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UFABC -‐ Fenômenos Térmicos -‐ Prof. Germán Lugones
AULA 4 Mecanismos de transferência de Calor
Transferência de Calor • Até agora, discu9mos a transferência de energia sob a forma de calor, mas ainda não descrevemos como esta transferência ocorre.
• Existem três mecanismos de transferência: condução, convecção e radiação.
• Em geral os mecanismos de transferência de calor estão em ação simultaneamente!! • Os mecanismos são fisicamente muito diferentes e portanto tem formulação matemá9ca dis9nta.
Descrição microscópica da condução do calor
• Quando colocamos sobre uma chama uma panela com água, o calor se transmite da chama à água através da parede metálica da panela, por condução.
• As amplitudes das vibrações dos
átomos da base da panela ficam rela9vamente intensas por causa da alta temperatura do fogo.
• Essas ampl i tudes de v ibração intensificadas são transferidas ao longo do metal da panela, de átomo para átomo, em colisões entre átomos adjacentes.
• Desta forma, uma reg ião de temperatura crescente se estende ao longo da base da panela em direção à água.
Descrição macroscópica da condução do calor
(b) Proporcional à diferença de temperatura ΔT = T2 – T1; a água ferve mais depressa se a temperatura da chama é mais alta;
(c) Inversamente proporcional à espessura Δx da chapa metálica: quanto mais espesso o fundo da panela, mais tempo leva para ferver a água.
(d) Proporcional à área A através da qual o calor está fluindo (no exemplo considerado, a área do fundo da panela);
(e) Proporcional ao intervalo de tempo Δt.
Combinando (b) e (c), vemos que ΔQ é proporcional a ΔT/Δx, que é chamado de gradiente de temperatura;
Experimentalmente sabemos que : (a) O calor flui sempre de um ponto 1 a temperatura mais alta para
um ponto 2 a temperatura mais baixa. A quanTdade de calor ΔQ transportada durante um intervalo de
tempo Δt é:
Juntando estes resultados, vemos que: ΔQ é proporcional a A Δt (ΔT/Δx) ou seja, para a condução de calor através de uma espessura infinitesimal dx de um meio durante um tempo dt,
dxdTkA
dtdQ
−=
onde k é uma constante de proporcionalidade caracterís9ca do meio condutor, que se chama de condu2vidade térmica do material (k > 0).
O sinal nega9vo (-‐) na Eq. anterior indica que o calor flui de temperaturas mais altas para temperaturas mais baixas: assim, se o gradiente de temperatura dT/dx < 0, a corrente térmica dQ/dt > 0.
Lei de FOURIER
Comparação com a lei Ohm
Podemos comparar a Lei de Fourier com a Lei de Ohm para a condução de eletricidade (corrente elétrica). Para um condutor de comprimento L e área de secção A, a resistência elétrica R é dada por R = L/(σA), onde σ é a condu9vidade elétrica. Para uma diferença de potencial V, a intensidade da corrente é:
Ø V/L representa o gradiente de potencial elétrico Ø dq é a carga elétrica transportada durante o intervalo de tempo dt
LVA
RV
dtdqi σ===
dxdTkA
dtdQ
−=
Lei de Fourier Lei de Ohm
Algumas ConduTvidades Térmicas
Quanto maior a condu9vidade térmica k, melhor condutora de calor é a substância, ou seja, maior a corrente térmica por unidade de área, para um dado gradiente de temperatura.
Exemplos o Vidro, madeira, são maus condutores de calor. Os metais são bons
condutores de calor.
o Sen9mos que um objeto metálico tocado num dia frio é mais frio que um de madeira, porque a madeira isola o calor da mão no ponto de contato, ao passo que o metal o conduz e difunde.
o Líquidos, como a água, são geralmente maus condutores de calor, embora possam transmi9-‐la por convecção.
o Os melhores isolantes térmicos são os gases, como o ar.
o Embora o tecido de roupas e cobertores isole termicamente, o que mantém melhor o calor do corpo são as camadas de ar que ficam presas entre camadas de tecido, dificultando também as perdas por convecção.
o Consideremos uma barra homogênea de secção A, comprimento L, e condu9vidade térmica k.
o As extremidades estão em contato com reservatórios térmicos de temperaturas T2 e T1.
o A superacie lateral da barra está termicamente isolada.
Após um tempo suficientemente longo a9nge-‐se um regime e s t a c i o n á r i o , o u s e j a , a temperatura ao longo da barra se torna independente do tempo (T só depende de x).
Condução do calor em uma BARRA HOMOGÊNEA
o Quando é a9ngido o regime estacionário, a corrente térmica dQ/dt não pode depender de x, ou seja, o fluxo de calor por unidade de tempo tem de ser o mesmo através de qualquer secção da barra.
o Com efeito, se assim não fosse, h a v e r i a a c umu l a ç ã o ( o u r a r e f a ç ã o d e c a l o r e m determinados pontos, cuja temperatura teria de aumentar (ou diminuir) com o tempo, contrariamente à hipótese.
Pcond é a taxa de condução (a quan9dade de energia transferida por unidade de tempo)
Logo, temos dT/dx = constante (não depende de x), o que dá
Subs9tuindo na lei de Fourier, temos (1=F=frio; 2=Q=quente):
!"!" = −!! − !!! !
!"!" = −!" !"!" = !"!! − !!! !
Consideremos uma barra composta de uma barra de comprimento L2 e conduTvidade térmica k2 e outra de comprimento L1 e conduTvidade k1 (com a mesma seção A).
No regime estacionário o fluxo de calor é o mesmo em qualquer seção reta da barra composta.
Condução do calor em uma BARRA COMPOSTA
ConvectionWhen you look at the flame of a candle or a match, you are watching thermalenergy being transported upward by convection. Such energy transfer occurswhen a fluid, such as air or water, comes in contact with an object whose tem-perature is higher than that of the fluid. The temperature of the part of the fluidthat is in contact with the hot object increases, and (in most cases) that fluidexpands and thus becomes less dense. Because this expanded fluid is now lighterthan the surrounding cooler fluid, buoyant forces cause it to rise. Some of the
In the steady state, the conduction rates through the two materials must beequal.This is the same as saying that the energy transferred through one materialin a certain time must be equal to that transferred through the other material inthe same time. If this were not true, temperatures in the slab would be changingand we would not have a steady-state situation. Letting TX be the temperature ofthe interface between the two materials, we can now use Eq. 18-32 to write
(18-34)
Solving Eq. 18-34 for TX yields, after a little algebra,
(18-35)
Substituting this expression for TX into either equality of Eq. 18-34 yields
(18-36)
We can extend Eq. 18-36 to apply to any number n of materials making upa slab:
(18-37)
The summation sign in the denominator tells us to add the values of L/k for allthe materials.
Pcond !A(TH " TC)
! (L/k).
Pcond !A(TH " TC)
L1/k1 # L2/k2.
TX !k1L2TC # k2L1TH
k1L2 # k2L1.
Pcond !k2A(TH " TX)
L2!
k1A(TX " TC)L1
.
Fig. 18-19 Heat is transferred at a steady rate through a composite slab made up oftwo different materials with different thicknesses and different thermal conductivities.The steady-state temperature at the interface of the two materials is TX.
Cold reservoir at TC
Hot reservoir at TH
k1
L1
Q
TX
k2
L2
The energy transfer persecond here ...
... equals the energytransfer per second here.
CHECKPOINT 7
The figure shows the face andinterface temperatures of a com-posite slab consisting of four
25°C 15°C 10°C –5.0°C –10°C
a b c d
materials, of identical thicknesses, through which the heat transfer is steady. Rank the ma-terials according to their thermal conductivities, greatest first.
49518-12 H EAT TRAN S FE R M ECHAN I S M SPART 2
HALLIDAY REVISED
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Se a junção entre as duas está a uma temperatura intermediária Tx , no regime estacionário teremos:
ConvectionWhen you look at the flame of a candle or a match, you are watching thermalenergy being transported upward by convection. Such energy transfer occurswhen a fluid, such as air or water, comes in contact with an object whose tem-perature is higher than that of the fluid. The temperature of the part of the fluidthat is in contact with the hot object increases, and (in most cases) that fluidexpands and thus becomes less dense. Because this expanded fluid is now lighterthan the surrounding cooler fluid, buoyant forces cause it to rise. Some of the
In the steady state, the conduction rates through the two materials must beequal.This is the same as saying that the energy transferred through one materialin a certain time must be equal to that transferred through the other material inthe same time. If this were not true, temperatures in the slab would be changingand we would not have a steady-state situation. Letting TX be the temperature ofthe interface between the two materials, we can now use Eq. 18-32 to write
(18-34)
Solving Eq. 18-34 for TX yields, after a little algebra,
(18-35)
Substituting this expression for TX into either equality of Eq. 18-34 yields
(18-36)
We can extend Eq. 18-36 to apply to any number n of materials making upa slab:
(18-37)
The summation sign in the denominator tells us to add the values of L/k for allthe materials.
Pcond !A(TH " TC)
! (L/k).
Pcond !A(TH " TC)
L1/k1 # L2/k2.
TX !k1L2TC # k2L1TH
k1L2 # k2L1.
Pcond !k2A(TH " TX)
L2!
k1A(TX " TC)L1
.
Fig. 18-19 Heat is transferred at a steady rate through a composite slab made up oftwo different materials with different thicknesses and different thermal conductivities.The steady-state temperature at the interface of the two materials is TX.
Cold reservoir at TC
Hot reservoir at TH
k1
L1
Q
TX
k2
L2
The energy transfer persecond here ...
... equals the energytransfer per second here.
CHECKPOINT 7
The figure shows the face andinterface temperatures of a com-posite slab consisting of four
25°C 15°C 10°C –5.0°C –10°C
a b c d
materials, of identical thicknesses, through which the heat transfer is steady. Rank the ma-terials according to their thermal conductivities, greatest first.
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ConvectionWhen you look at the flame of a candle or a match, you are watching thermalenergy being transported upward by convection. Such energy transfer occurswhen a fluid, such as air or water, comes in contact with an object whose tem-perature is higher than that of the fluid. The temperature of the part of the fluidthat is in contact with the hot object increases, and (in most cases) that fluidexpands and thus becomes less dense. Because this expanded fluid is now lighterthan the surrounding cooler fluid, buoyant forces cause it to rise. Some of the
In the steady state, the conduction rates through the two materials must beequal.This is the same as saying that the energy transferred through one materialin a certain time must be equal to that transferred through the other material inthe same time. If this were not true, temperatures in the slab would be changingand we would not have a steady-state situation. Letting TX be the temperature ofthe interface between the two materials, we can now use Eq. 18-32 to write
(18-34)
Solving Eq. 18-34 for TX yields, after a little algebra,
(18-35)
Substituting this expression for TX into either equality of Eq. 18-34 yields
(18-36)
We can extend Eq. 18-36 to apply to any number n of materials making upa slab:
(18-37)
The summation sign in the denominator tells us to add the values of L/k for allthe materials.
Pcond !A(TH " TC)
! (L/k).
Pcond !A(TH " TC)
L1/k1 # L2/k2.
TX !k1L2TC # k2L1TH
k1L2 # k2L1.
Pcond !k2A(TH " TX)
L2!
k1A(TX " TC)L1
.
Fig. 18-19 Heat is transferred at a steady rate through a composite slab made up oftwo different materials with different thicknesses and different thermal conductivities.The steady-state temperature at the interface of the two materials is TX.
Cold reservoir at TC
Hot reservoir at TH
k1
L1
Q
TX
k2
L2
The energy transfer persecond here ...
... equals the energytransfer per second here.
CHECKPOINT 7
The figure shows the face andinterface temperatures of a com-posite slab consisting of four
25°C 15°C 10°C –5.0°C –10°C
a b c d
materials, of identical thicknesses, through which the heat transfer is steady. Rank the ma-terials according to their thermal conductivities, greatest first.
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Da expressão anterior podemos obter TX :
SubsTtuindo TX na expressão para Pcond , temos
ConvectionWhen you look at the flame of a candle or a match, you are watching thermalenergy being transported upward by convection. Such energy transfer occurswhen a fluid, such as air or water, comes in contact with an object whose tem-perature is higher than that of the fluid. The temperature of the part of the fluidthat is in contact with the hot object increases, and (in most cases) that fluidexpands and thus becomes less dense. Because this expanded fluid is now lighterthan the surrounding cooler fluid, buoyant forces cause it to rise. Some of the
In the steady state, the conduction rates through the two materials must beequal.This is the same as saying that the energy transferred through one materialin a certain time must be equal to that transferred through the other material inthe same time. If this were not true, temperatures in the slab would be changingand we would not have a steady-state situation. Letting TX be the temperature ofthe interface between the two materials, we can now use Eq. 18-32 to write
(18-34)
Solving Eq. 18-34 for TX yields, after a little algebra,
(18-35)
Substituting this expression for TX into either equality of Eq. 18-34 yields
(18-36)
We can extend Eq. 18-36 to apply to any number n of materials making upa slab:
(18-37)
The summation sign in the denominator tells us to add the values of L/k for allthe materials.
Pcond !A(TH " TC)
! (L/k).
Pcond !A(TH " TC)
L1/k1 # L2/k2.
TX !k1L2TC # k2L1TH
k1L2 # k2L1.
Pcond !k2A(TH " TX)
L2!
k1A(TX " TC)L1
.
Fig. 18-19 Heat is transferred at a steady rate through a composite slab made up oftwo different materials with different thicknesses and different thermal conductivities.The steady-state temperature at the interface of the two materials is TX.
Cold reservoir at TC
Hot reservoir at TH
k1
L1
Q
TX
k2
L2
The energy transfer persecond here ...
... equals the energytransfer per second here.
CHECKPOINT 7
The figure shows the face andinterface temperatures of a com-posite slab consisting of four
25°C 15°C 10°C –5.0°C –10°C
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materials, of identical thicknesses, through which the heat transfer is steady. Rank the ma-terials according to their thermal conductivities, greatest first.
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A expressão anterior pode ser generalizada facilmente para o caso de uma barra composta por n materiais diferentes:
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In the steady state, the conduction rates through the two materials must beequal.This is the same as saying that the energy transferred through one materialin a certain time must be equal to that transferred through the other material inthe same time. If this were not true, temperatures in the slab would be changingand we would not have a steady-state situation. Letting TX be the temperature ofthe interface between the two materials, we can now use Eq. 18-32 to write
(18-34)
Solving Eq. 18-34 for TX yields, after a little algebra,
(18-35)
Substituting this expression for TX into either equality of Eq. 18-34 yields
(18-36)
We can extend Eq. 18-36 to apply to any number n of materials making upa slab:
(18-37)
The summation sign in the denominator tells us to add the values of L/k for allthe materials.
Pcond !A(TH " TC)
! (L/k).
Pcond !A(TH " TC)
L1/k1 # L2/k2.
TX !k1L2TC # k2L1TH
k1L2 # k2L1.
Pcond !k2A(TH " TX)
L2!
k1A(TX " TC)L1
.
Fig. 18-19 Heat is transferred at a steady rate through a composite slab made up oftwo different materials with different thicknesses and different thermal conductivities.The steady-state temperature at the interface of the two materials is TX.
Cold reservoir at TC
Hot reservoir at TH
k1
L1
Q
TX
k2
L2
The energy transfer persecond here ...
... equals the energytransfer per second here.
CHECKPOINT 7
The figure shows the face andinterface temperatures of a com-posite slab consisting of four
25°C 15°C 10°C –5.0°C –10°C
a b c d
materials, of identical thicknesses, through which the heat transfer is steady. Rank the ma-terials according to their thermal conductivities, greatest first.
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Exemplo(01:
Uma(janela(cuja(área(é(de(2,0(m2 (é(envidraçada(com(vidro(de(espessura(de(
4,0(mm.(A(janela(está(na(parede(de(uma(casa(e(a(temperatura(externa(é(10°C.A(temperatura(no(interior(da(casa(é(25°C(e(a(condutividade(térmica(do(vidro(
é(0,8(W/m°Ca)(Quanta(energia(é(transferida(através(da(janela(pelo(calor(em(1,0(hora?
b)(Se(a(energia(elétrica(custa(R$0,29/kWh,(quanto(custa(para(repor(com(
aquecimento(elétrico(essa(transferência(de(energia?
a)(P = kAT2 − T 1
L→ P = 0,8 × 2,0
25 −104,0 ×10−3
→ P = 6,0 ×103 (W
P =QΔt
⇒ Q = P Δt → Q = 6,0 ×103 × 3600 → Q = 2,16 ×107 J
b)(Q = P Δt → Q = 6,0kW ×1(hora → Q = 6,0(kWh
Custo(=(0,29R$kWh
× 6,0(kWh → Custo(=(R$1,74
Exemplo: a janela mal vedada
Transferência de calor por radiação (1) o A radiação eletromagné9ca transporta energia. Por esse mo2vo,
ela pode transferir calor de um ponto a outro. Isto é chamado de radiação térmica. A troca de energia e feita por meio de ondas eletromagné9cas !!!
o A radiação térmica é emi9da por um corpo aquecido, e, ao ser absorvida por outro corpo, pode aquecê-‐lo, convertendo-‐se em calor.
o Não é necessário meio algum para a transferência de calor via radiação -‐ por exemplo, a radiação pode viajar do Sol até nos através do vácuo.
o Todo corpo acima do zero absoluto emite radiação térmica o Todo corpo em um ambiente a temperatura acima do zero
absoluto absorve radiação térmica do ambiente.
Transferência de calor por radiação (2) A taxa Prad na qual um objeto emite energia por meio de radiação eletromagné9ca depende da área A da superacie do objeto e da temperatura T dessa área. Para T em kelvins, Prad é dada por:
Prad= εσA T4
o σ = 5,6703 X 10-‐8 W/m2 K4 é chamada de constante de Stefan-‐Boltzmann
o ε é a emissividade da superacie do objeto, a qual tem um valor entre 0 e 1, dependendo da composição da superacie.
o Uma superacie com ε = 1 é chamada de corpo negro. o Veja que quando um corpo tem T=0 , não emite radiação
térmica.
Transferência de calor por radiação (3)
q A taxa Pabs na qual o objeto absorve energia através de radiação térmica de seu ambiente é dada por:
Pabs= ε σ A (Tamb)4 Um radiador de corpo negro ideal, com ε = 1, absorveria toda energia radiada que ele interceptasse (em vez de refle9r ou espalhar parte da radiação).
q Como um objeto irradiará energia para o ambiente enquanto ele absorve energia do ambiente, a taxa líquida Pres de troca de energia com o ambiente devida à radiação térmica é:
Pres= Pabs-‐ Prad= ε σ A (Tamb4 -‐ T4)
Consideremos um corpo (com temperatura T) em contato com o ambiente (com temperatura Tamb)
q Pres é posi9va se a energia líquida es9ver sendo absorvida por radiação e nega9va se ela es9ver sendo perdida por radiação.
Exemplo(02:
Estime(a(ordem(de(grandeza(da(temperatura(de(uma(lâmpada(de(100W(quando
ela(está(ligada.
1)(Considerações(iniciais:(T T0 ((e((e ≈1
P = eσAT 4 → T =PσA
4
2)(Área(do(filamento:
filamento→ aproximadamente(10cm(de(comprimento(e(0,05(mm(de(raio
A = 2πrL→ A ≈ 2 × 3,14 × 5 ×10−5 × 0,1= 3,14 ×10−5 → A ≈ 3×10−5m2
T ≈100
5,7 ×10−8 × 3×10−54 → T ≈ 2,7 ×103 (((ou((( T ~103K
Exemplo 4:
o Um termograma de cores ar9ficiais revela a taxa com que a energia é irradiada por uma casa.
o As taxas, da maior para a menor, têm o código de cores branca, amarela, vermelha, violeta, verde e preta.
o Podemos afirmar que o telhado e as janelas (partes mais claras) estão pouco isoladas.
Convecção
• A convecção ocorre 9picamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o calor é transferido pelo movimento do próprio fluido, que cons9tui uma corrente de convecção.
• Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por conseguinte tende a subir sob o efeito gravitacional (pela força de empuxo),
• O fluido mais frio que esta nas vizinhanças escoa para tomar o lugar do fluido mais quente que sobe, e o processo con9nua. (isto gera correntes de convecção)
• Exemplos: ventos, correntes marinhas, a chama de um fósforo, correntes termais ascendentes na atmosfera (usadas por pára-‐quedistas e por pássaros).
• A modelagem matemá9ca da convecção é complexa à não será estudada neste curso.
Convecção no interior do Sol
Energia é transportada para a superacie do Sol por enormes células de convecção nas quais um gás quente sobe em direção à superacie ao longo da parte central da célula e um gás mais frio desloca-‐se para baixo da superacie pelos lados.
Detalhe da fotosfera do Sol mostrando as células de convecção, que têm entre 2 000 e 5 000 km de extensão e duram entre 5 e 10 min. No Sol, a convecção ocorre ao longo da região mais externa, com uma espessura de aproximadamente um terço do raio. A convecção termina justo abaixo da superacie visível mas seus efeitos podem ser vistos pela granulação solar.
fluxo convectivo, pois uma reducao no excesso do gradiente verdadeiro sobreo gradiente adiabatico causa uma reducao no excessos e deficiencias de tem-peratura dos elementos em movimento, reduzindo, portanto, o transportede energia convectivo. A reducao no gradiente de temperatura por con-veccao continuara ate que o fluxo radiativo, adicionado ao fluxo convectivo,alcance o valor que satisfaca exatamente a condicao de equilıbrio termico(24.101). Nesse estagio, radiacao e conveccao produzem um fluxo de energiaque carrega para fora exatamente a quantidade de energia produzida pelasreacoes nucleares e nao havera mais mudanca de temperaturas, em qualquercamada. Dessa forma, a instabilidade do equilıbrio radiativo leva a umaoutra condicao de equilıbrio, o equilıbrio convectivo, em que movimentosconvectivos ocorrem pelas camadas.
24.17.3 Transporte de energia por conveccao
Figura 24.10: Detalhe da fotosfera do Sol mostrando as celulas de conveccao,que tem entre 2 000 e 5 000 km de extensao e duram entre 5 e 10 min.
Precisamos, agora, derivar uma relacao entre o gradiente de tempera-tura e o fluxo total de energia no estado de equilıbrio convectivo. Para isso,precisamos considerar em detalhe o transporte de energia dos elementosem movimento, de acordo com a teoria do comprimento de mistura (mixinglength theory), desenvolvida pelos alemaes Ludwig Franz Benedikt Biermann(1907-1986) em 1951, e Erika Bohm-Vitense (1923-) em 1958, baseados notrabalho do alemao Ludwig Prandtl (1875 -1953) de 1925. O excesso detemperatura de um elemento ascendente sobre o meio circundante e dadopela diferenca entre a mudanca de temperatura adiabatica, dentro do ele-mento, e a mudanca de temperatura real no meio, desde o ponto de inıcio
337
raio do Sol ≈ 700.000 km
Garrafa Térmica (garrafa de Dewar)
Consiste de uma garrafa menor dentro de outra maior, e estas duas seladas no mesmo gargalo. • No espaço estreito entre elas existe algo próximo do vácuo que impede a condução e a convecção do calor. • A superacie interna do frasco externo e a superacie externa do frasco interno têm um reves9mento reflexivo, geralmente metálico ou similar, para impedir que o calor seja transmi9do através de radiação. • A pouca transferência de calor ocorre quase que inteiramente através da tampa.
é um objeto projetado para fornecer um isolamento térmico quase perfeito.