aula5 algebra boole

7/24/2019 Aula5 Algebra Boole

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Aula 5: determinao e simplificao deexpresses lgicas

Circuitos Digitais

Rodrigo Hausen

CMCC UFABC

4 e 6 de Fev. de 2013http://compscinet.org/circuitos

Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 5: determinao e simplificao de expresses lgicas

4 e 6 de Fev. d e 2013 1 / 21
http://compscinet.org/circuitoshttp://compscinet.org/circuitoshttp://find/http://goback/


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Aula passada: lgebra booleana

lgebra booleana [Boole, 1854]lgebra onde h apenas dois valores vlidos: falso e verdadeiro.

Tambm denotados:F e V;false e true (ou F e T);desligado e ligado;0 e 1, etc.


4 e 6 de Fev. d e 2013 2 / 21
http://find/


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Aula passada: operaes

Operaes

conjuno (e, and): X Y disjuno (ou, or: X + Y negao (no, not: X disjuno exclusiva (ou-ex, xor): X Y = X Y + X Y

Tabelas verdade .Tabela verdade

da conjuno (e)X Y X Y

0 0 00 1 01 0 01 1 1

Tabela verdade dadisjuno (ou)

X Y X + Y 0 0 00 1 11 0 11 1 1

Tabela verdade danegao (no)

X X 0 11 0


4 e 6 de Fev. d e 2013 3 / 21
http://find/


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Aula passada: expresses e funes lgicas

Expresses lgicas:1 + ( 0 1)X Y + X Y

A + B C + A C + B

Funes lgicas: dadas por uma expresso ou tabela verdadeX Y F (X , Y )0 0 00 1 1

1 0 01 1 1

F (X , Y ) = X Y + X Y

Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 5: determinao e simplificao de expresses lgicas4 e 6 de Fev. d e 2013 4 / 21
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Aula passada: regras bsicas

1. X + 0 = X elem. neutro da disjuno

2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjuno

4. X Y = Y X comutatividade da conjuno

5. X + X = X 6. X + X = 1

7. X 0 = 0 8. X 1 = X elem. neutro da conjuno

9. X X = X

10. X X = 0 11. X X = 0

12. X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z associatividade da disjuno

13. X (Y Z ) = ( X Y ) Z associatividade da conjuno

14. X (Y + Z ) = X Y + X Z distributividade da conjunoLeis de Morgan (ou Leis de DeMorgan)15. X + Y = X Y 16. X Y = X + Y

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Um problema meteorolgicoExemplo 1: O tempo para o dia seguinte na cidade de Booleville beregular e fcil de prever. O meteorologista da cidade criou uma tabelaprever se haver chuva no dia seguinte (representada pela varivel C ) apartir de quatro variveis cujo valor depende das condies meteoroldo dia anterior.

V se est ventandoF se faz frioU se est midoN se est nublado

As quatro variveis so medidas pelo meteorologista e ele atribui um 0 (falso) ou 1 (verdadeiro) para cada uma delas.

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Um problema meteorolgicoExemplo 1: O tempo para o dia seguinte na cidade de Booleville beregular e fcil de prever. O meteorologista da cidade criou uma tabelaprever se haver chuva no dia seguinte (representada pela varivel C ) apartir de quatro variveis cujo valor depende das condies meteoroldo dia anterior.

V se est ventandoF se faz frioU se est midoN se est nublado

As quatro variveis so medidas pelo meteorologista e ele atribui um 0 (falso) ou 1 (verdadeiro) para cada uma delas.Ou seja, C funo booleana de V , F , U e N :

C = C (V , F , U , N )

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De tabela verdade para expresso lgicaPreviso do tempo em Booleville: C (chuva amanh) funo lgica deV (vento hoje), F (frio hoje), U (dia mido hoje) e N (nublado hoje).

V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0

0 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 10 1 1 1 1

V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 1

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 11 1 1 1 1

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V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0

0 0 1 1 1 V F U N 0 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 10 1 1 1 1

V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 1

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 11 1 1 1 1

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V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0

0 0 1 1 1 V F U N 0 1 0 0 00 1 0 1 1 V F U N 0 1 1 0 10 1 1 1 1

V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 1

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 11 1 1 1 1

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V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0

0 0 1 1 1 V F U N 0 1 0 0 00 1 0 1 1 V F U N 0 1 1 0 1 V F U N 0 1 1 1 1

V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 1

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 11 1 1 1 1

http://find/


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V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0

0 0 1 1 1 V F U N 0 1 0 0 00 1 0 1 1 V F U N 0 1 1 0 1 V F U N 0 1 1 1 1 V F U N

V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 1 V F U N 1 0 1 0 1 V F U N

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 1 V F U N 1 1 1 1 1 V F U N

http://find/


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V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0


V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 1 V F U N 1 0 1 0 1 V F U N

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 1 V F U N 1 1 1 1 1 V F U N

C (V , F , U , N ) = V F U N +

http://find/


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V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0


V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 1 V F U N 1 0 1 0 1 V F U N

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 1 V F U N 1 1 1 1 1 V F U N

C (V , F , U , N ) = V F U N + V F U N +

http://find/


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V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0


V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 1 V F U N 1 0 1 0 1 V F U N

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 1 V F U N 1 1 1 1 1 V F U N

C (V , F , U , N ) = V F U N + V F U N + V F U N +

http://find/


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V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0


V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 1 V F U N 1 0 1 0 1 V F U N

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 1 V F U N 1 1 1 1 1 V F U N

C (V , F , U , N ) = V F U N + V F U N + V F U N + V F U N +

http://find/


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V F U N C 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 0


V F U N C 1 0 0 0 01 0 0 1 1 V F U N 1 0 1 0 1 V F U N

1 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 1 V F U N 1 1 1 1 1 V F U N

C (V , F , U , N ) = V F U N + V F U N + V F U N + V F U N ++ V F U N + V F U N + V F U N + V F U N

http://find/


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De tabela verdade para expresso lgicaPara facilitar a escrita, quando escrevemos uma conjuno, podemosconsiderar que o sinal est implcito, como fazemos na lgebra comu



b l d d l i
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Vamos simplicar essa expresso. Colocando em evidncia:

C (V , F , U , N ) = V N (F U + F U ) + V F U (N + N ) ++ V F (U N + U N ) + V F N (U + U )


D b l d d l i
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Usando a denio do xor X Y = X Y + X Y e as regras X + X = 1 eX 1 = X :C (V , F , U , N ) = V N (F U ) + V F U + V F (U N ) + V F N


D b l d d l i
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Usando a denio do xor X Y = X Y + X Y e as regras X + X = 1 eX 1 = X :C (V , F , U , N ) = V N (F U ) + V F U + V F (U N ) + V F N

Poderamos continuar a simplicao. Note que nem sempre fcil

simplicar, e que outras expresses (equivalentes) so possveis.Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 5: determinao e simplificao de expresses lgicas4 e 6 de Fev. d e 2013 8 / 21

Ob b f
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Observaes sobre funes

Procedimento para transformar a tabela verdade de uma funoF (X 1 , X 2 , . . . , X n ) em expresso lgica:

PARA CADA linha da tabela onde F (X 1 , X 2 , . . . , X n ) = 1

escreva a conjuno Y 1 Y 2 . . . Y n onde Y i = X i se X i = 1X i se X i = 0

faa a disjuno das conjunes obtidas


Ob b f
http://find/


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Cada uma das conjunes Y 1 Y 2 . . . Y n chamada produto de variveis lgicas oumintermo .Note que o procedimento funciona para qualquer funo lgica e a expressoobtida ter tabela verdade idntica da funo original.


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Cada uma das conjunes Y 1 Y 2 . . . Y n chamada produto de variveis lgicas oumintermo .Note que o procedimento funciona para qualquer funo lgica e a expressoobtida ter tabela verdade idntica da funo original.

Teorema. Toda funo lgica pode ser escrita como disjuno de mintermos(tambm chamada soma de produtos SOP).Portanto, toda funo lgica possui uma expresso que a dene.


http://find/


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Cada uma das conjunes Y 1 Y 2 . . . Y n chamada produto de variveis lgicas oumintermo .Note que o procedimento funciona para qualquer funo lgica e a expressoobtida ter tabela verdade idntica da funo original.Teorema.

Toda funo lgica pode ser escrita como disjuno de mintermos(tambm chamada soma de produtos SOP).Portanto, toda funo lgica possui uma expresso que a dene.A forma de soma de produtos uma forma padro de representao deexpresses booleanas. Outra forma padro o produto de somas .


Simplificao na forma soma de produtos
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Simplificao na forma soma-de-produtos

possvel simplicar a expresso obtida para C mantendo-a comosoma-de-produtos?Observe que:

V F U N + V F U N + V F U N + V F U N

Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 5: determinao e simplificao de expresses lgicas4 e 6 de Fev. de 2013 10 / 21

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V F U N + V F U N + V F U N + V F U N = F U [V N + V N + V N + V N ]


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V F U N + V F U N + V F U N + V F U N = F U [V N + V N + V N + V N ]= F U [V (N + N ) + V (N + N )]


http://find/


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V F U N + V F U N + V F U N + V F U N = F U [V N + V N + V N + V N ]= F U [V (N + N ) + V (N + N )]= F U [V + V ]


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V F U N + V F U N + V F U N + V F U N = F U [V N + V N + V N + V N ]= F U [V (N + N ) + V (N + N )]= F U [V + V ]= F U


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V F U N + V F U N + V F U N + V F U N = F U [V N + V N + V N + V N ]= F U [V (N + N ) + V (N + N )]= F U [V + V ]= F U

Logo, temos uma expresso mais simples para C :C = V F U N + V F U N + V F U N + V F U N + F U

Esta a menor expresso como soma-de-produtos?


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Observe que, quando temos algo do tipo:

. . . + A B + A B + . . .

em uma expresso na forma soma-de-produtos podemos colocar A emevidncia:

. . . + A (B + B ) + . . .

e simplicar por:. . . + A + . . .


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. . . + A B + A B + . . .


. . . + A (B + B ) + . . .


Problema: como encontrar dois mintermos idnticos a menos de umamesma varivel B , que aparece como B e B ?


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p p


. . . + A B + A B + . . .


. . . + A (B + B ) + . . .


Problema: como encontrar dois mintermos idnticos a menos de umamesma varivel B , que aparece como B e B ?Soluo: expresse a tabela verdade de forma que isso seja fcil deencontrar!


Mapa de Karnaugh
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p g

TabelaVerdade:

V F U N C 0 0 0 0 0

0 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 10 1 1 1 1

V F U N C 1 0 0 0 0

1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 11 1 1 1 1


Mapa de Karnaugh
http://find/


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p g

TabelaVerdade:

V F U N C 0 0 0 0 0

0 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 10 1 1 1 1

V F U N C 1 0 0 0 0

1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 11 1 1 1 1

Mapa de Karnaugh:outra representaopara a tabela verdade

VF UN

00 01 11 10

00 0 0 1 0

01 0 1 1 1

11 0 0 1 1

10 0 1 0 1


Mapa de Karnaugh
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p g

Representao em matriz para a tabela verade, onde em linhas oucolunas adjacentes apenas uma varivel muda de 1 para 0 ouvice-versa.

C = V F U N +


Mapa de Karnaugh
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C = V F U N + V F U N +


Mapa de Karnaugh
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C = V F U +


Mapa de Karnaugh
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C = V F U + V F U N +


Mapa de Karnaugh
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C = V F U + V F U N + V F U N +


Mapa de Karnaugh
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C = V F U + V F U +


Mapa de Karnaugh
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C = F U +


Mapa de Karnaugh
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C = F U + V F U N +


Mapa de Karnaugh
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C = F U + V F U N + V F U N +


Mapa de Karnaugh
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C = F U + V F N +


Mapa de Karnaugh
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C = F U + V F N +


Mapa de Karnaugh
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C = F U + V F N + V U N +


Mapa de Karnaugh
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C = F U + V F N + V U N +


Mapa de Karnaugh
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C = F U + V F N + V U N + V U N +


Mapa de Karnaugh
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C = F U + V F N + V U N + V U N +


Mapa de Karnaugh
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C = F U + V F N + V U N + V U N + V F U N


Mapa de Karnaugh
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Exemplo 2: Simplique

F (A, B , C , D ) = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D ++ A B C D + A B C D + A B C D + A B C D


Mapa de Karnaugh
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Mapa de Karnaugh
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Mapa de Karnaugh
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F (A, B , C , D ) = A B + A B


Mapa de Karnaugh
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F (A, B , C , D ) = A B + A B = ( A + A) B


Mapa de Karnaugh
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F (A, B , C , D ) = A B + A B = ( A + A) B = B


Mapa de Karnaugh

E l 2 Si li
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F (A, B , C , D ) = A B + A B = ( A + A) B = B Ser que poderamos observar a ltima simplicao no mapa?


Mapa de Karnaugh
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Como a exigncia que apenas uma varivel mude entre linhas/colun

adjacentes, poderamos ter feito o mapa como:


Mapa de Karnaugh
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Mapa de Karnaugh
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A nica varivel que no mudou foi


Mapa de Karnaugh
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A nica varivel que no mudou foi B , que permaneceu em 0


Mapa de Karnaugh
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A nica varivel que no mudou foi B , que permaneceu em 0, portantoF (A, B , C , D ) = B .


Mapa de Karnaugh
http://goforward/http://find/http://goback/


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Podemos ver essa simplicao diretamente no mapa original, seconsiderarmos que a ltima linha adjacente primeira linha, assimcomo a ltima coluna adjacente primeira coluna.


Mapa de Karnaugh

d l d l
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Mapa de Karnaugh

P d i li di i i l
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Mapa de Karnaugh

P d i li di i i l
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F (A, B , C , D ) = B


Mapa de Karnaugh: como usarPara at 4 variveis:
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1. Expresse a tabela verdade como uma matriz, com no mximo duas

variveis para as linhas/colunas. Em linhas adjacentes, apenas uma dasvariveis muda (o mesmo vale para as colunas).Sugesto de rtulos para as linhas/colunas: 00, 01, 11, 10


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2. Enquanto houver uma clula contendo 1 que no tiver sido agrupadaagrupe nesta ordem:

1

Retngulos com 16 uns (Obs.: se houver, ento F = 1)


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1

Retngulos com 16 uns (Obs.: se houver, ento F = 1)2 Retngulos com 8 uns (2x4 ou 4x2)


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1

Retngulos com 16 uns (Obs.: se houver, ento F = 1)2 Retngulos com 8 uns (2x4 ou 4x2)3 Retngulos com 4 uns (1x4, 4x1 ou 2x2)


http://find/


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1. Expresse a tabela verdade como uma matriz, com no mximo duasvariveis para as linhas/colunas. Em linhas adjacentes, apenas uma dasvariveis muda (o mesmo vale para as colunas).Sugesto de rtulos para as linhas/colunas: 00, 01, 11, 10


1

Retngulos com 16 uns (Obs.: se houver, ento F = 1)2 Retngulos com 8 uns (2x4 ou 4x2)3 Retngulos com 4 uns (1x4, 4x1 ou 2x2)4 Retngulos com 2 uns (1x2 ou 2x1)


http://find/


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1

Retngulos com 16 uns (Obs.: se houver, ento F = 1)2 Retngulos com 8 uns (2x4 ou 4x2)3 Retngulos com 4 uns (1x4, 4x1 ou 2x2)4 Retngulos com 2 uns (1x2 ou 2x1)5 Retngulos com apenas 1 um


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1


Importante: a ltima linha/coluna adjacente primeira linha/coluna.


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1


Importante: a ltima linha/coluna adjacente primeira linha/coluna.3. Elimine grupos redundantes (se puder)


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1


Importante: a ltima linha/coluna adjacente primeira linha/coluna.3. Elimine grupos redundantes (se puder)4. Para cada grupo, escreva uma soma de produtos onde apenas as varique no mudaram so representadas. Importante: Se, no grupo, umavarivel X mantida em 0, ento escreva X .


Mapa de Karnaugh: Exemplos
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Exemplo 3: Simplique F (A, B , C , D ),cuja tabela verdade dada pelo mapade Karnaugh ao lado.


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Resp.: F = A C + A B + A B D


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Exemplo 4: Simplique A B C + A B C + A B C + A B C


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Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 5: determinao e simplificao de expresses lgicas4 e 6 de Fev de 2013 18 / 21

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Exemplo 5: Simplique A B C + A B C + A B C + A B C Exemplo 6: Simplique A B C D + A B C D + A B C D + A B C D +A B C D + A B C D + A B C D + A B C D


Mais de 4 variveis possvel construir mapas de Karnaugh para mais de 4 variveis, mas eles stornam difceis de representar.
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tornam difceis de representar.


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pPara 6 variveis, o mapa torna-se um cubo:


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Entre 4 e 30 (aprox.) variveis, possvel executar o mtodo deQuine-McCluskey, que exato mas possui complexidade exponencial.


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Entre 4 e 30 (aprox.) variveis, possvel executar o mtodo deQuine-McCluskey, que exato mas possui complexidade exponencial.Acima de 30 variveis, h o minimizador Espresso, baseado em mtodosheursticos (no exato).


Concluso

O mapa de Karnaugh um mtodo de representar a tabela verdade dema f no lgica de tal modo q e os termos de ma soma de prod t
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uma funo lgica de tal modo que os termos de uma soma-de-produt

que podem ser simplicados esto sempre adjacentes.Importante: Recomenda-se colocar as linhas/colunas nesta ordem:00, 01, 11, 10. Sempre troque apenas uma varivel a cada linha/coluna.


Concluso

O mapa de Karnaugh um mtodo de representar a tabela verdade deuma funo lgica de tal modo que os termos de uma soma de produt
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que podem ser simplicados esto sempre adjacentes.Importante: Recomenda-se colocar as linhas/colunas nesta ordem:00, 01, 11, 10. Sempre troque apenas uma varivel a cada linha/coluna.Mapas de Karnaugh so fceis de se usar para at 4 variveis.


Concluso

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que podem ser simplicados esto sempre adjacentes.Importante: Recomenda-se colocar as linhas/colunas nesta ordem:00, 01, 11, 10. Sempre troque apenas uma varivel a cada linha/coluna.Mapas de Karnaugh so fceis de se usar para at 4 variveis. Para 5

variveis, possvel:Simplicar algebricamente, at obtermos 4 variveis, e depois usamapa de Karnaugh.

Exemplo: simplique A B C D E + A B C D E + A B C D E +A B C D E + A B C D E + A B C D E + A B C D E + A B C D E


Concluso

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Ou usar mapas de Karnaugh tridimensionais.


Concluso

O mapa de Karnaugh um mtodo de representar a tabela verdade deuma funo lgica de tal modo que os termos de uma soma-de-produt
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Ou usar mapas de Karnaugh tridimensionais.

A partir de 4 variveis, costuma ser mais vantajoso usar outros mtod(Quine-McCluskey ou Espresso).


Para casa:
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Ler sees 4-6, 4-7, 4-8, 4-9 e o nal do captulo intituladoAplicaes em sistemas digitais (desprezar os comentrios ediagramas sobre portas lgicas; ns veremos portas lgicas na pr

aula).Exerccios recomendados:Autotestes: 12 a 16Problemas: 21 a 44

Rodrigo H sen (CMCC UFABC) A l 5 determin o e simplific o de e presses lgic s4 e 6 de Fe de 2013 21 / 21
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aula5 algebra boole

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