aula iii ao final desta aula, você deverá ser capaz de: calcular o rotacional do campo...
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AULA III
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Calcular o rotacional do campo eletrostático; Definir o que é o potencial eletrostático; Calcular o potencial eletrostático devido a uma partícula carregada na
origem; Calcular o potencial eletrostático devido a corpos extensos
carregados.
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INTERMEZZO
Para que um campo vetorial A fique univocamente determinado, precisamos saber seu divergente e seu rotacional:
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. ( )
( )
f A r
A g r
Para o campo eletrostático já sabemos qual é seu divergente:
0
( ).
r
E
Mas qual será o seu rotacional?
O POTENCIAL ELETROSTÁTICO I
O campo eletrostático é um campo de rotacional nulo. Isso é facilmente verificável a partir da expressão para E:
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3
33
0
1 '' ( ')
4 | ' |d r
r r
E rr r
O rotacional atua somente sobre a variável r e não sobre a variável r’, portanto o rotacional atua somente sobre a fração no integrando, a qual pode ser reescrita como:
3
' 1
| ' || ' |
r r
r rr r
O POTENCIAL ELETROSTÁTICO II
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4
Logo:3
0
3
0
1 1' ( ')
4 | ' |
1 1' ( ')
4 | ' |
d r
d r
E rr r
E rr r
Potencial eletrostátic
o
3
0
1 1( ) ' ( ')
4 | ' |d r
r rr r
( ) 0 r
Chamando o termo entre colchetes por :
Logo:
O POTENCIAL ELETROSTÁTICO III
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Portanto, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar:
( ) E r
Observações:
• Na definição do potencial eletrostático a integração é sobre todas as cargas no universo;
• O potencial é definido a menos de uma constante arbitrária.
Esta expressão é
geral!
O POTENCIAL ELETROSTÁTICO IV
Uma consequência: somente diferenças de potencial são importantes!
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r1
y
x
Partícula fonte do Campo Elétrico.
r2
(r2)
(r2)
(r1)
(r1)+k
(r2)+ k
(r1)=
O POTENCIAL ESCALAR V
Como o potencial é definido a menos de uma constante, temos liberdade de escolher o ponto no qual o potencial é nulo!
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Escolha padrão: potencial nulo no infinito!
r
y
x
Partícula fonte do Campo Elétrico.
2 (r)
(r) =0
Última galáxia do universo!
r
INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO POTENCIAL ESCALARVamos calcular o trabalho que devemos executar contra o campo
eletrostático E, para levarmos uma partícula com carga elétrica q de um ponto a até um ponto b com velocidade constante. Observe-se que esse trabalho é executado contra a força elétrica F = q E:
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. .b b
a a
W d q d F l E la
bdlq
Usando que E = - :
.b b
b a
a a
W q d q d q l
O campo eletrostático é um campo conservativo:
. . 0b
b a
a
d d E l E l
E
EXEMPLOS
Vamos ver alguns exemplos do Grifitths.
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DESCONTINUIDADES DO CAMPO E DO POTENCIAL
Vamos aplicar a lei de Gauss a um disco cujas bases estão uma na parte superior da superfície e outra na base inferior. As faces laterais possuem áreas desprezíveis.
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Teríamos um mundo perfeito se não tivéssemos limites! O que fazer em um contorno?
DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL II
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1 2
0
1 2 2 20
1.
1. .
S S
ds ds
ds ds ds
1 1
En
E n E n
ds1
ds2
n1
n2
E2
E1
DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL III
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1 2
1 2 2 2 2 1
2 10
. . .
.
S S S
s S S
ds ds ds
A A A
1 1E n E n E E n
E E n
2 1 2Como e 1:S S 1n n
DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL IV
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2 10
.
E E n
Esta equação expressa o fato de que há uma descontinuidade nas componentes normais do campo elétrico . As componentes tangenciais, no entanto, são contínuas.
Logo:
DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL V
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Potencial devido a uma distribuição de dipolos sobre uma superfície S
Consideremos uma camada formada por duas superfícies muito próximas:
DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL VI
O potencial pode ser escrito como:
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0 0 '
1 ( ') 1 ( ')( ) ' ''
4 | ' | 4 | ' |S S
da dad
r r
rr r r r n
Para d << |r - r’|, podemos expandir o denominador na segunda integral usando a identidade:
22 2
1 1 1 . 1 11 ... . ...
| | 2 . x x xxx a
a xa
x a a x
DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL VII
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Logo, após substituir esta expressão na integral do potencial e tomar o limite:
( ) 0lim ( ) ( ) ( )d x
d D
x x x
Obtemos:
0
1 1( ) ( ') . ' '
4 | ' |S
D da
r r n
r r
Densidade de carga
Momento de dipolo
DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL VIII
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Observando que:
2
1 cos '. ' '
| ' | | ' |
dada d
n
r r r r
Então:
0
1( ) ( ')
4S
D d
r r2 1
0
D
Há uma descontinuidade no potencial ao cruzar a dupla camada !!!
FIM DA AULA III
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Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa
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EXEMPLO 2.1
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EXEMPLO 2.1 - CONTINUAÇÃO
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EXEMPLO 2.2
Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa
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EXEMPLO 2.2 - CONTINUAÇÃO
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EXEMPLO 2.3
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EXEMPLO 2.3 - CONTINUAÇÃO
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EXEMPLO 2.4
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EXEMPLO 2.4 - CONTINUAÇÃO
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EXEMPLO 2.5
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EXEMPLO 2.6
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EXEMPLO 2.6 - CONTINUAÇÃO