Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA

DEZENOVE

FÓRMULA DE TAYLOR

A Fórmula de Taylor consiste num método de

aproximação de uma função por um

polinômio, com um erro possível de ser

estimado.

FÓRMULA DE TAYLOR

Definição

Seja f:I→R uma função que admite derivadas

até a ordem n num ponto c do intervalo I.

O polinômio de Taylor de ordem n de f no

ponto c, denotado por Pn (x), é dado por:

EXEMPLO

EXEMPLO

FÓRMULA DE TAYLOR

Dado um polinômio de Taylor de grau n de uma

função f(x), denotamos por Rn(x) a diferença

entre f(x) e Pn(x), isto é,

xPxfxR nn

FÓRMULA DE TAYLOR

Temos, então, que

f(x) =Pn(x) + Rn(x), ou mais explicitamente,

.

!

!2

´´´

2

xRcxn

cf

cxcf

cxcfcfxf

n

nn

FÓRMULA DE TAYLOR

Para valores de x nos quais Rn(x) é “pequeno”,

o polinômio Pn(x) dá uma boa aproximação de

f(x).

Por isso, Rn(x) chama-se resto.

O problema, agora, consiste em determinar uma

fórmula para Rn(x) de tal modo que ele possa

ser avaliado.

Temos a seguinte proposição.

FÓRMULA DE TAYLOR

Proposição (Fórmula de Taylor)

Seja f:[a,b] → R uma função definida num

intervalo [a,b].

Suponha que as derivadas f´, f´´, ...,f(n) existam e

sejam contínuas em [a,b] e que f(n+1) exista em

(a,b).

Seja c um ponto qualquer fixado em [a,b].

Então, para cada x ϵ [a,b], x ≠ c, existe um ponto

z entre c e x tal que:

FÓRMULA DE TAYLOR

Quando c=0, a Fórmula de Taylor fica

Recebe o nome de Fórmula de Mac-Laurin.

.!1!

!2

´´´

11

2

nn

nn

cxn

zfcx

n

cf

cxcf

cxcfcfxf

1

1

!1!

00´0

n

nn

n

xn

zfx

n

fxffxf

FÓRMULA DE TAYLOR

é chamada Fórmula de Lagrange do resto.

A forma:

11

!1

n

n

n xn

zfxR

Exemplo 1

Determinar os polinômios de Taylor de grau 2 e

de grau 4 da função f(x) = cos x, no ponto c = 0.

Esboçar o gráfico de f e dos polinômios

encontrados.

Usando o polinômio P4(x) para determinar um

valor aproximado para cos (π/6), o que se pode

afirmar sobre o erro cometido?

Solução

Para determinar os polinômios pedidos,

necessitamos do valor de f e de suas derivadas

até ordem 4, no ponto c = 0.

Solução

Solução

Solução

A Figura mostra o gráfico

de f(x), P2(x) e P4(x).

Comparando esses

gráficos, podemos

observar que o gráfico de

P4(x) está mais próximo

do gráfico de f(x).

Se aumentarmos n, o gráfico de Pn(x) se

aproxima cada vez mais do gráfico de f(x).

Solução

Usando o polinômio P4(x)

para determinar um valor

aproximado de cos (π/6),

pela Fórmula de Taylor,

temos:

Solução

Solução

Exemplo 2

Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da

função f(x) = sen 2x no ponto c = π/4. Usar este

polinômio para determinar um valor aproximado

para sen π/3. Fazer uma estimativa para o

erro.

Solução

Solução

Solução

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FÓRMULA DE TAYLOR

Logo, usando o polinômio P6(x) obtemos

sen(π/3) = 0,86602526 e o erro cometido,

em módulo, será inferior a 2,1407•10-26.

Usando a Fórmula de Taylor, pode-se

demonstrar a seguinte proposição que nos

dá mais um critério para determinação de

máximos e mínimos de uma função.

FÓRMULA DE TAYLOR

FÓRMULA DE TAYLOR

Então

FÓRMULA DE TAYLOR

FÓRMULA DE TAYLOR

FÓRMULA DE TAYLOR

FÓRMULA DE TAYLOR

EXERCÍCIO 1

SOLUÇÃO

FIM

DA AULA

DEZENOVE