aula01 circuito rlcc

Modelagem no Domnio da Frequncia

Carlos Alexandre Mello

Carlos Alexandre Mello [email protected] 1


Transformada de Laplace

O que so Transformadas?

Quais as mais comuns: Laplace

Fourier

Cosseno

2Carlos Alexandre Mello [email protected]

Cosseno

Wavelet

.....


A transf. de Laplace representa entrada, sada e sistema como entidades separadas

A relao entre elas algbrica

Transformada de Laplace:


onde s = + j uma varivel complexa

F(s) dita a transformada de Laplace de f(t)


O limite inferior da integral anterior significa que mesmo que f(t) seja descontnua em t = 0, podemos comear a integrao apesar da descontinuidade, contanto que a integral convirja

Podemos assim encontrar a transf. de Laplace da funo impulso


funo impulso

Transformada Inversa de Laplace

onde:


Em geral, o clculo da transformada inversa bastante custoso, pois envolve o clculo de integrais complexas

Mas o conjunto de funes importantes para a rea de controle pequeno, permitindo o uso de tabelas que fazem o mapeamento dessas funes


tabelas que fazem o mapeamento dessas funes e de suas transformadas

Vamos ver, a seguir, o clculo de algumas transformadas mais comuns:


Algumas transformadas conhecidas



Propriedades



Exemplo 1:



Exemplo 2: Transformada Inversa

Pelo teorema do deslocamento em frequncia e pela transformada de Laplace de f(t) = t.u(t):


transformada de Laplace de f(t) = t.u(t):

Se: F(s) = 1/s2 f(t) = t.u(t)

e: F(s + a) = 1/(s + a)2 f(t) = e-att.u(t)

Ento: F1(s) = 1/(s + 3)2 f(t) = e-3tt.u(t)


Transformada Inversa: Expanso em Fraes Parciais A Expanso em Fraes Parciais uma ferramenta

matemtica bastante til no clculo da transf. de Laplace

Objetivo matemtico: Simplificar uma funo, expandindo-a em funes de menor grau


expandindo-a em funes de menor grau

Objetivo para controle: Facilitar o clculo da transf. de Laplace

Mtodos: Clearing Fractions

Heaviside Cover-Up (ou Resduos)


Expanso em Fraes Parciais (Clearing Fractions) Exemplo:


Fonte: aula de Sinais e Sistemas do prof. Aluzio Ribeiro.


Expanso em Fraes Parciais (Heaviside Cover-Up ou Resduos) Exemplo:




Expanso em Fraes Parciais (Uso dos dois mtodos) Exemplo:




Expanso em Fraes Parciais Caso 1: Razes do denominador so reais e distintas

Caso 2: Razes do denominador so reais e repetidas


Caso 3: Razes do denominador so complexas


Uso de Transf. de Laplace: Resoluo de Equaes Diferenciais: Resolva a

seguinte equao diferencial para y(t) com todas as condies iniciais nulas


A transformada de Laplace para y(t) :

que leva a:


Uso de Transf. de Laplace: Resoluo de Equaes Diferenciais (cont):

Por expanso em fraes parciais:


ou

Funo de Transferncia

A funo de transferncia retrata a relao entre a sada e a entrada de um sistema

Tal relao pode ser expressa em funo da transf. de Laplace

Geralmente, as funes de entrada e sada se


Geralmente, as funes de entrada e sada se relacionam atravs de uma equao diferencial linear e invariante no tempo de n-sima ordem:

onde y(t) a sada e x(t) a entrada do sistema


Dada a equao diferencial linear e invariante no tempo de n-sima ordem:

Calculando a transf. de Laplace:


Se as condies iniciais forem nulas:

Ou seja:

G(s) a Funo de Transferncia


Funo de Transferncia como diagrama de bloco:

X(s) Y(s)

G(s)


E podemos encontrar a sada de um sistema dada a entrada e sua funo de transferncia: Y(s) = G(s).X(s)

G(s)


A FT de um sistema um modelo matemtico Mtodo operacional de expressar a equao diferencial

que relaciona a entrada sada do sistema

A FT uma propriedade do sistema Independe do sinal de entrada


A FT relaciona a entrada sada, mas no fornece qualquer informao quanto estrutura fsica do sistema Diferentes sistemas podem ter a mesma funo de

transferncia


Se a funo de transferncia de um sistema for conhecida, a sada pode ser estudada para vrias formas de entrada a fim de entender a natureza do sistema

Se a funo de transferncia for desconhecida, ela pode ser inferida experimentalmente introduzindo-


pode ser inferida experimentalmente introduzindo-se sinais de entrada conhecidos e analisando o sinal de sada


Quando a entrada a funo impulso, temos: Y(s) = G(s).X(s)

X(s) = 1 Y(s) = G(s)

cuja transformada inversa daria g(t)

Essa a chamada resposta impulsional do sistema e tambm sua funo de transferncia


tambm sua funo de transferncia

Portanto, possvel obter informao completa sobre as caractersticas de um sistema excitando-o com um impulso unitrio e medindo a sua resposta

Na prtica, seria um pulso de durao bastante curta


Diagrama de blocos Representao grfica das funes desempenhadas por

cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de sinais entre eles

Todas as variveis so ligadas umas s outras atravs de blocos funcionais


de blocos funcionais O bloco traz a representao matemtica da operao aplicada

sobre a entrada que leva sada

A representao em diagramas de bloco de um sistema no nica


Diagrama de blocos Elementos:

G(s)XX(s) E(s) Y(s)

Ponto de Soma

Ponto de Ramificao


G(s)X+ -X(s) E(s) Y(s)

Sistema de malha fechada


Diagrama de blocos Outros tipos:

G(s)X+ -X(s) E(s) Y(s)


H(s)

B(s)

Y(s) = E(s)G(s) = [X(s) B(s)]G(s) = [X(s) Y(s)H(s)]G(s)

Y(s) + Y(s)H(s)G(s) = X(s)G(s)

Y(s)/X(s) = G(s)/[1 + H(s)G(s)] (Funo de Transferncia do sistema)


Diagrama de blocos Outros tipos:

G1(s)X+ -X(s) Y(s)

G2(s)X++

PerturbaoD(s)


H(s)

B(s)

Se D(s) = 0:

Y(s)/X(s) = G1(s)G2(s)/[1 + G1(s)G2(s)H(s)] (Funo de Transferncia do sistema)


Exemplo 1: Ache a funo de transferncia do sistema representado por: dy(t)/dt +2y(t) = x(t)

Soluo: Tomando a transf. de Laplace:

sY(s) + 2Y(s) = X(s)

(s + 2)Y(s) = X(s)


(s + 2)Y(s) = X(s)

G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)


Exemplo 2: Dada a funo de transferncia anterior, ache a resposta do sistema para um degrau unitrio; considere nulas as condies iniciais: x(t) = u(t)

G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)


G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)

X(t) = u(t) X(s) = 1/s

Logo: Y(s) = G(s).X(s)

Y(s) = 1/[s.(s + 2)]

Y(s) = 0,5/s 0,5/(s + 2) Expanso em Fraes Parciais

y(t) = 0,5 0,5e-2t


Exemplo 2 (cont.): Soluo total pelo MatLab



Exerccio 1: Ache a funo de transferncia da equao diferencial:

Soluo: Tomando a transf. de Laplace:


Soluo: Tomando a transf. de Laplace: Y(s)(s3 + 3s2 + 7s + 5) = X(s)(s2 + 4s + 3)

Logo: G(s) = Y(s)/X(s) = (s2 + 4s + 3)/(s3 + 3s2 + 7s + 5)


Exerccio 2: Ache a equao diferencial correspondente seguinte funo de transferncia: G(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)

Soluo:


G(s) = Y(s)/X(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)

Logo: Y(s)(s2 + 6s + 2) = X(s)(2s + 1)

s2Y(s) + 6sY(s) + 2Y(s) = 2sX(s) + X(s)

d2y/dt2 + 6dy/dt + 2y = 2dx/dt + x


Exerccio 3: Ache a resposta a uma rampa para um sistema cuja funo de transferncia : G(s) = s/[(s + 4)(s + 8)]

Soluo:


Logo:

Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos

Modelagem matemtica de circuitos eltricos Resistores, capacitores e indutores

Componentes so combinados em circuitos e encontramos a funo de transferncia



Rede RLC Problema: Encontrar a funo de transferncia que

relaciona a voltagem do capacitor (Vc(s)) com a voltagem de entrada (V(s))



Rede RLC Somando as voltagens no lao e considerando nulas as

condies iniciais, temos a seguinte equao diferencial para essa rede:


Considerando:

Temos:


Rede RLC

A voltagem de um capacitor dada por:

Temos assim:

Ou seja:


Calculando a Transformada de Laplace:


Rede RLC

Ou:



Para simplificar, vamos considerar a transf. de Laplace das equaes de voltagem da tabela anterior (assumindo nulas as condies iniciais): Capacitor:

Resistor:


Resistor:

Indutor:

Definimos, assim, a seguinte funo de transferncia:

Impedncia


Rede RLC:

Podemos entender Z(s) como a soma das impedncias e V(s) como a soma das voltagens. Assim:


e V(s) como a soma das voltagens. Assim: [Soma das Impedncias].I(s) = [Soma das Voltagens]

Circuito

transformado


Rede RLC: Resolvendo o problema anterior usando impedncias:

Temos:

Logo:


Como:

Assim:


Rede RLC: Ou:


Como encontrado anteriormente....


Anlise de Malha Substitua elementos passivos por funes de

impedncia

Substitua fontes e variveis de tempo por suas transf. de Laplace

Assuma uma corrente transformada e uma direo de


Assuma uma corrente transformada e uma direo de corrente em cada malha

Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha

Resolva as equaes simultneas para a sada

Forme a funo de transferncia


Anlise de Malha Exemplo:


Malha 1 Malha 2

G(s) = I2(s)/V(s) = ?


Anlise de Malha Exemplo (cont.): Passo 1: Impedncias


Malha 1 Malha 2

Malha 1:

Malha 2:


Anlise de Malha Exemplo (cont.): Temos:


De (2):

Substituindo em (1):


Anlise de Malha Exemplo (cont.): Ou:



Anlise de Malha Exemplo (cont.): Observe que as equaes paras as

malhas 1 e 2 seguiram um mesmo padro usado anteriormente. Ou seja:

Malha 1: I (s) - I (s) = Soma das Soma das Soma das


Malha 1: I1(s) - I2(s) = Soma das

Impedncias

da Malha 1

Soma das

Impedncias

comuns

Soma das

Voltagens da

Malha 1

Malha 2: I1(s) + I2(s) = Soma das

Impedncias

comuns

Soma das

Impedncias

da Malha 2

Soma das

Voltagens da

Malha 2


Anlise de Ns: Exemplo: Encontrar a funo de transferncia Vc(s)/V(s)

para o circuito abaixo, usando anlise de ns:


Nesse caso, usamos a soma das correntes nos ns ao invs da soma das voltagens nas malhas


Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Da figura anterior, as somas das

correntes nos ns VL(s) e VC(s) so, respectivamente:


Expressando as resistncias em termos de condutncia G1 = 1/R1 e G2 = 1/R2


Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Assim:



Anlise de Ns: Substitua elementos passivos por funes de admitncia

Y(s) = 1/Z(s) = I(s)/V(s) (admitncia = inverso da impedncia)

Substitua fontes e variveis de tempo por suas transf. de Laplace

Substitua as fontes de voltagem transformadas por fontes de corrente transformadas


corrente transformadas

Aplique a lei de Kirchhoff para cada n

Resolva as equaes simultneas para a sada

Forme a funo de transferncia

Teorema de Norton Uma fonte de tenso V(s) em srie com uma impedncia

ZS(s) pode ser substituda por uma fonte de corrente I(s) = V(s)/ZS(s), em paralelo com ZS(s)


Anlise de Ns: Exemplo: Ache a funo de transferncia VC(s)/V(s) usando

anlise de ns e circuito transformado com fontes de corrente

Circuito Original:


Circuito Original:

Circuito Transformado:


Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Todas as impedncias so convertidas para admitncias

Todas as fontes de tenso so convertidas para fontes de corrente colocadas em paralelo com admitncia de acordo com o teorema de Norton



Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Como Y(s) = I(s)/V(s) I(s) = Y(s)V(s)

Somando as correntes no n VL(s) temos:


Somando as correntes no n VC(s) temos:

Combinando essas equaes, encontramos, como antes:


Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Como antes, tambm temos um padro:

N 1: VL(s) - VC(s) =

Soma das

Admitncias

conectadas

Soma das

Admitncias

comuns aos

Soma das

Correntes

aplicadas no


conectadas

no N 1

comuns aos

Ns

aplicadas no

N 1

N 2: VL(s) + VC(s) =

Soma das

Admitncias

comuns aos

Ns

Soma das

Admitncias

conectadas

ao N 2

Soma das

Correntes

aplicadas no

N 2


Exemplo:

Malha 3


Malha 1 Malha 2


Exemplo (cont.):

Malha 1:

Malha 2:

Soma das

Impedncias

na Malha 1

I1(s) - I2(s) - I3(s) =

Soma das

Impedncias

comuns s

Malhas 1 e 2

Soma das

Impedncias

comuns s

Malhas 1 e 3

Soma das

voltagens

aplicadas

Malha 1

Soma das

Impedncias - I (s) + I (s) - I (s) = Soma das

Soma das

Impedncias

Soma das

voltagens


Malha 2:

Malha 3:

Impedncias

comuns s

Malhas 1 e 2

- I1(s) + I2(s) - I3(s) = Soma das

Impedncias

na Malha 2

Impedncias

comuns s

Malhas 2 e 3

voltagens

aplicadas

Malha 2

Soma das

Impedncias

comuns s

Malhas 1 e 3

- I1(s) - I2(s) + I3(s) =

Soma das

Impedncias

comuns s

Malhas 2 e 3

Soma das

Impedncias

na Malha 3

Soma das

voltagens

aplicadas

Malha 3


Exemplo (cont.): Malha 1: (2s + 2)I1(s) (2s + 1)I2(s) I3(s) = V(s)

Malha 2: -(2s + 1)I1(s) + (9s + 1)I2(s) 4sI3(s) = 0

Malha 3: -I1(s) 4sI2(s) + (4s + 1 + 1/s)I3(s) = 0

As 3 equaes devem ser resolvidas simultaneamente para encontrarmos as funes de transferncia


para encontrarmos as funes de transferncia desejadas (como I3(s)/V(s), por exemplo)


Exemplo (cont.):(2s + 2)I1 (2s + 1)I2 I3 = V (1)

-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 4sI3 = 0 (2)

-I1 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0 (3)

De (3):

I = -4sI + (4s + 1 + 1/s)I (4)


I1 = -4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 (4)

Substituindo (4) em (2):

(2s + 1)[4sI2 - (4s + 1 + 1/s)I3] + (9s + 1)I2 4sI3 = 0

I2 = -I3(8s2 + 10s + 3 + 1/s)/(8s2 + 13s + 1) (5)

Substituindo (5) em (4), achamos I1 em funo apenas de I3. Assim, temos em (1), I1 e I2 em funo de I3 e podemos isolar I3 e calcular a funo de transferncia I3/V.


Exemplo (cont.): No MatLab(2s + 2)I1 (2s + 1)I2 I3 = V

-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 4sI3 = 0

-I1 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0


MatLab Symbolic Toolbox

Amplificador Operacional

Os amplificadores operacionais so amplificadores de

acoplamento direto, de alto ganho, que usam

realimentao para controle de suas caractersticas



realimentao para controle de suas caractersticas


Amplificador

operacional

Amplificador

operacional

inversor



Amplificador

operacional

como funo

de transferncia


Caractersticas:

Entrada diferencial: v2(t) v1(t)

Alta impedncia de entrada: Z (ideal)



Alta impedncia de entrada: Zi (ideal)

Baixa impedncia de sada: Zo 0 (ideal)

Alta constante de ganho de amplificao: A (ideal)

A sada dada por: vo(t) = A(v2(t) v1(t))

Amplificador Operacional Inversor Se v2(t) est aterrado, o amplificador chamado de

inversor porque passamos a ter: vo(t) = -Av1(t)

Na configurao da figura c anterior, a funo de transferncia do amplificador operacional inversor :



Exemplo: Ache a funo de transferncia Vo(s)/Vi(s) para o circuito abaixo:



Exemplo (cont.): Como a admitncia de componentes paralelos se

somam, Z1(s) o inverso da soma das admitncias ou:



Para Z2(s) as impedncias se somam:

Assim:

Compensador PID

Amplificador Operacional No Inversor



Amplificador Operacional No Inversor: Exemplo: Ache Vo(s)/Vi(s)



Exerccios Sugeridos (Nise)

Cap. 2, Problemas:

1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20a

No MatLab:

5, 6, 14, 20b


5, 6, 14, 20b

Aproximaes Lineares de Sistemas Fsicos


Carlos Alexandre Mello [email protected] 72


Linearizao

Embora muitos sistemas sejam vistos como lineares eles so, de fato, lineares em intervalos

Se o sistema operar em torno de um ponto de equilbrio e os sinais envolvidos tiverem pequena amplitude, possvel aproximar o sistema no-linear por um linear


linear por um linear Ambos sero considerados equivalentes dentro de um

conjunto limitado de operaes

Linearizao

Um sistema definido linear em termos da excitao e da resposta do sistema

No caso de uma rede eltrica, a excitao a corrente de entrada e a resposta a tenso

Em geral, uma condio necessria para um


Em geral, uma condio necessria para um sistema ser linear pode ser determinada em termos de uma excitao x(t) e uma resposta y(t)

Quando o sistema est em repouso e sujeito a uma

excitao x1(t), ele prov uma resposta y1(t); quando ele

sujeito a uma exitao x2(t), ele gera uma resposta

y2(t)

Linearizao

Para um sistema ser linear, necessrio que a

excitao x1(t) + x2(t) gere uma resposta y1(t) +

y2(t)

Isso normalmente chamado de princpio da superposio


superposio

Mais ainda, um fator de escala de magnitude deve

ser preservado em um sistema linear

Para um sistema com entrada x(t) e sada y(t), se

a entrada multiplicada por uma constante ,

ento a sada tambm ser multiplicada por

Essa propriedade chamada de homogeneidade

Linearizao

Um sistema linear satisfaz as propriedades de

superposio e homogeneidade

y = x2 no linear porque no satisfaz a condio de

superposio

y = mx + b no linear porque no satisfaz a condio


y = mx + b no linear porque no satisfaz a condio

de homogeneidade

No entanto, esse segundo caso pode ser

considerado linear sob um ponto x0, y0, se as

mudanas x e y forem pequenas

Linearizao

Quando x = x0 + x e y = y0 + y, temos:

y = mx + b

ou

y0 + y = mx0 + mx + b

Para y = mx, as condies necessrias so


Para y = mx, as condies necessrias so

satisfeitas

Assim, a ideia linearizar um sistema no linear

assumindo condies de sinais pequenas

Considere uma excitao x(t) e uma resposta y(t)

A relao entre as duas variveis pode ser escrita

como y = g(x(t))

LinearizaoAproximao Linear de Modelos Matemticos No Lineares


como y = g(x(t))

O ponto de operao normal considerado x0 Como a curva (funo) contnua sobre uma rea

de interesse, uma expanso em srie de Taylor

sobre o ponto de operao pode ser usada

Uma expanso em srie de Taylor a expanso de uma srie de funes ao redor de um ponto

Uma srie de Taylor de uma dimenso uma

expanso de uma funo real f(x) ao redor do



expanso de uma funo real f(x) ao redor do

ponto em que x assume um valor qualquer (a,

por exemplo)

Temos ento:

ou:



Apenas notaes diferentes...

A inclinao sob o ponto de operao

uma boa aproximao para a curva sobre uma

pequena extenso de (x x )



pequena extenso de (x x0)

Assim, uma aproximao razovel :

onde m a inclinao no ponto de operao x0

Temos assim a equao linear:

ou y = mx




Resumo:

Base: Expanso em Srie de Taylor Considere um sistema com entrada x(t), sada y(t) e

relao y = f(x)

Se a condio de operao normal corresponde a x0 e y , ento a relao entre x e y pode ser expandida como


y0, ento a relao entre x e y pode ser expandida como srie de Taylor como:

com as derivadas avaliadas em (x x0). Se a variao de (x x0) for pequena, podemos desprezar os

termos de ordem mais elevada

(1)


Assim, a Equao 1 pode ser re-escrita como:

onde:

(2)


A equao 2 pode ainda ser re-escrita como:

Ou seja, (y y0) proporcional a (x x0)


Com isso, temos uma aproximao linear para o modelo no-linear dado

Considere agora um sistema no-linear cuja sada y funo de duas entradas x1 e x2: y = f(x1, x2)


1 2

Expandindo em srie de Taylor em torno de x1 e x2:


O modelo matemtico linear desse sistema no-linear, nas proximidades das condies normais de operao dado por:

onde:


onde:


Se as condies de operao variam muito, essas

equaes linearizadas no so adequadas e as

equaes no lineares devem ser usadas



Exemplo 1: Modelo de Oscilao de Pndulo

Considere o pndulo abaixo:


O torque na massa M : T = MgL sen, onde g a gravidade

A condio de equilbrio para a massa em 0=0o


Exemplo 1 (cont.):

A relao entre T e pode ser vista graficamente abaixo:



Exemplo 1 (cont.):

A primeira derivada calculada no ponto de equilbrio prov a aproximao linear:


E, quando T0 = 0, temos:

que uma aproximao razovel para entre -/4 e /4

Cerca de 5% de erro para = /6


Exemplo 2: Linearize a equao no linear z=xy na regio 5 x 7, 10 y 12. Encontre o erro para o caso em que a equao linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x = 5 e y = 10.

Soluo: Como a regio considerada 5 x 7, 10 y 12, escolhemos x = 6 e y = 11.


10 y 12, escolhemos x0 = 6 e y0 = 11.

Assim, z0 = x0.y0 = 6.11 = 66

Expandindo a equao no linear em uma srie de Taylor prxima do ponto x0 = 6 e y0 = 11 e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos:


Exemplo 2 (cont.):

Onde:


Logo:


Exemplo 2 (cont.):

Quando x = 5 e y = 10 o valor de z dado pela equao linearizada 49, enquanto o valor exato seria 50

Isso d um erro de 2%


Isso d um erro de 2%

LinearizaoLinearizando uma equao diferencial

Circuito Eltrico No-Linear Problema: Encontrar a funo de transferncia

VL(s)/V(s) para o circuito abaixo, o qual contm um resistor no-linear cuja relao entre corrente e tenso dada por ir = 2e

0,1vr, onde ir e vr so a corrente e tenso do resistor respectivamente


do resistor respectivamente


Circuito Eltrico No-Linear Pela lei das malhas, temos:

Ou seja:


Considerando i0 como a corrente de equilbrio, tomamos uma pequena variao, assim, i = i0 + i

Logo:


Circuito Eltrico No-Linear Precisamos agora linearizar :


Assim, a equao diferencial fica:


Circuito Eltrico No-Linear Vamos analisar a condio de equilbrio

Se a fonte v(t) for ajustada para zero, teremos apenas a bateria de 20V em srie com o indutor e o resistor no-linear

No estado estacionrio, a tenso sobre o indutor ser


No estado estacionrio, a tenso sobre o indutor ser zero j que vL(t) = Ldi/dt e di/dt = 0 no estado estacionrio, com a bateria constante

Assim, a tenso do resistor 20V

Como ir = 2e0,1vr, ento ir = 2e

0,1.20 = 14,78 amps = i0


Circuito Eltrico No-Linear Agora, voltando para a equao diferencial aps a

linearizao com L = 1 e i0 = 14,78


Obs: 10*ln(14,78/2) 20


Circuito Eltrico No-Linear A tenso no indutor dada por:


Como:

Ento:

Para pequenos valores ao redor de i = 14,78 amps

A Seguir....

Modelagem no Domnio do Tempo


aula01 circuito rlcc

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