avances en modelamiento y simulacion de procesos solido-solido

7/25/2019 Avances en Modelamiento y Simulacion de Procesos Solido-solido

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MODELAMIENTOYSIMULACION

DEPROCESOSYEQUIPOSDE

SEPARACIONSOLIDOSOLIDO

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PhD Jose LuisSalazar

ConsultorIntercade

SEPARACIONSOLIDOLIQUIDO

1. Introduccin.

INDICE

.Pr ocesodesepar acinslidolquido.

Modelamientodelpr ocesodesepar acinslidolquido.

Simulacindelpr ocesodesepar acinslidolquido:

3. Equipos:Descr ipcindeequipos.

Modelamientodeequipos.

Simulacindeequipos.

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4. Estrategiadeoptimizacin:P+E(SOLIDLIQUID)

5.Bibliografa

6. Tallercomputacional.


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SEPARACIONSOLIDOLIQUIDO

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I.INTRODUCCION

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Lo s p ro ce so s d e m ol ie nd a, c om o c la si fi ca ci n i nv ol uc ra n e l

INTRODUCCION

u so de gran des cantid ades de agua, por lo q ue d eb e sers e pa r a da o di s m i nu da pa r a l a r e c upe r a c i n de l m i ne r a l .

No rm al men te , la se para ci n p ued e s er ob te ni da p ors e di m en ta c i n e n e s pe s ad o re s ( p ar t c u la s r el at i va m en teg r a n d e s o s e r u n p r o c e s o m u y l e n t o ) .

L o s f i lt r os p u ed e n s e r u t il i za d os p o st er i or m en te p a ra u n a

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m a y o r c o nc e nt r a c i n de s l i do s .

I.Introduccin

II.PROCESOS

Sedimentacin

6

rac n


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PROCESODESEDIMENTACION

7 II.Procesos

S e de no m i nasedimentacin el asentamiento de una partcula,o una suspensin d e p a r t c u l a s , e n u n f l u d o p o r e f e c t o d e u n a

SEDIMENTACION

, ,c e nt r f ug a o c ua l qui e r o t r a f ue r z a de c ue r po .

L a e f i c i e nc i a de l a s e pa r a c i n de pe nde pr i nc i pa l m e nt e de :

L a m ag nit ud d el cam po d e fu er za d e c uer po a pl icad a,gravitacional o centrfuga.

L a d ife re nc ia d e d en si da de s e nt re l as p ar t cu la s s l id a yl u id a.

8

E l t am a o d e l a s p a r t c ul a s y d e l a v i s co s id a d d e l l qu i d o.

II.Procesos


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La can tid ad d e lq uid o d e

SEDIMENTACION

una suspens n que escapaz de separar lasedimentacin es todaaquella que no llena losporos del sedimentoformado.

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Sedimentacindeesferasenunlquido

II.Procesos

Calidaddelagua

Condicioneshidrulicas

FACTORESQUEAFECTANLASEDIMENTACION

Enlazonadesedimentacin.

Enlazonadeentrada.

Enlazonadesalida.

Factoresexternos

Acondicionamientoprevio.

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Prcticasoperacionales.

Factoresambientales.

II.Procesos


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PROCESODEFILTRACION

11 II.Procesos

F i l tr a c i n e s e l p r o c e s o d e s e p a r a c i n s l i d o f l u d o m e d i a n t e e l c u a l e l s l i d oe s s e pa ra do d el f lu d o e n u na s us pe ns i n h ac i nd ol o p a sa r a t ra v s d e u nl e ch o o r os o d e no m in a domedio iltrante.

FILTRACION

El lecho retiene las partculas mientras que el fludo pasa a t ra v s d e l m e d i of i l t r a n t e y r e c i b e e l n o m b r e d e filtrado.

Lechoporoso mediofiltrante

Fludoquepasa filtrado

Slidoretenido queque

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Clasesdefiltracin:

Conformacindequeque

Sinformacindequeque

Filtracinprofunda

II.Procesos


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SEDIMENTACIONYFILTRACION

lquidoslido

lquido

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slido

Filtroenposicinhorizontal Filtroenposicinvertical

II.Procesos

Slidoesretenidoenlasuperficiedelmediofiltrante.

FILTRACIONCONFORMACIONDEQUEQUE

PULPA

QUEQUE

p>p0

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FILTRADO p=p0

MEDIO FILTRANTE

II.Procesos


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S li do n o e s r et en id o e n l a s up er fi ci e d el m ed io f il tr an ted e b i d o a l a a l t a t a s a d e c i z a l l e .

FILTRACIONSINFORMACIONDEQUEQUE

FILTRADO

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FILTRADO

II.Procesos

Slidoesretenidoenelinteriordelmediofiltrante.

FILTRACIONPROFUNDA

SUSPENSIN

Medio Filtrante

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FILTRADO

II.Procesos


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L as c on di ci on es e n q u e s e r ea li za u na f il tr ac i n d ep en d e d em uc ho s f a c t o r e s , e nt r e l o s c ua l e s de s t a c a n:

CONDICIONESDEFILTRADO

, ,y corrosividad.

La naturaleza del sli do, tal como su tamao, forma yd i s t r i b u c i n d e t a m a o.

L a s p r op i e da d e s d e l a s u s p e n s i n , t a l es c om o s u c on c en t ra c i ny compresibilidad.

L a c a n t i da d d e m a t e r ia l a t r at a r. E l val or d el mater ial y s i e l mater ia l val io so es el s li do, e l

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f l u i d o, o a m b os . S i e s n e ce s ar i o l a v ar e l q u e q ue . S i e s i m p ort a nt e o n o l a c on ta m i n ac i n d e l p r odu c t o.

II.Procesos

Lamayoradelosequiposdefiltracin,seancontinuosodiscontinuos,trabajanenciclosdeformacindelqueque,lavado,secadoydescarga:

CICLOSDEFILTRACION

m e d i o f i l t r a n t e d e p e n d e d e l g r a d i e n t e d e p r e s i n , d e l a c o n c e n t r a c i nd e l a s us pe ns i n y d el t ie m po d e s uc c i n. E n e st e c ic l o h a y u n f lu jo

c o n t i n u o d e f i l t r a d o a t r a v s d e l m e d i o f i l t r a n t e y d e l q u e q u e .

Lavado del queque: L a n ec es i da d d e l av ar e l q ue qu e d ep e nd e d elo b j e t i v o p e r s e g u i d o p o r e l p r o c e s o d e f i l t r a c i n . E l l a v a d o s e e f e c t ap ara e li mi na r i mp ur eza s d el q ue qu e o p ara r ec up er ar l q ui do s

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v a li o so s . E l l av a do d e l q u e q ue i m pl i ca c a lc u la r l a c a nt i da d m ni m a d ea gu a n ec es ar ia p ara d es pl aza r e l l q ui do d e l os p oro s y e l t ie mp onecesario.

II.Procesos


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Secado del queque: S ec ad o d el q ue qu e e s a qu el la e ta pa e n q ue e l a gu aretenida en los poros del que que es des pla za da soplando a ire os u cc i on a nd o a i re d e l a a t m s fe ra . P ar a c o nt ro l ar e s ta e t ap a e s n e ce s a ri o

CICLOSDEFILTRACION

Descargadelqueque:Eldesprendimientodelquequeysudescargaesdegranimportanciaparaunaoperacineficiente.Enelcasodefiltracinavacoladescargaesmuysimpleyconsisteenrasparlastelasyeliminarelproductoporgravedad.Enelcasodefiltracinapresin,ofiltracin

co noc er l a ca nt id ad d e a gu a re te ni da e n e l q ue que . E l c ri te ri o p aras e le c c io n ar l a h u me d ad r es i du a l d e l q u eq u e e s e c on mi c o, c u an d o n o e su n a r e s t r i c c i n d e l e q u i p o .

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hiperbrica,ladescargasecomplicaporlanecesidaddemantenerlapresinenlacmara,demodoqueesnecesariotenervlvulasquepermitanpresurizarydespresurizarlazonadedescargaencicloscontrolados.

II.Procesos

CICLOSDEFILTRACION

Suspensin PensinAireapresin

Queque

Enformacin Mediofiltrante

Filtrado

Filtrado Filtrado

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Formacindelqueque Expresin Soplado

II.Procesos


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Variables de entrada : Flu o Q t concentracin t .de entra da de

VARIABLESYPARAMETROSDEFILTRACION

suspensin.Variables de s alida : Flujo de des carga Q P( t ) y h u m e d a d ( 1P) ( t) .del

queque.Va ri ab le s d e d is e o : re a d e f il tr ac i n S y g ra di en te d e p re si nP,Va ri ab le s d e co nt ro l : T ie mp o d e f ilt ra ci n tf, d e l a v a d o t l y d e s e c a d o t s ,

m a g n i t u d d e l a a g i t a c i n .Pa rmetros : Porosidad , p e r m e a b i l i d a d k () y c o m p r e s i b i l i d a d e

d e l q u e qu e , d e n s id a d f y v i s c o s i d a d f d e l f i lt ra d o,

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densidad P y f o r m aP d e l a s p a r t c u l a s .Per turbaciones : Granulom etra del slido.

II.Procesos

MODELAMIENTO DELPROCESO

DESEDIMENTACION

22 II.Procesos


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L a s p a rt cu l as e n s u sp e ns i n s e di m en ta n e n d i fe re n te f or m a,

Tiposdesedimentacin

MODELAMIENTODELASEDIMENTACION

d e pe n di e nd o d e l as c ar ac te r s ti c as d e l a s p a rt cu l as , a s c o mode s u c o nc e nt r a c i n.

E s a s q u e p o d e m o s r e f e r i r n o s a :

S e di me nta c i n de pa r t c ul a s di s c r e ta s .

S e di me nta c i n de pa r t cul a s f l o c ul e nta s .

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e men ac n e par cu as por ca a re e n er er a.

II.Procesos

Sedimentacindepartculasdiscretas

Tiposdesedimentacin


e am a par cu as scre as a aque as par cu as que no cam an ecaractersticas ( f o r m a , t a m a o , d e n s i d a d ) d u r a n t e l a c a d a .

S e d e no m in a sedimentacin o sedimentacin simple al proceso dedepsito d e p a r t c u l a s d i s c r e t a s .

E s t e t i p o d e p a r t c u l a s y e s t a f o r m a d e s e d i m e n t a c i n s e p r e s e n t a n e nl o s d e s a r e n a d o r e s , e n l o s s e d i m e n t a d o r e s y e n l o s p r e sedimentadoresc o m o p a s o p r e v i o a l a c o a g u l a c i n e n l a s p l a n t a s d e f i l t r a c i n r p i d a y

24

t a m b i n e n s e d i m e n t a d o r e s c o m o p a s o p r e v i o a l a f i l t r a c i n l e n t a .

L a e c u a c i n d e s e d i m e n t a c i n d e u n a e s f e r a f u e p r o p u e s t a p o r S t o k e se n 1 85 1 y p ue de co ns ide ra rs e c om o e l p unto d e p ar ti da d e t odad i s c u s i n d e l o s p r o c e s o s d e s e d i m e n t a c i n .

II.Procesos


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FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodestockesSedimentacindepartculasdiscretas


,tamaoyformadelapartcula( 6R)ydelaviscosidad()delfluido:

1.....6 ERuFD Esusualescribirlafuerzahidrodinmicaensuformaadimensional,conocidacomocoeficientedearrastre:

2.....1 22

EF

C DD

25

2 fdonde fesladensidaddelfluido.Reemplazando( E1)en( E2)seobtieneelcoeficientedearrastredeunaesferaenrgimendeStokes:

3.....Re

24ECD

II.Procesos

BalancemacroscpicosobreunaesferaenrgimendeStokes


Su pon ga mos q ue te nem os u na p eq ue a e sfe ra in me rs a e n un f lu id o y


s u s p e n d i d a m e d i a n t e u n h i l o .L a e sf er a, d e d en si da d m ay or q ue e l f lu id o, e st e n e qu il ib ri o y e l b al an ce d ef u e r z a s s o b r e e l l a d e b e s e r c e r o . E n t o n c e s :

5......0

4.....0

EVVF

EFFF Empujegravedadhilo

F

F

empuje

hilo

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6.......EgVgVF ppfphilopppo

Equilibrio sobre una esfera sumergida en un fluido.

Fgravedad

II.Procesos


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BalancemacroscpicosobreunaesferaenrgimendeStokesSedimentacindepartculasdiscretas

S i e n u n i n s t a n t e s e c o r t a e l h i l o , s e p r o d u c e u n d e s b a l a n c e d e l a s f u e r z a s y , d e a c u e r d o


a a ey e ew on, a par cu a e e ace erar. a ace erac n n c a se pue e o enerd e l n u e v o b a l a n c e d e f u e r z a s e n l a q u e y a n o e x i s t e l a r e s i s t e n c i a d e l h i l o . U n a v e z q u e l ap a r t c u l a s e p o n e e n m o v i m i e n t o a p a r e c e u n a n u e v a f u e r z a , l a f u e r z a d e a r r a s t r e e n t r ee l s l i do y f lu id o q ue s e o po ne a l m ov i mi en to y q ue e s p ro po rc io na l a l a v el oc id adr e l a t i v a e n t r e e l s l i d o y e l f l u i d o , y c o m o e s t e l t i m o e s t i n m v i l , e s l a v e l o c i d a d q u ea d q u i e r e l a p a r t c u l a .

27

Antes del movimiento Inicio de movimiento

F = - g V

F = - g V F = g V

F = -6Ru

F = - g V

g

ee

d

g

p

ff

f

p

pp

p

u(t)

II.Procesos

BalancemacroscpicosobreunaesferaenrgimendeStokes


0 gVtma p


7..........2

9

6

0

2 Etu

Rgta

tRugVtaV

FFFtma

gta

ppp

ppp

arrastreempujegravedad

p

llegandounmomentoenqueelsegundotrminode( E7)sehaceigualalprimeroy,porlotantolaaceleracinseanula.L a v e l o c i d a d a l a c u a l s e a n u l a l a a c e l e r a c i n s e d e n o m i n a velocidad terminal u y e s u n a

28

c a r a c t e r s t i c a d e l a p a r t c u l a y d e l f l u i d o .

8...........18

1

9

2 22

EgdgR

u

E st a e xp re si n s e c on oc e c om o ecuacin de Stokes, es vlida parra pequeosnmeros d e R e y n o l d s y f u e d e d u c i d a p o r e s t e i n v e s t i g a d o r e n 1 8 5 1 .

II.Procesos


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BalancemacroscpicosobreunaesferaenrgimendeStokesSedimentacindepartculasdiscretas


C a lc ul a r l a v el oc i da d t er mi na l d e s e di me nt a ci n d e u na e sf er a d ec u a r z o d e d e n s i d a d 2 . 6 5 g / c m 3 y 10m d e d i m e t r o e n a g u a a 2 0 C .

L a v i s c o s i d a d d e l a g u a a 2 0 C e s d e 0 . 0 1 g / c m s , e n t o n c e s , a p l i c a n d ol a e c u a c i n ( E 8 ) r e s u l t a :

29

scmu

3

2

100.901.0

98110000

1000.165.2

18

110

II.Procesos

Dinmicadelasedimentacin



)9......(18

exp11

018

1

2

2

.

Etgd

tu

gtud

tupp

.O rdenemosyescribamosexplcitamente:

30

p

E l t rm i no e n tr e p a r nt e si s d e nt ro d e l e xp o ne n ci a l s e d e no m in a nmero deStokes y el t r m i n o q u e m u l t i p l i c a e l p a r n t e s i s e n t r m i n o d e l a d e r e c h a e s l avelocidad de Stokes, c o m o v i m o s e n ( E 8 ) .

II.Procesos


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DinmicadelasedimentacinSedimentacindepartculasdiscretas

E em lo 2


D et er m in ar c ua nt o t ie mp o n ec es it a u na p ar t cu la d e 1 0 , 5 0 y 1 00m p ara l le ga r a l avelocidad terminal.

L a f ig ura m ue st ra l a e vo lu ci n d e l asve lo ci da des d e l as e sfe ra ve rs us elt i e m p o a l a p l i c a r l a e c u a c i n ( E 9 ) .L a v el oc id ad t er mi na l p ar a d =1 0 0, 5 0 y10 m e s d e 0 . 6 2 4 , 0 . 2 1 6 y 0 . 0 3 4 5 c m / s

1.00000

0.10000

d= 100 m

d= 50 m

Velocidadencm/s

31

d e 0 .0 06 7, 0 .0 17 y 0 .0 00 5 s eg un do s,s e g n l a e c u a c i n ( E 8 ) .C om o e st os t ie mp os s on m uy c or to s,g e n e r a l m e n t e n o s e l o s t o m a e n c u e n t a ys e s up on e q ue u na p ar t cu la l le ga a s uvelocidad terminal instantneamente.

0.01000

0.0001 0.001

d= 10 m

0.01

Tiempo en segundos

VELOCIDAD DE SEDIMENTACION VERSUS TIEMPO.

II.Procesos

FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodeEuler


C u an d o e l n me r o d e R e yn o ld s t i en d e a i n fi n i to , l a s f u er z as v i sc o sa s d e sa p ar e ce n y l a e c ua c i n d e N a vi e r


t o e s s e t r an s or ma e n a ecuac n e u er e u o n v sc o urt n . n este caso a componentetangencial de la velocidad s o b r e l a s u p e r f i c i e d e l a e s f e r a e s u n a f u n c i n l i n e a l d e l a v e l o c i d a d r e l a t i v a s l i d of l u i d o y l a c o m p o n e n t e r a d i a l e s n u l a :

)10......(023

Euusenu r

perolapresinyanoeslinealyrespondealaecuacindeBernouilli (Batchelor 1967):

11...........12

1p

constante2

1

2

1

2

22

Eu

uup

upup

f

ff

32

Lapresinadimensional,ocoeficientedepresinsobrelaesfera,definidapor:

QuedaexpresadaparaelrgimendeE u l e r p o r :

2

2

1u

ppC

f

p

12.......2

91

2EsenC

p

II.Procesos


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FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodeEuler



a gura mues ra es a re a c n en or ma gr ca , on e p y u son a pres n y av e l o c i d a d p a r a u n n g u l o s o b r e l a s u p e r f i c i e d e l a e s f e r a y p y u c o r r e s p o n d e a l o sv a l o r e s d e e s t a s v a r i a b l e s e n e l f l u j o l e j o s d e l a e s f e r a .

0.5

0.5

-0.5

-1

CoeficientedepresinC

1

1.5

00 1 1.5 2 2.5 3

p

33

P a r a u n f l u j o i n v s c i do e s t a c i on a r i o l a f u e r z a d e a r r a s t re e s c e r o .E s t o s e d e b e a q u e , n o h a b i e n d o v i s c o s i d a d e n e l f l u i d o n o h a y f r i c c i n c o n l a p a r t c u l a y e le f e c t o d e l a p r e s i n s e a n u l a d e b i d o a l a s i m e t r a d e l a e s f e r a .

-1.5Anguloen radianes

Coeficiente de presin en funcin de la distancia sobrela superficie de la esfera en un flujo invscido (Schlichting

1968, p21).

II.Procesos

FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodePrandtl


C u a n do e l n m e r o d e R e y n ol d s t i e n e v a l o re s i n t e r m e d i o s, l a s f u e r z a s c o n v e ct i v a s t i e n e n e l m i s m o o r d e nd e m a g n i t u d q u e l a s f u e r z a s v i s c o s a s , y e l f l u j o p u e d e d i v i d i r s e e n d o s p a r t e s , u n f l u j o i n v s c i d o l e j a n o a l a


p ar t cu a y un u o v s co so mu y ce rca e e a o n e a v s co s a ue ga un pa pe m po rta nte . st a or ma ab a s e d e l aTeora de Capa Lmite (Schlichting 1968).

E n e l f l uj o s i n v i sc o si d ad e x te r no ( a l a c a pa l m it e ) s e p u ed e a p l i c ar l a s e c u ac i on e s d e E u le r y l ad i s t r i b u c i n d e v e l o c i d a d y p r e s i n s e p u e d e o b t e n e r d e l a e c u a c i n d e l a s e c u a c i o n e s ( E 1 0 ) y ( E 1 1 ) .

E n l a c a p a l m i t e y , d e b i do a l a v i s c o s i d ad , s e e s t a bl e c e u n i m p o r ta n t e g r a d i e nt e d e c o n ce n t r ac i nq ue p er mi te q ue l a c on di c i n d e n od e sl i z am i en t o d e l f l ui d o r e s p e ct o a l s li d o s e c u mp l a e n l as u p e r f i c i e d e l a p a r t c u l a .

L a p r d i d a d e e n e r g a e n l a c a p a l m i t e , o r i g i n a d a p o r l a d i s i p a c i n v i s c o s a , r e t a r d a e l f l u j o y , e n u n c i e r t o

34

a d v e r s o q u e a l l e x i s t e .E s t e f e n m e n o f u e r z a a l f l u i d o h a c i a f u e r a , a l e j n d o l o d e l a s u p e r f i c i e d e l a e s f e r a y p r o d u c i e n d o l o q u e s econoce comoseparacin de la capa lmite.La separacin de la capa lmite s o b r e u n a e s f e r a o c u r r e a u n n g u l o , d e n o m i n a d o ngulo de separacin,dado por (Lee a n d B a r r o w , 1 9 6 8) :

13.......10000Re24Re214 1.0 Eparas

II.Procesos


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D e bi do a l a s e pa r ac i n d e l a c a pa l mi t e, l a r e gi nd e l ne a s d e c o rr i en te c e rr a da d e tr s d e l a e s fe r ac o n t i e n e u n a n i l l o d e v r t i c e q u e a p a r e c e a R e 24.L a f i g u r a m u e s t r a u n a s i t u a c i n s i m i l a r p a r a e l f l u j oa lr ed ed or d e u n c il in dr o, d on de s e a pr ec ia l as e p a r a c i n d e l a c a p a l m i t e y l a f o r m a c i n d e u n aestela.

E l g r o s o r d e l a c a p a l m i t e s e d e f i n e c o m o l a

R=32

R=65

R=102

R=55

R=71

R=161

35

istancia es e a s uper icie asta e ugar enq ue l a v el oc id ad v h a a l ca nza do e l 9 9 % d e s uvalor del flujo externo invs cido y s e had e t e r m i n a d o q u e e s p r o p o r c i o n a l a R e 0.5 .E s a s c om o e n e l p unto de s ep ara ci n e lg ro s or d e l a c ap a l m it e s e p ue de e xp re sa r e nl a f o r m a :

R=225 R=281FlujoalrededordeuncilindroavariosnmerosdeReynolds.

II.Procesos

L a s e pa r ac i n d e l a c a pa l mi te p r ev i en e l a r e cu p er a ci n d e l a p r es i n e n l a




p a r t e p o s t e r i o r d e l a e s f e r a , m s a l l d e l p u n t o d e s e p a r a c i n , r e s u l t a n d o u n ad i st r ib u ci n a s i m tr i ca , c o n u n a m a yo r p r es i n e n e l f r en te q u e e n l a r e gi np o s t e r i o r d e l a e s f e r a .

d s

d = 19.82 mm.

d = 15.08 mm.

0.8

1.3

0.5

0.5

icientedepresinCp

1

1.5

00 1 1.5 2 2.5 3

36

d = 9.52 mm.

1000500100

Tamao de la zona de vrtices detrs de una esfera a nmerosde Reynolds intermedios. (Taneda 1956)

50100

0.4

- .

-1

-1.5

Angulo en radianes

Coeficiente de presin en funcin de la distancia sobre lasuperficie e la esfera en un f lujo inviscido y en capa lmite.

Coefi

II.Procesos


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19

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Coeficientedearrastreparaunaesferacon0


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Coeficientedearrastreparaunaesferacon0


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Velocidaddesedimentacindeunaesfera


C u a n d o u n a p a r t c u l a s e d i m e n t a a v e l o c i d a d t e r m i n a l s e e s t a b l e c e u n b a l a n c e e n t r e l a s f u e r z a sd e g r a v e d a d , f u e r z as d e e m p u j e y f u e r z a h i d r o d i n m i c a e n l a f o r m a:


27............ EgVgVgVF

partculaslasdenetopesoFFF

ppfgpD

empujenalgravitacioicahidrodinm

icahidrodinmEmpujenalgravitacio

donde esladifer enciadedensidadesentr eslidoyfluido.Laexpr esin( E 27)implicaquelafuer z ahidr odinmicapar apar tculasensedimentacinseconocedeantemanoyesindependientedelafor madelapar tcula.Par aunapar tculaesfr icar esulta:

28..............3

4 3EgRFD

41

yelcoeficientedearrastreser: 29..............3

4

2

1 222E

u

dg

Ru

FC

ff

DD

Donded=2Reseldimetrodelaesfera.ComoelnmerodeReynoldsestdefinidopor:

)30(....................Re Edu

f

f

II.Procesos



M ed ia nt e l a c om bi na ci n d e st e y e l c oe fi ci en te d e a rr as tr e, s e p ue de d ef in ir d os n m er o sadimensionales (H ey wood 1962):

2


)31(....................43

Re 3

2

2Eu

gCC

f

f

Df

f

D

C o n c ha y A l m e nd r a ( 1 9 79 a ) d e f i ni e r o n l o s p a r me t r o s c a r a c t er s t i co s d e l s i s t e m a s l i d of l u i d o P y Q :

33................3

4

32...............4

3

31

2

312

Ep

gQ

Eg

P

f

f

f

f

Deformaquelasecuaciones(E31)ysepuedenescribirenlaforma:

42

35...............*Re

34................*Re

3

3

3

3

2

EuQ

u

C

Edp

dC

D

D

L a s e x p r e si o ne s ( E 34 ) y ( E 35 ) d e fi n en u n t a ma o d * y u n a v e l o c id a d u * a d im e ns i o na l es , q u e s o nc a r a c te r s t ic a s d e l s i s t em a s l i dof l u i d o . M u l t i p l i c a n d o e s t a s d o s e c u a c i o n e s p o d e m o s v e r i f i c a r q u e :

Re=d*u* (E36)

II.Procesos


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22

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VelocidaddesedimentacindeunaesferaSedimentacindepartculasdiscretasR e e mp l az a nd o l a s e x pr e si o ne s ( E 25 ) y ( E 36 ) e n ( E 34 ) o b te n e mo s ( C on c ha y A l me n dr a1979a) :

2


0*

****

****

1*

21

0

23

21

0

2

212

00

3

C

ddudu

dudu

Cd

Resolviendoestaecuacinalgebr aicadesegundagr adoobtenemos:

37...........1*4

1*4

1*

2

21

23

221

2

0 EdCd

u

43

38.............*4

11*4

1*

2

21

23

21

0

02

0 EuC

uCd

L a p r i m e r a e c u a c i n p e r m i t e c a l c u la r l a v e l o c i d a d d e s e d i m en t a ci n d e u n a p a r t c u la d e d i me t r oa d im e ns i on a l d * y l a s e gu n da p e rm i t e c a lc u la r e l d i m e tr o a d im e ns i o na l d e u n a p a rt cu l a q u ea d q u i e r e u n a v e l o c i d a d d e s e d i m e n t a c i n a d i m e n s i o n a l d e u * .

II.Procesos

1000.00

CoeficientedearrastreenfuncindelnmerodeRe+

Re CD CDRe2 Re/CD d*=(CDRe

2)1/3 u*=(Re/CD)1/3

0 .1 2 4 0.00 2.4 4 .1 7E0 4 1.34 7.4 7E0 20 .2 1 2 0.00 4.8 1 .6 7E0 3 1.69 1.1 9E0 1

0 .3 8 0.00 7.2 3 .7 5E0 3 1.93 1.5 5E0 1

0 .5 4 9.50 1 2.4 1 .0 1E0 2 2.31 2.1 6E0 10 .7 3 6.50 1 7.9 1 .9 2E0 2 2.62 2.6 8E0 1

1 26 .50 2 6.5 3 .7 7E0 2 2.98 3.3 5E0 12 14 .60 5 8.4 1 .3 7E0 1 3.88 5.1 5E0 13 1 0.40 9 3.6 2 .8 8E0 1 4.54 6.6 1E0 15 6.90 17 2.5 7 .2 5E0 1 5.57 8.9 8E0 17 5.30 25 9.7 1.3 6.38 1.10

0.10

1.00

10.00

100.00

CoefidentedearrastresCD

10 4 .10 41 0.0 2.4 7.43 1.3 520 2 .55 1.0 2E+0 3 7.8 1 .01 E+01 1.9 930 2 .00 1.8 0E+0 3 1 5.0 1 .2 2 E+01 2.4750 1 .50 3.7 5E+0 3 3 3.3 1 .5 5 E+01 3.2270 1 .27 6.2 2E+0 3 5 5.1 1 .8 4 E+01 3.81

1 00 1 .07 1.0 7E+0 4 9 3.5 2 .20 E+01 4.5 4

2 00 0 .77 3.0 8E+0 4 25 9.7 3 .13 E+01 6.383 00 0 .65 5.8 5E+0 4 46 1.5 3 .88 E+01 7.735 00 0 .55 1.3 8E+0 5 90 9.1 5 .16 E+01 9.697 00 0 .50 2 .4 5E+0 5 1.4 0E+0 3 6 .26 E+01 1 1.1 9

10 00 0 .46 4 .6 0E+0 5 2.1 7E+0 3 7 .72 E+01 1 2.9 520 00 0 .42 1 .6 8E+0 6 4.7 6E+0 3 1 .19 E+02 1 6.8 230 00 0 .40 3 .6 0E+0 6 7.5 0E+0 3 1 .53 E+02 1 9.5 750 00 0 .39 9 .6 3E+0 6 1.3 0E+0 4 2 .13 E+02 2 3.5 170 00 0 .39 1 .9 1E+0 7 1.7 9E+0 4 2 .67 E+02 2 6.1 8

1 00 00 0 .41 4.0 5E+0 7 2.4 7E+0 4 3 .43 E+02 2 9 .1 22 00 00 0 .45 1.8 0E+0 8 4.4 4E+0 4 5 .65 E+02 3 5 .4 2

44

.

0.01 0,1 1 10 100 1000 10000 100000 100000 1E+070Nmero de Reynolds Re

Coeficiente de arrastre versus nmero de Reynolds.

II.Procesos

3 00 00 0 .47 4.2 3E+0 8 6.3 8E+0 4 7 .51 E+02 3 9 .9 65 00 00 0 .49 1.2 3E+0 9 1.0 2E+0 5 1 .07 E+03 4 6 .7 37 00 00 0 .50 2.4 5E+0 9 1.4 0E+0 5 1 .35 E+03 5 1 .9 2

10 00 00 0 .48 4.8 0E+0 9 2.0 8E+0 5 1 .69 E+03 5 9.2 820 00 00 0 .42 1.6 8E+1 0 4.7 6E+0 5 2 .56 E+03 7 8.0 930 00 00 0 .20 1.8 0E+1 0 1.5 0E+0 6 2 .62 E+03 11 4.4 750 00 00 0 .08 2.1 0E+1 0 5.9 5E+0 6 2 .76 E+03 18 1.2 370 00 00 0 .10 4.9 0E+1 0 7.0 0E+0 6 3 .66 E+03 19 1.2 9

1 00 00 00 0 .13 1.3 0E+1 1 7.69 E+0 6 5 .07 E+03 19 7.4 03 00 00 00 0 .20 1.8 0E+1 2 1.50 E+0 7 1 .22 E+04 24 6.6 2

*Lapple andShepherd 1940.


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VelocidaddesedimentacindeunaesferaSedimentacindepartculasdiscretas

Ejemplo

C a lc u la r l a v e lo c id a d d e s e d im e nt a ci n d e e s f er a s d e c u a r zo d e d e ns i da d 2 . 6 5 c m3 d e l os


**,1*0921.01*

52.20*

2

21

23

uQuyp

ddcond

du

s i g u ie n t es d i m et r o s : 1 0m , 5 0m , 1 0 0m , 3 0 0m , 5 0 0m , 1 m m 5 m m y 1 c m a 2 0 C .L a e c u a c i n q u e p r e d i c e l a v e l o c i d a d d e s e d i m e n ta c i n e s :

Tabla de resultados del ejemplo

1 2.7832E-02 3.37E-05 9.4E-05 9.3798E-07

d (m) d* u* u Re(cm/s)oo oo oo

45

50100300500

10005000

10000

. -

1.3916E+002.7832E+008.3497E+001.3916E+012.7832E+011.3916E+022.7832E+02

. -

7.84E-022.84E-011.55E+002.91E+005.83E+001.90E+012.86E+01

. -

2.2E-017.8E-014.3E+008.1E+001.6E+015.3E+018.0E+01

. -

1.0916E-017.7900E-011.2970E+014.0473E+011.6214E+022.6373E+037.9666E+03

II.Procesos

P a ra c a lc u la r v e lo c id a de s d e s e di m en ta c i n a o t ra s t em e ra tu ra s e s n e ce s a ri o




d i s p o n e r d e l a d e n s i d a d y v i s c o s i d a d d e l f l u i d o e n e s a s c o n d i c i o n e s .E l g r fi co q ue s ig ue m ue st ra c or re la ci on es d e e st as v ar ia bl es e nt re 0 y 1 0 0 C( Droguett 2000) .

y = 5E-07x + 0.0002

R = 0.99961.50E-04

daire(g/cm-s)

agua(g/c

-s)

2.00E-04

2.50E-040.018

0.016

0.014

0.012

0.01

O

2

y = -3E-06x + 0.0013

1.40E-03

1.20E-03

1.00E-03

8.00E-04

6.00E-040.975

0.980

0.985

0.990

idadagua(g/cm

)

sidadaire(g/cm

)

0.995

1.000

1.005

R = 0.99312

3 3

46

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.00E+00

5.00E-05y = 9E-07x - 0.0002x + 0.0156

R = 0.9983

1.00E-04

Viscosida

Viscosida 0.008

0.006

0.004

0.002

0

Temperatura (C)

Viscosidades del agua y aire a diversas temperaturas.

2

2

4.00E-04

2.00E-04

0.00E-00

1009080706050

Temperatura (C)

Densidades del agua y aire a diversas temperaturas.

403020100

0.955

0.960

0.965

0.970dens

den

y = 4E-06x - 6E-05x +1.0004

R = 0.9993

2

2

II.Procesos


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24

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LascorrelacionesparalasviscosidadesconlatemperaturaTenCson:

VelocidaddesedimentacindeunaesferaSedimentacin de partculas discretas

2427


42..........100.2100.5

..............

47E

scmg

T

scm

aire

agua

LascorrelacionesparalasdensidadesconlatemperaturaTenCson:

44...........103.1100.3

43..........0004.1100.6100.4

36

3526

ET

Ecm

gTT

aire

agua

E em lo5

47

Calcularlavelocidaddesedimentacindeunaesferadecuarzode300 menaguaa60C.Considere:

4903.2,10796.2,1084.6,982.0 333 QP

cmsg

cmg

aguaagua

scmuyu

d

34.54903.214.214.2

73.1010796.210000

300*

*

3

II.Procesos

C u an d o u n a e s fe r a q u e s e di m en t a s e e n cu e nt r a r o d e ad a d e o t ra s e s fe r as s e p r od u ce e n to r pe c im i e nt o e n e la s e n t a m i e n t o d e c a d a u n a d e e l l a s .

Sedimentacindeunasuspensindeesferas



A l t r a s l a d ar s e u n a p a r t c ul a d e u n a p o s i ci n a o t r a , p u e d e e n c o n t ra r o c u p a do e l n u e vo l u g a r y c o l i s i on a r c o n l ap a r t c u l a q u e l o o c u p a d e s v i n d o s e d e s u t r a y e c t o r i a .

M i e n tr a s m s p a r t c u l a s e x i s ta n e n l a s u s p e n s i n m a y o r o p o r t u n i da d e x i s t i r p a r a q u e s e o b s t a c ul i c e n e n t r e e l l a s .

E l r e s ul t ad o e s q u e l a v e lo c id a d e f e c ti v a d e s e di m en t ac i n d i sm i nu i r a l a u me n ta r l a c o nc e nt r ac i n d e l asuspensin.

C o m o l a o b s t a c ul i z a c i n e n l a s e d i m e n ta c i n d e u n a p a r t c ul a d e p e n d e d e l v o l u m e n d e l e s p a c i o o c up a d o y n o d es u m a s a , l a v a r i a b l e a p r o p i a d a p a r a d e s c r i b i r e s t e f e n m e n o e s l a f r a c c i n d e l e s p a c i o o c u p a d a p o r e l s l i d o , e s t oe s , l a f r a c c i n v o l u m t r i c a d e s l i d o s .

C o nc ha y A l me n dr a ( 19 7 9b ) p o st u la r on q u e p a r a u na s u sp e ns i n d e p a rt cu l as e s f r i ca s , t o d a s d e l a m i sm ad e n s i d a d y d i m e t r o , l a e c u a c i n ( 3 9 ) s i g u e s i e n d o v l i d a c o n p a r m e t r o s P y Q r e e m p l a z a d o s p o r P ( ) y Q ().

48

Paramost rarqueset rat adelasuspensinusemoslaslet rasU*yD*env ezdeu*yd*deunapart culaindiv idual:

45..............1*0921.01*

52.20*

2

21

23

EDD

U

dondesupondremosque:

46..............** E

Q

uUy

P

dD

II.Procesos


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25

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Sedimentacindeunasuspensindeesferas


Escostumbreconsiderarlaspropiedadesdeunasuspensin,talcomolaviscosidad,comoelproductodelamismapropiedaddelfluidoyunafuncindela


47.............. EQfQyPfP qp

c o n c en t ra c i n .S ig ui en do e st e e je mp lo , s up on ga m os q ue l as p ro pi ed ad es P () y Q () de las u s p e n s i n s e r e l a c i o n a n c o n l a s p r o p i e d a d e s d e l s l i d o y f l u i d o e n l a f o r m a :

Entonces,reemplazandoen( E46)resulta:

48..............

**

** E

f

uUy

f

dD

qp

49

,

49.............1*0921.01*

52.20*

22

1

23

23

Edfffd

u qp

E s ta e xp re si n , c on oc id a c on e l n om br e d e ecuacin de Concha y Almendra parasuspensiones de esferas, permite calcular la velocidad de sedimentacin de partculas d ecu al q u i er tama o a cu al q u i er con cen tr aci n .P a r a e l l o e s n e c e s a r i o c o n o c e r l o s p a r m e t r o s f p () y f q () .

II.Procesos

P ar a v al or es p eq ue o s d el n m er o d e R ey no ld s, R e 0 , s e c um ple n l ass i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s p a r a ( E 3 9 ) y ( E 4 9 ) :

Expresionesasintticasparalavelocidad



1*0921.0

1*0921.0

23

23

23

pfd

d

Tomandoencuentaestasconsideraciones,lasecuaciones( E39)y( E49)sereducena:

2

2

*

22

2

*

*0932.0

*2

0921.052.20 ffdu qp

50

2.

E n e s t a e x p r e s i n h e m o s u s a d o l o s s m b o l o s u * y u * p a r a i n d i c a r l a v e l o c i d a dd e u n a p a r t c u l a e n u n m e d i o i n f i n i t o y l a m i s m a p a r t c u l a e n u n a s u s p e n s i n .E l c o c i e n t e e n t r e e s t a s d o s e x p r e s i o n e s r e s u l t a s e r :

ParaRe0 50.................2**

Effu

uqp

II.Procesos


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Expresionesasintticasparalavelocidad


H a ci e nd o u n a d e du c ci n s i mi l ar p a ra v a lo r es a l to s d e l n me ro d e R ey n ol d s,p a r a ( E 3 9 ) y ( E 4 9 ) s e c u m p l e :


1*0921.0

1*0921.0

23

23

23

pfd

d

ylasecuaciones( 4.39)y( 4.49)sereducena:

21

*

21

21

*

*

*0921.052.20 ffdu qp

51

..

E n e s t a e x p r e s i n h e m o s u s a d o l o s s m b o l o s u * y u * p a r a i n d i c a r l a v e l o c i d a d d eu na p ar t cu la e n u n m ed io i nf in it o y l a m is m a p ar t cu la e n u na s u sp en si n . E lc o c i e n t e e n t r e e s t a s d o s e x p r e s i o n e s r e s u l t a s e r :

ParaRe 51.................21

*

*

Effu

uqp

II.Procesos

Formasfuncionalesparafp()yfq()

Sedimentacin de partculas discretas


Expresiones para las velocidades de sedimentacin asintticas

Concha y AlmendraR. y

Zaki

f () (1-)

Massarani

P

0.64

-151

(1-)(1+0.75 ) 0.087 1+0.75( ) exp 2.37(1-)( )

(1-+1.2 ) (1-1.45)(1-1.45)

1/3 1/32/3

2/3

2/3

1.83 1.833/4

52

-q (1-) (1+0.75 ) ( ) ( ( ( )1+0.7 0.087 exp 2.37 1- ) )(1-+1.2 ) (1-1.45)

(1-1.45)

1/341/3

2/3 1.831.833

4

II.Procesos


27/45

27

INTERCADE


www.intercade.org




10

10

10

10

1

2

-1

-2

-3

53

10 10 1010

Velocidad adimensional U* para suspensiones de esferas decualquier tamao y densidad versus el tamao adimensional D*

junto a datos experimentales (concha y Almendra 1979).

1 10

10-2 2 3-1

-4

II.Procesos



L a f i gu ra m u es t ra u n a s i mu l ac i n d e l a v e lo c id a d d e s e di m en ta c i n a d im e ns i on a l u *


d e p a r t c u l a s d e t a m a o a d i m e n s i o n a l d * p a r a v a r i o s v a l o r e s d e l a c o n c e n t r a c i n .E s t a f i g u r a p u e d e s e r u s a d a p a r a a n a l i z a r e l e s t a d o d e f l u j o e n u n l e c h o p o r o s o .

La figura separa el plano en tresr e g i o n e s , l a r e g i n d e lecho fijo entre eleje d e l a s a b s c i s a s y = 0 . 5 8 5 , l a r e g i nde lecho fluidizado entre 0.585> >0 y

=0,31.00E+02

1.00E+01

1.00E+00

1.00E+01

idadadimensionalu*

=0,2

=0,1

=

=0,4

54

neumtico entre =0 y el eje de las

ordenadas. Wen and Yu ( 1 9 6 6 ) y B a r n e aa nd M ed ni ck ( 19 7 5) m ue st ra n q ue l avelocidad inicia l de fluidizacinc or re sp on de a u na c on ce nt ra ci n d e=0.585.

Velo1.00E+02

1.00E+03

1.00E+04

0.01 0.1 1 10 100 1000

Dimetro adimensional d*

Simulacin de la velocidad de sedimentacin adimensionalu* de partculas de tamao adimensional d* para varios valoresde la concentracin a 20 C

=0

=0,585

,

II.Procesos


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28

INTERCADE


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paraunmedioporosolavelocidaddepercolacinqestdadapor:


52.............1 Evvq rs

Donde es la velo cidad relativa s lidof l u i d o . P a r a u n f l u j ob i f s i c o e s t a v e l o c i d a d d e p e r c o l a c i n r e c i b e e l n o m b r e d e v e l o c i d a d v o l u m t r i c a .

fsrfs vvvyvvq 1

C on si de re mo s c om o u n e je mp lo q ue u n f lu jo e n u n l ec ho p or os o, f or m ad o p orp a rt cu l as e s f r ic a s d e t a ma o a d im e ns i on a l d * =1 , e l f l ui d o p e rc o la a t r av s d e ll e c h o a u n a v e l o c i d a d a d i m e n s i o n a l d a d a p o r u * a u n a t e m p e r a t u r a d e 2 0 C .

55

Si a v e oci a u aum enta s u va or, ste s e p ue e c a cu ar e a igura a nteriort r a z a n d o u n a r e c t a v e r t i c a l e n d * = 1 .E l f l u i d o p e r c o l a r a t r a v s d e l l e c h o f i j o h a s t a q u e s e a l c a n c e l a v e l o c i d a d u * = 2 . 9x104 , m o m e n t o e n e l c u a l e l l e c h o s e e x p a n d i r .E l l e c h o p e r m a n e c e r f l u i d i z a d o a l a u m e n t a r l a v e l o c i d a d h a s t a u * = 2 x 1 0 2 y d e a h e n a d e l a n t e l a s p a r t c u l a s c o m e n z a r n a d e j a r e l l e c h o a l a u m e n t a r s u v e l o c i d a d .

II.Procesos



Ejemplo


86692.002,40066.12.0

0329.3,102385.4,01280.0,9959.0

20.0404010065.2

40

3

qp

aguaagua

ff

QP

Calcularlavelocidaddesedimentacindeunasuspensindemonotamaodeesferasde150ma15Cconunaconcentracinde40%deslidosenpeso.

Losparmetrosson:

56

scmuyu

dfffd

u

d

pqp

128.00329.3423.0423.0*

*0921.01*

52.20

5390.3102385.4

150*

2

21

23

23

*

3

II.Procesos


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29

INTERCADE


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uVComovvq frs .1

Ejemp o

C al cu la r l a ve lo ci da d d e f lu id iz ac i n d e u na s us pe ns i n m on ot am a o d ep a r t c u l a s d e c u a r z o d e 1 5 0 m d e d i m e t r o y d e n s i d a d 2 . 6 5 g / c m 3 a 1 5 C y u n ac o nc e nt ra c i n d e 4 0 % d e s l id o s e n p e so . C a lc u la r, a d em s , a q u e v e l o ci d ad d ep e r c o l a c i n l a s p a r t c u l a s i n d i c a d a s c o m e n z a r n a s e r t r a n s p o r t a d a s

Lavelocidaddepercolacines

yalavelocidaddetransporte uq .00,0

57

scmqcalcularpodemosanteriorproblemaDel

024.128.120.01

:

Eltransportecomenzarcuandolaconcentracintiendaacero.Comod*=3.539,

scmuqyu 28.10423.0*

II.Procesos

Sedimentacindepartculasisomtricas

L a s p a r t c u l as n oe s f r i c a s t i e n e n u n c o m po r t a m ie n t o d i f e r en t e a l a s e s f ri c a s d u r a n t e l as e d im e n t ac i n . M i e n t r as q u e l a s p a r t c u l a s e s f r i c as c a e n e n u n a t r a y e c t o ri a v e r t i ca l , l a sp a r t c u l a s n oe s f r i c a s , v i b r a n r o t a n y s i g u en u n a t r a y e ct o r i a e s p i ra l .


Pettyjohn yC h r i s ti a n s en ( 1 9 4 8 )demostraronquelavelocidaddesedimentacind e p a rt cu l as i s om tr i ca s e n r gi m en d e S t ok es s e p od a d e sc r ib i r m e di a nt e l a s i gu i en t eexpresin:

53..........065.0log843.0 Eu

u

e

p

D o n d e ue e s l a v e lo c id a d d e s e di m en t ac i n d e u na e s fe r a q u e t i en e e l m i sm o v o lu m enq u e l a p a r t c u l a ( e s f e r a e q u i v a l e n t e ) , e n t o n c e s :

54...............18

2

Egd

u ee

58

Enestaexpresindeeseldimetroequivalenteodimetrodelaesferaequivalente.P a ra e l r a ng o d e n m e ro s d e R e yn o ld s e n tr e 2 . 00 0


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30

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Sedimentacin de partculas isomtricasP o r s o b r e R e = 3 0 0 , l a s p a r t c u l a s c o m i e n z a n a r o t a r y o s c i l a r .P ar a t o ma r e n c u an ta e s te c o mp o rt a mi e nt o, B a r ke r ( 1 95 1 ) s u gi r i i n tr o du c ir


57............., 181 ECC DD

c o m o n u e v a v a r i a b l e l a d e n s i d a d d e l a p a r t c u l a .

Donde eselc u o c i e n t e d edensidadesentreelslidoyelfluido: =p /f.LosdatosdePettyjohn yChristiansen ( 1948)ydeB a r k e r ( 1 9 5 1 )sepuedengraficarsegnlafigura:

10

10

4

3

x

x

x

****

*

**

59

10

10

1010 10 10 10 1010 1010 10

Datos de Pettyyjohn y Christiansen (1948) y de Barker (1951)graficados como coeficiente de arrastre versus nmero deReynolds, utilizando como tamao el dimetro equivalente.

1

1

-2

-3 -2 2 3 44 5

2

Re

Sphericity

0.9050.8460.8060.670*

***************xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

xxx

xxxx

xxx

x

**********

*******

******

******

*********

*

II.Procesos

SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacin

S up on ga mo s q ue l as e cu ac io ne s ( E2 5) y ( E3 8) s on v l id as p ar a p ar t cu la si s om tr i ca s , c o n v a lo r es d e C co mo fu nc io ne s de la esfe ric id ad d el


59..........1*

,,C

41

*4

1

58..........

Re

,1,,

221

23

2

0

~~21

0

~2

0*

2

21

~

0

Edd

u

ECC

p

D

c o c i e n t e d e d e n s i d a d e s ( C o n c h a y B a r r i e n t o s 1 9 8 6 ) :

60

DondeelnmerodeReynoldsquedadefinidoconeldimetroequivalente.Supongamos,adems,quesecumple:

61.........,

60........,

0

~

0

~

0

Eff

EffCC

DB

CA

dondeC0 y0 sonlosparmetrosparaunaesfera.

II.Procesos


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31

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2* d

paraunaesferaaRe0,lavelocidadsepuedeaproximarpor:


...........2

00

EC

ue

D e l m i s m o m o d o p a r a u n a p a r t c u l a i s o m t r i c a t e n e m o s :

63...........

,,

*

2

00

~

2* E

C

du ee

C om o e l d i me tr o d e e s e l m is mo p ar a l a e sf er a y l a p ar t cu la , r ee mp la za nd o( E 6 0 ) y ( E 6 1 ) e n ( E 6 3 ) r e s u l t a :

61

64...........0Re 22* Effffuu

uu DcBA

p

e

p

e

PorotraparteparaRe,sepuedecomprobarque:

65............

,,

0

0

~

EC

C

C

C

D

D

II.Procesos


Coeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacin

,CD yreemplazandolaexpresin


...........,eC

CA

D

Pa ra d et er mi na r l as f un ci on es f A, f B, f C y f D, u sa re mo s l as e cu ac io ne s

p r o p u e s t a s p o r P e t t y j o h n y C h r i s t i a n s e n ( E 5 3 ) y ( E 5 6 ) y ( E 5 7 ) p o r B a r k e r ( 1 9 5 1 ) .D e ( E 6 4 ) y ( E 5 3 ) p o d e m o s e s c r i b i r :

75.442.5

)67......(065.0

log843.022 Effff DCBA

62

.......75.442.5

CA

De( 57)y( 68) sepuedeconcluirque:

70........

69........67.0

75.442.5

181

C

A

f

f

II.Procesos


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32

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C om o en r i me n de S to ke s no h a e fe ct o de la d en si da d E 67 i m l ic a u e:


71......36118112 Efyff DCD

porlotanto:

72......065.0

log843.067.0

75.442.5 21

EfB

63 II.Procesos

Sedimentacin de partculas isomtricas

Coeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificados

IntroduciendolosvaloresdefA,fB,fC yf D e nlaecuacin( E58)podemos


73.........Re

1,

2

00 E

ff

Cff

C

DB

CA

D

DefiniendoelcoeficientedearrastremodificadoCDMyelnmerodeReynoldsmodificadoReM enlaforma:

,C

64

75..........

ReRe

..........

22 E

ff

Eff

C

DB

M

CA

DM

S i s e g r a f i c a t o d o s l o s d a t o s e x p e r i m e n t a l e s c o m o C D M v e r s u s R e M s e o b t i e n el a c u r v a u n i f i c a d a

II.Procesos


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33

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SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificados

S i s e r af ic a t o do s l o s d a to s e x e ri me nt al e s c om o C D M v e rs us R eM


s e o b t i e n e l a c u r v a u n i f i c a d a :

10

10

10

10

4

3

2

xxxx

xxxx

xxx

xxx

xxx

xxx

x

x

x

x

*****

******

********

**

*****

*

**

CDM

65

1010 10 10 10 1010 1010 10

Datos experimentales de Pettyjohn y Christiansen (948) y Barker(1951) graficados como C versus Re par partculas

isomtricas.

1

1

-1

-3 -2 -1 2 3 44 5

Re

Sphericity

0.9060.8460.8060.670*

***************x

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

xx

x

xxxxxxx

xxxx

xxxx

xxx xxx

xxx

xxxx

x

**************

***

M

DM M

II.Procesos



Un res ultado similar s e obtiene para la ,** de


v el oc id ad d e s ed im en ta ci n . D ef in ie nd o e ld i m et r o e q u iv a l e nt e a d i m en s i o n al u n i f ic a d od*eM y l a v el o ci d ad a d im e ns i on a l m o di fi c ad a

u*M e n l a f o r m a :

77.......,

.......

*

*

32221221

E

ff

uu

ffff

D

p

eM

DCBA

eM

B

L a c ur va u ni fi ca da d e u *pM v e rs u s d *eMa ra l os d at os d e Pe tt o hn C hr is ti an se n

UM

10

10

2

66

( 1 9 48 ) y d e C h ri s ti a ns e n y B a r ke r ( 1 9 65 )s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 10

10

10 10 10 101 10

-1

-1

-1 2 3 4

dM

Sphericity

Curva unificada de u* versus d* para los datos dePettyjohn y Christiansen (1984) y de Barker (1951)

0.9060.8460.8060.670

pM eM

II.Procesos


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SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificadosEjemplo

C a l c u l a r l a v e l o c i d a d d e s e d i m e n t a c i n d e u n c u b o d e c u a r z o d e 1 m m d e l a d o ,


ens a . g cm en a gua a .

P o r d ef i ni c i n l a e s fe r ic i da d e s l a r a z n e nt r e l a s u pe r fi c ie d e l a e s fe r a e q u i va l en t e y l as u p e r f i c i e d e l a p a r t c u l a . P a r a u n c u b o d e l a d o a l a s u p e r f i c i e y v o l u m e n s o n S cubo =6a

2 yVcubo = a

3 .L a e s f e r a e q u i v a l e n t e t i e n e e l m i s m o v o l u m e n a 3, p o r l o q u e s u d i m e tr o s e r :

6

66

2

32

31331

a

aaV

de

67

806.066

: 2

a

esdesfericidaLa

67581.0

065.0

806.0log843.0

75.442.5

806.075.442.5

065.0log843.0

75.442.5

75.442.5

3754.275.442.5

806.075.442.5

75.442.5

75.442.5

2121

B

A

f

f

II.Procesos




f

f

cmg

D

C

f

0274.19964.0

65.2

9473.09964.0

65.2

9964.00004.125100.625100.4

~

361

361

181

181

3526

68

scmg

ffC

agua

CA

DB

0112.01056.125100.225100.9

6299.09471.03753.228.028.0,

.....,

2427

~

II.Procesos


35/45

35

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3131

SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificados


du

P

dd

gQ

gP

p

e

f

f

f

f

1*4

1*

,1

79.25003877.0

1.0

900.29964.03

1.9800112.09964.065.24

3

4

003877.01.9809964.09964.065.24

0112.03

4

3

221

23

~2~

~2

0*

*

31

2

31

2

69

scmuQu

C

p 3.2607.99.2*

07.913050.66299.0

796.2541

796.25

0557.6

,,2

21

221

322

2

00

II.Procesos

Sedimentacindepartculasarbitrarias

C o n c h a y C h r i s t i a n s e n ( 1 9 8 6 ) e x t e n d i e r o n l a v a l i d e z d e l c o e f i c i e n t e d e a r r a s t r e y d e l av el oc id ad d e s ed im en ta ci n d ef in id as a ra u na s us e ns i n d e e sfe ra s a ra s er


u t i l i z a d a s p a r a u n a s u s p e n s i n d e p a r t c u l a s d e f o r m a a r b i t r a r i a .

10000,00

1000,00

100,00

10,00

CoeficientedearrastreCD Arena

Cuarzo

Caliza=0.4

=0.3

=0.2

=0.1

=0.0

70

1,00

0,10

0,1 1 10

Nmero de Reynolds Re

Coeficiente de arrastre para suspensiones de partculas irregulares de parapartculas de caliza, cuarzo y arena en funcin del nmero de Reynolds,usando el dimetro equivalente como medicin del tamao a cinco valoresde concentracin (concha y Christiansen 1986)

100 10001000 10000

II.Procesos


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36

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78..........Re

,,1,,,,C

221

~2

2

21

00

~

D EC


79..........1*,,,,

1*

,,

4,, 23

~2

0

~21

0

0* Ed

Cd

up

donde e s l a e s f e r i c i d a d , e l c o c i e n t e d e d e n s i d a d e s d e l s l i d o y e l f l u i d o y l a c o n c e n t r a c i n d e s l i d o .A l i g u a l q u e e n e l c a s o d e s u s p e n s i o n e s d e e s f e r a s y d e p a r t c u l a s i s o m t r i c a s ,s u p o n d r e m o s q u e l a s c o n t r i b u c i o n e s d e e s t o s p a r m e t r o s s e p u e d e s e p a r a r :

80.........,,~

00

~

EfffCC ECA

71

.........,, FDB

yquelosvaloresdefA afD sonlosdefinidosporlasexpresiones( E69) ,( E72) ,( E70)y( E71) .YfE ,fF

83.........1

16556.11

82.........1

2315.21

4191.1

89957.0

Ef

Ef

F

E

II.Procesos

L o s p a r m et r os n u m r i co s d el as d os ex r es io ne s a nt er io re s

Velocidadesdefluidizacindepartculasdeformaarbitrariaen

aguaa20C

decm p

(g/cm3) Re

up()cm/s

=0.0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.4

Caliza

0 .0 1 4 80 .0 2 1 60 .0 3 0 60 .0 4 4 30 .0 6 1 50 .0 9 5 6

2 .7 12 .7 12 .7 12 .7 12 .7 12 .7 1

1.874.8911.225.246.386.6

1 .2 7 32 .2 8 23 .6 2 75 .7 2 57 .5 8 3

10.181

0 .8 2 01 .5 1 72 .5 2 34 .1 5 95 .8 3 58 .0 4 5

0 .4 9 00 .9 6 11 .6 8 22 .9 0 94 .3 5 36 .1 8 2

0 .2 4 80 .5 1 20 .9 8 11 .8 7 92 .9 3 94 .5 7 9

0 .2 4 40 .4 9 61 .0 5 61 .8 5 33 .0 5 6

s on s o la m en t e v l i do s p a ra l a spa r t c ul a s c uy o s da t o s e s t n e n

l a t a bl a :

0 .1 2 3 90 .1 8 5 90 .2 3 7 40 .3 2 9 20 .5 0 6 0

2 .7 12 .7 12 .7 12 .7 12 .7 1

1 6 33 2 44 9 28 1 1

1111

13.28517.55620.87324.80227.629

1 0 .7 6 31 4 .2 9 41 7 .2 1 02 1 .0 5 12 3 .6 7 2

8 .5 0 51 1 .6 3 11 3 .8 7 01 7 .5 2 61 9 .9 1 4

6 .5 1 28 .9 4 0

10.96714.23816.371

4 .6 4 36 .8 7 38 .7 7 9

1 1 .3 8 51 3 .5 7 0

Cuarzo

0 .0 1 3 80 .0 2 0 70 .0 2 8 60 .0 4 2 00 .0 6 0 00 .0 8 3 40 .1 1 9 20 .1 7 3 20 .2 3 7 30 .3 3 3 80 .4 0 0 5

2 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 4

1.624.469.4822.143.178.8

1 4 42 7 94 5 77 6 7

1031

1 .1 8 62 .1 7 13 .3 3 65 .2 9 07 .2 3 89 .5 0 9

12.21016.21319.49423.14325.926

0 .7 0 81 .3 7 22 .1 5 23 .6 6 55 .2 5 37 .2 9 29 .7 9 1

1 3 .2 5 81 6 .1 0 71 9 .5 9 42 2 .0 9 5

0 .3 8 60 .8 2 11 .3 1 92 .4 3 23 .6 7 25 .4 2 87 .6 5 9

1 0 .5 8 71 3 .0 8 81 6 .2 6 81 8 .4 7 7

0 .1 8 70 .4 1 10 .6 9 81 .4 2 32 .4 2 83 .7 3 25 .6 8 88 .2 0 4

10.34413.17415.086

0 .3 3 00 .7 4 31 .3 2 92 .3 3 43 .8 6 56 .1 1 17 .8 8 3

1 0 .3 2 71 1 .9 3 7

72 II.Procesos

Arena

0 .0 3 5 40 .0 4 2 50 .0 5 8 60 .0 8 3 30 .1 1 9 60 .1 7 3 50 .2 3 4 40 .3 2 8 70 .4 0 1 8

2 .7 02 .7 02 .7 22 .7 62 .7 92 .7 92 .7 92 .7 92 .7 9

15.023.143.585.6

1 6 53 2 2

5 .98 4 8

1208

4 .2 7 75 .4 7 37 .4 8 6

10.35413.98318.71221.87425.98030.277

3 .0 0 53 .9 1 95 .6 0 17 .9 9 2

1 0 .9 3 01 4 .3 8 61 7 .1 9 22 0 .8 8 22 3 .8 1 9

2 .0 2 52 .6 9 84 .0 5 05 .9 8 48 .3 5 9

1 0 .9 7 91 3 .3 3 31 6 .8 0 71 9 .3 8 2

1 .1 9 01 .7 1 62 .6 6 54 .2 7 56 .1 6 88 .6 0 5

10.63613.61715.741

0 .6 2 50 .9 3 01 .5 8 82 .7 9 14 .3 4 26 .4 9 58 .1 9 2

1 0 .6 8 11 2 .3 8 0


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Factordeformahidrodinmico

C o nc ha C hr is ti an s en 1 9 86 d ef in ie ro n un a es ericidad hidrodinmica e ectiva.


Para ello, u s a ro n l a s e c ua c io n es f A a fD, d ef i ni d as p a ra p a rt cu l as i s om t ri c as , yrec a l c u l a r o n e l v a l o r d e l a e s f e r i c i d a d d e l o s d a t o s d e l a t a b l a a n t e r i o r .C o m o l a f o r m a d e e s t a s p a r t c u l a s n o e r a i g u a l p a r a t o d o e l r a n g o d e t a m a o s , s ee s c r i b i l a e s f e r i c i d a d h i d r o d i n m i c a c o m o u n a f u n c i n d e l t a m a o d e p a r t c u l a .E n e l c a s o d e l o s d a t o s d e l a t a b l a a n t e r i o r e s a f u n c i n f u e :

84..........2210 EdAdAA ee

conlosvaloresdeA0,A1 yA2 indicadosen:

73

Parmetro

A

A

A

Error relativo % 1.5

-0.03624

0.81540 0.87806

-1.13983

1.56763

1.2

0.80399

0.04100

-0.33082

1.6

-0.27614

Caliza Cuarzo Arena

0

1

2

II.Procesos



S e p u e d e o b t e n e r u n a c o r r e l a c i n n i c a p a r a e l c o e f i c i e n t e d e a r r a s t r e y l a v e l o c i d a d


86..........Re

Re

85..........,

222 E

Efff

CC

M

ECA

D

DM

,c o e f i c i e n t e d e a r r a s t r e m o d i f i c a d o y u n a v e l o c i d a d d e s e d i m e n t a c i n m o d i f i c a d a :

1,0E+03

1,0E+02

ciente

eArrastreModificadoC

1,0E+01

+

DM

74

88...........

,

87..........,

3131222

*

*

3222231

**

Effffff

uu

Effffff

dd

ECAFDB

p

pM

FDBECA

e

eM

FDB

Coefi ,

1,0E+01

1,0E+01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04

Nmero de Reynolds Modificado Re

Coeficiente de arrastre unificado versus nmero deReynolds modificado para partcula de caliza, cuarzo y arena(Los mismos datos del grfico de Concha y Christiansen 1986)

M

II.Procesos


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C al cu la r l a v el oc id ad d e f l ui di za ci n d e u n a s u s e ns i n d e 3 5 % d e s li do s e n e so d e

Ejemplo


p a r t c u l a s d e c u a r z o d e 2 5 0 m i c r o n e s y d e n s i d a d 2 . 6 5 g / c m 3 e n a g u a a 2 5 C .

0274.1,9473.0,67581.0,3754.2

900.2,003877.0,0112.0,65.2,9964.0 33

DCBA

fsf

ffff

Qpscmgcmgcmg

5305.11684.01

1684.02315.21

1684.0359964.03510065.2

359964.0

89957.0

Ef

75

0207.11684.01

1684.01684.06545.11

.

Ff

448.610877.3

10250*

9641.05305.19471.03753.228.028.0,~

4357.60207.10275.16758.008.908.9,,~

3

4

0

0

p

dd

fffC

fff

ECA

FDB

II.Procesos


4~

12

212

*


scmuQuV

Cdu

pr

p

076.744.29.2

44.214357.69641.0

4357.64

1448.6

4357.6

4

1

1*,,

~,,

~1*4

,,

*

221

221

232

2

0

21

0

Lavelocidaddefluidizacinqestdadapor:

76

scmVq r 884.5076.70168411

Ladireccindelflujoescontrariaaldesedimentacindelaspartculas.

II.Procesos


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C o ns i de r em o s l a s e di m en t ac i n d e u n a m e zc l a d e p a rt cu l as s li d as y u n f l ui d o, c o nt e ni d os e nu n a v a si j a y s u po n ga m os q ue s e s a t is f a ce n l a s p r op i ed a de s p a ra q u e e l s i st e ma s li dofluidop u e d a s e r c o n s id e r a do d o s m e d i o s c o n t i n uo s s u p e rp u e s to s .

D e f i na m o s p or vs y vf l a s v e l o c i d a d e s d e l s l i d o y d e l f l u i d o r e s p e c t i v a m e n t e .

Conceptosdesuspensinidealyespesadorideal.

TEORIADESEDIMENTACIONDEKYNCH

Lass u p os i ci on ess on :

1. Todaslaspartculasslidassonpequeas,delmismotamao,formaydensidad.

2. El slidoyelfluidodelamezclasonincompresibles.

3. Nohaytransportedemasaentrecomponentes.

4. Lavelocidadrelativaslidofluidou=vsvf

5. nlamezclaesunafuncindelaconcentracindeslidossolamente.

6. Laconcentracindelaspartculaseslamismaentodalaseccintransversaldelavasija.

L a s u o si ci n 1 u nt o a l a 3 e rm it en e s ta bl ec e r un a v el oc id ad ni ca a ra e l c om o ne nt e s l id o

77

y l a s u p o s i c i n 2 d e f i n edensidades materiales constantes para cada c o m p o n en t e . L a s u p o s ic i n4 , c l a v e e n l a t e o r a d e K y n c h ( 1 9 5 2 ) , l l e v a i m p l c i t a l a s u p o s i c i n q u e l a s f u e r z a s c o n v e c t i v a s s o nd es p r eci ab l es .

U na m ez cl a q ue c um pl e l as p ro pi ed ad es 1 a 4 r ec ib e e l n o m br e d e suspensin ideal (Shannonand Tory 1966, Bustos et al 1990, Concha and Bustos 1992) y puede s e r c o n s i d e r ad a c o m o u n as u p e r p o s i c i n d e m e d i o s c o n t i n u o s c o n d o s c o m p o n e n t e s i n c o m p r e s i b l e s

II.Procesos

N o e x i s t e m a t e r i a l r e a l q u e s e a u n a s u s p e n s i n i d e a l , p e r o h a ym uc ho s m at er ia le s q u e, e n c as os e sp ec ia le s, s e c om po rt an



c o m o una s us pe ns i n i de a l .

La concentracin d e l a s u s p e n s i n e s , e n g e n e r a l , u n a f u n c i n

d e l a s t r e s d i m e n s i o n e s d e l e s p a c i o y d e l t i e m p o , s i n e m b a r g o ,l a s up os ic i n 5 p er mi te d es cr ib ir l a s ed im en ta ci n c om o u nf e n m e no unidi m e ns i o na l , t a l que : = (z,t)

E sta s u o si ci n d ef in e e l c on ce t o d e u n es esador ideal como

78

una vasija sin efecto de paredes (Shannon and Tory 1966, Bustose t a l 1 9 9 0 , C o n c h a a n d B u s t o s 1 9 9 2 ) y d o n d e l a a l i m e n t a c i n ydescarga se representan como fuentes y sumiderossuperficiales.

II.Procesos


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H a st a e l m o me n to t o do s l o s t r ab a jo s r e la c io n ad o s a l a s e d im e nt a ci n, y as e a n d e s u s p e n s i o n e s i d e a l e s o n o , u t i l i z a n e l c o n c e p t o d eespesador ideal.



i n d u s t r i a l y d e s u d e s c a r g a e s m u y c o m p l i c a d a y q u e , a p e s a r d e e l l o , s e h ad e m o s t r a d o c o n h e r r a m i e n t a s m o d e r n a s , t a l e s c o m o l aMecnica de FluidosComputacional, que la distribucin de concentraciones e n e st os e q ui po s e ssen sib lemen te u n id imen sion al.

79

Distribucin de concentracin en un espesador industrial de 100 m de dimetrotratando relaves de cobre. simulacin mediante CFD usando el cdigo Fluent.

II.Procesos

Ecuacionesdecampo.

L a s ed im en ta ci n d e u na s us p en si n i de al e n u n e sp es ad or i de al p ue de s erd es cr it a m ed ia nt e l a c on ce nt ra c i n d e l a s us pe ns i n ( z ,t ) , e xp r es a d a c o mof r a c ci n v o l u m t r i c a d e s l i d o s , l a s v e l o c i d ad e s d e l o s c o m p o n en t e s s l i d os v s( z,t)


y ui o v f z , t .E s t a s v a r i a b l e s d e c a m p o d e b e n o b e d e c e r l o s b a l a n c e s l o c a l e s d e m a s a .

2.........011

1.........0

Kvzt

Kvzt

f

s

Ecuacindelcomponentefluidorespectivamente:

Ecuacindecontinuidaddelcomponenteslido:

S o l u c i o n e s p a r a e s t a s e c u a c i o n e s d e c o n s e r v a c i n s o n g e n e r a l m e n t e d i s c o n t i n u a s .

80

,l as e cu ac io ne s ( K1 ) y ( K2 ) s on v l id as s o la me nt e e n a qu el la s r eg io ne s d on de l aconcentracin es continua.Enlasdiscontinuidadessedebecumplir:

3.......

1

1K

vv fs

Estasexpresionessedenominanecuacionesdesaltoocondicionesdesalto.

II.Procesos


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Ecuacionesdecampo.

S u m a n d o l a s d o s e x p r e s i o n e s ( K 1 ) y ( K 2 ) s e o b t i e n e l a e c u a c i n d e c o n t i n u i d a d d e


50

40

Kq

Kz

q

dondeq( z,t)eslavelocidadpromediovolumtricadelasuspensin,definidapor:

6.......01 Kvvqfs

E n t r mi no s d e l a v el oc id ad r el at iv a s l id of l ui d o u = vs v f , l a v el oc id adv o l u m t r i c a p u e d e s e r e x p r e s a d a p o r :

81

7.......1 Kuvq s Laecuacin( K4)implicaquelavelocidadvolumtricaesunafuncindeltiempos o l a m e n t e q = q ( t ) .L a s e c u a c i o n e s ( K 4 ) y ( K 5 ) p u e d e n s u s t i t u i r v e n t a j o s a m e n t e l o s b a l a n c e s d e f l u i d o ( K 2 ) y( K3)

II.Procesos

Ecuacionesdecampo.

M u l t i p l i c a n d o l a e x p r e s i n ( K 7 ) p o r y , d e f i n i e n d o l a s d e n s i d a d e s d e f l u j oF(, t ) =v , fb () =( 1) u , p o d e m o s e s c r i b i r l a d e n s i d a d d e f l u j o d e s l i d o s e n l a


orma: 8......., Kfqtf b

E s t o e s , l a d e n s i d a d d e f l u j o d e s l i d o s t o t a l c o n s i s t e e n l a s u m a d e u n a p a r t e

l i ne a l q, c o rr es p on d ie n te a l m o vi m ie n to g l ob a l d e l a m e zc l a y u n a p a r t e n ol in ea l , qu e d es cr ib e e l m ov im ie nt o r el at iv o l oc al . C ua nd o s e d es c ri be las e d i m e n t a c i n e n u n e s p e s a d o r i d e a l c e r r a d o q u e d e n o m i n a r e m o s columna desedimentacin, la velocidad v o l u m t r i c a e s i g u a l a c e r o , q = 0 , y a q u e n o h a ya l i m e n t a c i n n i s a l i d a , p o r l o q u e d e ( K 8 ) r e s u l t a :

bf

82

Aestadensidaddeflujoladenominaremosdensidaddeflujobatch.

9......., Kftf b

II.Procesos


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Ecuacionesdecampo.U s a n d o l a d e f i n i c i n d e s f v , l a e c u a c i n d e c o n t i n u i d a d d e l c o m p o n e n t es l i d o y l a c o n d i c i n d e s a l t o s e p u e d e n e s c r i b i r e n l a f o r m a :


11.......

10.......,

Kf

Kzt

E s t a e x p r e s i n r e c u e r d a q u e , g e n e r a l m e n t e , l a s s o l u c i o n e s d e u n p r o c e s o d es e di m en ta c i n n o s o n n ic a s y e s n e ce s ar i o d i sp o ne r d e u n c r it e ri o p a ra e l eg irl a s o l u c i n a d m i s i b l e .E l c r i t e r i o m a s u s a d o e s l a condicin de entropa de Lax que dice que (Bustos and

83

12....., Kff

C uan do la ve lo ci da d d e d es pl aza mi ento d e l a d is co nt inu id ad c um pl e( 1 2 ) r e s t r i c t a m e n t e s e d e n o m i n a u n aonda de choque.Si cualquiera de las igualdades se s at is fa ce , s e t ie ne u na discontinuidad decontacto.

II.Procesos

PROCESODEKYNCHPARALASEDIMENTACIONBATCH

C u an d o u n a suspensin ideal sedimenta bajo el efecto de la gravedad en unacolumna de sedimentacin se puede distinguir las siguientes etapas en el proceso.

a ) A nt es d e c o m en za r l a s e di me nt ac i n l a s u sp e ns i n s e h om og en iz a p o r a g i ta ci n , d e


m a ne r a q u e s u c o n ce n tr a ci n e s c o n s t an t e.b ) C ua nd o l a s e di me n ta c i n c o m ie nz a, t od as l as p a rt c ul as c a en a l a m i s ma v e lo ci da d, d e

m a ne r a q u e s e f o rm a u n a i n t e rf a z a g u as u s p e n s i n e n l a p a r t e s u p e r i o r d e l a c o l u m n a , l aq u e d e s c i en d e a l a m i sm a v e l oc i da d q u e l o h a ce n l a s p a r t c u la s . E s t a e t ap a s e d e no m in asedimentacin dificultada(hinderedsettling) .

c ) L as p ar t cu las q ue ll eg an a l fo nd o d e l a c ol umn a s e a cu mu la n h ac ie nd o q ue l ac o n c e n t r a c i n a u m e n t e r p i d a m e n t e h a s t a o c u p a r t o d a l a s u p e r f i c i e d i s p o n i b l e . E l m a t e r i a le n e s ta s c on di ci on es r ec ib e e l n om br e d e sedimento y s u c o nc e n tr a ci n e s . Las u p e r f i c i e d e l s e d i m e n t o , o i n t e r f a z s u s p e n s i n s e d i m e n t o , s e m u e v e h a c i a a r r i b a a m e d i d aq u e n u e v a s p a r t c u la s s e l e i n c o r po r a n .

d ) E n u n p un to d et er mi na do d e l a c ol um na , p e ro b aj o l a i nt er fa ce d e a g uas u s p e ns i n , l ac o n c e n tr a c i n d e l a s u s p e n s i n p e r m an e c e f i j a o a u m e n ta c o n e l t i e m p o .

84

e ) U t il i za n do u n i n s t ru m en t o p a ra m e d i r c on c en t ra c io n es , c o m o e l d e B e e n a n d S il l s ( 19 8 1) ,s e p o dr a s e g ui r e l m o vi m ie n to d e u n a d e te r mi n ad a c o n ce n tr a ci n e n l a c ol um na . E lm o v i mi e n t o s e r a n e c e s a ri a m e nt e h a c i a a r r i b a a u n a v e l o c i d a d d e n o m i n a da v e l o ci d a d d ep r o p a g a c i n d e l a o n d a d e c o n c e n t r a c i n .

f ) E n u n de te rm in ad o i ns ta nt e y a u n a c ie rt a a lt ur a l a in te rf az a g uas u s p e n s i n s e e n c o n t r a r c o n l a i n te r fa z s u s pe n si ns ed im en to . L as c oo rd e na da s d e e se e ve n to s e d en om in antiempo crtico y altura crtica y ellas definen el punto c r ti co e n e l c ua l t er mi na l asedimentacin.

II.Procesos


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E l g r fi co m ue st ra la s i nt er fa ce s a gu as us pe ns i n y s us pe ns i ns e di me nt o e n f un ci n d el t ie m po . E st e g r fi co r ec ib e e l n om br e d e


curva e se mentac n.

Z

L

(a)

85

l

t t t

Curva de sedimentacin mostrando las interfaces. (a)agua - suspensin, (b) suspensin - sedimento, ( c ) agua - sedimento.

c

1 c

0

(b)

( c )

II.Procesos

C o n b a se a e s ta d e sc r ip c i n d e du c ir e mo s u n m o de l o p a r a l a s e di m en ta c i n b a tc hd e u n a s u s p e n s i n i d e a l .

C o ns i de re mo s l a s ed im en ta ci n b at ch e n u na c ol um na d e s ed im en ta ci n u e



c on ti en e u na s us pe ns i n c on u na a lt ura i ni ci al z =L a u na c on ce nt ra ci nhomognea =0.

P a r a l a s e d i m e n ta c i n b a t ch s e d e b e a g r e ga r d o s s u p o s ic i o n es a l a s 5 i n d i ca d a s c o n

a n t e r i o r i d a d , l o q u e t o t a l i z a 7 :

1. T o d a s l a s p a r t c u l a s s l i da s s o n p e q u e a s , d e l m i s m o t a m a o, f o r m a y d e n s i d ad .2. E l s l i do y e l f l u i d o d e l a m e zc l a s o n i n c o m pr e s ib l es .3. N o h a y t r a n s p o r t e d e m a s a e n t r e c o m p o n e n t e s .4. L a v e l o c i d a d r e l a t i v a s l i d o f l u i d o u = vs vf e n l a m e z c l a e s u n a f u n c i n d e l a c o n c e n t r a c i n d e

s l i d os s o l a m en t e .

86

.5. L a c o n c e n t r a c i n d e l a s p a r t cu l a s e s l a m i s m a e n t o d a l a s e c c i n t r a n s ve r s a l d e l a v a s i j a .6. L a s u s p e n si n t i e n e u n a c o n c e n tr a c i n i n i c i al h o m o g n e a .7. E n e l f o nd o d e l a c o lu m na h a y u n i n c re m en t o c o n t in u o y r pi d o d e c o nc e n tr a ci n d e s d e l a

inicial 0 a l a f i n a l .

II.Procesos


44/45

44

INTERCADE


www.intercade.org


B a jo e st as s up os ic io ne s s on v l id as l a e cu ac i n d e c on ti nu id ad y c on di ci n d esalto siguientes:

fb


14.....

.....,

Kf

tzparazt

b

L a e xp r es i n ( 1 3) e s u n a e c ua c i n h i pe r b l ic a c u as il i ne a l. P a ra e s ta e c ua c i n , l a ss u p o s i c i o n e s k 6 y k 7 p e r m i t e n e s t a b l e c e r l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s y d e c o n t o r n o :

z, o = para o < z < Lb g ( 15 )

o, t = para t > Ob g ( 16 )

= >

o

87

LasconcentracionesL,0 y sonconstantesysatisfacen L=0


45/45

45


Solucinporlateoradecaractersticas

E sc ri ta e n e st a f or ma , l a e cu ac i n d e l a s ed im en ta ci n b at ch s e p ue de t ra ta rc om o u n p ro bl em a d e v al or i ni ci al y s e r es ue lv e m ed ia nt e e l m t od o d e


20..........

01 K

d

f

dzdt

b

caractersticas.SegnC o u r a n t a n dH i l b e r t ( 1 9 6 3 ) ,eneldominio( z,t)dondelaecuacin( E19)esv l id a, s e p ue de n t ra za r l n ea s l la ma da s c ar ac te r st ic as q ue c um pl en l assiguientes condiciones:

dondezytsonlascoordenadasde.Entonceslaecuacin( 19)puedeserreemplazadapor:

89

21..........,0 Kfdtdzyd b

q u e i n d i c a n q u e l a c o n c e n t r a c i n e s c o n s t a n t e a l o l a r g o d e l a s c a r a c t e r s t i c a sde pendiente , donde sta repres enta lavelocidad de propagacinde ondas de concentracin constante . Para constante, t a mb i n e sc o n s t a n t e y , e n e s t a s c o n d i c i o n e s , l a s c a r a c t e r s t i c a s s o n l n e a s r e c t a s .

bfdtdz

bf

II.Procesos


Solucinporlateoradecaractersticas

Lascondicionesdecontornosetransformanahoraencondiciones


22..........

0

0

0

0, 0 K

zpara

Lzpara

zLpara

z

n c a e sen a orma:

f0

**

f ( )

f ( )**

( )

f/ ( )

f/()

f/( )

,

(a)

Determinacin grfica de los parmetros de sedimentacinde la curva de densidad de flujo de slidos.

avances en modelamiento y simulacion de procesos solido-solido

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