aula probabilidade
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PROBABILIDADE
Leandro S. A. Gonçalves
Teoria dos conjuntos:
Notação: letra maiúscula - conjunto.
letra minúscula – elemento do conjunto.
Exemplo: A = {a,b,c}
Relacionar elementos e conjuntos:
Am nce"não..perte"
a pertence""
A
Relacionar conjunto com conjunto:
contém""
contido está"
"
Operações entre conjuntos:
Aconjunto doar complement
interseção
união
_
AUA
Lei dos conjuntos:
1) Lei cumulativa: ABBA
ABBA
2) Leis associativas: )()(
)()(
CBACBACBA
CBACBACBA
3) Leis distributivas: )()()(
)()()(
CABACBA
CABACBA
4) Lei da identidade:
A
AA
AA
A
5) Leis complementares ou leis de Morgan: ___________
___________
BABA
BABA
Diagrama de VENN – O retângulo funciona como o universo
μ
A
BC
φCA A e C são conjuntos disjuntos
Mostrar que ___________
BABA
Representar, em diagramas de VENN, as seguintes operações:
CBe)A
C)(AB)(AC)(Bd)A
C)(AB)(AC)(Bc)A
Ab)B
Ba)A_
__
1 - Introdução
A teoria das probabilidades, surgiu nos séculos XV e XVI, relacionadas com jogos de azar.
Com o advento da teoria das probabilidades, foi possível estabelecer as distribuições de probabilidade, consideradas hoje a espinha dorsal da teoria estatística, pois todos os processos inferências são aplicações de distribuição de probabilidade.
Assim, o conhecimento dos conceitos advindo da teoria das probabilidades é de grande importância para uma correta utilização da técnica estatística.
Espaço Amostral
É o universo de todos os possíveis resultados do experimento. É representado pela letra S.
Lançamento de um dado
S={1,2,3,4,5,6}
Lançamento de uma moeda
S={cara,coroa}
Os elementos do espaço amostral S são chamados de pontos amostrais
Eventos
São subconjuntos do espaço amostral S. Um espaço amostral S possui vários eventos.
Ex: lançamento de um dado
S={1,2,3,4,5,6}
Sejam os eventos
A: Ocorrência de números impares:
A = {1,3,5} evento. um é ASA
B: Ocorrência de números pares:
B = {2,4,6} evento. um é BSBAB__
Eventos Mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se os conjuntos A e B são disjuntos.
.exclusivos emutualment eventos os e disjuntos são conjuntos OsBA
Probabilidade de um evento A: P(A)
S amostral espaço do elementos de nº
Aevento do elementos de nºP(A)
1P(A)0(S)nº
(A)nºP(A)
Exemplo: Dado o experimento E: lançamento de dois dados
amostrais pontos 36
(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)
(5,6)(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)
(4,6)(4,5)(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)
(3,6)(3,5)(3,4)(3,3)(3,2)(3,1)
(2,6)(2,5)(2,4)(2,3)(2,2)(2,1)
(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2)(1,1)
S
A – Ocorrer nº impar no 1º dado
2
1
36
18P(A)
Sejam os eventos
B – Ocorrer soma dez
B = {(4,6),(5,5),(6,4)}
12
1
36
3P(A)
TEOREMAS
1. Se Φ representa o conjunto vazio, então P(Φ)=0
0P(A)-P(A))P(
)P(P(A)P(A)
)P(AP(A)
AA
Ex: Lançamento de um dado
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {sair a face 8}
06
0P(A)
))___
AP(-1P(A) ou P(A)-1AP( então A,dear complement evento ofor A Se 2.
P(B)P(A) então B, ASe 3.
A
_
A
S
S
A B
4. Teorema da soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
B)P(A-P(B)P(A)B)P(A
Exemplo: Uma urna contém 15 bolas enumeradas de 1 a 15. Sendo A e B os eventos retirar uma bola múltipla de 3 e 4, respectivamente, pede-se:
B)P(A
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
A={3,6,9,12,15} P(A)=5/15
B{4,8,12} P(B)=3/15
15/1)(12 BAPBA
B)P(A-P(B)P(A)B)P(A
7/151/15-3/155/15B)P(A
C)BP(A-C)P(B- C)P(A-B)P(A-P(C)P(B)P(A)C)BP(A
:então quaisquer, eventos três forem C B, A,Se
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
Quando se associa a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Em particular, se S contém n pontos, então, a probabilidade de cada ponto será 1/n.
Por outro lado, se um evento A contém t pontos, então:
n
r
n
1r.P(A)
ocorre S amostral espaço o que em vezes de nº
ocorrer pode Aevento o que em vezes de nºP(A)
Combinação de r elementos tomados (combinados) p a p (p ≤ r). Calcula-se por:
)!(!
!
prp
r
n
r
pCr,
Exemplo: Quantas comissões de três pessoas podem-se formar um grupo de dez pessoas.
Exemplo: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcule:
a) A probabilidade de ambas serem defeituosas?
b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas?
c) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosas?
Exemplo – Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a) Ela não tenha defeitos graves?
b) Ela não tenha defeitos?
c) Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves?
Exemplo – Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que:
a) Ambas sejam perfeitas?
b) Pelo menos uma seja perfeita ?
c) Nenhuma tenha defeito grave ?
d) Nenhuma seja perfeita ?
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Seja E um experimento. Sejam A e B dois eventos associados ao experimento. A probabilidade de A ocorrer dado que B já tenha ocorrido é chamado probabilidade condicional de A dado B, e é definida por:
0P(B) P(B)
B)P(AP(A/B)
;
Existem duas condicionais:
P(A)
B)P(AP(B/A)
P(B)
B)P(AP(A/B)
;
;
Exemplos:
1) Um comerciante possui um lote de 100 lâmpadas, dos quais 80 são da marca A e as restantes da marca B. Sabendo-se que das lâmpadas marca A 30 apresentam defeitos e somente uma da marca B apresenta defeito. Pergunta-se: Se o comerciante pega ao acaso uma lâmpada.
a) Qual a probabilidade dela ser da marca A dado que sabemos ser defeituosa?
b) Qual a probabilidade de ser defeituosa dado ser ela marca B?
c) Se a lâmpada é da marca A, qual a probabilidade de não ser defeituosa.
Marca A Marca B Total
Defeituosa 30 1 31
Perfeita 50 19 69
80 20 100
2 – Uma urna contém 20 bolas das quais 9 são brancas, 5 azuis e 6 vermelhas. Duas bolas são retiradas sucessivamente da urna sem reposição. Determinar as seguintes probabilidades:
a) Da 2º bola extraída ser vermelha, se a 1º foi vermelha?
b) De extrairmos bolas de cores diferentes?
c) De extrairmos bolas de cores iguais?
3 – Em um colégio, 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% em química e 10% em matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é selecionado aleatoriamente. Pergunta-se:
a) Se ele foi reprovado em química, qual a probabilidade de ter sido reprovado em matemática?
b) Se ele foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ter sido reprovado em química?
c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em química ou matemática?
d) Qual a probabilidade de não ter sido reprovado em nenhuma delas?
e) Qual a probabilidade de ter sido reprovado somente em matemática?
f) Qual a probabilidade de ter sido reprovado somente em química?
TEOREMA DO PRODUTO
“ A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço-amostra, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro.
Assim: P(B)(A/B) B)P(A
P(B)
B)P(AP(A/B)
P(A)(B/A) B)P(A P(A)
B)P(AP(B/A)
EXEMPLOEm um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSITCA
Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é igual à probabilidade condicional de A dado B, isto é, se:
P(A/B)P(A)
É evidente que, se A é independente de B, B é independente de A; assim:
P(B/A)P(B)
Considerando o teorema do produto, pode-se afirmar que: se A e B são independentes, então:
P(A).P(B)B)P(A
EXEMPLO Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas.
EXEMPLO Uma urna contém cinco bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha?
TEOREMA DE BAYES
:se-tem ,i"" cada para Então,
P(B/A). iscondiciona adesprobabilid as todas conhecidas são que tal S
dequalquer evento um B e eventos, vários dos conhecidas adesprobabilid as )P(A Sejam
S.AA Aque tais exclusivos emutualment eventos n , A...., , A, A ASeja
i
n21n321 ,
)).P(B/AP(A......)).P(B/AP(A)).P(B/AP(A
)).P(B/AP(AB)P(A
nn2211
iii
/
EXEMPLO Admita a seguinte configuração:
Urnas u1 u2 u3
Cores
Pretas 3 4 2
Brancas 1 3 3
Vermelhas 5 2 3
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? da 3?
EXEMPLO As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty são respectivamente 2/3; 4/5 e 7/10Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de:
a)Todos acertarem?b)Apenas um acertar?c)Todos errarem?
EXEMPLO Numa bolsa temos cinco moedas de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,50. Qual a probabilidade de, ao retiramos duas moedas, obtermos R$ 1,50?