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  • Modelagem de Sistemas DinmicosAula 6

    Prof. Daniel Coutinhodaniel.coutinho@ufsc.br

    Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de Automacao e Sistemas

    Universidade Federal de Santa Catarina

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.1/21

  • Sumrio

    Mecnica Lagrangeana

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21

  • Sumrio

    Mecnica Lagrangeana

    1. Introduo

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21

  • Sumrio

    Mecnica Lagrangeana

    1. Introduo

    2. Conceitos Preliminares

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21

  • Sumrio

    Mecnica Lagrangeana

    1. Introduo

    2. Conceitos Preliminares

    3. Lagrangeano

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21

  • Sumrio

    Mecnica Lagrangeana

    1. Introduo

    2. Conceitos Preliminares

    3. Lagrangeano

    4. Equaes de Lagrange

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21

  • Sumrio

    Mecnica Lagrangeana

    1. Introduo

    2. Conceitos Preliminares

    3. Lagrangeano

    4. Equaes de Lagrange

    5. Exemplos

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21

  • Introduo - I

    A mecnica de Lagrangeana uma formulao damecnica clssica que combina a conservao do momentolinear com a conservao da energia.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.3/21

  • Introduo - I

    A mecnica de Lagrangeana uma formulao damecnica clssica que combina a conservao do momentolinear com a conservao da energia.

    As equaes de Lagrange so uma forma alternativa paramodelar sistemas mecnicos atravs da anlise de energia etrabalho realizado.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.3/21

  • Introduo - I

    A mecnica de Lagrangeana uma formulao damecnica clssica que combina a conservao do momentolinear com a conservao da energia.

    As equaes de Lagrange so uma forma alternativa paramodelar sistemas mecnicos atravs da anlise de energia etrabalho realizado.

    Com a modelagem em termos de energia, o formalismo deLagrange capaz de evitar a utilizao de grandezasvetoriais como na mecnica Newtoniana.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.3/21

  • Introduo - II Vantagens sobre a formulao Newtoniana:

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.4/21

  • Introduo - II Vantagens sobre a formulao Newtoniana:

    1. A formulao Lagrangeana no presa a umdeterminado sistemas de coordenadas (coordenadasgeneralizadas).

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.4/21

  • Introduo - II Vantagens sobre a formulao Newtoniana:

    1. A formulao Lagrangeana no presa a umdeterminado sistemas de coordenadas (coordenadasgeneralizadas).

    2. A incorporao de restries de movimento no espaoatravs de uma definio adequada das coordenadasgeneralizadas

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.4/21

  • Introduo - II Vantagens sobre a formulao Newtoniana:

    1. A formulao Lagrangeana no presa a umdeterminado sistemas de coordenadas (coordenadasgeneralizadas).

    2. A incorporao de restries de movimento no espaoatravs de uma definio adequada das coordenadasgeneralizadas

    3. O nmero de equaes geradas para a obteno de ummodelo matemtico da dinmica de um sistema menor ou no mximo igual.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.4/21

  • Conceitos Preliminares - I Deslocamento virtual

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.5/21

  • Conceitos Preliminares - I Deslocamento virtual

    O deslocamento virtual xi uma modificaoinfinitesimal nas coordenadas do sistema enquanto otempo mantido constante

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.5/21

  • Conceitos Preliminares - I Deslocamento virtual

    O deslocamento virtual xi uma modificaoinfinitesimal nas coordenadas do sistema enquanto otempo mantido constante

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.5/21

  • Conceitos Preliminares - II

    Trabalho Virtual

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.6/21

  • Conceitos Preliminares - II

    Trabalho Virtual

    o trabalho realizado pelas foras aplicadas e inerciaisde um sistema mecnico para o sistema se mover emum deslocamento virtual.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.6/21

  • Conceitos Preliminares - II

    Trabalho Virtual

    o trabalho realizado pelas foras aplicadas e inerciaisde um sistema mecnico para o sistema se mover emum deslocamento virtual.

    Considere uma partcula P que se move ao longo de umatrajetria r(t) do ponto A para B:

    WAB =

    r(t1)=Br(t0)=A

    F dr =

    t1t0

    F v dt

    onde v a velocidade.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.6/21

  • Conceitos Preliminares - III

    Suponha que a trajetria r sobre uma perturbao r, ento:

    W =

    BA

    F d(r+ r) =

    t1t0

    F (v + r) dt

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.7/21

  • Conceitos Preliminares - III

    Suponha que a trajetria r sobre uma perturbao r, ento:

    W =

    BA

    F d(r+ r) =

    t1t0

    F (v + r) dt

    O trabalho virtual W a variao do trabalho realizadoconsiderando o deslocamento virtual r:

    W = W WAB =

    t1t0

    (F r

    )dt

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.7/21

  • Conceitos Preliminares - IV Coordenadas Generalizadas

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.8/21

  • Conceitos Preliminares - IV Coordenadas Generalizadas

    um conjunto de coordenadas utilizado para descrevera configurao de um sistema em relao a algumareferncia.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.8/21

  • Conceitos Preliminares - IV Coordenadas Generalizadas

    um conjunto de coordenadas utilizado para descrevera configurao de um sistema em relao a algumareferncia.

    O nmero de coordenadas generalizadas deve definirunicamente a configurao de um sistema em relao areferncia.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.8/21

  • Conceitos Preliminares - IV Coordenadas Generalizadas

    um conjunto de coordenadas utilizado para descrevera configurao de um sistema em relao a algumareferncia.

    O nmero de coordenadas generalizadas deve definirunicamente a configurao de um sistema em relao areferncia.

    O nmero de coordenadas generalizadas igual ao nmerode graus de liberdade de um corpo.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.8/21

  • Exemplo 1 Um pndulo duplo restrito a se mover no plano pode ser descrito

    pelas coordenadas Cartesianas {x1, y1, x2, y2}.

    Pode ser representado por coordenadas generalizadas {1, 2}.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.9/21

  • Princpio de dAlembert O princpio afirma que a soma das diferenas entre as

    foras agindo em um sistema e as derivadas no tempo dosmomentos do sistema ao longo de um deslocamento virtual(consistente com as restries do sistema) zero.

    i

    (Fi miai

    )Tri = 0

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.10/21

  • Princpio de dAlembert O princpio afirma que a soma das diferenas entre as

    foras agindo em um sistema e as derivadas no tempo dosmomentos do sistema ao longo de um deslocamento virtual(consistente com as restries do sistema) zero.

    i

    (Fi miai

    )Tri = 0

    A demonstrao do princpio acima apresentado pode serencontrado no livro Mechatronic Systems (Rolf Isermann,2005).

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.10/21

  • Princpio de dAlembert O princpio afirma que a soma das diferenas entre as

    foras agindo em um sistema e as derivadas no tempo dosmomentos do sistema ao longo de um deslocamento virtual(consistente com as restries do sistema) zero.

    i

    (Fi miai

    )Tri = 0

    A demonstrao do princpio acima apresentado pode serencontrado no livro Mechatronic Systems (Rolf Isermann,2005).

    Na demonstrao, introduz-se o conceito da fora inercial(ou fora auxiliar dAlembert): FT = ma.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.10/21

  • Lagrangeano O Lagrangeano L de um sistema dinmico uma funo

    que define o comportamento dinmico desse sistema.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.11/21

  • Lagrangeano O Lagrangeano L de um sistema dinmico uma funo

    que define o comportamento dinmico desse sistema.

    O Lagrangeano definido como a energia cintica menos aenergia potencial:

    L = Ec Ep

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.11/21

  • Lagrangeano O Lagrangeano L de um sistema dinmico uma funo

    que define o comportamento dinmico desse sistema.

    O Lagrangeano definido como a energia cintica menos aenergia potencial:

    L = Ec Ep

    Em geral, o Lagrangeano definido em termos decoordenadas generalizadas q1, . . . , qf assumindo a seguinteforma:

    L = L(q1, . . . , qf , q1, . . . , qf , t)

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.11/21

  • Equaes de Lagrange - I Na obteno das equaes de movimento de um sistema

    composto por n pontos de massa utilizando a mecnicaNewtoniana, obtm-se n equaes.

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.12/21

  • Equaes de Lagrange - I Na obteno das equaes de movimento de um sistema

    composto por n pontos de massa utilizando a mecnicaNewtoniana, obtm-se n equaes.

    Se o movimento do sistema tem r restries (holonmicas restries que dependem apenas da posio) , deve-seeliminar manualmente as f = n r foras de restrio F(z).

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.12/21

  • Equaes de Lagrange - I Na obteno das equaes de movimento de um sistema

    composto por n pontos de massa utilizando a mecnicaNewtoniana, obtm-se n equaes.

    Se o movimento do sistema tem r restries (holonmicas restries que dependem apenas da posio) , deve-seeliminar manualmente as f = n r foras de restrio F(z).

    Esta tarefa pode ser facilitada se utilizarmos f coordenadasgeneralizadas para representar o vetor de coordenadasespaciais ri:

    ri = ri(q1, . . . , qf )

    PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.12/21

  • Equaes de Lagrange