/2
1/3
1/3
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6
4
1
5
7
1/2
1/3
1/2
1/2
1/2
1/3
1/3
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48
Sobre a Lista 03
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49
Lista 03
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50
Lista 03
Submisso:Envie as respostas atravs do seguinte formulrio:
https://docs.google.com/forms/d/1HTD6bzf5jEmd8V3GRUxatYqHWibFXmFnvBxZccjJqpk/viewform
Observaes:
Nos nmero reais considere at a terceira casa decimal.Pode submeter inmeras vezes, apenas a ltima submisso ser avaliada.Data limite: At 14/07 (23h55) Tera-feira.
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Exerccios
Verdadeiro ou falso?
(1) A distncia entre dois vrtices o comprimento do maior caminho existente entre eles.
(2) A densidade de um grafo uma medida que pode ser representada por uma funo que considera como nico parmetro o nmero de arestas do grafo.
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Exerccios
Verdadeiro ou falso?
(1) A distncia entre dois vrtices o comprimento do maior caminho existente entre eles. FALSO do menor caminho
(2) A densidade de um grafo uma medida que pode ser representada por uma funo que considera como nico parmetro o nmero de arestas do grafo.FALSO tambm considera o nmero de vrtices
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Exerccios
(3) A excentricidade de um vrtice o comprimento do maior caminho existente entre ele e os outros vrtices pertencentes a componente conexa.
(4) O coeficiente de clube rico, obtido do p% dos vrtices com maior centralidade de grau, de um grafo completo de N vrtices igual a 1/p.
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Exerccios
(3) A excentricidade de um vrtice o comprimento do maior caminho existente entre ele e os outros vrtices pertencentes a componente conexa.FALSO a maior distncia (comprimento do cam. mnimo)
(4) O coeficiente de clube rico, obtido dos p% dos vrtices com maior centralidade de grau, de um grafo completo de N vrtices igual a 1/p.FALSO 1
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Exerccios Desenhe o grafo abaixoV1V2V3V4V5V6V7V8V9V10V11V12V13V14V15
V1011110001001000
V2101110000000000
V3110010000000000
V4110000000000000
V5111000000000000
V6000000111000000
V7000001010000000
V8000001101000000
V9100001010000000
V10000000000011000
V11000000000101000
V12100000000110000
V13000000000000000
V14000000000000001
V15000000000000010
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Exerccios Desenhe o grafo abaixoV1V2V3V4V5V6V7V8V9V10V11V12V13V14V15
V1111111
V21111
V3111
V411
V5111
V6111
V711
V8111
V9111
V1011
V1111
V12111
V13
V141
V151
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57
Desenho do Grafo G1
V13
V3
V2 V4
V5
V8 V7
V9 V6V10
V11 V12
V15
V14
V1
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Exerccios
Execute o algoritmo de Busca em Profundidade a partir do vrtice 1 do grafo G1. Indique a sequncia de vrtices visitados, considerando na busca a preferncia para vrtices de:a) menor ndiceb) maior ndice
V13
V3
V2 V4
V5
V8 V7
V9 V6V10
V11 V12
V15
V14
V1
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Exerccios
Execute o algoritmo de Busca em Profundidade a partir do vrtice 1 do grafo G1. Indique a sequncia de vrtices visitados, considerando na busca a preferncia para vrtices de:
(a) menor ndice 1, 2, 3, 5, 4, 9, 6, 7, 8, 12, 10, 11
(b) maior ndice 1, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 3, 2, 4
First Slide ExampleSlide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32Slide 33Slide 34Slide 35Slide 36Slide 37Slide 38Slide 39Slide 40Slide 41Slide 42Slide 43Slide 44Slide 45Slide 46Slide 47Slide 48Slide 49Slide 50Slide 51Slide 52Slide 53Slide 54Slide 55Slide 56Slide 57Slide 58Slide 59