Autoreferat

1. Imi¦ i nazwisko: Zbigniew Walczak

2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe:

• magister �zyki w zakresie �zyki teoretycznej

Wydziaª Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytetu �ódzkiego, 1993

O q-deformacji równa« Hamiltona

• doktor nauk �zycznych w zakresie �zyki

Wydziaª Fizyki i Chemii Uniwersytetu �ódzkiego, 1998

Niealgebraiczne podej±cie do problemu quasi-dokªadnej rozwi¡zywalno±ci

3. Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych:

• Wydziaª Fizyki i Chemii Uniwersytetu �ódzkiego, 1998�2007

• Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu �ódzkiego, od 2007 roku

4. Wskazanie osi¡gni¦cia wynikaj¡cego z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r.

o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki

(Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.):

Jako prac¦ habilitacyjn¡ przedstawiam jednotematyczny cykl pi¦ciu publikacji [1, 2, 3,

4, 5] zatytuªowany

Teorioinformacyjne podej±cie do problemu klasycznych i kwantowych

korelacji obecnych w mieszanych stanach kwantowych

• Z. Walczak, Total correlations and mutual information, Physics Letters A 373

(2009), 1818.

• Z. Walczak, Comment on �Quantum correlation without classical correlations�,

Physical Review Letters 104 (2010), 068901.

• Z. Walczak, Information-theoretic approach to the problem of detection of genuine

multipartite classical correlations, Physics Letters A 374 (2010), 3999.

• M. Okrasa, Z. Walczak, Quantum discord and multipartite correlations,

Europhysics Letters 96 (2011), 60003.

• M. Okrasa, Z. Walczak, On two-qubit states ordering with quantum discords,

Europhysics Letters 98 (2012), 40003.

1

1 Wprowadzenie

W kwantowej teorii informacji od ponad dwóch dekad prowadzone s¡ intensywne

badania teoretyczne i eksperymentalne dotycz¡ce klasycznych i kwantowych korelacji

obecnych w dwuskªadnikowych i wieloskªadnikowych ukªadach kwantowych (patrz

artykuªy przegl¡dowe [6, 7, 8]). Przez niemal dwadzie±cia lat w tej dziedzinie bada«

dominowaª paradygmat Wernera [9], oparty na dychotomii mi¦dzy spl¡taniem a

separowalno±ci¡, w którym jedynym rodzajem korelacji kwantowych jest spl¡tanie

kwantowe [6]. Jednak»e stopniowo staªo si¦ jasne, »e paradygmat Wernera jest zbyt

ograniczony i wymaga zmiany, poniewa» okazaªo si¦, wbrew powszechnej intuicji, »e

pewnego rodzaju nieklasyczne korelacje s¡ obecne równie» w separowalnych stanach

mieszanych [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16].

Pierwsze kroki w kierunku zmiany paradygmatu Wernera zostaªy poczynione przez

Olliviera i �urka [17], którzy wprowadzili do kwantowej teorii informacji poj¦cie

dysonansu kwantowego (ang. quantum discord) jako miary nieklasycznych korelacji

obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych.

Niezale»nie od Olliviera i �urka, w podobny sposób do zmiany paradygmatu

Wernera podeszli Henderson i Vedral [18] badaj¡c problem wspóªistnienia klasycznych

i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych.

Zainteresowanie paradygmatem Olliviera��urka gwaªtownie wzrosªo1 po tym, jak

odkryto [19, 20], »e dysonans kwantowy mo»e by¢ odpowiedzialny za niezwykª¡

efektywno±¢ obliczeniow¡ algorytmu Knilla�La�ammea [10].

Badaj¡c ewolucj¦ unitarn¡ ukªadów zªo»onych pokazano, »e je±li pocz¡tkowo dwa

podukªady s¡ w stanie o zerowym dysonansie kwantowym, to wówczas dynamika

podukªadu jest caªkowicie dodatnia [21, 22]. Odkryto równie», »e losowo wybrany

stan kwantowy ma w ogólno±ci niezerowy dysonans kwantowy, a dowolnie maªe

zaburzenie stanu o zerowym dysonansie kwantowym powoduje generowanie dysonansu

kwantowego [23]. Ponadto pokazano, »e stanów kwantowych o niezerowym dysonansie

nie mo»na lokalnie rozgªasza¢ [24]. Warto podkre±li¢, i» pomimo tego, »e w

przypadku czystych stanów spl¡tanych korelacje kwantowe ograniczaj¡ si¦ jedynie

do spl¡tania kwantowego2, to w przypadku mieszanych stanów spl¡tanych nie

ma prostej zale»no±ci mi¦dzy spl¡taniem kwantowym a dysonansem kwantowym3

[25, 26, 27, 28, 29]. Pokazano te», »e dynamika dysonansu kwantowego jest

zdecydowanie odmienna od dynamiki spl¡tania kwantowego [30, 31, 32, 33, 34, 35, 36].

Niedawno podano operacyjn¡ interpretacj¦ dysonansu kwantowego [37, 38], jak równie»

dokonano znacznego post¦pu w zrozumieniu relacji ª¡cz¡cych dysonans kwantowy z

1Do 2008 roku artykuª [17] byª cytowany 29 razy, a od 2008 roku 505 razy (wedªug bazy Web of

Science).2W tym przypadku dysonans kwantowy jest równy spl¡taniu kwantowemu.3W ogólno±ci dysonans kwantowy nie musi by¢ wi¦kszy od spl¡tania kwantowego.

2

nieodwracalno±ci¡ spl¡tania kwantowego [39], destylowalnym spl¡taniem kwantowym

[40] i rozproszonym spl¡taniem kwantowym [41, 42, 43]. Wykazano równie», »e dysonans

kwantowy, podobnie jak spl¡tanie kwantowe, nie jest monogamiczny [44, 45] i »e,

podobnie jak w przypadku spl¡tania kwantowego, mo»liwe jest wprowadzenie poj¦cia

±wiadka dysonansu kwantowego [46, 47].

Niestety, wyznaczenie dysonansu kwantowego wymaga na ogóª zastosowania

skomplikowanej procedury optymalizacyjnej, dlatego analityczn¡ posta¢ dysonansu

kwantowego znamy jedynie w przypadku dwuqubitowych stanów diagonalnych w bazie

Bella [25], siedmioparametrowej klasy dwuqubitowych stanów X [26], dwumodowych

stanów Gaussa [48, 49], dwuqubitowych stanów o niezerowych równolegªych

wektorach Blocha [50], dwuquditowych stanów Wernera [51] i dwuquditowych stanów

izotropowych [51].

Z tego powodu Daki¢, Vedral i Brukner [52] wprowadzili do kwantowej teorii

informacji poj¦cie geometrycznego dysonansu kwantowego (ang. geometric measure

of quantum discord albo quantum discord) jako alternatywnej wobec dysonansu

kwantowego miary korelacji kwantowych obecnych w dwuskªadnikowych stanach

kwantowych. Dzi¦ki temu, »e wyznaczenie geometrycznego dysonansu kwantowego

wymaga zastosowania prostszej procedury optymalizacyjnej ni» byªo to w przypadku

dysonansu kwantowego, znamy analityczn¡ posta¢ geometrycznego dysonansu

kwantowego w przypadku dowolnych dwuqubitowych stanów kwantowych [52], jak

równie» w przypadku dowolnych stanów kwantowych ukªadu zªo»onego z qubitu i

quditu [53, 54].

Podobnie jak dysonans kwantowy, geometryczny dysonans kwantowy staª si¦

przedmiotem intensywnych bada« [8]. W szczególno±ci sprawdzono [52], czy

geometryczny dysonans kwantowy mo»e by¢ odpowiedzialny za niezwykª¡ efektywno±¢

algorytmu Knilla�La�ammea [10]. Zbadano równie» dynamik¦ geometrycznego

dysonansu kwantowego [55, 56, 57, 58, 59, 60] oraz zale»no±ci pomi¦dzy geometrycznym

dysonansem kwantowym a innymi miarami nieklasycznych korelacji [61, 27, 62, 63, 64].

Celem przedstawionego cyklu prac [1, 2, 3, 4, 5] jest analiza teorioinformacyjnych

aspektów klasycznych i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych i

wieloskªadnikowych stanach kwantowych.

2 Korelacje kwantowe bez korelacji klasycznych

W pracy [65] pokazano, »e w ukªadzie zªo»onym z nieparzystej liczby qubitów n ≥ 3

w stanie ρ12...n = 12(|W ⟩⟨W | + |W̄ ⟩⟨W̄ |), gdzie |W ⟩ = 1√

n(|00 . . . 01⟩ + |00 . . . 10⟩ +

· · · + |10 . . . 00⟩) i |W̄ ⟩ = 1√n(|11 . . . 10⟩ + |11 . . . 01⟩ + · · · + |01 . . . 11⟩) obecne s¡

n-skªadnikowe korelacje kwantowe, rozumiane jako spl¡tanie kwantowe, a ponadto

wszystkie kowariancje Cov(X1, . . . , Xn) = ⟨(X1 − ⟨X1⟩) ⊗ · · · ⊗ (Xn − ⟨Xn⟩)⟩ dla

3

bez±ladowych obserwabli X1, . . . , Xn s¡ równe zeru.

Wedªug autorów pracy [65], je±li dla pewnego wyboru obserwabli X1, . . . , Xn

kowariancja Cov(X1, . . . , Xn) jest niezerowa, wówczas w n-qubitowym stanie

kwantowym s¡ obecne n-skªadnikowe korelacje klasyczne. Ponadto, je±li dla

wszystkich mo»liwych wyborów obserwabli kowariancja jest zerowa, wówczas w

n-qubitowym stanie kwantowym nie ma n-skªadnikowych korelacji klasycznych.

U»ywaj¡c powy»szego stwierdzenia jako kryterium nieistnienia n-skªadnikowych

korelacji klasycznych w n-qubitowym stanie kwantowym doszli oni do bª¦dnego

wniosku, »e w stanie ρ12...n s¡ obecne jedynie n-skªadnikowe korelacje kwantowe.

Jak wiadomo, je±li wyniki pomiarów obserwabli X1, . . . , Xn s¡ niezale»ne, wówczas

kowariancja Cov(X1, . . . , Xn) = 0. Jednak przeciwne stwierdzenie nie musi by¢

koniecznie prawdziwe � zerowanie si¦ kowariancji nie musi implikowa¢ niezale»no±ci

wyników pomiarów. Oznacza to, »e kryterium nieistnienia n-skªadnikowych korelacji

klasycznych w n-qubitowym stanie kwantowym, które zastosowano w pracy [65] jest

kryterium koniecznym nieistnienia takich korelacji, a nie kryterium wystarczaj¡cym.

W pracy [2] pokazaªem, »e w stanie ρ12...n istniej¡ n-skªadnikowe korelacje klasyczne,

pomimo zerowania si¦ wszystkich kowariancji Cov(X1, . . . , Xn).

Zaªó»my, »e X1 = X2 = · · · = Xn−1 = Xn = σz. Prawdopodobie«stwo tego, »e

wynik pomiaru obserwabli Xi jest równy ±1 wynosi p(Xi = ±1) = Tr[12(I±σz)ρi] =

12,

gdzie ρi =12I jest stanem i-tego qubitu. Z drugiej strony, ª¡czne prawdopodobie«stwo

tego, »e wynik pomiaru obserwabli X1, X2, . . . , Xn−1, Xn jest równy 1, 1, . . . , 1, 1

wynosi p(X1 = 1, X2 = 1, . . . , Xn−1 = 1, Xn = 1) = Tr[2−n(I + σz)⊗nρ12...n] =

Tr[|0⟩⟨0|⊗nρ12...n] = 0. Zatem wyniki pomiarów bez±ladowych obserwabliX1 = σz, X2 =

σz, · · · , Xn−1 = σz, Xn = σz nie s¡ niezale»ne pomimo tego, »e Cov(X1, . . . , Xn) = 0.

A to oznacza, »e w przeciwie«stwie do tego, co zostaªo zasugerowane w pracy [65] w

n-qubitowym stanie ρ12...n nie s¡ obecne jedynie n-skªadnikowe korelacje kwantowe,

rozumiane jako spl¡tanie kwantowe.

W tym kontek±cie warto wymieni¢ prac¦ [66], w której przedstawiono podej±cie

aksjomatyczne do problemu wspóªistnienia korelacji klasycznych i kwantowych

w wieloskªadnikowych stanach kwantowych. W ramach tego podej±cia pokazano,

»e zerowanie si¦ kowariancji nie mo»e by¢ wyznacznikiem nieistnienia korelacji

klasycznych w tego rodzaju stanach, co przemawia na korzy±¢ tego wyboru aksjomatów.

3 Korelacje klasyczne w wieloskªadnikowych stanach kwantowych

Praca [65] staªa si¦ punktem wyj±cia do sformuªowania, w j¦zyku klasycznej

teorii informacji, niezawodnego kryterium nieistnienia korelacji klasycznych w

wieloskªadnikowych stanach kwantowych [3].

Zauwa»my, »e z punktu widzenia autorów pracy [65] korelacje klasyczne obecne w

4

n-qubitowym stanie kwantowym ρ12...n musz¡ mie¢ zwi¡zek z pomiarami obserwabli

X1, . . . , Xn i dlatego ich zdaniem s¡ korelacjami mi¦dzy zmiennymi losowymi

odpowiadaj¡cymi pomiarom tych obserwabli � podobne podej±cie do problemu

zde�niowania czym s¡ korelacje klasyczne obecne w stanach kwantowych zostaªo

zaprezentowane równie» w pracy [24].

Dla uproszczenia, ale bez straty ogólno±ci, w pracy [3] rozwa»yªem ukªad trzech

spinów 1/2 w stanie ρABC , zakªadaj¡c jednocze±nie, »e mierzone s¡ rzuty spinów A, B

i C odpowiednio na kierunki wyznaczone przez wektory jednostkowe a, b i c � pomiar

rzutu spinu (w jednostkach ~/2) na kierunek n odpowiada pomiarowi von Neumanna

obserwabli Sn = n · σ, gdzie σ = (σx, σy, σz).

Nast¦pnie pokazaªem, »e pomiarom obserwabli Sa, Sb i Sc w stanie ρABC

odpowiadaj¡ binarne zmienne losowe A, B i C � przyjmuj¡ce warto±ci a = {1,−1},b = {1,−1} i c = {1,−1} � o rozkªadach prawdopodobie«stwa pA = [p(a)],

pB = [p(b)] i pC = [p(c)], gdzie p(a) = Tr[12(I + aSa)ρA], p(b) = Tr[1

2(I + bSb)ρB]

i p(c) = Tr[12(I + cSc)ρC ].

W klasycznej teorii informacji miar¡ zale»no±ci dyskretnych zmiennych losowych

A i B albo ich redundancji jest informacja wzajemna I(A : B) (równanie (8) w

[3]), poniewa» I(A : B) ≥ 0, a równo±¢ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A i B

s¡ niezale»ne [67]. Dlatego zerowanie si¦ informacji wzajemnej mo»na traktowa¢ jako

teorioinformacyjne kryterium niezale»no±ci zmiennych losowych � innymi sªowy, je±li

I(A : B) > 0, wówczas zmienne losowe A i B s¡ skorelowane.

Mogªoby si¦ wydawa¢, »e je±li trzy zmienne losowe s¡ parami niezale»ne, to musz¡

by¢ one koniecznie niezale»ne � jednak jak pokazaªem w pracy [3] nie musi tak by¢,

co ilustruje poni»szy przykªad.

Rozwa»my trzy spiny 1/2 w stanie ϱABC = 14(|↑↑↑⟩ ⟨↑↑↑|+|↑↓↓⟩ ⟨↑↓↓|+|↓↑↓⟩ ⟨↓↑↓|+

|↓↓↑⟩ ⟨↓↓↑|). Wyniki pomiarów obserwabli Sa, Sb i Sc, a co za tym idzie zmienne

losowe A, B i C, s¡ parami niezale»ne dla wszystkich kierunków a, b i c, poniewa»

ϱAB = ϱAC = ϱBC = 12I⊗ 1

2I. Niemniej jednak nie s¡ one niezale»ne, poniewa» je±li a =

b = c = (0, 0, 1), wówczas p(a = 1, b = 1, c = 1) = 14̸= p(a = 1)p(b = 1)p(c = 1) = 1

8.

W pracy [3] pokazaªem równie», »e teorioinformacyjne kryterium niezale»no±ci

dwóch zmiennych losowych mo»na w naturalny sposób rozszerzy¢ na przypadek

trzech zmiennych losowych, je±li we¹miemy pod uwag¦ fakt, »e informacja wzajemna

jest jedynie szczególnym przypadkiem entropii wzgl¦dnej (równanie (9) w [3]) �

informacja wzajemna jest entropi¡ wzgl¦dn¡ ª¡cznego rozkªadu prawdopodobie«stwa

pAB = [p(a, b)] wzgl¦dem iloczynu rozkªadów prawdopodobie«stwa pApB, to znaczy

I(A : B) = D(pAB||pApB).W dalszej cz¦±ci pracy [3] wyja±niªem, dlaczego z punktu widzenia klasycznej teorii

informacji wynika, »e parami niezale»ne zmienne losowe nie musz¡ by¢ koniecznie

niezale»ne, to znaczy dlaczego zerowanie si¦ informacji wzajemnych I(A : B), I(A : C)

5

i I(B : C) jest warunkiem koniecznym, a nie warunkiem wystarczaj¡cym niezale»no±ci

zmiennych losowych A, B i C.

Ponadto wyja±niªem, dlaczego z punktu widzenia klasycznej teorii informacji

zerowanie si¦ informacji wzajemnych I(C : A,B), I(B : A,C) i I(A : B,C) jest

warunkiem koniecznym i wystarczaj¡cym niezale»no±ci zmiennych losowych A, B i C.

Zatem dochodzimy do wniosku, »e (i) w stanie ρABC mog¡ by¢ obecne

trzyskªadnikowe korelacje klasyczne pomimo tego, »e nie ma w nim dwuskªadnikowych

korelacji klasycznych, (ii) stan ρABC jest stanem iloczynowym, to znaczy ρABC =

ρA ⊗ ρB ⊗ ρC , wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich mo»liwych kierunków a, b

i c wyniki pomiarów obserwabli Sa, Sb i Sc nie s¡ skorelowane wzgl¦dem dowolnego

podziaªu ukªadu zªo»onego ABC na dwa podukªady: A : BC, B : AC albo C : AB,

(iii) w stanie ρABC nie ma trzyskªadnikowych korelacji klasycznych wtedy i tylko wtedy,

gdy dla wszystkich mo»liwych kierunków a, b i c wyniki pomiarów obserwabli Sa, Sb

i Sc nie s¡ skorelowane wzgl¦dem jakiego± podziaªu ukªadu zªo»onego ABC na dwa

podukªady.

W tym miejscu warto zauwa»y¢, »e do podobnych wniosków mo»na doj±¢

stosuj¡c podej±cie aksjomatyczne [66], które jest zasadniczo odmienne od podej±cia

teorioinformacyjnego przedstawionego w pracy [3]. Ponadto warto podkre±li¢, »e wyniki

przedstawione w pracy [3] mo»na uogólni¢ na przypadek ukªadów wieloskªadnikowych.

4 Informacja wzajemna jako miara korelacji

W pracy [1] przedstawiªem argumenty przemawiaj¡ce za tym, »e kwantowa informacja

wzajemna nie mo»e by¢ uwa»ana za miar¦ caªkowitych korelacji obecnych w

dwuskªadnikowych stanach kwantowych, poniewa» istniej¡ stany, w przypadku których

kwantowa informacja wzajemna nie uwzgl¦dnia wszystkich aspektów caªkowitych

korelacji.

W pracy [1] pokazaªem, »e istniej¡ klasycznie skorelowane stany kwantowe, w

przypadku których kwantowa informacja wzajemna nie udziela dobrej odpowiedzi na

pytanie, jak silne s¡ caªkowite korelacje obecne w tych stanach.

Jako przykªad rozwa»yªem ukªad dwóch qubitów w stanie ρAB = α|00⟩⟨00| + (1 −α)|11⟩⟨11|, α ∈ (0, 1) (równanie (5) w [1]), który jest stanem separowalnym [9], a

qubity A i B s¡ w stanie ρA(B) = α|0⟩⟨0| + (1 − α)|1⟩⟨1| b¦d¡cym mieszank¡ stanów

ortogonalnych |0⟩ i |1⟩, co oznacza, »e w stanie ρAB s¡ obecne tylko korelacje klasyczne

[17].

Zauwa»my, »e korelacje klasyczne obecne w stanie ρAB, rozumiane jako korelacje

mi¦dzy dwoma ortogonalnymi stanami qubitów A i B, s¡ w istocie rzeczy korelacjami

mi¦dzy binarnymi zmiennymi losowymi A i B odpowiadaj¡cymi pomiarom von

Neumanna obserwabli MA = a0|0⟩⟨0| + a1|1⟩⟨1| i MB = b0|0⟩⟨0| + b1|1⟩⟨1|, czyli

6

pomiarom stanu qubitu A i B w bazie obliczeniowej � je±li wynikiem pomiaru

obserwabli MA (MB) jest ai (bi), wówczas qubit A (B) jest w stanie |i⟩, a z drugiej

strony ai (bi) s¡ warto±ciami zmiennej losowej A(B) o rozkªadzie prawdopodobie«stwa

pA(B) = [pA(B)i ], gdzie p

A(B)i oznacza prawdopodobie«stwo tego, »e mierz¡c MA (MB)

otrzymamy ai (bi) [1].

ρAB MB BMAA

Nast¦pnie pokazaªem, »e je±li pomiar obserwabli MA poprzedza pomiar obserwabli

MB, to wyniki pomiarów, a co za tym idzie zmienne losowe A i B, s¡ caªkowicie

skorelowane, co ilustruje poni»szy diagram, gdzie pB|Aj|i oznacza prawdopodobie«stwo

tego, »e mierz¡c MB otrzymamy bj, pod warunkiem, »e mierz¡c MA otrzymali±my ai

(patrz równania (6) i (7) w [1]).

pAi

α

1− α

pBj

α

1− α

A

a0 b0

B

a1 b1

1

1

pB|Aj|i

Z drugiej strony pokazaªem, »e w rozwa»anym przypadku informacja wzajemna

I(A : B) (równanie (10) w [1]) mo»e by¢ dowolnie maªa (co ilustruje poni»szy

wykres), pomimo tego, »e zmienne losowe A i B s¡ caªkowicie skorelowane, czyli

kwantowa informacja wzajemna (równanie (9) w [1]), która w tym przypadku jest

równa informacji wzajemnej I(A : B), nie udziela dobrej odpowiedzi na pytanie, jak

silne s¡ korelacje obecne w stanie ρAB = α|00⟩⟨00|+ (1− α)|11⟩⟨11|.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Α

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0IHA:BL

Dzieje si¦ tak dlatego, »e informacja wzajemna I(A : B) jest równa ±redniej ilo±ci

informacji, jak¡ otrzymujemy o wyniku pomiaru obserwabli MB(MA) poznaj¡c wynik

pomiaru obserwabli MA(MB), innymi sªowy informacja wzajemna I(A : B) mówi

nam, ile caªkowicie skorelowanych bitów przypada, ±rednio rzecz bior¡c, na jedn¡ par¦

wyników. Z punktu widzenia teorii informacji mo»e by¢ ona dowolnie maªa, pomimo

tego, »e zmienne losowe A i B s¡ caªkowicie skorelowane. Wynika to z faktu, »e ±rednia

ilo±¢ informacji, jak¡ otrzymujemy poznaj¡c wynik pomiaru obserwabli MA (MB) jest

równa entropii Shannona H(A) (H(B)), która mo»e by¢ dowolnie maªa, a z drugiej

strony I(A : B) ≤ Min(H(A), H(B)).

7

Zatem w naturalny sposób pojawia si¦ pytanie: co z punktu widzenia klasycznej

teorii informacji jest miar¡ siªy korelacji mi¦dzy zmiennymi losowymi A i B?

W przypadku zmiennych losowych A i B o takich samych rozkªadach

prawdopodobie«stwa Cover i Thomas [67] zaproponowali nast¦puj¡c¡ miar¦ siªy

korelacji C(A,B) = I(A : B)/H(A)4 (równanie (11) w [1]).

Zauwa»my, »e w rozwa»anym powy»ej przypadku pA = pB i I(A : B) = H(A) [1],

zatem C(A,B) = 1, czyli A i B s¡ caªkowicie skorelowane dla wszystkich α ∈ (0, 1),

jak pokazali±my poprzednio w jawny sposób.

W dalszej cz¦±ci pracy [1] uogólniªem mar¦ korelacji Covera�Thomasa na przypadek

zmiennych losowych o ró»nych rozkªadach prawdopodobie«stwa.

W tym celu rozwa»yªem ukªad dwóch qutritów w stanie ρAB = 13|11⟩⟨11| +

13|20⟩⟨20| + 1

3|22⟩⟨22| (równanie (12) w [1]), w którym nie ma kwantowych korelacji,

poniewa» jest to stan separowalny [9], a qutrity A i B s¡ w stanach ρA = 13|1⟩⟨1|+ 2

3|2⟩⟨2|

i ρB = 13|0⟩⟨0|+ 1

3|1⟩⟨1|+ 1

3|2⟩⟨2|, które s¡ mieszank¡ stanów ortogonalnych.

Zauwa»my, »e korelacje klasyczne obecne w stanie ρAB s¡ korelacjami pomi¦dzy

tenarnymi zmiennymi losowymi A i B odpowiadaj¡cymi pomiarom von Neumanna

obserwabli MA = a0|0⟩⟨0|+ a1|1⟩⟨1|+ a2|2⟩⟨2| i MB = b0|0⟩⟨0|+ b1|1⟩⟨1|+ b2|2⟩⟨2|.Nast¦pnie pokazaªem, »e w tym przypadku pA ̸= pB (patrz równania (13) w [1]), a

siªa korelacji mi¦dzy zmiennymi losowymi A i B zale»y od wyboru kolejno±ci pomiarów

obserwabli MA i MB, co ilustruj¡ poni»sze diagramy.

a0 b0

a1 b1

a2 b2

1

1

2

1

2

A BpB|Aj|ipAi

0

1

3

2

3

pBj

1

3

1

3

1

3

b0 a0

b1 a1

b2 a2

1

1

1

B ApA|Bj|ipBi

1

3

1

3

1

3

pAj

0

1

3

2

3

W szczególno±ci pokazaªem, »e je±li pomiar obserwabli MA poprzedza pomiar

obserwabli MB, to miar¡ siªy korelacji mi¦dzy zmiennymi losowymi A i B jest

I(A :B)/H(B), natomiast je±li pomiar obserwabli MB poprzedza pomiar obserwabli

MA, to jest ni¡ I(A : B)/H(A), co w rozwa»anym przypadku daje I(A : B)/H(B) ≃0.579 i I(A : B)/H(A) = 1 (patrz równania (18) i (22) w [1]).

Bior¡c pod uwag¦ fakt, »e siªa korelacji pomi¦dzy zmiennymi losowymi A i B

mo»e zale»e¢ od wyboru kolejno±ci pomiarów obserwabli MA i MB, zaproponowaªem

nast¦puj¡c¡ miar¦ korelacji C(A,B) = I(A : B)/Min(H(A),H(B)) (równanie (23) w

[1]) okre±laj¡c¡ siª¦ korelacji mi¦dzy zmiennymi losowymi o dowolnych rozkªadach

4Miara korelacji Covera�Thomasa ma nast¦puj¡ce wªasno±ci (i) C(A,B) = C(B,A), (ii) 0 ≤C(A,B) ≤ 1, (iii) C(A,B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A i B s¡ niezale»ne, (iv) C(A,B) = 1

wtedy i tylko wtedy, gdy A i B s¡ caªkowicie skorelowane.

8

prawdopodobie«stwa i pokazaªem, »e ma ona takie same wªasno±ci, jak miara korelacji

Covera�Thomasa.

Zatem C(A,B) jest miar¡ siªy korelacji klasycznych obecnych w dowolnym

klasycznie skorelowanym stanie kwantowym ρAB [24], je±li przyjmiemy, »e korelacje

klasyczne obecne w tym stanie s¡ korelacjami mi¦dzy wynikami pomiarów von

Neumanna, w bazie obliczeniowej, stanu podukªadów A i B.

Warto w tym miejscu zauwa»y¢, »e C(ρAB) = maxMA,MBC(A,B) jest miar¡ siªy

korelacji klasycznych obecnych w dowolnym dwuskªadnikowym stanie kwantowym ρAB,

gdzie zmienne losowe A i B odpowiadaj¡ pomiarom von Neumana opisanym przez

zupeªne zbiory jednowymiarowych operatorów rzutowych {ΠAi } i {ΠB

i }, to znaczy

pomiarom von Neumanna obserwabli MA =∑

i aiΠAi i MB =

∑i biΠ

Bi .

5 Dysonans kwantowy a wieloskªadnikowe korelacje

W pracy [4] przedstawiªem systematyczn¡ analiz¦ korelacji kwantowych i klasycznych

obecnych w dwuskªadnikowych i wieloskªadnikowych stanach kwantowych w ramach

paradygmatu Olliviera��urka5 [17].

Punktem wyj±cia byªo pokazanie, »e zgodnie z tym, co zostaªo zasugerowane w

pracy [68] dysonans kwantowy DA(B)(ρAB)6 jest równy minimalnej ilo±¢ korelacji, jaka

jest tracona podczas pomiaru von Neumanna bez wyboru M{ΠA(B)i } przeprowadzonego

na podukªadzie A(B), to znaczy DA(ρAB) = inf{ΠA(B)i }[I(ρAB) − I(M{ΠA(B)

i }(ρAB))],

gdzieM{ΠAi }(ρAB) =

∑i(Π

Ai ⊗I)ρAB(Π

Ai ⊗I) iM{ΠB

i }(ρAB) =∑

i(I⊗ΠBi )ρAB(I⊗ΠB

i )

(równanie (7) w [4]); pomiar M{Π̃A(B)i } dla którego osi¡gane jest in�mum nazywany jest

optymalnym pomiarem von Neumanna bez wyboru.

W tym kontek±cie w naturalny sposób pojawia si¦ pytanie: jakiego rodzaju korelacje

s¡ tracone podczas optymalnego pomiaru von Neumanna bez wyboru?

W pracy [4] pokazaªem, »e optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru M{Π̃Ai }

nie prowadzi do utraty klasycznych korelacji obecnych w stanie ρAB, a jedynie do utraty

korelacji kwantowych, poniewa» DA(M{Π̃Ai }(ρAB)) = 0 i CA(M{Π̃A

i }(ρAB)) = CA(ρAB)7

(równanie (12) w [4]), gdzie M{Π̃Ai }(ρAB) =

∑i p̃

Ai Π̃

Ai ⊗ ρB|i (równanie (13) w [4]) jest

stanem ukªadu tu» po pomiarze M{Π̃Ai }.

5W paradygmacie Olliviera��urka miar¡ caªkowitych korelacji obecnych w stanie ρAB jest

kwantowa informacja wzajemna I(ρAB), natomiast dysonans kwantowy DA(B)(ρAB) i CA(B)(ρAB) =

I(ρAB)−DA(B)(ρAB) s¡ niesymetrycznymi miarami korelacji kwantowych i klasycznych obecnych w

tym stanie.6DA(B)(ρAB) = inf{ΠA(B)

i }[I(ρAB) − J{ΠA(B)i }(ρAB)], gdzie I(ρAB) jest kwantow¡ informacj¡

wzajemn¡ stanu ρAB , a J{ΠA(B)i }(ρAB) jest kwantow¡ informacj¡ wzajemn¡ indukowan¡ przez

pomiar von Neumanna, opisany przez zbiór jednowymiarowych operatorów rzutowych {ΠA(B)i },

przeprowadzony na podukªadzie A(B) (oznaczenia z pracy [4]).7CA(B)(ρAB) = sup{ΠA(B)

i } J{ΠA(B)i }(ρAB) jest miar¡ korelacji klasycznych Hendersona�Vedrala [18]

(oznaczenia z pracy [4]).

9

W tym miejscu pojawia si¦ kolejne pytanie: czy w stanie o zerowym dysonansie

kwantowym mog¡ by¢ obecne korelacje kwantowe?

Na pierwszy rzut oka mogªoby si¦ wydawa¢, »e pytanie jest retoryczne. Jednak w

pracy [4] zwróciªem uwag¦ na fakt, który do tej pory byª pomijany w tym kontek±cie, »e

w stanie M{Π̃Ai }(ρAB) =

∑i p̃

Ai Π̃

Ai ⊗ρB|i mog¡ by¢ obecne korelacje kwantowe, pomimo

tego, »e DA(M{Π̃Ai }(ρAB)) = 0, poniewa» zgodnie z klasy�kacj¡ dwuskªadnikowych

stanów kwantowych [24], je±li stany ρB|i komutuj¡, wówczas w stanie M{Π̃Ai }(ρAB) s¡

obecne jedynie korelacje klasyczne, w przeciwnym wypadku stan M{Π̃Ai }(ρAB) zawiera

zarówno klasyczne, jak i kwantowe korelacje.

Zatem w naturalny sposób pojawia si¦ pytanie: ile korelacji kwantowych pozostaªo

po przeprowadzeniu optymalnego pomiaru von Neumanna bez wyboru M{Π̃Ai }?

Zauwa»my po pierwsze, »e optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru M{Π̃Bj }

nie prowadzi do utraty klasycznych korelacji zawartych w stanie M{Π̃Ai }(ρAB), a

jedynie do utraty korelacji kwantowych, poniewa» DB(M{Π̃Bj }(M{Π̃A

i }(ρAB))) = 0 i

CB(M{Π̃Bj }(M{Π̃A

i }(ρAB))) = CB(M{Π̃Ai }(ρAB)) (równanie (16) w [4]). Ponadto zgodnie

z klasy�kacj¡ dwuskªadnikowych stanów kwantowych [24], stan ukªadu tu» po pomiarze

M{Π̃Bj }

8 nie zawiera korelacji kwantowych, a jedynie korelacje klasyczne, które byªy

obecne w stanie ρAB. Zatem dochodzimy do wniosku, »e w stanie M{Π̃Ai }(ρAB) byªo

dokªadnie tyle korelacji kwantowych, ile zostaªo utraconych podczas optymalnego

pomiaru von Neumanna bez wyboru M{Π̃Bj }, czyli DB(M{Π̃A

i }(ρAB)).

Zatem w ramach paradygmatu Olliviera��urka mo»emy w naturalny sposób

wprowadzi¢ miar¦ caªkowitych korelacji kwantowych obecnych w stanie ρAB jako sum¦

korelacji kwantowych traconych podczas optymalnych pomiarów von Neumanna bez

wyboru M{Π̃Ai } i M{Π̃B

j }, Q(ρAB) = DA(ρAB) + DB(M{Π̃Ai }(ρAB)) (równanie (17) w

[4]), poniewa» nast¦puj¡ce po sobie optymalne pomiary prowadz¡ jedynie do caªkowitej

utraty kwantowych korelacji obecnych w stanie ρAB, nie zmieniaj¡c przy tym korelacji

klasycznych.

Zauwa»my, »e miar¦ caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρAB) mo»na przedstawi¢

w postaci Q(ρAB) = I(ρAB) − CB(M{Π̃Ai }(ρAB)) (równanie (18) w [4]), co prowadzi

do wniosku, »e w ramach paradygmatu Olliviera��urka C(ρAB) = CB(M{Π̃Ai }(ρAB))

(równanie (19) w [4]) jest miar¡ caªkowitych korelacji klasycznych obecnych w stanie

ρAB.

W pracy [4] pokazaªem, »e w ogólnym przypadku dysonans kwantowy DA(B)(ρAB)

jest nie wi¦kszy od caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρAB), podczas gdy miara

korelacji klasycznych Hendersona�Vedrala CA(B)(ρAB) jest nie mniejsza od caªkowitych

klasycznych korelacji C(ρAB). Ponadto udowodniªem, »e Q(ρAB) i C(ρAB) s¡

symetrycznymi miarami korelacji (patrz równania (21) i (22) w [4]).

8M{Π̃Bj }(M{Π̃A

i }(ρAB)) =∑

ij p̃ABij Π̃A

i ⊗ Π̃Bj , gdzie p̃AB

ij = Tr[(Π̃Ai ⊗ Π̃B

j )ρAB ] jest

prawdopodobie«stwem otrzymania odpowiednio wyników i oraz j (równanie (15) w [4]).

10

Warto podkre±li¢, »e stosuj¡c powy»sze podej±cie do problemu korelacji mo»na w

prosty sposób wyja±ni¢ wyniki otrzymane w pracach [33, 69].

W dalszej cz¦±ci pracy [4] wprowadziªem w naturalny sposób poj¦cie dysonansu

kwantowego DAk(ρA)

9 jako miary kwantowych korelacji obecnych w m-skªadnikowym

stanie kwantowym ρA, co pozwoliªo na przeprowadzenie systematycznej analizy

korelacji kwantowych i klasycznych obecnych w wieloskªadnikowych stanach

kwantowych.

Zauwa»my po pierwsze, »e dysonans kwantowy DAk(ρA) jest równy minimalnej ilo±¢

korelacji, jaka jest tracona podczas pomiaru von Neumanna bez wyboru M{ΠAki }, to

znaczy DAk(ρA) = inf{ΠAk

i }[I(ρA)−I(M{ΠAki }(ρA)], gdzie M{ΠAk

i }(ρA) =∑

i(I⊗· · ·⊗ΠAk

i ⊗ · · · ⊗ I)ρA(I ⊗ · · · ⊗ΠAki ⊗ · · · ⊗ I). Ponadto optymalny pomiar von Neumanna

bez wyboru M{Π̃Aki } nie prowadzi do utraty klasycznych korelacji obecnych w stanie

ρA, a jedynie do utraty korelacji kwantowych [4].

Nast¦pnie pokazaªem, »e przeprowadzaj¡c po kolei optymalne pomiary von

Neumanna bez wyboru M{Π̃A1i }, . . . ,M{Π̃Am

i } tracimy kolejno

DA1(ρA),

DA2(M{Π̃A1i1

}(ρA)),

DA3(M{Π̃A2i2

}(M{Π̃A1i1

}(ρA))),

...

DAm(M{Π̃Am−1im−1

}(. . . (M{Π̃A1i1

}(ρA))))

korelacji kwantowych, które mog¡ by¢ obecne w stanach

ρA,

M{Π̃A1i1

}(ρA),

M{Π̃A2i2

}(M{Π̃A1i1

}(ρA)),

...

M{Π̃Am−1im−1

}(. . . (M{Π̃A1i1

}(ρA))),

nie zmieniaj¡c przy tym korelacji klasycznych [4].

Zatem widzimy, »e w ramach paradygmatu Olliviera��urka

Q(ρA) = DA1(ρA) +DA2(M{Π̃A1i1

}(ρA)) +DA3(M{Π̃A2i2

}(M{Π̃A1i1

}(ρA))) + · · ·

9DAk(ρA) = inf{ΠAk

i }[I(ρA)−J{ΠAki }(ρA)], gdzie I(ρA) jest kwantow¡ informacj¡ wzajemn¡ stanu

ρA (A oznacza A1A2 . . . Am−1Am), a J{ΠAki }(ρA) jest kwantow¡ informacj¡ wzajemn¡ indukowan¡

przez pomiar von Neumanna, opisany przez zbiór jednowymiarowych operatorów rzutowych {ΠAki },

przeprowadzony na podukªadzie Ak.

11

· · ·+DAm(M{Π̃Am−1im−1

}(. . . (M{Π̃A1i1

}(ρA))))

jest miar¡ caªkowitych kwantowych korelacji obecnych w m-skªadnikowym stanie

kwantowym ρA (równanie (35) w [4]).

Zauwa»my, »e miar¦ caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρA) mo»na przedstawi¢

w postaci Q(ρA) = I(ρA)− CAm(M{Π̃Am−1im−1

}(. . . (M{Π̃A1i1

}(ρA)))) (równanie (36) w [4]),

co prowadzi do wniosku, »e w ramach paradygmatu Olliviera��urka

C(ρA) = CAm(M{Π̃Am−1im−1

}(. . . (M{Π̃A1i1

}(ρA))))

jest miar¡ caªkowitych korelacji klasycznych obecnych w stanie ρA (równanie (37) w

[4]).

W pracy [4] pokazaªem, »e w ogólnym przypadku dysonans kwantowy DAk(ρA) jest

nie wi¦kszy od caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρA) � w m-skªadnikowym stanie

o zerowym dysonansie kwantowym DAi(ρA) mog¡ by¢ obecne korelacje kwantowe,

podczas gdy miara korelacji klasycznych Hendersona�Vedrala CAk(ρA)

10 jest nie

mniejsza od caªkowitych klasycznych korelacji C(ρA). Ponadto udowodniªem, »e Q(ρA)

i C(ρA) s¡ symetrycznymi miarami korelacji (patrz równania (38) i (39) w [4]).

6 Porz¡dkowania stanów kwantowych ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe

W pracy [5] zbadaªem problem porz¡dkowania dwuqubitowych stanów kwantowych

diagonalnych w bazie Bella ze wzgl¦du na dysonans kwantowy i geometryczny dysonans

kwantowy.

Zauwa»my, »e w ogólno±ci mog¡ istnie¢ dwuskªadnikowe stany kwantowe ρAB i ρ′AB,

dla których porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonans kwantowy DA(ρAB) odbiega

od porz¡dkowania zadanego przez geometryczny dysonans kwantowy DGA(ρAB)

11.

Innymi sªowy w ogólno±ci mog¡ istnie¢ stany kwantowe ρAB i ρ′AB, dla których nie jest

speªniony warunek DA(ρAB) ≤ (≥)DA(ρ′AB) ⇐⇒ DG

A(ρAB) ≤ (≥)DGA(ρ

′AB) (równanie

(1) w [5]), czyli porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe jest ªamane.

Ostatnio odkryto dwuqubitowe stany kwantowe, dla których porz¡dkowanie

stanów ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe jest ªamane [57], co pokazuje, »e brak

jednoznacznego porz¡dkowania stanów nie jest jedynie cech¡ miar spl¡tania [70, 71,

72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80] lecz równie» takich miar korelacji kwantowych, jak

dysonanse kwantowe.

Zatem w naturalny sposób pojawia si¦ problem znalezienia dwuqubitowych stanów

kwantowych, dla których porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe

jest zachowane.10CAk

(ρA) = sup{ΠAki } J{ΠAk

i }(ρA).11DG

A(ρAB) = infχAB ||ρAB − χAB ||2, gdzie in�mum jest wzi¦te po wszystkich stanach o zerowym

dysonansie kwantowym, DA(χAB) = 0, natomiast || · || jest norm¡ Hilberta�Schmidta, ||A|| =√Tr(A†A) (oznaczenia z pracy [5]).

12

Okazaªo si¦ jednak, »e ogólne rozwi¡zanie tego problemu � to znaczy znalezienie

wszystkich stanów, które nie ªami¡ porz¡dkowania stanów � jest bardzo trudne, nawet

w przypadku dwuqubitowych stanów diagonalnych w bazie Bella12 [81, 25], dla których

znamy analityczn¡ posta¢ dysonansu kwantowego DA(ρAB) [25] (równanie (16a) w [5])

i geometrycznego dysonansu kwantowego DGA(ρAB) [52] (równanie (16b) w [5]).

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

c1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

c2

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

c3

W pracy [5] pokazaªem, »e je±li stany ρAB i ρ′AB nale»¡ do jednej z

dwunastu dwuparametrowych rodzin stanów (odpowiadaj¡cych dwunastu trójk¡tom

na powy»szym rysunku)

ci = 0, − 1 ≤ cj ≤ −0.5, |ck| ≤ 1 + cj,

cl = 0, 0.5 ≤ cm ≤ 1, |cn| ≤ 1− cl,

gdzie i ̸= j ̸= k i l ̸= m ̸= n, to wówczas porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na

dysonanse kwantowe jest zachowane (równania (15) w [5]).

W szczególno±ci pokazaªem, »e je±li ρAB i ρ′AB nale»¡ do dwuparametrowej rodziny

stanów: c1 = 0, −1 ≤ c2 ≤ −0.5, |c3| ≤ 1 + c2, to porz¡dkowanie stanów jest

zachowane, poniewa» dla danego c2 oba dysonanse kwantowe s¡ wypukªymi funkcjami

c3 z minimum lokalnym w tym samym punkcie i DA(ρAB) ≥ DGA(ρAB) (DA � czarna

linia, DGA � szara linia, na rysunku poni»ej) [5].

12Stany diagonalne w bazie Bella maj¡ posta¢ ρAB = 14 (I ⊗ I +

∑3i=1 ci σi ⊗ σi), gdzie σi s¡

macierzami Pauliego, a wspóªczynniki ci ∈ R speªniaj¡ nast¦puj¡ce warunki: 0 ≤ 14 (1−c1−c2−c3) ≤ 1,

0 ≤ 14 (1−c1+c2+c3) ≤ 1, 0 ≤ 1

4 (1+c1−c2+c3) ≤ 1, 0 ≤ 14 (1+c1+c2−c3) ≤ 1. Nierówno±ci te opisuj¡

czworo±cian o wierzchoªkach (1, 1,−1), (−1,−1,−1), (1,−1, 1) i (−1, 1, 1) odpowiadaj¡cych stanom

Bella |ψ+⟩ = 1√2(|01⟩+ |10⟩), |ψ−⟩ = 1√

2(|01⟩ − |10⟩), |ϕ+⟩ = 1√

2(|00⟩+ |11⟩), |ϕ−⟩ = 1√

2(|00⟩ − |11⟩)

(rysunek powy»ej).

13

-1.0

-0.8

-0.6c2

-0.5

0.0

0.5

c3

0.0

0.1

0.2

0.3

DA,DAG

Zauwa»my, »e w podobny sposób mo»na pokaza¢, »e porz¡dkowanie stanów ze

wzgl¦du na dysonanse kwantowe jest zachowane dla pozostaªych rodzin stanów [5].

Ponadto w pracy [5] pokazaªem, »e je±li stany ρAB i ρ′AB nie nale»¡ do jednej

z dwunastu dwuparametrowych rodzin stanów wymienionych powy»ej, to wówczas

mo»na znale¹¢ zarówno stany, dla których porz¡dkowanie stanów jest zachowane, jak

i stany, dla których porz¡dkowanie stanów jest ªamane. Na przykªad w przypadku

jednoparametrowej rodziny stanów: c1 ̸= 0, c2 = −c1, c3 = 1 porz¡dkowanie stanów

jest zachowane (lewy rysunek poni»ej), natomiast w przypadku jednoparametrowej

rodziny stanów: c1 = −0.5, c2 = 0.5, 0 < c3 ≤ 1 porz¡dkowanie stanów jest ªamane

(prawy rysunek poni»ej).

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0c1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0DA, DA

G

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0c3

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

DA, DAG

Na szczególn¡ uwag¦ zasªuguje fakt, »e w szczególno±ci mo»na znale¹¢ pary stanów,

dla których porz¡dkowanie stanów jest ªamane pomimo tego, »e ka»dy z nich nale»y

do jednej z dwunastu dwuparametrowych rodzin stanów, dla których porz¡dkowanie

stanów jest zachowane � wªa±nie dlatego znalezienie ogólnego rozwi¡zania problemu

porz¡dkowania stanów diagonalnych w bazie Bella ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe

jest bardzo trudne [5]. Na przykªad w przypadku stanów ρAB i ρ′AB, dla których

c1 = 0.1, c2 = 0, c3 = −0.75 i c1 = 0.1, c2 = 0, c3 = 0.9 porz¡dkowanie stanów nie

jest zachowane, poniewa» DA(ρAB) < DA(ρ′AB) a DG

A(ρAB) = DGA(ρ

′AB) pomimo tego,

»e ρAB nale»y do rodziny stanów: c2 = 0, −1 ≤ c3 ≤ −0.5, |c1| ≤ 1 + c3 podczas

gdy ρ′AB nale»y do rodziny stanów: c2 = 0, 0.5 ≤ c3 ≤ 1, |c1| ≤ 1− c3 [5].

14

W pracy [5] zauwa»yªem równie», »e wyniki numerycznego porównania dysonansów

kwantowych dla dowolnych dwuqubitowych stanów kwantowych [62, 61] prowadz¡ do

wniosku, »e istniej¡ inne stany, poza stanami diagonalnymi w bazie Bella i stanami

wskazanymi w pracy [57], dla których porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonanse

kwantowe nie jest zachowane.

7 Podsumowanie

W jednotematycznym cyklu prac [1, 2, 3, 4, 5] rozwin¡ªem teorioinformacyjne podej±cie

do problemu klasycznych i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych

i wieloskªadnikowych mieszanych stanach kwantowych. W szczególno±ci znalazªem

odpowiedzi na szereg wa»nych pyta« prowadz¡cych do lepszego zrozumienia korelacji

klasycznych i kwantowych obecnych w mieszanych stanach kwantowych, zarówno w

paradygmacie Wernera, jak i w paradygmacie Olliviera��urka.

• Czy z punktu widzenia paradygmatu Wernera w n-qubitowym stanie kwantowym

ρ12...n [65] s¡ obecne jedynie n-qubitowe korelacje kwantowe?

W pracy [2] wyja±niªem, »e kryterium nieistnienia n-skªadnikowych korelacji

klasycznych w n-qubitowym stanie kwantowym, oparte na zerowaniu si¦

wszystkich kowariancji Cov(X1, . . . , Xn), jest kryterium koniecznym nieistnienia

takich korelacji, a nie kryterium wystarczaj¡cym. Ponadto pokazaªem w jawny

sposób, »e w stanie ρ12...n istniej¡ n-skªadnikowe korelacje klasyczne, pomimo

zerowania si¦ wszystkich kowariancji.

• Czy w ramach paradygmatu Wernera mo»na sformuªowa¢ niezawodne

teorioinformacyjne kryterium nieistnienia korelacji klasycznych w

wieloskªadnikowych stanach kwantowych?

W pracy [1] dla uproszczenia, ale bez straty ogólno±ci, przedstawiªem tego

rodzaju kryterium dla trzyskªadnikowych stanów kwantowych. W szczególno±ci

wyja±niªem dlaczego w trzyskªadnikowym stanie kwantowym mog¡ by¢

obecne trzyskªadnikowe korelacje klasyczne, pomimo tego, »e nie ma w nim

dwuskªadnikowych korelacji klasycznych i podaªem jawny przykªad takiego

stanu.

• Czy kwantowa informacja wzajemna uwzgl¦dnia wszystkie aspekty caªkowitych

korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych?

W pracy [1] pokazaªem, »e istniej¡ klasycznie skorelowane stany kwantowe, w

przypadku których kwantowa informacja wzajemna nie udziela dobrej odpowiedzi

na pytanie, jak silne s¡ caªkowite korelacje obecne w tych stanach. W

szczególno±ci znalazªem klasycznie skorelowane stany kwantowe, w przypadku

których kwantowa informacja wzajemna mo»e by¢ dowolnie maªa, pomimo tego,

15

»e caªkowite korelacje obecne w tych stanach s¡ maksymalnie silne. Ponadto

zaproponowaªem teorioinformacyjn¡ miar¦ siªy korelacji klasycznych obecnych w

klasycznie skorelowanym stanie kwantowym, któr¡ mo»na uogólni¢ na przypadek

dowolnych dwuskªadnikowych stanów kwantowych.

• Ile korelacji klasycznych i kwantowych jest obecnych w dwuskªadnikowych stanach

kwantowych z punktu widzenia paradygmatu Olliviera��urka?

W pracy [4] pokazaªem w jawny sposób, »e dysonans kwantowy DA(B)(ρAB)

jest równy ilo±ci korelacji, jaka jest tracona podczas optymalnego pomiaru von

Neumanna bez wyboru przeprowadzonego na podukªadzie A(B). Pokazaªem

równie», »e optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru nie prowadzi do

utraty korelacji klasycznych zawartych w dwuskªadnikowym stanie kwantowym

ρAB. Ponadto wprowadziªem w naturalny sposób miar¦ caªkowitych kwantowych

korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych i pokazaªem, »e

dysonans kwantowy jest nie wi¦kszy od caªkowitych kwantowych korelacji, co

oznacza, »e zerowanie si¦ dysonansu kwantowego nie musi implikowa¢ znikania

kwantowych korelacji. Nast¦pnie wprowadziªem miar¦ caªkowitych klasycznych

korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych i pokazaªem, »e

miara korelacji klasycznych Hendersona�Vedrala jest nie mniejsza od caªkowitych

kwantowych korelacji.

• Ile korelacji klasycznych i kwantowych jest obecnych w wieloskªadnikowych

stanach kwantowych z punktu widzenia paradygmatu Olliviera��urka?

W pracy [4] uogólniªem w naturalny sposób poj¦cie dysonansu kwantowego

na przypadek ukªadów wieloskªadnikowych. Dzi¦ki temu mogªem w naturalny

sposób wprowadzi¢ miar¦ caªkowitych kwantowych korelacji obecnych w

wieloskªadnikowych stanach kwantowych13, jak równie» miar¦ caªkowitych

klasycznych korelacji obecnych w tych stanach.

• Czy niejednoznaczne porz¡dkowanie stanów jest jedynie cech¡ miar spl¡tania

kwantowego?

W pracy [5] zbadaªem problem porz¡dkowania dwuqubitowych stanów

diagonalnych w bazie Bella ze wzgl¦du na dysonans kwantowy i geometryczny

dysonans kwantowy. W szczególno±ci zidenty�kowaªem 12 dwuparametrowych

rodzin stanów dla których porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonanse

kwantowe jest zachowane i pokazaªem, »e w przypadku stanów nale»¡cych do

ró»nych rodzin porz¡dkowanie stanów mo»e by¢ ªamane, co jest sprzeczne z

intuicj¡ i pokazuje, »e znalezienie ogólnego rozwi¡zania problemu porz¡dkowania

stanów ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe jest niezwykle trudne.13Kilka miesi¦cy pó¹niej Rulli i Sarandy wprowadzili poj¦cie globalnej miary korelacji kwantowych

obecnych w wieloskªadnikowych stanach kwantowych [82].

16

Pomimo tego, »e prace wchodz¡ce w skªad cyklu habilitacyjnego [1, 2, 3, 4, 5]

zostaªy opublikowane w ci¡gu kilku ostatnich lat, to byªy cytowane 18 razy (wedªug

bazy Web of Science). Wyniki opisane w pracach [2, 4, 5] zostaªy przedstawione

w pracy przegl¡dowej [8]. Natomiast artykuª [5] znalazª si¦ na okªadce Europhysics

Letters (stycze« � marzec 2013). Ponadto prace [2, 5] zostaªy wybrane do presti»owego

czasopisma Virtual Journal of Quantum Information.

5. Omówienie pozostaªych osi¡gni¦¢ naukowo�badawczych

Przed doktoratem

W pracy [83] opisano q-zdeformowan¡ przestrze« fazow¡ i wyprowadzono, z zasady

najmniejszego dziaªania, q-zdeformowane równania Hamiltona.

Prace [84, 85, 86] dotyczyªy niealgebraicznego podej±cia do problemu quasi-

dokªadnej rozwi¡zywalno±ci. W pracy [84] pokazano, »e ortogonalne wielomiany

spektralne Bendera�Dunnea mo»na skonstruowa¢ dla wszystkich modeli quasi-

dokªadnie rozwi¡zywalnych. Ponadto przedstawiono prosty sposób znajdowania

funkcji wagowych stowarzyszonych z tymi wielomianami i pokazano, »e wielomiany

Bendera�Dunnea s¡ wielomianami ortogonalnymi zmiennej dyskretnej, która przyjmuje

warto±ci ze sko«czonego zbioru dokªadnie policzalnych poziomów energetycznych

rozwa»anego modelu quasi-dokªadnie rozwi¡zywalnego. W pracy [85] pokazano, »e

pewne jednowymiarowe modele quasi-dokªadnie rozwi¡zywalne tworz¡ dublety modeli

dualnych powi¡zanych ze sob¡ pewn¡ dyskretn¡ transformacj¡, któr¡ nazwano

transformacj¡ antyizospektraln¡, poniewa» zmienia ona znaki wszystkich dokªadnie

policzalnych poziomów energetycznych modeli tworz¡cy dany dublet. Pokazano

równie», »e dualno±¢ pozwala na znalezienie górnej granicy dokªadnie policzalnej

cz¦±ci spektrum rozwa»anego modelu quasi-dokªadnie rozwi¡zywalnego i poci¡ga za

sob¡ istnienie wielomianów tego samego stopnia, które s¡ ortogonalne na dwóch

ró»nych przedziaªach, z t¡ sam¡ funkcj¡ wagow¡ � wielomiany te s¡ naturalnym

uogólnieniem standardowych wielomianów ortogonalnych zwi¡zanych z modelami

dokªadnie rozwi¡zywalnymi.

Po doktoracie

Wpracy [86] pokazano, »e w przypadku zale»nego od czasu oscylatora anharmonicznego

z zaburzeniem szóstego stopnia � najprostszy zale»ny od czasu ukªad quasi-dokªadnie

rozwi¡zywalny � równania ansatzu Bethego opisuj¡ klasyczny zespolony ukªad

dynamiczny typu Calogero�Mosera, co oznacza, »e istnieje ±cisªy zwi¡zek mi¦dzy

kwantowymi modelami quasi-dokªadnie rozwi¡zywalnymi a klasycznymi modelami

dynamicznymi. Ponadto pokazano, »e przy pomocy metody rzutowej Olshanetskyego�

Perelomova mo»na wykaza¢ podobny zwi¡zek mi¦dzy kwantowymi ukªadami quasi-

17

dokªadnie rozwi¡zywalnymi a klasycznymi ukªadami macierzowymi.

Prace [87, 88, 89, 90] po±wi¦cone byªy zagadnieniu destrukcji stanów w mechanice

kwantowej. W pracy [87] zaproponowano opis destrukcji cz¡stek rozró»nialnych i

nierozró»nialnych na gruncie mechaniki kwantowej, a nie kwantowej teorii pola. W

szczególno±ci zde�niowano kilka rodzajów odwzorowa« nazwanych super±ladami, które

zostaªy wykorzystane do opisu procesu destrukcji. Ponadto pokazano, »e poj¦cie

destrukcji stanów mo»e by¢ traktowane jako uzupeªnienie procedury pomiaru podanej

przez von Neumanna i Lüdersa. W pracy [88] pokazano na kilku przykªadach, »e

proces destrukcji stanów mo»e by¢ pomocny w opisie eksperymentów typu Einsteina�

Podolskyego�Rosena. Natomiast w pracy [89] pokazano, »e procedura destrukcji stanów

dla jednego quditu jest operacj¡ kwantow¡ i znaleziono jawn¡ posta¢ operatorów

Krausa dla tej operacji kwantowej. W pracy [90] rozwa»ono ukªad dwóch cz¡stek

rozró»nialnych o spinie 1/2 i przeanalizowano ze wszystkimi szczegóªami proces

destrukcji stanów zachodz¡cy podczas pomiaru rzutu spinu cz¡stki.

Prace [91, 92] dotyczyªy nierelatywistycznej spinowej funkcji korelacji. W pracy

[91] rozwa»ono eksperyment typu Einsteina�Podolskyego�Rosena i wyznaczono

nierelatywistyczn¡ spinow¡ funkcj¦ korelacji dla pary cz¡stek o dowolnym

spinie uwzgl¦dniaj¡c rozró»nialno±¢ i nierozró»nialno±¢ cz¡stek, wzgl¦dny ruch

obserwatorów, sko«czony rozmiar detektorów i odst¦p czasowy mi¦dzy pomiarami

przeprowadzanymi przez poruszaj¡cych si¦ obserwatorów. Byªa to pierwsza tak

szczegóªowa analiza nierelatywistycznej spinowej funkcji korelacji w eksperymencie

typu Einsteina�Podolskyego�Rosena. Z kolei praca [92] po±wi¦cona byªa wyznaczeniu

nierelatywistycznej spinowej funkcji korelacji typu Einsteina�Podolskyego�Rosena dla

dwóch cz¡stek rozró»nialnych o spinie 1/2 w stanie trypletowym.

W pracach [93, 94, 95] pokazano, »e transformacje Bogoliubova, szeroko stosowane

w kwantowej teorii pola, mog¡ by¢ równie» u»yteczne w kwantowej teorii informacji.

Pokazano mianowicie, »e problem wyboru rozkªadu na iloczyn tensorowy przestrzeni

stanów ukªadu dwóch fermionów, z uwzgl¦dnieniem pewnej reguªy superwyboru,

mo»e by¢ przeanalizowany przy pomocy transformacji Bogoliubova operatorów

kreacji i anihilacji. Ponadto pokazano, »e w rozwa»anym przypadku zbie»no±¢

Woottersa nie jest wªa±ciw¡ miar¡ spl¡tania i znaleziono jawn¡ posta¢ spl¡tania

formowania, która pokazuje, »e spl¡tanie kwantowe zale»y od wyboru rozkªadu iloczynu

tensorowego przestrzeni Hilberta badanego ukªadu. Wykazano równie», »e zbiór stanów

separowalnych nie jest tak liczny, jak w przypadku ukªadu dwóch qubitów i istniej¡

stany, które s¡ separowalne bez wzgl¦du na wybór rozkªadu iloczynu tensorowego.

Prace [96, 97, 98] po±wi¦cone byªy zagadnieniu ewolucji ukªadu cz¡stek

niestabilnych ze szczególnym uwzgl¦dnieniem ewolucji spl¡tania kwantowego w

ukªadzie K0K̄0 w kontek±cie testowania nierówno±ci typu Bella�CHSH. W pracy

[96] przedstawiono opis cz¡stek niestabilnych w j¦zyku mechaniki kwantowej

18

ukªadów otwartych, uwzgl¦dniaj¡c reguª¦ superwyboru, która zabrania istnienia

superpozycji stanów cz¡stki i pró»ni. W tym podej±ciu ewolucja ukªadu zadana

jest przez rodzin¦ odwzorowa« caªkowicie dodatnich tworz¡cych jednoparametrow¡

póªgrup¦ dynamiczn¡. W pracy znaleziono jawn¡ posta¢ operatorów Krausa dla

tak okre±lonej ewolucji ukªadu. Pokazano równie», »e istniej¡ pewne ograniczenia

na mo»liw¡ siª¦ dekoherencji. W pracy [97] znaleziono ewolucj¦ czasow¡ ukªadu

dwóch nieoddziaªuj¡cych cz¡stek niestabilnych (rozró»nialnych i nierozró»nialnych) w

dowolnym ukªadzie odniesienia znaj¡c jedynie operatory Krausa de�niuj¡ce ewolucj¦

cz¡stek w ukªadzie spoczynkowym. Znaleziono równie» nierelatywistyczn¡ funkcj¦

korelacji EPR dla ukªadu K0K̄0 w stanie singletowym uwzgl¦dniaj¡c ªamanie symetrii

CP i dekoherencj¦. Pokazano, »e w tym przypadku statystyka cz¡stek nie ma wpªywu

na otrzymany wynik. W pracy [98] rozwa»ono ewolucj¦ spl¡tania zespoªu ukªadów

dwuskªadnikowych. W szczególno±ci zbadano ewolucj¦ spl¡tania dla ukªadów K0K̄0 w

stanie singletowym z uwzgl¦dnieniem dekoherencji i ªamania symetrii CP.

W pracy [99] pokazano, »e spinowa zredukowana macierz g¦sto±ci ukªadu dwóch

cz¡stek nierelatywistycznych o dowolnym spinie transformuje si¦ w sposób kowariantny

pod wpªywem przeksztaªce« Galileusza. Ponadto pokazano jawnie, »e spl¡tanie

kwantowe w takim ukªadzie jest niezmiennikiem transformacji Galileusza.

W pracy [100] pokazano jawnie, »e te same oscylacje neutrin otrzymujemy

niezale»nie od tego, czy s¡ one tachionami, czy zwykªymi cz¡stkami masywnymi.

W pracy [101] przeprowadzono szczegóªow¡ analiz¦ poprawionego protokoªu

rekurencyjnego IBM opisanego w [102]. W szczególno±ci pokazano, »e protokóª ten

nie jest w istocie rzeczy protokoªem rekurencyjnym, a nawet gdyby byª, to nie byªby

tak efektywny, jaki twierdz¡ autorzy pracy [102]. Ponadto przedstawiono pozbawion¡

bª¦dów wersj¦ tego protokoªu.

Bibliogra�a

[1] Z. Walczak, Total correlations and mutual information, Phys. Lett. A 373 (2009),

1818.

[2] Z. Walczak, Comment on �Quantum correlation without classical correlations�,

Phys. Rev. Lett. 104 (2010), 068901.

[3] Z. Walczak, Information-theoretic approach to the problem of detection of genuine

multipartite classical correlations, Phys. Lett. A 374 (2010), 3999.

[4] M. Okrasa, Z. Walczak, Quantum discord and multipartite correlations, EPL 96

(2011), 60003.

[5] M. Okrasa, Z. Walczak, On two-qubit states ordering with quantum discords, EPL

98 (2012), 40003.

19

[6] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki,Quantum entanglement,

Rev. Mod. Phys. 81 (2009), 865.

[7] O. Gühne, G. Tóth, Entanglement detection, Phys. Rep. 474 (2009), 1.

[8] K. Modi, A. Brodutch, H. Cable, T. Paterek, V. Vedral, The classical-quantum

boundary for correlations: Discord and related measures, Rev. Mod. Phys. 84

(2012), 1655.

[9] R. F. Werner, Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations

admitting a hidden-variable model, Phys. Rev. A 40 (1989), 4277.

[10] E. Knill, R. La�amme, Power of one bit of quantum information, Phys. Rev.

Lett. 81 (1998), 5672.

[11] S. L. Braunstein, C. M. Caves, R. Jozsa, N. Linden, S. Popescu, R. Schack,

Separability of very noisy mixed states and implications for NMR quantum

computing, Phys. Rev. Lett. 83 (1999), 1054.

[12] C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo, C. A. Fuchs, T. Mor, E. Rains, P. W. Shor,

J. A. Smolin, W. K. Wootters, Quantum nonlocality without entanglement, Phys.

Rev. A 59 (1999), 1070.

[13] D. A. Meyer, Sophisticated quantum search without entanglement, Phys. Rev.

Lett. 85 (2000), 2014.

[14] E. Biham, G. Brassard, D. Kenigsberg, T. Mor, Quantum computing without

entanglement, Theor. Comput. Sci. 320 (2004), 15.

[15] A. Datta, S. T. Flammia, C. M. Caves, Entanglement and the power of one qubit,

Phys. Rev. A 72 (2005), 042316.

[16] A. Datta, G. Vidal, Role of entanglement and correlations in mixed-state quantum

computation, Phys. Rev. A 75 (2007), 042310.

[17] H. Ollivier, W. H. Zurek, Quantum discord: A measure of the quantumness of

correlations, Phys. Rev. Lett. 88 (2001), 017901.

[18] L. Henderson, V. Vedral, Classical, quantum and total correlations, J. Phys. A

34 (2001), 6899.

[19] A. Datta, A. Shaji, C. M. Caves, Quantum discord and the power of one qubit,

Phys. Rev. Lett. 100 (2008), 050502.

[20] A. Datta, S. Gharibian, Signatures of nonclassicality in mixed-state quantum

computation, Phys. Rev. A 79 (2009), 042325.

20

[21] C. A. Rodríguez-Rosario, K. Modi, A. Kuah, A. Shaji, E. C. G. Sudarshan,

Completely positive maps and classical correlations, J. Phys. A 41 (2008), 205301.

[22] A. Shabani, D. A. Lidar, Vanishing quantum discord is necessary and su�cient

for completely positive maps, Phys. Rev. Lett. 102 (2009), 100402.

[23] A. Ferraro, L. Aolita, D. Cavalcanti, F. M. Cucchietti, A. Acín, Almost all

quantum states have nonclassical correlations, Phys. Rev. A 81 (2010), 052318.

[24] M. Piani, P. Horodecki, R. Horodecki, No-local-broadcasting theorem for

multipartite quantum correlations, Phys. Rev. Lett. 100 (2008), 090502.

[25] S. Luo, Quantum discord for two-qubit systems, Phys. Rev. A 77 (2008), 042303.

[26] M. Ali, A. R. P. Rau, G. Alber, Quantum discord for two-qubit X states, Phys.

Rev. A 81 (2010), 042105.

[27] A. Al-Qasimi, D. F. V. James, Comparison of the attempts of quantum discord

and quantum entanglement to capture quantum correlations, Phys. Rev. A 83

(2011), 032101.

[28] F. F. Fanchini, M. C. de Oliveira, L. K. Castelano, M. F. Cornelio, Why the

entanglement of formation is not generally monogamic, Phys. Rev. A 87 (2013),

032317.

[29] S. Campbell, Predominance of entanglement of formation over quantum discord

under quantum channels, Quant. Inf. Proc. 12 (2013), 2623.

[30] T. Werlang, S. Souza, F. F. Fanchini, C. J. Villas Boas, Robustness of quantum

discord to sudden death, Phys. Rev. A 80 (2009), 024103.

[31] J. Maziero, L. C. Céleri, R. M. Serra, V. Vedral, Classical and quantum

correlations under decoherence, Phys. Rev. A 80 (2009), 044102.

[32] F. F. Fanchini, T. Werlang, C. A. Brasil, L. G. E. Arruda, A. O. Caldeira, Non-

Markovian dynamics of quantum discord, Phys. Rev. A 81 (2010), 052107.

[33] J. Maziero, T. Werlang, F. F. Fanchini, L. C. Céleri, R. M. Serra, System-reservoir

dynamics of quantum and classical correlations, Phys. Rev. A 81 (2010), 022116.

[34] B. Wang, Z.-Y. Xu, Z.-Q. Chen, M. Feng, Non-Markovian e�ect on the quantum

discord, Phys. Rev. A 81 (2010), 014101.

[35] X. Hu, Y. Gu, Q. Gong, G. Guo, Necessary and su�cient condition for

Markovian-dissipative-dynamics-induced quantum discord, Phys. Rev. A 84

(2011), 022113.

21

[36] R. Lo Franco, B. Bellomo, E. Andersson, G. Compagno, Revival of quantum

correlations without system-environment back-action, Phys. Rev. A 85 (2012),

032318.

[37] V. Madhok, A. Datta, Interpreting quantum discord through quantum state

merging, Phys. Rev. A 83 (2011), 032323.

[38] D. Cavalcanti, L. Aolita, S. Boixo, K. Modi, M. Piani, A. Winter, Operational

interpretations of quantum discord, Phys. Rev. A 83 (2011), 032324.

[39] M. F. Cornelio, M. C. de Oliveira, F. F. Fanchini, Entanglement irreversibility

from quantum discord and quantum de�cit, Phys. Rev. Lett. 107 (2011), 020502.

[40] A. Streltsov, H. Kampermann, D. Bruss, Linking quantum discord to

entanglement in a measurement, Phys. Rev. Lett. 106 (2011), 160401.

[41] F. F. Fanchini, M. F. Cornelio, M. C. de Oliveira, A. O. Caldeira, Conservation

law for distributed entanglement of formation and quantum discord, Phys. Rev.

A 84 (2011), 012313.

[42] F. F. Fanchini, L. K. Castelano, M. F. Cornelio, M. C. de Oliveira, Locally

inaccessible information as a fundamental ingredient to quantum information,

New J. Phys. 14 (2012), 013027.

[43] T. K. Chuan, J. Maillard, K. Modi, T. Paterek, M. Paternostro, M. Piani,

Quantum discord bounds the amount of distributed entanglement, Phys. Rev. Lett.

109 (2012), 070501.

[44] G. L. Giorgi, Monogamy properties of quantum and classical correlations, Phys.

Rev. A 84 (2011), 054301.

[45] R. Prabhu, A. K. Pati, A. Sen(De), U. Sen, Conditions for monogamy of quantum

correlations: Greenberger-Horne-Zeilinger versus W states, Phys. Rev. A 85

(2012), 040102(R).

[46] B. Bylicka, D. Chru±ci«ski, Witnessing quantum discord in 2×N systems, Phys.

Rev. A 81 (2010), 062102.

[47] C. Zhang, S. Yu, Q. Chen, C. H. Oh, Observable estimation of entanglement of

formation and quantum discord for bipartite mixed quantum states, Phys. Rev. A

84 (2011), 052112.

[48] P. Giorda, M. G. A. Paris, Gaussian quantum discord, Phys. Rev. Lett. 105

(2010), 020503.

22

[49] G. Adesso, A. Datta, Quantum versus classical correlations in Gaussian states,

Phys. Rev. Lett. 105 (2010), 030501.

[50] B. Li, Z-X. Wang, S-M. Fei, Quantum discord and geometry for a class of two-

qubit states, Phys. Rev. A 83 (2011), 022321.

[51] E. Chitambar, Quantum correlations in high-dimensional states of high

symmetry, Phys. Rev. A 86 (2012), 032110.

[52] B. Daki¢, V. Vedral, �. Brukner, Necessary and su�cient condition for nonzero

quantum discord, Phys. Rev. Lett. 105 (2010), 190502.

[53] A. S. M. Hassan, B. Lari, P. S. Joag, Tight lower bound to the geometric measure

of quantum discord, Phys. Rev. A 85 (2012), 024302.

[54] S. Rana, P. Parashar, Tight lower bound on geometric discord of bipartite states,

Phys. Rev. A 85 (2012), 024102.

[55] X-M. Lu, Z. Xi, Z. Sun, X. Wang, Geometric measure of quantum discord under

decoherence, Quant. Inf. Comput. 10 (2010), 0994.

[56] F. Altintas, Geometric measure of quantum discord in non-Markovian

environments, Opt. Commun. 283 (2010), 5264.

[57] Y. Yeo, J-H. An, C. H. Oh, Non-Markovian e�ects on quantum-communication

protocols, Phys. Rev. A 82 (2010), 032340.

[58] Y. Li, B. Luo, H. Guo, Entanglement and quantum discord dynamics of two atoms

under practical feedback control, Phys. Rev. A 84 (2011), 012316.

[59] B. Bellomo, R. Lo Franco, G. Compagno, Dynamics of geometric and entropic

quanti�ers of correlations in open quantum systems, Phys. Rev. A 86 (2012),

012312.

[60] B. Bellomo, G. L. Giorgi, F. Galve, R. Lo Franco, G. Compagno, R. Zambrini,

Uni�ed view of correlations using the square-norm distance, Phys. Rev. A 85

(2012), 032104.

[61] J. Batle, A. Plastino, A. R. Plastino, M. Casas, Peculiarities of quantum discord's

geometric measure, J. Phys. A 44 (2011), 505304.

[62] D. Girolami, G. Adesso, Quantum discord for general two-qubit states: Analytical

progress, Phys. Rev. A 83 (2011), 052108.

[63] D. Girolami, M. Paternostro, G. Adesso, Faithful nonclassicality indicators and

extremal quantum correlations in two-qubit states, J. Phys. A 44 (2011), 352002.

23

[64] S. Rana, P. Parashar, Entanglement is not a lower bound for geometric discord,

Phys. Rev. A 86 (2012), 030302(R).

[65] D. Kaszlikowski, A. Sen(De), U. Sen, V. Vedral, A. Winter, Quantum correlation

without classical correlations, Phys. Rev. Lett. 101 (2008), 070502.

[66] C. H. Bennett, A. Grudka, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Postulates

for measures of genuine multipartite correlations, Phys. Rev. A 83 (2011), 012312.

[67] T. M. Cover, J. A. Thomas, Elements of information theory, John Wiley & Sons,

Hoboken, New Jersey, 2006.

[68] S. Luo, S. Fu, Geometric measure of quantum discord, Phys. Rev. A 82 (2010),

034302.

[69] G.-X. Li, Z. Yi, Z. Ficek, Nullity of quantum discord of two-qubit X-state systems,

arXiv:1101.4983 [quant-ph].

[70] J. Eisert, M. Plenio, A comparison of entanglement measures, J. Mod. Opt. 46

(1999), 145.

[71] K. �yczkowski, Volume of the set of separable states II, Phys. Rev. A 60 (1999),

3496.

[72] S. Virmani, M. B. Plenio, Ordering states with entanglement measures, Phys.

Lett. A 268 (2000), 31.

[73] K. �yczkowski, I. Bengtsson, Relativity of pure states entanglement, Ann. Phys.

295 (2002), 115.

[74] T. C. Wei, P. M. Goldbart, Geometric measure of entanglement and applications

to bipartite and multipartite quantum states, Phys. Rev. A 68 (2003), 042307.

[75] A. Miranowicz, Violation of Bell inequality and entanglement of decaying Werner

states, Phys. Lett. A 327 (2004), 272.

[76] A. Miranowicz, Decoherence of two maximally entangled qubits in a lossy

nonlinear cavity, J. Phys. A 37 (2004), 7909.

[77] A. Miranowicz, A. Grudka, Ordering two-qubit states with concurrence and

negativity, Phys. Rev. A 70 (2004), 032326.

[78] A. Miranowicz, A. Grudka, A comparative study of relative entropy of

entanglement, concurrence and negativity, J. Opt. B 6 (2004), 542.

[79] M. Ziman, V. Buºek, Entanglement-induced state ordering under local operations,

Phys. Rev. A 73 (2006), 012312.

24

[80] Y. Kinoshita, R. Namiki, T. Yamamoto, M. Koashi, N. Imoto, Selective

entanglement breaking, Phys. Rev. A 75 (2007), 032307.

[81] R. Horodecki, M. Horodecki, Information-theoretic aspects of inseparability of

mixed states, Phys. Rev. A 54 (1996), 1838.

[82] C.C. Rulli, M. S. Sarandy, Global quantum discord in multipartite systems, Phys.

Rev. A 84 (2011), 042109.

[83] P. Caban, A. Dobrosielski, A. Krajewska, Z. Walczak, On q-deformed

Hamiltonian mechanics, Phys. Lett. B 327 (1994), 287.

[84] A. Krajewska, A. Ushveridze, Z. Walczak, Bender�Dunne orthogonal polynomials,

Mod. Phys. Lett. A 12 (1997), 1131.

[85] A. Krajewska, A. Ushveridze, Z. Walczak, Anti-isospectral transformations in

quantum mechanics, Mod. Phys. Lett. A 12 (1997), 1225.

[86] D. Mayer, A. Ushveridze, Z. Walczak, On time-dependent quasi-exactly solvable

problems, Mod. Phys. Lett. A 15 (2000), 1243.

[87] P. Caban, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Destruction of states in

quantum mechanics, J. Phys. A 35 (2002), 3265.

[88] P. Caban, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Destruction in bipartite

quantum mechanics, Int. J. Theor. Phys. 42 (2003), 1015.

[89] P. Caban, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Kraus representation of destruction of

states for one qudit, Phys. Rev. A 68 (2003), 034308.

[90] P. Caban, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Destruction of quantum

states over discrete and continuous variables, Int. J. Quant. Inf. 2 (2004), 511.

[91] P. Caban, J. Rembieli«ski, Z. Walczak K. A. Smoli«ski, Einstein-Podolsky-Rosen

correlations and Galilean transformations, Phys. Rev. A 67 (2003), 012109.

[92] P. Caban, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Spin correlations in

nonrelativistic quantum mechanics, Int. J. Theor. Phys. 42 (2003), 1045.

[93] P. Caban, K. Podlaski, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak,

Entanglement and tensor product for two fermions, J. Phys. A 38 (2005), L79.

[94] P. Caban, K. Podlaski, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Tensor

product decomposition, entanglement, and Bogoliubov transformations for two

fermion system, Open Sys. Inf. Dyn. 12 (2005), 179.

25