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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Zufallsvektoren
• Zufallsvektoren
• Funktionen eines Zufallsvektors
• Monte-Carlo-Methode
• Unscharfe Vektoren
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Begriffe
Zufallsvektor: mehrdimensionale Zufallsvariable – ein Vektor, dessen Elemente Zufallsgrößen sind
Zufallsvektor in der Vermessung: L
Beobachtungsvektor l: Realisierung eines Zufallsvektors
Elemente im Beobachtungsvektor: Messwerte
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Zufallsvektor• Hat einen Erwartungswert und einen
wahren Wert
• Hat wahre, systematische und zufällige Abweichungen
• Besitzt eine Verteilungs- und Dichte-funktion wie bei Zufallsvariable aber mehrdimensional
b a
dydxyxfbYaXPbaF ),(),(),(
Dichtefunktion des Zufallsvektors
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Kovarianz
‚Gemeinsame‘ Streuung zweier Zufalls-größen
Bei unabhängigen Größen: Cov(X,Y)=0
Positive Kovarianz: Größen verhalten sich tendenziell eher gleich, sonst entgegengesetzt
yTx
n
iyixi
XY
nyx
n
YEYXEXEYXCov
εε11
))]())(([(),(
1
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Kovarianzmatrix
Varianzen und Kovarianzen eines Zufallsvektors
Auch: Varianz-Kovarianz-Matrix
Auch aus empirisch abgeschätzten Kovarianzen, dann mit Cxx bezeichnet
221
22221
11221
nnn
n
n
xx
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Korrelation
Kovarianz abhängig von der Dimension der beiden beteiligten Größen
Normierung durch Division durch Standard-abweichungen: Korrelationskoeffizient (dimensionslos)
-1 (r) +1
yx
xyxy
YX
XYXY ss
srbzw
YVarXVar
YXCov
.
)()(
),(
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Woher kommt die Korrelation?
Viele Einflüsse auf Messungen (Atmosphäre, Aufstellung, Schwerefeld,...)
Einflüsse nicht vollständig erfasst
Einflüsse wirken auf eine Gruppe von Beobachtungen in ähnlicher Weise Korrelation
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Arten der Korrelation
mathematisch korrelierte Größen: Unabhängige Messgrößen, gemeinsames Berechnungsmodell
physikalisch korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen
gemischt korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen in gemeinsamem Berechnungsmodell
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Korrelationsmatrix
Zusammengefasste Korrelationskoeffizienten
Hauptdiagonale: 1
1
1
1
.
1
1
1
21
221
112
21
221
112
nn
n
n
nn
n
n
xx
rr
rr
rr
bzwR
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Stochastische Abhängigkeit
Beispiel: Würfeln – Wetterprognose
• Würfeln: Wahrscheinlichkeit unabhängig vom letzten Wurf
• Wetter: Temperatur stark vom Wetter des Vortrages abhängig
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(X=a|Y=b)
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Bedingte Wahrscheinlichkeit (1)
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses X = a unter der Bedingung, dass Y = b bereits eingetreten ist.P(X=a|Y=b)
X und Y stochastisch unabhängig, wenn gilt P(X=a|Y=b) = P(X=a)
Korrelationskoeffizient: Maß für den linearen stochastischen Zusammen-hang
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Bedingte Wahrscheinlichkeit (2)
Zwei Komponenten eines Zufallsvektors sind unkorreliert, wenn sie stochastisch unabhängig sind
Umkehrschluss nicht immer zutreffend (bei Normalverteilung ist der Umkehrschluss zutreffend)
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Anmerkungen zur Korrelation
Korrelation betrachtet die Variablen als gleichwertig: Abhängigkeit zwischen X und Y
Korrelation beschreibt keine expliziten kausalen Zusammenhänge
Korrelation beschreibt nur den linearen Zusammenhang (nicht: Abhängigkeit schlechthin)
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Funktionen eines Zufallsvektors
• Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors
• Übergang von der Abweichung zur Standardabweichung
• Kovarianzfortpflanzungsgesetz
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors
Gegeben: Messwerte x1,…, xn mit Abweichungen x1, …, xn
Gesucht: Abweichung x für Funktion f(x1,…, xn)
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Eindimensionaler Fall
y=f(x) y0+y=f(x0)+y=f(x0+x)
Frage: Wie groß ist y bzw. die Standard-abweichung von y
Taylorreihe: f(x0+dx)=f(x0)+f‘(x0)dx y = f‘(x0)dx
Verallgemeinerung:
n
ii
i
dxx
fy
1
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Übergang zur Standardabweichung
Varianz = Quadratsumme der Abweichung-en dividiert durch Anzahl der Freiheitsgrade
n
ii
ix
fy
1
n
kikiki
ki
n
ii
i x
f
x
f
x
fy
;1,1
22 2 Quadrieren:
1 ;1,1 1
2
1
2 2j
n
kikikjij
kij
n
iij
ijx
f
x
f
x
fySummieren:
n
kiki jkjij
ki
n
i jij
ijx
f
x
f
x
fy
;1, 11 1
22
1
2 12
11
f
2 xi2
ij
n
kikiik
ki
n
ix
if x
f
x
f
x
fi
;1,1
2
2
2 2
n
ix
if ix
f
1
2
2
2
Wenn die Messgrößen stochastisch unabhängig sindVarianzfortpflanzungsgesetz für stochastisch unabhängige Beobachtungen
Einfaches Fehlerfortpflanzungsgesetz
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Kovarianzfortpflanzungsgesetz
Parameter nicht stochastisch unabhängig:
In Matrizenschreibweise:
Mehrere Funktionen:
n
kikiik
ki
n
ix
if x
f
x
f
x
fi
;1,1
22
2 2
fΣf xxT
f 2
Txxff FFΣΣ
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Monte-Carlo-Methode
Varianzfortpflanzungsgesetz und Kovarianz-fortpflanzungsgesetz sind Näherungslösungen (abgebrochene Taylor-Entwicklung)
Exakte Lösung: Monte-Carlo-Methode
Verteilung der Parameter eine Realisierung ein Ergebnis
Oft wiederholt Verteilung des Funktionsergebnisses
Genauigkeit der Abschätzung proportionaln Versuche, D … konst. Faktor
nD
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Unscharfe Vektoren
Vektoren, bei denen die Elemente unscharfe Zahlen sind
Charakterisierende Funktion
-Schnitt ist Teilmenge des IRn
Funktion ist dann und ist eine unscharfe Zahl
1,0IR* n
X
IRIR: nf
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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Zusammenfassung
Mehrdimensionale Zufallsereignisse (z.B. geodätische Messungen) werden in Zufallsvektoren zusammengefasst
Gemeinsame Streuung von Zufallsereignissen: Kovarianz
Zusammengefasst in KovarianzmatrixLineare stochastische Abhängigkeit: KorrelationKovarianzfortpflanzungsgesetz beschreibt
Auswirkung von Varianzen auf FunktionExakte Lösung: Monte-Carlo-Methode