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EM 621 - DMC - UNICAMP
AVALIAÇÃO DE DESEMPENHOAVALIAÇÃO DE DESEMPENHO
■ Introdução■ Análise no domínio do tempo
• Resposta ao degrau• Resposta à rampa• Resposta à parábola
■ Análise no domínio da freqüência• Diagramas de Bode• Diagrama de Nyquist• Diagrama de Nichols
Aula anteriorAula anterior
Esta aulaEsta aula
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IntroduçãoIntrodução
■ Deseja-se atingir um desempenho que deve serespecificado tecnicamente em termos da resposta asinais padronizados:• no domínio do tempo (última aula)• no domínio da freqüência
– Diagramas de Bode– Diagramas de Nyquist– Diagramas de Nichols
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No domínio do tempoNo domínio do tempo
■ Os parâmetros da resposta ao degrau são os maisusados
• Percentual de sobressinal (fator de amortecimento)• Tempo de estabilização (constante de tempo)• Erro estacionário (ganho estático)• Tempo de subida• Tempo de atraso
■ O erro estacionário da resposta à rampa é também umaespecificação muito comum
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No domínio da freqüênciaNo domínio da freqüência
■ São utilizados os seguintes diagramas
• Diagramas de Bode (principal ferramenta)• Diagramas de Nyquist• Diagramas de Nichols
■ Basicamente, representando o comportamento dosistema na resposta a excitações harmônicas
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Função de transferênciaFunção de transferência
■ A função de transferência é definida como a relação entre a transformadade Laplace da saída sobre a entrada de uma dada planta para condiçõesiniciais nulas.
■ Para um sistema linear, invariante no tempo, a saída para uma entradasenoidal de uma dada freqüência corresponde à
■ onde é mantida a freqüência e existe uma relação de amplitude e umarelação de fase
)(
)()(
sU
sYsP =
)sin()(
)sin()(
000
00
φωω
+==
tYty
tUtu
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Módulo e fase da função de transferênciaMódulo e fase da função de transferência
■ Considerando a função de transferência tomada no eixoimaginário, pode-se escrever para a resposta a uma excitaçãosenoidal
■ A função de transferência pode ser escrita em termos de umafunção amplitude e uma função fase
■ Assim resulta para a saída
)()()( ωωω jUjPjY =
)()()(
)()()(
0000
0000
ωωφωωωω
jUjjY
jUjMYjY
∠+Φ==∠==
)()()( ωωω jjMjsP Φ∠==
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Diagramas de BodeDiagramas de Bode
■ Método mais comum de representação docomportamento da resposta em freqüência
■ São usados o gráfico das amplitudes e o gráfico dasfases para cada freqüência da excitação harmônica
■ O gráfico das amplitudes é apresentado na unidade“deciBel” dB, AdB=10*log10(As/Ae)2 = 20*log10(As/Ae)
■ O gráfico das fases é apresentado na unidade “graus”■ Ambos têm no eixo horizontal o logaritmo da freqüência
angular (em rad/s)■ Corresponde à descrição da função de transferência
calculada no eixo imaginário do plano complexo ω= js
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Exemplo de diagramas de BodeExemplo de diagramas de Bode
■ Os diagramas aolado correspondema uma função detransferênciade segunda ordem
wn=2;
zeta=0.2;
np=wn^2;
dp=[1 2*zeta*wn wn^2];
sys=tf(np,dp);
bode(sys)
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Observações imediatasObservações imediatas
■ O ganho estático(ω=0) é unitário (0 dB)
■ A resposta para é nula
■ A curva da amplitudepassa por um pico
■ A fase inicia em zero,e tende a –180 graus,com a transiçãoprincipal na freqüênciado pico da amplitude
10-1
100
101
-30
-20
-10
0
10Diagramas de Bode
Am
plitu
de (
dB)
10-1
100
101
-200
-150
-100
-50
0
Freqüência angular (rad/s )
Fas
e (g
rau)
∞→ω
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Efeito de um pólo em zeroEfeito de um pólo em zero
■ Considerandoa função detransferência
P(s)=1/s
np =[1];dp=[1 0];bode(np,dp);
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Efeito de um pólo genéricoEfeito de um pólo genérico
■ Considerandoa função detransferência
P(s)=1/(s+1)
np =[1];dp=[1 1];bode(np,dp);
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Efeito de um pólo duplo em zeroEfeito de um pólo duplo em zero
■ Considerandoa função detransferência
P(s)=1/s2
np =[1];dp=[1 0 0];bode(np,dp);
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Efeito de um pólo duplo genéricoEfeito de um pólo duplo genérico
■ Considerando afunção detransferência
P(s)=1/(s+1)2
np =[1];dp=[1 2 1];bode(np,dp);
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Efeito devido a pólosEfeito devido a pólos
■ Pode-se concluir pela observação dos diagramasanteriores que um pólo simples acarreta uma quedaassintótica na amplitude de 20 dB/década (ou 6dB/oitava), a partir da freqüência respectiva do pólo e–90o na fase
■ Um pólo duplo acarreta o mesmo efeito porém comuma taxa de 40 dB/dec e –180 graus na fase
■ O mesmo ocorre para um pólo complexo devido ao parconjugado
■ Pode-se inferir 20*n dB/década de taxa para um pólode multiplicidade n e -90*n graus na fase
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Efeito de um zero em zeroEfeito de um zero em zero
■ Considerandoa função detransferência
P(s)=s
np =[1 0];dp=[1];bode(np,dp);
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Efeito de um zero genéricoEfeito de um zero genérico
■ Considerandoa função detransferência
P(s)=s+1
np =[1 1];dp=[1];bode(np,dp);
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Efeito de um zero duplo em zeroEfeito de um zero duplo em zero
■ Considerandoa função detransferência
P(s)=s2
np =[1 0 0];dp=[1];bode(np,dp);
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Efeito de um zero duplo genéricoEfeito de um zero duplo genérico
■ Considerando afunção detransferência
P(s)=(s+1)2
np =[1 2 1];dp=[1];bode(np,dp);
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Efeito devido a zerosEfeito devido a zeros
■ Pode-se concluir de modo similar que um zero simplesacarreta uma subida assintótica na amplitude de20 dB/década (ou 6 dB/oitava), a partir da freqüênciarespectiva do pólo e 90 graus na fase
■ Um zero duplo acarreta o mesmo efeito porém comuma taxa de 40 dB/dec e 180 graus na fase
■ O mesmo ocorre para um zero complexo devido ao parconjugado
■ Pode-se inferir 20*n dB/dec de taxa para um zero demultiplicidade n e 90*n graus na fase
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Considerando um passa-baixaConsiderando um passa-baixa
■ Para a função detransferência
P(s)=(s+10)/(s+1)
np =[1 10];dp=[1 1];bode(np,dp);
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Ressaltando as Ressaltando as assíntotasassíntotas
■ Observa-se aexistência detrês assíntotas:- para baixasfreqüências- ao passarpelo pólo- ao passarpelo zero
-20 dB/dec
+20 dB/dec
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Planta de segunda ordemPlanta de segunda ordem
■ Para os diagramas apresentados a seguir, será consideradasempre a seguinte planta de 2a. ordem, para a qual seráconsiderada uma freq. natural de 2 rad/s e um fator deamortecimento de 0,2.
• %planta de 2a ordem
• clear all
• wn=2;
• zeta=0.2;
• np=wn^2;
• dp=[1 2*zeta*wn wn^2];
• sys=tf(np,dp);
22
2
2)(
)(
n
n
sssU
sY
n ω+ζω+ω=
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Diagramas de BodeDiagramas de Bode
■ Domínio da freqüência
■ Gráficos log-log■ Módulo em decibel
■ Fase em graus■ w=logspace(-1,1,200);
■ [mod fas]=bode(sys,w);
■ modb(:,:)=20*log10(mod(1,:,:));
■ fase(:,:)=fas(1,:,:);
■ subplot(211)
■ semilogx(w,modb), grid
■ title(’Diagramas de Bode’);
■ ylabel(’Amplitude (dB)’)
■ subplot(212)
■ semilogx(w,fase), grid
■ ylabel(’Fase (grau)’)
■ xlabel('Freqüência angular (rad/s)')
10-1
100
101
-30
-20
-10
0
10Diagramas de Bode
Am
plitu
de (
dB)
10-1
100
101
-200
-150
-100
-50
0
Freqüência angular (rad/s )
Fas
e (g
rau)
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Especificações no domínio da freqüênciaEspecificações no domínio da freqüência
■ Os seguintes parâmetros podem ser especificados• Pico da ressonância: corresponde ao valor máximo do
diagrama da amplitude do sistema de segunda ordem• Freqüência de ressonância: a freqüência que leva o
diagrama da amplitude ao seu valor máximo• Banda de passagem: é a freqüência em que a amplitude
cai de 3dB em relação ao ganho estático (isto correspondea 70,7% do ganho estático em escala linear, ou 1/√2)
• Taxa de queda: a taxa com que a curva cai após passarpela ressonância (“roll-off”)
3 dB
BW
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Pico de ressonânciaPico de ressonância
■ O pico de ressonânciaestá ligado ao fator deamortecimento, e portantoao sobressinal. Pode-sechegar à seguinte relação,derivando-se a expressãoda amplitude e igualando-a a zero.
0,707p/ 12
12
≤ζζ−ζ
=pM
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Freqüência de ressonânciaFreqüência de ressonância
■ A freqüência deressonância estárelacionada com afreqüência natural e com ofator de amortecimento.Pode-se chegar à seguinterelação entre eles
0,707p/ 21 2 ≤ζζ−=ωω
n
r
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Banda de passagemBanda de passagem
■ A banda de passagemestá relacionada com afreqüência natural e com ofator de amortecimento.Pode-se chegar à seguinterelação entre eles
24421 242 +−+−= ζζζωω nb
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Funções de transferência de fase mínimaFunções de transferência de fase mínima
■ Uma FT é chamada de função de transferência de fasemínima se todos os seus zeros estiverem no ladoesquerdo do plano complexo
■ É chamada de fase não-mínima se existir algum zerodo lado direito do plano complexo
■ Para duas FT’s com zeros iguais em módulo e sinaisopostos, o diagrama de amplitude é o mesmo
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Efeitos de pólos e zerosEfeitos de pólos e zeros
■ Pode-se genericamente afirmar que
• Acrescentando-se um pólo a banda de passagem diminui,e portanto diminui a velocidade de resposta
• Acrescentando-se um zero, a banda de passagemaumenta, portanto acelerando a resposta do sistema
• Ressalte-se porém que tais efeitos não são verificadosnecessariamente em todos os casos, dependendo do valordos pólos e zeros
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Diagrama polarDiagrama polar
■ Eliminando-se a freqüência nos diagramas de Bode, pode-setraçar um diagrama polar para cada par M(jω), Φ(jω)
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Diagrama de Diagrama de NyquistNyquist
O gráfico polar é também conhecido como diagrama de Nyquist, e seuuso principal é para a avaliação da estabilidade (critério de Nyquist)
■ w=logspace(-1,1,200);
■ w2=linspace(0,2*pi,200);
■ ejw=exp((j*w2));
■ r2=real(ejw);
■ i2=imag(ejw);
■ [r1,i1]=nyquist(sys,w);
■ re(:,:)=r1(1,:,:);
■ im(:,:)=i1(1,:,:);
■ figure(2)
■ plot(r2,i2,re,im,’r*’), grid
■ title('Diagrama de Nyquist');
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AlternativamenteAlternativamente
Diagrama vetorial de Nyquistpara freqüências{0 1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 3 4}
■ w3=[0 1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 3 4];
■ [r3,i3]=nyquist(sys,w3);
■ nyq2=r3+j*i3;
■ figure(3), compass(nyq2)
0.5
1
1.5
2
2.5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
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Diagrama de Diagrama de NicholsNichols
Gráfico retangular, eliminando-se a freqüência a partir do diagramade Bode e mantendo-se as unidades respectivas
■ w=logspace(-1,1,200);
■ [mod fas]=bode(sys,w);
■ modb(:,:)=20*log10(mod(1,:,:));
■ fase(:,:)=fas(1,:,:);
■ plot(fase,modb)
■ hold on
■ nichols(sys,w,’*’)
■ hold off