Erwin Schrdinger:

Ec + Ep = E

Ec . (x) + Ep . (x) = E . (x)Ec . (x) + Ep . (x) E . (x)

-d2(x)

dx2h2

8 2m+ Ep . (x) = E . (x)dx82m

Equao de onda a uma dimenso (x), independente do tempo: que traduz o comportamento de uma partcula descrita p q p ppor uma onda (eq. de Schrdinger).

Resolvendo-a conhece-se a funo de onda (x) e a energia da partcula, ambas quantificadasambas quantificadas.

Significado fsico (Born):2(x) densidade de probabilidade de encontrar a partcula no ponto x ( ) p p p

Aplicao a uma partcula numa caixa a uma dimenso:

Condies fronteira:

1) Para x]0,L[Ep(x)=0 )(

)(8 2

2

2

2

xEdx

xdm

h =3 8 dxm2) Para x=0 e x=L

2=2L/3

L

n=3

2

(x) 0

(x) = 0Ep= =2L/nn=1,2,3...

1 =2L=L

n=1

n=2

0 x L0 x L (x) = A sen Kx

x=L:

= A sen(2x/) = A sen(nx/L)Ou:

x=L:para que (x) =0, como A0 ser: sen(KL)=0 KL=nOu seja: K=n/L c/ n= 1,2,3,..... nmero quntico

( ) A ( /L)Funes de onda: n(x) = A sen (nx/L)Energias: En = n2h2/8mL2

Quantificadas por 1 n quntico(1 dimenso)

3=2L/3n=3

En = n2h2/8mL2

2

=Ln=2E 4h2/8 L2

E3 =9h2/8mL2n=3

0 x L

1 =2Ln=1E1 =h2/8mL2

E2 =4h2/8mL2

n=1

n=2

2

=2L/n0 x L

N de nodos de (excepto os extremos): n-1

22

32=2L/3n=3 Para o estado de menor E (n=1):

A i d i b bilid d

12 2L

2=Ln=2

A regio de maior probabilidade de presena da partcula no centro da caixa

0 x L

1 =2Ln=1APLICAES

Equao de Schrdinger a 3 dimenses

)2222h ),,(),,()8 2222

zyxEzyxEzyxm

hp =+

+

+

funo de onda: (x y z) funo de onda: (x,y,z)E energia total da partculaEp energia portencial da partculah t t d Pl kh constante de Planckm massa da partcula

Por resoluo da Eq de Schrdinger:Por resoluo da Eq. de Schrdinger:

Funo de onda, quantificada por 3 nmeros qunticos - orbital(contm informao detalhada acerca do comportamento do electro numa regio do espao)

Valor de energia associado a cada funo de onda(tambm quantificado)

Modelo Quntico do tomo

tomo de Hidrognio e tomos Hidrogenides:1 electro: carga: -e

massa: mmassa: meNcleo: carga: +Ze

massa: mN

),,(),,()8 2

2

2

2

2

2

2

2

zyxEzyxEzyxm

hp =+

+

+

Coordenadas Esfricas

z=r.cos

y=r.sen sen

x=r.sen cos

Modelo Quntico do tomo

tomo de Hidrognio e tomos Hidrogenides:1 electro: carga: -e

massa: mmassa: meNcleo: carga: +Ze

massa: mN

),,(),,()8 2

2

2

2

2

2

2

2

zyxEzyxEzyxm

hp =+

+

+

Por transformao de coordenadas: (x,y,z) (r, , )(x,y,z) (r, , ) = R(r) () ()

= R(r) G(,)Componente radial Componente angular

Resolvendo a equao: n,l,ml - Funo prpria ou orbital(quantificada por 3 nmeros qunticos)

n,l,ml(r, , ) = Rn,l (r) G (, ) l,mln = 1, 2, 3, n quntico principal (nvel ou camada: K, L, M, N,)

(q p q )

l = 0, 1, 2, n-1 n quntico azimutal tipo de orbital: s, p, d, f,(sub-nvel)

ml = -l, -l+1, -l+2, +l - n quntico magntico simetria da orbitalml l, l+1, l+2, +l n quntico magntico simetria da orbitaln 1 2 3

l 0 0 1 0 1 2

m 0 0 1 0 +1 0 1 0 +1 2 1 0 +1 +2ml 0 0 -1,0,+1 0 -1,0,+1 -2,-1,0,+1,+2

Tipo de orbital 1s 2s 2p 3s 3p 3d

lFuno de onda 100 200 21ml 300 31ml 32mlNmero de orbitais

para cada l (sub-nvel) 1 1 3 1 3 5

Nmero de orbitais para cada n (nvel) 1 4 9

Para um tomo hidrogenide:

A i E tifi d l ti i i l nA energia E quantificada apenas pelo nmero quntico principal, n:

En = - constante Z2/n2

En4s 4p 4d 4f

3s 3p 3d

2s 2p

1s

Momento angular = | L | =mvr

|L| = l(l+1) h/

|L| l(l 1) |Lz| = ml

= h/2

1 Z3/2

Algumas funes prprias:

100= 1Za0

exp(-Zr/a0)

1 Z3/2

Zr

1s

200= 14 2Za0

exp(-Zr/2a0)Zra0

2-

3/2

2s

210= 14 2Za0

3/2

exp(-Zr/2a0) cosZra02p

211= 14 2Za0

3/2

exp(-Zr/2a0) sen exp(i)Zra0

Representao grfica da funo de onda radial: R(r)

n=1, l=01s

n 1, l 0

n=2, l=0 n=2, l=1

2s 2p

n=3, l=0 n=3, l=1 n=3, l=23s 3d3p

n 3, l 0 n 3, l 1 n 3, l 2

Representao grfica da funo de probabilidade radial: 4r2R2(r)drDensidade de probabilidade radial: R2(r)

1s r

dr dV = 4r2 dr

2s 2p

3s 3p 3d

1s 3s2s

Superfcies 2() 2()das orbitais p:

--+

-++

Superfcies 2() 2()das orbitais d:

+-

+-

+-

++-

--+

++

+

--

+

Spin do electro

Momento angular de spin: Sg

S quantificado pelo nmero quntico de spin: s=1/2| |

Sz quantificado pelo nmero quntico magntico de spin: ms=1/2||

Spin dos electres- Quantificao

Experincia de Stern-Gerlach (1922)

[Ag: ..5s1]

Previsoclssica

O que foiobservado tomos de prata

(Ag fundida) Forno

Campo magntico

tomos polielectrnicos:

zTOMO DE HLIO

e1e2

rr1

r12

yN

r2

x

No possvel obter uma soluo analtica para a eq. de Schrdinger

N t d d i i d t l t di t ib l

Preenchimenro Electrnico:

No estado de energia mnima do tomo, os electres distribuem-se pelas orbitais ocupando as de menor energia e seguindo o princpio de construo - energia crescente.

As orbitais de mais baixa energia so aquelas que:

As energias das orbitais podem podem prever-se pela Regra emprica de Wiswesser:

As orbitais de mais baixa energia so aquelas que:- tm menor valor da soma (n+l);- para o mesmo valor de (n+l) a de menor n

Princpio de Excluso de Pauli

1 Regra de Hund

ENERGIAS DAS ORBITAIS ATMICAS

E=E(n,l)

Nvel/Perodo

Preenchimento electrnico Orbital

Elemento

Sumrio 3 Equao de Schrdinger a uma Dimenso Independente do Tempo

Interpretao de Born do Quadrado da Funo de Onda Resoluo para uma Partcula numa Caixa de Energia Potencial

Modelo Quntico do tomo

Equao de Schrdinger a trs Dimenses- Coordenadas Esfricas

Soluo da Equao de Schrdinger Funes prprias Soluo da Equao de Schrdinger. Funes prprias- Nmeros Qunticos: n, l e ml- Representaopes grficas das Funes de onda (Orbitais)- Representaopes grficas das Funes de onda (Orbitais)

Sumrio 3 Cont. t d Hid i Hid id tomos de Hidrognio e Hidrogenides

- Funes de distribuio radial

Energias das orbitais- Energias das orbitais

- Diagrama de energias das orbitais atmicas

- Spin do electro. Nmeros qunticos s e msSpin do electro. Nmeros qunticos s e ms tomos Polielectrnicos Configurao Electrnica. Regras de preeenchimento de g g porbitais:

- Princpio de energia mnima;

- Regra de Wiswesser;

- Princpio de excluso de Pauli;

- 1 regra de Hund Teoria: Captulo 1, pag. 17-20Captulo 2