aula quatorze calculo um 2015 aluno

Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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AULA

QUATORZE

DERIVADAS SUCESSIVAS


Exemplo:

Encontre a derivada segunda de:

.183 2 xxxf

.6

86

''

'

xf

xxf

SOLUÇÃO


Exercício 1

Encontre a segunda derivada de

Solução

.xtgxf


Exercício 2

Encontre a segunda derivada de

Solução

.12 xxf


Exercício 3

Encontre as derivadas sucessivas de

Solução

2

x

exf


Exercício 4

Encontre as derivadas sucessivas de

Solução

.xsenxf

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Função na forma Implícita

Consideremos a equação F(x, y) = 0 (1).

Dizemos que a função y = f(x) é definida

implicitamente pela equação (1) se, ao

substituirmos y por f(x) em (1), esta equação se

transforma numa identidade.


Exemplo:

A equação

.12

012

1

2

2

xy

funçãoaenteimplicitamdefinieyx

00,012

1

12,

2

2

identidadeaobtemosyx

equaçãonaxydosubstituinfatoDe


Para encontrar a função

implícita, basta isolar uma

variável na equação.

O resultado é a forma implícita.

Exemplo


Nem sempre é possível encontrar a forma

explícita de uma função definida implicitamente.

Por exemplo, como explicitar uma função y = f(x)

definida pela equação:

O método da derivação implícita permite

encontrar a derivada de uma função assim

definida, sem a necessidade de explicitá-la.

?0ln234 yxyy


A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA

IMPLÍCITA

Suponhamos que F(x, y) = 0 define

implicitamente uma função derivável y = f(x).

Os exemplos que seguem mostram que usando

a regra da cadeia, podemos determinar y’ sem

explicitar y.

EXEMPLO

Sabendo que y = f(x) é uma derivável definida

implicitamente pela equação

determinar y’.

,422 yx


Exercício 5

Sabendo que y = f(x) é definida pela equação

determinar y’.

,22 32 yxyxy

Solução


Exercício 6

Sabendo que y = f(x) é definida pela equação

determinar y’.

,022 ysenxyx

SOLUÇÃO


Exercício 7

Determinar a equação da reta tangente à curva

no ponto (-1, 0).

,012

12 yx

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA

FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA

Sejam

duas funções da mesma variável t, t ϵ [a, b].

Então, a cada valor de t correspondem dois valores x

e y.

Considerando estes valores como coordenadas de

um ponto P, podemos dizer que a cada valor de t

corresponde um ponto bem determinado do plano xy.

1

tyy

txx


Se as funções x = x(t) e y = y(t) são contínuas,

quando t varia de a até b, o ponto P(x(t), y(t))

descreve uma curva no plano.

As equações (1) são

chamadas equações

paramétricas da

curva e t é chamado

parâmetro.


Vamos supor, agora, que a função x = x(t)

admite uma função inversa t = t(x).

Nesse caso, podemos escrever y = y[t(x)] e

dizemos que as equações (1) definem y como

função x na forma paramétrica.

Eliminando o parâmetro t nas equações (1),

podemos obter a função y = y(x) na forma

analítica usual.


Exemplo 1: As equações

Definem uma função y(x) na forma paramétrica.

De fato, a função x = 2t + 1 é inversível, e sua

inversa é dada por

34

12

ty

tx

.12

1 xt


Substituindo este valor na equação y = 4t + 3,

obtemos a equação cartesiana da função y(x),

que é dada por:

.12312

14

xxy


Exemplo 2: As equações

onde a é uma constante positiva,

representam uma circunferência

de centro na origem e raio a. t

representa o ângulo formado

pelo eixo do x e a reta que liga o

centro ao ponto P.

,2,0,

cos

ttsenay

tax


DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA

PARAMÉTRICA

Seja y uma função de x definida pelas equações

paramétricas

Temos:

.,, battyy

txx

.'

'

tx

ty

dx

dy


Exemplo: Calcular a derivada

da função y(x) definida na forma paramétrica

pelas equações:

dx

dy

.34

12

ty

tx

SOLUÇÃO

.22

4

'

'

:

tx

ty

dx

dy

Temos


Exercício 8: Calcular a derivada


pelas equações:

dx

dy

.69

13

2 tty

tx

SOLUÇÃO



em função de x, da função y(x) definida na forma

paramétrica pelas equações:

,dx

dy

.69

13

2 tty

tx

SOLUÇÃO




pelas equações:

dx

dy

.2

0,4

cos4

3

3

ttseny

tx


SOLUÇÃO


Exercício 11: Determinar a equação da reta

tangente à circunferência

.2,2,422 Ppontonoyx

SOLUÇÃO

DEFERENCIAL

ACRÉSCIMOS

Seja y = f(x) uma função.

Podemos sempre considerar uma variação da

variável independente x.

Se x varia de x1 a x2, definimos o acréscimos de

x, denotada por Δx, como:

.12 xxx

DEFERENCIAL

A variação de x origina uma correspondente

variação de y, denotada por Δy, dada por:

1112 xfxxfyouxfxfy

DEFERENCIAL

DIFERENCIAL

Sejam y = f(x) uma função derivável e Δx um

acréscimo de x. Definimos:

a) a diferencial da variável independente x,

denotada por dx, como dx = Δx;

b) a diferencial da variável dependente y,

denotada por dy, como dy = f ´(x)•Δx.

DEFERENCIAL

De acordo com a definição anterior, podemos

escrever

Assim, a notação dy/dx, já usada para f ´(x),

pode agora ser considerada um quociente

entre duas diferenciais.

.'' xfdx

dyoudxxfdy

DEFERENCIAL

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Consideremos a Figura,

que representa o gráfico

de uma função y = f(x)

derivável.

O acréscimo Δx que

define a diferencial dx está

geometricamente representado pela medida do

segmento PM [P(x1, f(x1)) e M(x2, f(x1))].

DEFERENCIAL


O acréscimo Δy está

representado pela medida

do segmento MQ.

A reta t é tangente à curva

no ponto P. Essa reta

corta a reta x = x2 no

Ponto R, formando o triângulo retângulo PMR. A

inclinação desta reta t é dada por f `(x1) ou tg α.

DEFERENCIAL


Observando o triângulo

PMR, escrevemos;

.

,

,'

,' 1

dxPM

quejáMRdyqueconcluímos

dx

dyxfquedefatooUsando

PM

MRtgxf

DEFERENCIAL


Observamos que, quando

Δx torna-se muito

pequeno, o mesmo ocorre

com a diferença Δy – dy.

Então temos que Δy ≈ dy,

desde que Δx seja um

valor pequeno.

DEFERENCIAL

Exemplo 1:

.01,0

3,562 2

xe

xparayacréscimoocalculexxySe

.0602,0

53632501,3601,32

301,3

301,03

22

11

y

y

ffy

ffyxfxxfy

definiçãoaUsando

DEFERENCIAL

Exemplo 2:

.001,0

2,46 2

xe

xparadyeyacréscimoocalculexySe

.024006,0

4264001,26

2001,2

2001,02

22

11

y

y

ffy

ffyxfxxfy

definiçãoaUsando

DEFERENCIAL

Exemplo 2:

.001,0

2,46 2

xe

xparadyeyacréscimoocalculexySe

.001,0

000006,0

.024,0

001,0212

12'

xparaquemenorvalorumusássemosse

menorseriadyydiferençaA

xxxxfdy

definiçãoaUsando

DEFERENCIAL

Exemplo 3: Calcule, usando diferenciais, um

valor aproximado para .5,653

.5,164

:,65

.3

xex

fazemosexatacúbicaraíztemNÃOComo

xxffazerVamos

03125,0163

5,1

3

1'

.5,1,

3

2

dx

x

dydxxfdyComo

dxquetemosdxxComo

DEFERENCIAL

403125,0:

,

xxfescreverpodemos

ydyfazendoexfxxfyComo

03125,4

:,

xxf

temosxxfIsolando

03125,45,653

Então

DEFERENCIAL

Exemplo 4:

Obtenha um valor aproximado para o volume

de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio

interior 7 m e espessura 0,05 m. Qual o erro

decorrente se resolvermos usando diferenciais?

SOLUÇÃO

FIM

DA AULA

QUATORZE

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