MATEMÁTICA – A1

1

AULAS 17 e 18

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

DEFINIÇÃO

Sejam k e q dois números reais. Chama-se PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) a seqüência que obedece a lei:

1n *

n 1 n

a ka

a a .q n IN

Portanto:

S = ( k, kq, kq2, kq3,....) O número real q chama-se RAZÃO DA P.G. Segue da definição que, se a1 0 e q 0, então:

q = *n 1

n

a, n IN

a

Assim:

q = 32 4

1 2 3

aa a

a a a...

CLASSIFICAÇÃO Se S é uma P.G. , então:

S é ESTRITAMENTE CRESCENTE se:

1a 0 e q 1

ou

1a 0 e 0 q 1

S é ESTRITAMENTE DECRESCENTE se:

1a 0 ou 0 q 1

ou

1a 0 e q 1

S é CONSTANTE q= 1 e a1 0 S é SINGULAR a1 = 0 ou q = 0 S é ALTERNANTE a1 0 e q < 0

TERMO GERAL DE UMA P.G.

Pela definição de P.G, podemos concluir que:

n 1n 1a a .q

Se an e aK são dois termos quaisquer de uma P.G.

NÃO SINGULAR, então: n k

n ka a .q

TERMOS EQÜIDISTANTES da P.G.

O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.

ap . ak = a1 . an

onde

p + k = 1 + n

MÉDIA GEOMÉTRICA

Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, é a MÉDIA GEOMÉTRICA entre o termo anterior e o posterior.

Seja a P.G.: (a1, a2 ...,ap-1 , ap , ap +1 ...), então:

a2p = ap-1 . ap+1

PRODUTO DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.

nP = n

1 n(a .a )

Observação:

A fórmula acima nos permite calcular o módulo do produto; para obter o sinal de Pn , basta analisar o sinal dos termos.

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.

Sn = n . a1, se q = 1

Sn =

n1a .(q 1)

q 1, se q 1

SOMA DA PG CONVERGENTE

Denomina-se P.G convergente aquela progressão geométrica não alternante em que seus termos tendem para um determinado valor. Assim:

S = 1a

1- q

PRINCIPAIS REPRESENTAÇÕES Sendo q 0, tem-se:

P.G. com 3 termos: x

; x;x.qq

P.G. com 4 termos: 33

x x; ;x.q;x.q

q q

MATEMÁTICA – A1

2

EXERCÍCIOS DE SALA 01) (UDESC) O primeiro termo de uma progressão

geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é:

a) 2 b) 10 c) 5 d) 4 e) 6 Resolução:

1

4

34 1

3

a 10

a 80

a a .q

q 8

q 3

R: Alternativa A 2) (UDESC) A soma dos quatro primeiros termos de

uma progressão geométrica (PG) de razão 3 é igual a 60, e a soma dos quatro primeiros termos de uma progressão aritmética (PA) também vale 60. Sabe-se que o primeiro termo da PA é igual ao primeiro termo da PG. A razão da PA é:

a) – 3

b) 2

3

c) 3

d) 3

2

e) 9 Resolução:

1 1 1 1

1 1 1 1

1

PG : a ,3a ,9a ,27a

a 3a 9a 27a 60

3a

23 3 3 3

PA : , r, 2r, 3r2 2 2 2

34. 6r 60

2r 9

R: Alternativa E 3) (UDESC) Três números formam uma progressão

aritmética de razão r = 7. Subtraindo-se uma unidade do primeiro termo, vinte unidades do segundo termo e trinta e uma unidades do terceiro termo, a seqüência resultante é uma progressão geométrica de razão:

a) – 3 b) 1 c) 3

d) 1

3

e) 1

3

Resolução:

2

2 2

PA x,x 7,x 14

PG x 1,x 13,x 17

x 13 x 1 x 17

x 26x 169 x 18x 17

152 8x

x 19

E assim temos:

PG 19 1,19 13,19 17

PG 18,6,2

Logo :

1q

3

R: Alternativa E 04) (UDESC) Em um processo de desintegração

atômica em cadeia, a primeira desintegração é de 3 átomos em um segundo. A cada segundo que passa a desintegração é sempre o quádruplo da anterior; logo, o tempo em segundos que leva para desintegrar 12288 átomos é:

a) 9 segundos b) 6 segundos. c) 8 segundos. d) 12 segundos. e) 7 segundos.

Resolução:

1

n

a 3

a 12288

q 4

n ?

Logo:

n 1n 1

n 1

n 1

5 n 1

a a .q

12288 3.4

4096 4

4 4

5 n 1

n 6

R: Alternativa B 05) Determine o valor de x IR, x 0 , que satisfaça a

igualdade:2 2 2

2 x x x1 x x ... 56

2 4 8 ..., e

assinale a alternativa correta. a) x =1 b) x =2 c) x =3 d) x =4 e) x =5 Resolução:

2 22 x x

x ........ 55 x2 4

S 55 x

1

2

2

a55 x

1 q

x55 x

11

2

2x x 55 0

11x 5 ou x não serve

2Logo : x 5

R: Alternativa E

MATEMÁTICA – A1

3

06) (UDESC) O lado de um triângulo eqüilátero mede 3cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo os pontos médios do novo triângulo, obtém-se um outro triângulo eqüilátero, e assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros de todos os triângulos.

Resolução:

2

1

2

2

2

3

1 2 3

1

3 3 9 3A

4 4

3 93 3 9 32 4A4 4 16

3 93 3 9 34 16A4 4 64

S A A A ....

9 3 9 3 9 3S ....

4 16 64

9 3 9 3a 9 34 4S

1 31 q 314 4

EXERCÍCIOS TAREFA

AULAS 17 e 18 01) Encontre o oitavo termo da progressão geométrica

cujo primeiro termo vale 3 e cuja razão é igual a -2 e assinale a alternativa correta.

a) -348 b) 348 c) 384 d) -384 e) -768 Resolução: a 1 = 3

q = -2 a 8 = ?

a n = a 1.q n 1

a 8 = 3.(-128)

a 8 = -384

R: Alternativa D

02) Qual é o número inteiro e positivo que devemos somar aos termos 1, 9 e 33 de modo que a seqüência obtida represente uma progressão geométrica?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolução:

PG ( 1+n, 9+n, 33+n )

9 n 2 = (1+n).(33+n)

81+18n+n 2 = 33+n+33n+ n 2 48 = 16n

n = 3 R: Alternativa C. 03) (ACAFE – 2009) Um atleta se propôs a adotar um

programa de condicionamento físico de 30 dias. Cada dia ele correu 50% a mais do que no dia anterior. Se no primeiro dia ele correu 800 m, então é correto afirmar que no sexto dia ele correu:

a) 13.150 m b) 4.050 m c) 2.025 m d) 6.075 m Resolução: R: Alternativa D. 04) Se uma taxa de juros aplicada sobre os depósitos

feitos em cadernetas de poupança é igual a 0,5% ao mês, a sequência correspondente aos montantes de um depósito feito nessa modalidade de poupança é:

a) uma progressão aritmética de razão 1,005. b) uma progressão geométrica de razão 1,05. c) uma progressão aritmética de razão 0,5. d) uma progressão geométrica de razão 1,005. e) Não é progressão geométrica, nem aritmética. Resolução: R: Alternativa D. 05) A seqüência (1, b, ...) é uma P.G. na qual o nono

termo vale 6561. Dessa maneira o módulo de b é igual a:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 Resolução:

8q 1

8

8

8 8

a a .q

6561 1.q

q 6561

q 3

q 3

12 1a a .q

b 1. 3

b 3

R: Alternativa B. 06) Numa progressão geométrica a diferença entre o 2o

e o 1o termo é 9 e a diferença entre o 5o e o 4o termo é 576. Encontre o 1o termo da progressão.

MATEMÁTICA – A1

4

a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 11 Resolução:

2 1

5 4

1 1

4 31 1

1

31

3

3

1

1

1

a a 9

a a 576

a .q a 9

a .q a .q 576

a . q 1 9

a .q . q 1 576

1 9

576q

q 64

q 4

a . q 1 9

a .3 9

a 3

R: Alternativa A. 07) Marlene confecciona leques artesanais com o

formato de um setor circular, como representado na figura a seguir.

Para enfeitar os leques, usa pequenas contas

brilhantes que dispõe da seguinte maneira: no vértice do leque, primeira fileira, coloca apenas uma conta; na segunda fileira horizontal posterior coloca duas contas; na terceira fileira horizontal coloca quatro, na quarta fileira horizontal dispõe oito contas e assim sucessivamente. Considere que Marlene possui 515 contas brilhantes para enfeitar um leque. Com base nessas informações, é correto afirmar que o número máximo de fileiras completas nesse leque é:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 Resolução: R: Alternativa C

08) Se o 7o termo de uma P.G. é 1

3 e o 14o termo é

729, determine o 10o termo. a) -9 b) -5 c) -7 d) -12 e) -15 Resolução:

131

61

7

7 7

61

61

1

910 1

910

9

10 7

210

10

a .q 729

1a .q

3

Dividindoasequaçõesacima :

q 2187

q 3

q 3

Assim

1a .q

31

a .33

1a

2187Logo :

a a .q

1a .3

2187

3a

3

a 3

a 9

R: Alternativa A. 09) O quinto e o sétimo termo de uma P.G. de razão

positiva valem respectivamente 10 e 16. Qual é o sexto termo da P.G.?

a) 8

b) 216

c) 104

d) 410

e) 52 Resolução:

6

26

6

6

PG _,_,_,_,10,a ,16,_,_,...

Então :

a 10.16

a 10.16

a 4 10

R: Alternativa C 10) São dados quatro números. x, y, 6, 4, nessa ordem.

Sabendo que os três primeiros estão em P.A. e os três últimos estão em P.G., determine o valor de x+y:

a) 19 b) 12 c) 17 d) 21 e) 03 Resolução: Considerando a PG:

PG (y,6,4)

a 3 = a 1.q 2

4 = y.2

2

3

MATEMÁTICA – A1

5

4 = y.4

9

y = 9

Considerando a PA: a 3 = a 1 + 2r

6 = x + 2.(6 – y) 6 = x – 6

x = 12 R: Alternativa B 11) (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. O vigésimo termo da progressão aritmética

(x, x +10, x2, ...) com x < 0 é 186. 02. A soma dos n primeiros números naturais ímpares é

n2 + 1. 04. Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA crescente

e a sucessão (x, y, 18) é uma PG crescente, então xy = 12.

08. O valor de x na igualdade x x

x ... 123 9

, na

qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma PG infinita, é 10.

16. O termo 1

1024 encontra-se na décima segunda

posição na progressão geométrica 1

2,1, ,...2

Resolução: R: Soma = 21 12) (UDESC) Se a sequência x,y 1,7x formar, nesta

ordem, uma progressão aritmética e a sequência

y,x 1,x 1 formar, nesta ordem, uma progressão

geométrica, então o produto entre as razões dessas progressões é igual a:

a) -12 b) 9

c) 1

3

d) 1

9

e) 2 Resolução: R: Alternativa E 13) (UDESC – 2009) Se os números reais x, y e z

formarem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 10x, pode-se afirmar que

log xyz é igual a:

a) log 3x 3og x

b) 3x log 3x

c) 3x 3log x

d) 3 3x log x

e) 3x log 3x

Resolução: R: Alternativa C

14) O lado de um quadrado mede “ ” unidades de comprimento. Unindo-se os pontos médios dos lados opostos, obtêm-se quatro novos quadrados. Se procedermos assim sucessivamente, obteremos novos quadrados cada vez menores, conforme abaixo, que mostra parte de uma seqüência infinita. Considerando 10 cm, a soma, em cm, dos perímetros de todos os quadrados preenchidos dessa seqüência é:

a) 40 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120

Resolução:

PG 4 ,2 , , ,...2

4S

11

24

S12

S 8 S 80cm

R: Alternativa C 15) (UDESC) Uma pessoa A chega às 19h para um

encontro que havia marcado com uma pessoa B. Como B não chegara ainda, A resolveu esperar um tempo t1 igual a 1 hora e, após isso, um tempo

t2 = 1t

2e, após, um tempo t3 = 2t

2 e, assim por diante.

Infelizmente, B não veio ao encontro. Quanto tempo, em horas, A esperou até ir embora?

a) 2 b) 1,5 c) 1,8 d) 2,4 e) 2,5 Resolução: R: Alternativa A

GABARITO

AULAS 17 e 18

01) D 02) C 03) E 04) D 05) B

8

2

4

MATEMÁTICA – A1

6

06) A 07) C 08) A 09) C 10) D 11) 21 12) E 13) C 14) C 15) A