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Autres LOIS de PROBABILITESAutres LOIS de PROBABILITES
Professeur Pascale FRIANT-MICHEL> Faculté de Pharmacie
I - INTRODUCTION I - INTRODUCTION > II - LOI du x2 (1)
Les autres LOIS de Les autres LOIS de PROBABILITESPROBABILITES
Permet, en particulier, de comparer des distributions
1. Définition
Soient X1, X2, . . . X, lois normales centrées réduites N (0, 1) indépendantes
II – LOI du II – LOI du 22 (lettre grecque : khi, on dit : loi du khi deux)(lettre grecque : khi, on dit : loi du khi deux)
- Grand nombre de lois de probabilités
- Etude de trois lois très utilisées dans les tests statistiquesde formulation connue mais complexe=> seules leurs principales caractéristiques seront données
II - LOI du II - LOI du 22 (2) (2)
2. Propriétés
a) 2 0, + ∞
c) représentation graphique de la loi de 2
b) distribution de 2 continue
. famille de courbes de 2 suivant le nombre de degrés de liberté
La loi de 2 à degrés de liberté est la loi de la variable aléatoire somme :
2 = + + . . . +
Remarque : 2 à 1 degré de liberté est le carré d’une variable normale centrée réduite
. courbe en cloche unimodale asymétrique avec étalement vers la droite (pour les faibles valeurs de )
X12
X22
X 2
1. Définition (2)
II - LOI du II - LOI du 22 (3) (3)
d) En pratique : tables de la distribution de 2
tables établies par PEARSON
0 2
= 15
P (2)
10 20 30
= 1
0,05
0,15
0,10
= 4
. La loi de 2 tend vers la loi normale centrée réduite
quand ∞
Les deux lois deviennent quasiment identiques quand > 30
2. Propriétés (2)
II - LOI du II - LOI du 22 (4) (4)
3. Table du 2 (la plus utilisée)
. table à double entrée (du fait de la dépendance en )
La valeur de est lue en ligne, celle de en colonne,
la valeur recherchée 2 se situant à l’intersection
. donne, en fonction du nombre de degrés de liberté, les valeurs limites 2
du 2 correspondant au coefficient de risque
0 2
P (2)
2
II - LOI du II - LOI du 22 (5) (5)
0,99 . . . . . . 0,05 0,010
1 3,841
. .
8 . . . . . . . . . ?
.
.
.
30
Exemple : pour = 8 et = 0,05
Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque :
= 5 % soit pour = 8 25% = 15,51
= 1 % " 21% = 20,09
3. Table du 2 (2)
II - LOI du II - LOI du 22 (6) (6) > III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (1)
Permet, en particulier, de comparer les moyennes d’échantillons
1. Définition
La loi de STUDENT notée ts à degrés de liberté est le quotient d’une loi normale centrée réduite N (0, 1) par la racine carrée d’une loi du khi2 à degrés de liberté divisée par ; les deux lois étant indépendantes
t s =
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER
Remarques :- pour toute la 1ère ligne, les valeurs sont celles ducarré de la
variable normale centrée réduite t
- la table s’arrête pour = 30, au-delà on prend l’approximation de la loi normale et on utilise la table de t
N (0, 1)
2
3. Table du 2 (3)
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (2)III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (2)
2. Propriétés
a) t s - ∞, + ∞ [
b) représentation graphique de la loi de STUDENT
. courbe en cloche symétrique, plus aplatie que lacourbe de Gauss (courbe hyper-normale)
. d’autant plus aplatie que est plus petit
0 t
courbe normale
courbe hyper-normale
P (t)
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (3)III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (3)
. La loi de STUDENT tend vers la loi normale centrée réduite
quand ∞
Les deux lois deviennent quasiment identiques quand > 30
. famille de distributions de t s suivant le nombre de degrés de liberté
0 t s
= 40
= 3
= 10
P (t s)
2. Propriétés (2)
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (4)III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (4)
3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (la plus utilisée)
c) En pratique : tables de la variable t s
. similaire à celle de l’écart-réduit (loi normale)
. table à double entrée (du fait de la dépendance en )
0- t s t s
/ 2 / 2
La valeur de est lue en ligne, celle de en colonne,
la valeur recherchée t s se situant à l’intersection
2. Propriétés (3)
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (5)III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (5)
0,90 . . . . . . 0,05 0,001
1 .
. .
10 . . . . . . . . . ?
.
.
.
120∞ 0,126 1,960 3,291
Exemple : pour = 10 et = 0,05
Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque :
= 5 % soit t s = 2,228 (t = 1,96 pour loi normale) = 1 % t s = 3,169 (t = 2,58 " )
3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (2)
Permet, en particulier, de comparer les variances d’échantillons
1. Définition
Soient 2 1et 2 2 deux lois indépendantes du 2 à 1 et 2 degrés de liberté respectivement
La loi de SNEDECOR à 1 et 2 degrés de liberté notée F1,2
(en hommage à Fisher) est définie comme le quotient :
F1,2 =
2. Propriétés
a) F 0, + ∞
b) attention : F1,2 ≠ F2,1
1
2
1
22
2
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (1)IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (1)
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (2)IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (2)
c) représentation graphique de la loi de SNEDECOR
. courbes en cloche unimodale asymétrique avec étalement vers la droite
Remarque : quand on échange les degrés de liberté, on démontre que l’on transforme le calcul de la probabilité par le calcul de son complémentaire
. dépendance avec les deux degrés de liberté 1 et 2
=> famille de courbes de SNEDECOR
0 F
P (F)(1, 2) = (2, 5)
(1, 2) = (10, 10)
(1, 2) = (5, 2)
2. Propriétés (2)
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (3)IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (3)
d) En pratique : tables de la distribution de F
3. Table de SNEDECOR
. table à triple entrée (du fait de la double dépendance en degrés de liberté) => une table par valeur de
. similaire à celle de 2
0 F
P (F)
F
. pour chaque , table à double entrée (1 et 2)La valeur de 1 est lue en ligne, celle de 2 en colonne,la valeur recherchée F se situant à l’intersection
2. Propriétés (3)
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (4)IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (4)
1
1 . . . . . . 20 ∞2
1 .
. .
10 . . . . . . . . . ?
.
.
.
100∞ 3,84 1,57 1,00
Exemple : pour = 0,05, 1 = 20 et 2 = 10
Reportons-nous à la table = 5%
Soit F20,10 = 2,77
3. Table de SNEDECOR (2)
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (5)IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (5)
Quand les valeurs ne sont pas dans les tables, on procède par interpolation
3. Table de SNEDECOR (3)
L1 SANTE