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Aulas Introdutórias• O processo de medida;

– Incerteza;– Algarismos significativos e arredondamento;

• Tratamento de erros experimentais;• O análise gráfico:

– Elaboração de um bom gráfico;– Regressão linear;– Linearização;

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Aula 1

O processo de MedidaWellington Akira Iwamoto (com

ligeiras modificações)

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Sobre o processo de medição• O que é medir?

– Medir significa quantificar uma grandeza com relação a algum padrão tomado como unidade;

• Uma medida não é “absoluta”: incerteza e erros!– O que acontece se

• eu repetir várias vezes a mesma medida?• se outra pessoa fizer a mesma medida?• Se eu usar outro instrumento?

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Precisão e Acurácia

• O alvo é a “verdade”, o valor real da medida;

• Os tiros ao alvo são as nossas medidas

• Situação ideal: Alta precisão e alta acurácia

• Pior cenário: baixa precisão e baixa acurácia

• Instrumentos diferentes

• Mesmo instrumento, mas observadores diferentes

Possíveis explicações

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Erros sistemáticos e aleatórios• Sistemáticos:

– Prejudicam a acurácia;– Causados por fontes identificáveis;– Podem ser eliminados ou compensados uma vez

identificados.• Aleatórios:

– Prejudicam a precisão;– Causado por flutuações aleatórias no processo de

medir;– São eliminados fazendo tratamento estatístico de

erros.

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Os instrumentos de medida e a sua incerteza

2 3

(2,75 + 0,05) cm

Tenho certeza

Instrumento com escala: a

incerteza é a metade da menor

divisão

Estou em dúvida

unidade

Valor

unidade

Incerteza do aparelho

unidade

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Medindo o tempo

Meu relógioMenor escala: 15 minIncerteza: 7,5 min

Relógios de paredeMenor escala: 5 minIncerteza: 2,5 min

Menor escala: 1 minIncerteza: 0,5 min

Relógio digitalMenor escala: 1 minIncerteza: 1 min

Instrumento digital: a

incerteza é o último dígito

Resposta: O de cima!!! Olhem a incerteza!!!

Pergunta: Qual dos dois é mais preciso???

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Exemplo: medindo o tempo no laboratório

Horas

Minutos

segundos

Centésimos de segundo

Cronômetro digitalMenor escala: 0,01 sIncerteza: 0,01 s

Medindo o período de um pêndulo

Medida Período (s)

1 0,50

2 0,48

3 0,45

4 0,51

5 0,49

Única medida: 0,48 s 0,01 s

Mas ao fazer mais medidas (0,01 s)...

Erro aleatório!

Qual é valor do período??

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Tratamento estatístico de erros

• Média: Os erros aleatórios tendem

a se distribuir seguindo uma função gaussiana

Valor medido: Xi

Ni/N

Para poder confiar na média, devemos fazer

muitas medidas.N grande

No.

de

veze

s que

med

imos

o v

alor

/ N

Que tão dispersa é a medida???

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Desvio padrão

σ-σ

-2σ 2σ

𝑋

68%

95%

Desvio padrão

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Reportando medidas• A média é o melhor valor possível da grandeza que

queremos conhecer;• Devemos informar qual é a incerteza do nosso

procedimento de medida: desvio padrão da média

Medida Período (s)1 0,502 0,483 0,454 0,515 0,49

s

Calculando com os dados do exemplo

Medida Período (s)

1 0,50 0,000196

2 0,48 0,000036

3 0,45 0,001296

4 0,51 0,000576

5 0,49 0,000016

=0,092086915 s=0,041182521 s

s

=0,092086915 s=0,041182521 s Números sobrando!

Arredondamento

Algarismos significativos

𝜎 𝑥=𝜎

√𝑁=√∑𝑖=1

𝑁

(𝑥−𝑥 𝑖)2

𝑁 (𝑁−1)

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O que são algarismos significativos?São algarismos que contribuem para a precisão de um número.

Regras:

• Todos os algarismos diferentes de zero são significativos• Algarismos nulos (zeros) entre dois algarismos não-nulos são

significativos• Zeros à direita de outro algarismo significativo são

significativos• Zeros à esquerda da vírgula não são significativos• Ao fazer operações, o número de algarismos do resultado não

deve ultrapassar à aquele com menor número de algarismos.

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ArredondamentoAs regras do arredondamento são:• Se o algarismo decimal seguinte for menor que 5, o anterior não se

modifica.• Se o algarismo decimal seguinte for maior que 5, o anterior incrementa-se

em uma unidade.• Se o algarismo decimal seguinte for igual a 5,deve-se verificar o anterior:

– se ele for par não se modifica– se ele for impar incrementa-se uma unidade.

ImportanteQuando fazemos contas e a incerteza tem casas decimais a mais dos algarismos significativos definidos pelas medidas em um certo aparelho, cortamos as casas decimais extras

Finalmente, no exemploMedida Período (s)1 0,50 0,0001962 0,48 0,0000363 0,45 0,0012964 0,51 0,0005765 0,49 0,000016

s s

0,041182521 s

0,041182521 s

s

contando algarismosolhando as casas decimais

0,04 s

Para finalizar, devemos calcular a incerteza total, que é definida como:

¿√ (0,01 s )2+(0,04 s )2

0,04123 s

0,04 s

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Resumo• Ao fazer uma única medida a incerteza é aquela do aparelho, :

– Escala: é a metade da menor divisão;– Digital: último digito.

• Ao fazer muitas medidas, devemos calcular a média e o desvio padrão da média, .

• O valor final é reportado como , onde a incerteza é dada por .

Média Desvio padrão Desvio padrão da média