aula13 2.ppt [modo de compatibilidade]autovalores e autovetores observações: v e t(v) tem a mesma...
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Valores Próprios (Autovalores) e Vetores Próprios (Autovetores)
ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Susie C. Keller
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de um Operador Linear
Seja T:V→V um operador linear. Um vetor v V, v ≠ 0, é vetor próprio (autovetor) do operador T se existe IR tal que:
T(v) = v
O número real é denominado valor próprio (autovalor)de T associado ao vetor próprio v.
Autovalores e Autovetores Observações:
v e T(v) tem a mesma direção; dependendo do valor de , o operador T dilata v, contrai v,
inverte o sentido ou o anula ( = 0); na Fig. (1) T dilata v, na Fig. (2), v não é autovetor de T.
Figura 1 Figura 2
Autovalores e Autovetores Exemplo:
Autovalores e Autovetores Determinação dos autovalores e dos autovetores:
1) Autovalores:
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores A equação det(A - I) = 0 é denominada equação
característica do operador T ou da matriz A, e suas raízes sãoos valores próprios do operador T ou da matriz A.
2) Autovetores:A substituição de pelos seus autovalores no sistema
homogêneo das equações lineares permite determinar os autovetores.
Autovalores e Autovetores Exemplo:
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores O sistema homogêneo de eq. lineares que permite a
determinação dos autovetores é:
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores Propriedades dos Autovalores e Autovetores:
I. Se v é um autovetor associado ao autovalor de umoperador linear T, o vetor v, para qualquer real ≠ 0, étambém autovetor de T associado ao mesmo .
De fato:T(v) = v
eT(v) = T(v) = (v)
ouT(v) = (v)
o que prova que v é o autovetor associado ao autovalor .
Autovalores e Autovetores Observação:
Como v é o autovetor associado ao autovalor , fazendo
obtém-se um vetor próprio unitário.
II. Se é um autovalor de um operador linear T:VV, o conjuntoS de todos os vetores v V, inclusive o vetor nulo, associadosao autovalor , é um subespaço vetorial de V.
De fato, se v1, v2 S:T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2= (v1 + v2)
e portanto v1 + v2 S.
v1
Autovalores e AutovetoresAnalogamente, se verifica que v S para todo IR.O subespaço
S = {v V/ T(v) = v}
é denominado subespaço associado ao autovalor ou espaçocaracterístico de T correspondente a ou auto-espaço associado a .
Por exemplo, como foi visto ao autovalor = 6 correspondem osautovetores do tipo v = x(5,2). Assim, o auto-espaço associado a 6 é:
S6 = {x(5,2)/xR} = [(5,2)]
que representa uma reta que passa pela origem.
Autovalores e AutovetoresIII. Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico e,
por isso, os mesmos autovalores.
De fato:Sejam T:V→V um operador linear e A e B bases de V. Sabe-seque a relação entre matrizes semelhantes é:
Então:
Autovalores e Autovetores
Diagonalização de Operadores Diagonalização de Operadores
Dado um operador linear T:V→V, a cada base B de Vcorresponde uma matriz [T]B que representa T na base B.
Nosso objetivo é obter uma base do espaço de modo que amatriz de T nessa base seja a mais simples representante de T.
Essa matriz é uma matriz diagonal.
Propriedade:“Autovetores associados a autovalores distintos de um operador
linear T:V→V são linearmente independentes”
Diagonalização de OperadoresCorolário:
Sempre que tivermos um operador T:IR2→IR2 com 1 ≠ 2, oconjunto {v1, v2}, formado pelos autovetores associados, será umabase do IR2. Esse conceito pode ser estendido para qualquer espaçovetorial, isto é:
“Se T:V→V é linear, dim V = n e T possui n autovaloresdistintos, o conjunto {v1, v2, ..., vn} formado pelos correspondentesautovetores, é uma base de V.”
Diagonalização de OperadoresExemplo:
Diagonalização de Operadores
Diagonalização de Operadores
Assim o conjunto {(1, -1), (-1,0)} é uma base do IR2.
Diagonalização de Operadores Propriedade:
Diagonalização de Operadores
Diagonalização de Operadores Exemplo:
Diagonalização de Operadores
Diagonalização de Operadores
Diagonalização de Matrizes Simétricas
Propriedades:
I. A equação característica de uma matriz simétrica tem apenasraízes reais.
II. Se T:V→V é um operador linear simétrico com autovaloresdistintos, então os autovetores são ortogonais.
III. De forma geral uma matriz A é diagonalizada pela matriz P dosautovetores a partir da relação:
D = P-1AP
Se A for simétrica, P será uma base ortogonal. Caso P sejacomposta de vetores ortonormais, pode-se usar a relação P-1 = Pt edessa forma:
D = PtAP
Diagonalização de Matrizes Simétricas
Exemplo:1) Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica A:
Inicialmente efetua-se o cálculo dos autovalores e autovetores associadosa matriz, os quais são:
1 = 3 com v1 = (x, 2x, 2x)2 = 6 com v2 = (x, x/2, -x)3 = 9 com v3 = (x, -x, x/2)
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Diagonalização de Matrizes Simétricas
Fazendo x = 1 nos autovetores e normalizando-os temos:
v1 = (1, 2, 2) => u1 = (1/3, 2/3, 2/3)v2 = (1, 1/2, -1) => u2 = (2/3, 1/3, -2/3)v3 = (1, -1, 1/2) => u3 = (2/3, -2/3, 1/3)
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E, como D = PtAP