OCTAVO AÑO:

TRIÁNGULOS

Un triángulo es el polígono que resulta de unir 3 puntos con líneas rectas.

Todo triángulo tiene 3 lados (a, b y c), 3 vértices (A, B y C) y 3 ángulos interiores (A, B y C)

Habitualmente se llama lado a al lado que no forma parte del ángulo A. Lo mismo sucede con los lados b y c y los ángulos B y C.

Los triángulos podemos clasificarlos según 2 criterios:

Según la medida de sus lados

- Equilátero

Los 3 lados (a, b y c) son iguales

Los 3 ángulos interiores son iguales

- Isósceles

Tienen 2 lados iguales (a y b) y un lado distinto (c)

Los ángulos A y B son iguales, y el otro agudo es distinto

- Escaleno

Los 3 lados son distintos

Los 3 ángulos son también distintos

Según la medida de sus ángulos

- Acutángulo

Tienen los 3 ángulos agudos (menos de 90 grados)

- Rectángulo

El ángulo interior A es recto (90 grados) y los otros 2 ángulos son agudos

Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos (c y b), el otro lado hipotenusa

- Obtusángulo

El ángulo interior A es obtuso (más de 90 grados)

Los otros 2 ángulos son agudos

NOVENO AÑO:

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

Producto de monomios

El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.

Cociente de monomios

El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an x n + an - 1 x n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... + a1 x 1 + a 0

Siendo an, an - 1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.

n un número natural.

x la variable o indeterminada.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

DECIMO AÑO:

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

Multiplicación de polinomios

Producto de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Producto de polinomios

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado.

División de polinomios

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.

Para comprobar si la operación es correcta, utilizaríamos la prueba de la división:

D = d · c + r

Regla de Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini .

(x4 −3x2 +2 ) : (x −3 )

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera necesarias.

8El último número obtenido es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

Identidades notables

Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

Binomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3

PRIMERO BGU:

Hace ya algún tiempo vimos una sencilla regla para calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes del primer cuadrante. Tanto debió gustar ese artículo que es el más visitado de la historia del blog y uno de los más comentados.

Pero en ciertas ocasiones esta tabla puede quedar algo corta, ya que muchas veces necesitamos saber el valor de alguna de las razones trigonométricas en cierto ángulo de otro cuadrante. En Secundaria nos enseñan a realizar este cálculo, pero generalmente se incide más en las fórmulas que me dan los valores buscados y se profundiza menos en el cálculo geométrico. En este artículo vamos a ver que aprendiendo a reproducir la tabla mencionada antes (con la regla descrita en dicho artículo es muy fácil) y unos cuantos detalles geométricos podremos calcular de manera muy sencilla las razones trigonométricas de diversos ángulos del resto de cuadrantes.

Razones trigonométricas en los cuadrantes segundo, tercero y cuarto

Vamos a partir de la

circunferencia de centro y radio . Trazamos ahora un ángulo . El segmento que parte del y determina dicho ángulo corta a la circunferencia en el punto . Trazamos ahora las dos perpendiculares a los ejes desde este punto , que cortan en los puntos y en los ejes respectivamente. En esta situación, el coseno de este

ángulo es la longitud del segmento del eje que va del hasta (en la imagen, el segmento azul) y el seno de es la longitud del segmento del eje que va del hasta (en la imagen, el segmento rojo). Esto es, el coseno se mide en el eje y el seno se mide en el eje .

La idea para calcular las razones trigonométricas de un ángulo de un cuadrante que no sea el primer es asociar ese ángulo con el ángulo simétrico a él del primer cuadrante, teniendo cuidado con los signos.

Comencemos con los signos. Hay una regla muy sencilla para aprenderse los signos de seno, coseno y tangente en cada uno de los cuadrantes. Se basa en la frase:

SEGUNDO BGU:

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

Di = x - x

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por

Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

xi fi xi · fi |x - x| |x - x| · fi

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43

[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856

[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428

21 457.5 98.57

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por .

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Ejercicios de varianza

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la varianza

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

TERCERO BGU:

Ángulos coterminales

Los ángulos coterminales son ángulos en posición estándar (ángulos con el lado inicial en el eje positivo de las x) que tienen un lado terminal común. Por ejemplo 30°, –330° y 390° son todos coterminales.

Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, puede sumar y restar 360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el ángulo es medido en radianes.

Ejemplo 1:

Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de 55°.

55° – 360° = –305°

55° + 360° = 415°

Un ángulo de –305° y un ángulo de 415° son coterminales con un ángulo de 55°.

Ejemplo 2:

Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de .

Un ángulo de y un ángulo de son coterminales con un ángulo de .