8/15/2019 Auxiliar 4

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MA3701 – Optimizaci´onProf. Rodrigo Lecaros

2016 - Semestre Oto ñoProf. Auxiliar: Mauricio Garrido & Pı́a Iglesias

Auxiliar 4

Miércoles 06 de Abril

Problema 1

Considere el par de problemas primal y dual:

(P )min {cT x : Ax ≥ b, x ≥ 0}

(D )max {bT y : A T y ≤ b, y ≤ 0}

(a) Demuestre que x̄ e ȳ son soluciones de (P ) y (D ), respectivamente, si y solo si

x̄ T (AT ȳ − c) = 0 = ȳT (AT x̄ − b)

(b) A partir de lo anterior pruebe que una condici´ on necesaria y suciente para que ¯x ∈ Rn

+ eȳ ∈R m+ sean soluciones de (P ) y (D ) respectivamente es que el par (¯x, ȳ) satisfaga:

L (x̄, y ) ≤ L (x̄, ȳ) ≤ L (x, ȳ) ∀x, y ≥ 0,

en donde L es la funci ón lagrangeana, denida como L(x, y ) := cT x − yT (Ax − b)

Problema 2

Considere el problema

max {cT x : Ax = 0 , x ≥ 0}

Suponga que el problema es acotado. Demuestre que ¯ x = 0 es solución del problema.

Problema 3

Sean a ∈ M nxm (R ), b ∈R m , c ,p ,q ∈R n tales que p ≤ q . Considere el problema:

min {cT x : Ax = b, p ≤ x ≤ q }

Pruebe que el dual siempre posee soluci´ on factible.

c 2016. Facultad de Ciencias F́ısicas y Matem´ aticas - Universidad de Chile.

8/15/2019 Auxiliar 4

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MA3701 – Optimizaci´onProf. Rodrigo Lecaros

2016 - Semestre Oto ñoProf. Auxiliar: Mauricio Garrido & Pı́a Iglesias

Problema 4

Considere el siguiente problema de programaci´ on lineal:

(P ) m ín {x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + ... + nx n }

s.a. x 1 ≥ 1x 1 + x 2 ≥ 2

x 1 + x 2 + x 3 ≥ 3x 1 + x 2 + x 3 + + x n ≥ n

x i ≥ 0

(a) Determine el problema dual ( D ).

(b) Verique que se tiene la propiedad de Dualidad Fuerte (es decir, val (P ) = val (D )).

(c) Mostrar que para todo y vector factible de ( D ) se tiene:

yk + yk +1 + ... + yn < k ∀k ∈ {2, 3, . . . ,n }

(d) Siendo x̄ optimo de ( P ), deduzca del Teorema de Holgura Complementaria los valores ¯ x 2 , x̄ 3 , ..., x̄ n

(e) Resuelva el problema primal ( P ), es decir, encuentre x̄ .

(f) Encuentre una soluci´ on optima del dual.

c 2016. Facultad de Ciencias F́ısicas y Matem´ aticas - Universidad de Chile.